初中最值问题的常用解法
初中线段最值问题的常用解法
初中线段最值问题的常用解法初中线段最值问题是数学中的一个常见问题，也是初步引导学生运用数学知识解决实际问题的一种典型例题。
下面将介绍几种常用的解法。
1.分情况讨论法分情况讨论是解决初中线段最值问题的一个常用方法。
以找线段上的最大值为例，我们可以将线段分为两个部分，一部分是线段的左半部分，一部分是线段的右半部分。
然后分别在左半部分和右半部分找到最大值，最后比较这两个最大值，取较大者即为线段上的最大值。
同理，要找线段上的最小值，也可以采用相似的方法。
2.数轴法数轴法是线段最值问题中常用的一种解法。
以线段的最大值为例，我们可以将数轴上线段的两个端点列出，然后根据所给条件（如线段的起点和终点的坐标等）确定线段的位置。
然后，我们可以逐个将线段上的点都标在数轴上，然后找到其中的最大值。
同样地，我们也可以用数轴法来找线段上的最小值。
3.函数法函数法是解决线段最值问题的常用方法之一。
我们可以根据线段的起点和终点的坐标，建立一个函数来描述线段上的点。
然后，对这个函数进行求导，求出其导数为零的点，这些点即为函数的极值点。
然后，我们可以将这些极值点与线段的端点进行比较，找出线段上的最大值或最小值。
4.图像法图像法是解决线段最值问题的另一种有效方法。
我们可以根据线段的起点和终点的坐标，在坐标平面上画出对应的线段图像。
然后，通过观察图像，我们可以直观地找到线段上的最大值或最小值。
5.代数法代数法是解决线段最值问题的另一种常用方法。
我们可以先将线段上的点表示为变量的形式，然后根据线段的端点的坐标，列出相应的方程组。
然后，我们可以通过求解方程组，得到线段上的最大值或最小值。
总结起来，初中线段最值问题一般可以通过分情况讨论法、数轴法、函数法、图像法和代数法等解决。
根据实际情况和题目要求，可以选择合适的方法来解决问题。
需要注意的是，在解题过程中，我们不仅要运用数学知识，还要灵活运用判断和推理能力，善于观察和分析问题，才能高效地解决线段最值问题。
求函数最值问题常用的10种方法
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
初中最值问题的常用解法及模型
初中最值问题的常用解法及模型
一、初中最值问题的常用解法及模型
1、图形法
图形法是通过绘制图形来解决一些最值问题，常用在局部最值和极值的求解中。
通常可以利用函数图像上的特点来求解极值，如凸函数的图像是一个凹函数图像，而凹函数的图像是一个凸函数图像，拐点和极小值点的坐标位置有特殊的关系等，通过这些特点我们可以分析出对应的最大值和最小值的坐标位置。
例如：求函数y=2x^2-3x+1在区间[-2,2]上的最值
解：
令2x^2-3x+1=0，得x=-1，得函数在该x的点处取得极值。
因此，在[-2,2]上函数的最大值为y=-2，最小值为y=4.
2、求导法
求导法是通过求导求解最值问题的方法，常用于求函数的最大值或最小值。
通过对函数求导，找到函数的导数为0的极值点，从而判断函数在该点的极值情况。
例如：求函数y=-2x^2-4x+3的极值
解：令y'=0，得-2x^2-4x+3=0，解得x=1/2，此时函数y取得极值，即y=-2(1/2)^2-4(1/2)+3=-5/4。
3、比较法
比较法是通过比较函数值的大小，或者比较函数一次导数的正负来求解问题的方法。
该方法常用于求比较复杂的最值问题，如求分段
函数的最大值。
例如：求函数y=6x-x^2在[-1,2]上的最小值
解：由函数y在[-1,2]上的一次导数关系可知，当x=-1时，y'=5>0，x=2时，y'=-2<0，可知该函数在[-1,2]上的最小值取决于在x=-1和x=2处函数的值，故有y=-1时的最小值为y=-7。
指数函数最值的4种解法
指数函数最值的4种解法
指数函数是一类在数学中非常常见的函数，求其最值是一个经典的问题。
以下是4种解法：
1. 导数法
通过对指数函数求导，得到其上升（或下降）的那一段区间，以及端点处是否取极值，判断最大值和最小值。
该方法简单直接，适用于初学者。
2. 对数法
对于底数为 $a > 0$ ($a\ne 1$) 的指数函数 $y = a^x$，可以将其转化为以 $e$ 为底的指数函数 $y = e^{\ln a \cdot x}$。
由于
$e^x$ 的最大值为 $e^1$，因此 $a^x$ 的最大值为 $e^{\ln a}$。
同理可以判断最小值。
该方法需要一定的对数知识。
3. 利用不等式
由于指数函数满足 $a^x > 0$，因此可以结合一些基本的不等式，求解其最值。
有时候，也可以将指数函数转化为其他函数，比如和
式或积式，在此基础上利用不等式求解。
4. 完全平方法
该方法常用于证明一些数学恒等式，不过也可以用来求解指数
函数最值。
具体方法是，将指数函数表示为完全平方后的形式，利
用完全平方公式，求解最值。
无论采用哪种方法，都需要掌握基本的指数函数性质，理解函
数图像，特别是对数函数的图像。
熟练掌握这些知识，才能准确地
判断并解决指数函数求最值的问题。
初中几何最值问题常用解法
初中几何最值问题常用解法初中几何最值问题一直是学生们的难点，但通过一些常用的解法，我们可以轻松解决这些问题。
以下将介绍9种常用的解法，帮助您更好地理解和学习。
一、轴对称法轴对称法是一种常用的解决最值问题的方法。
通过将图形进行轴对称变换，可以将问题转化为相对简单的问题，从而找到最值。
二、垂线段法垂线段法是指在几何图形中，利用垂线段的性质来求取最值。
例如，在矩形中，要使矩形的周长最小，可以将矩形的一条边固定，然后通过调整其他边的长度，使得矩形的周长最小。
三、两点之间线段最短两点之间线段最短是几何学中的基本原理。
在解决最值问题时，我们可以利用这个原理，找到两个点之间的最短距离。
四、利用三角形三边关系三角形三边关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
利用这个关系，可以解决一些与三角形相关的最值问题。
五、利用余弦定理求最值余弦定理是三角学中的基本定理，它可以用来解决一些与角度和边长相关的问题。
通过余弦定理，我们可以找到一个角的最大或最小余弦值，从而求得最值。
六、利用基本不等式求最值基本不等式是指在一个数列中，平均值总是小于等于几何平均值。
利用这个不等式，可以解决一些与数列相关的最值问题。
七、代数运算求最值代数运算是一种基本的数学运算方法，它可以用来解决一些与代数式相关的最值问题。
例如，通过求导数或微分的方法，可以找到一个函数的最大或最小值。
八、代数方程求最值代数方程是一种基本的数学方程形式，它可以用来解决一些与代数方程相关的最值问题。
例如，通过解二次方程或不等式的方法，可以找到一个表达式的最大或最小值。
九、几何变换求最值几何变换是指在几何图形中，通过平移、旋转、对称等方式改变图形的形状和大小。
利用几何变换的方法，可以解决一些与图形变换相关的最值问题。
例如，在矩形中，要使矩形的面积最大。
中考数学最值问题
在中考的解答题中，还常常结合其他知识，把最值问题与 其他问题综合在一起，增加了难度。
【例】（2016·温州）有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖100千克，其中各 种糖果的单价和千克数如表所示，商家用加权平均数来确定什锦糖的单价．
甲种糖果
乙种糖果
丙种糖果
单价（元/千克）
15
25
30
千克数
40
40
20
【点∴评A】E最本小题值经可过求推得导为，最6 5后5 变，为∴求M连N接的点最A小与值线为段B6 5D10 上．各点的线段中的最短线段 的问题（即垂线段最短问题）。
【例】（2016•安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为
【例5】（2016·湖南湘西）如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC 在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；
（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最 小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；
（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使 得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐 标；若不存在，请说明理由．
中考常见最值问题解法大全
中考中的最值问题，常常可以转化为求一个二次多项式的最值问题，也就是二次函数的最值问 题。问题背景多样，最终都可以殊途同归。以下列举几种常见求最值问题的类型及方法。 【知识点】 初中常见的非负数有： a²≥0，|b|≥0，√c≥0， 当a，b，c分别为0时取最小值为0． 常常利用二次函数的性质或配方法来求关于x的二次多项式ax²+bx+c的最值． 公式法： 二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为（-b/2a，(4ac-b²)/4a）， 当x=-b/2a时，y有最值(4ac-b²)/4a． 配方法： ax²+bx+c=a(x+b/2a) ²+(4ac-b²)/4a， 即当x=-b/2a时，y有最值(4ac-b²)/4a． 【题目类型分类解析】 一、常规题目一题多解 【例1】求y=-x²+2x+3的最大值． 解： 配方法： y=-（x-1）²+4，当x=1时，ymax=4． 公式法： y=-x²+2x+3的顶点坐标为（1,4）， 所以当x=1时，ymax=4． 判别式法：由y=-x²+2x+3得，-x²+2x+3-y=0， △=4+4（3-y）=16-4y， 因为x的取值范围是全体实数， 原方程必有实数根， 所以△=16-4y≥0，y≤4，即ymax=4． 二、复杂题目换元法 【例2】求y=
的最值． 【总结】分式型，展开各项 解：y=
， 令1/x=t1，即x=1时，y max=4． 【例3】求y=
（x≥1）的最值． 【总结】二次根式型，把被开方数看成整体 解：y=
， 令√(x-1)=t，得y=-t²+2t+3，当√(x-1)=t=1，即x=2时，y max=4． 三、基本不等式问题 高中公式： a+b≥2√ab（a≥0，b≥0）， 当且仅当a=b时，等号成立． （说明，可以利用完全平方公式进行配方证明，分别把a与b看成整体的平方） 【例4】求y=x+1/x（x＞0）的最值． 根据基本不等式，得y=x+1/x≥2， 当且仅当x=1/x，即x=1（x=-1舍去）时，y=2． 配方法： y=x+1/x=
初中最值问题的常用解法
初中最值问题的常用解法哎呀，亲爱的同学们，你们知道吗？初中数学里的最值问题可真是让人又爱又恨呀！就拿一个简单的例子来说吧，假如你要在一个矩形花园里围出一个最大面积的三角形，你会怎么做？这就像是在一堆糖果里挑出最大最甜的那颗一样，得好好琢磨琢磨。
先来说说配方法吧。
比如说有个式子x² + 6x + 8 ，要找出它的最值。
我们就可以把它变成(x + 3)² - 1 。
这就好比给这个式子穿上了一件新衣服，一下子就变得好看又好懂啦！你看，当x = -3 时，它就有最小值-1 。
这难道不神奇吗？再讲讲判别式法。
如果有一个二次函数y = ax² + bx + c ，要让y 有最值，那就得看看它的判别式Δ = b² - 4ac 。
这就好像是给这个函数做了一次“体检”，通过“体检报告”就能知道它的最值情况啦！还有啊，均值不等式法也很厉害哟！比如说，有两个正数a 和b ，它们的算术平均数大于等于几何平均数，也就是(a + b) / 2 ≥ √(ab) 。
这就好像是两个小伙伴在比赛，总有一个更厉害的规则在限制着他们，从而能找到最值。
还有一个特别实用的方法，就是几何法。
就像在一个三角形里，两边之和一定大于第三边，通过这个规则就能找到某些线段长度的最值啦。
有一次，我和同桌为了一道最值问题争得面红耳赤。
我说用配方法，他非说用判别式法，最后我们一起请教了老师，老师耐心地给我们讲解，这才发现两种方法都能做出来，只是适用的情况不同。
同学们，你们说，这些方法是不是很有趣？其实呀，解决最值问题就像是一场刺激的冒险，每一种方法都是我们手中的武器，只要我们灵活运用，就能在数学的世界里披荆斩棘，找到那些隐藏的宝藏——最值！所以，让我们勇敢地面对这些最值问题，用我们的智慧和勇气去战胜它们吧！。
几何最值问题常用解法初二
几何最值问题常用解法初二几何最值问题是指在给定的几何条件下，求解出某个量的最大值或最小值。
这类问题在数学竞赛和应用问题中经常出现，对学生的综合能力和解题能力提出了要求。
下面将介绍几何最值问题常用的解法。
一、勾股定理求解最大值勾股定理是几何最值问题中应用最广泛的方法之一。
根据勾股定理，对于任意一个直角三角形，斜边的平方等于两直角边的平方和。
因此，当已知两条边的长度时，可以通过勾股定理求解另一条边的最大值或最小值。
例题1：在直角三角形ABC中，已知AB=3，BC=4，求AC的最大值。
解法：根据勾股定理，AC的平方等于AB的平方加BC的平方，即AC^2=3^2+4^2=9+16=25。
所以AC的最大值为5。
例题2：在直角三角形ABC中，已知AB=5，AC=13，求BC的最小值。
解法：根据勾股定理，BC的平方等于AC的平方减去AB的平方，即BC^2=13^2-5^2=169-25=144。
所以BC的最小值为12。
二、三角形面积法求解最大值三角形面积公式是几何最值问题中常用的方法之一。
根据三角形面积公式，三角形的面积等于底边乘以高的一半。
因此，当已知底边和高的一半时，可以通过三角形面积公式求解三角形面积的最大值或最小值。
例题3：已知一个三角形的底边长是6，高的一半是5，求这个三角形的最大面积。
解法：根据三角形面积公式，三角形的面积等于底边乘以高的一半，即面积=6*5=30。
所以这个三角形的最大面积是30。
例题4：已知一个三角形的底边长是10，面积是24，求这个三角形的最小高。
解法：根据三角形面积公式，三角形的面积等于底边乘以高的一半，即24=10*高/2，解得高=4.8。
所以这个三角形的最小高是4.8。
三、相似三角形属性求解最大值相似三角形属性是几何最值问题中常用的方法之一。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形的边长之比等于对应边的比值，面积之比等于对应边长的平方的比值。
例题5：已知两个相似三角形的面积分别是16和25，求这两个相似三角形的边长之比。
初三最值问题的常用解法及模型
初三最值问题的常用解法及模型一、引言初三数学中最值问题一直是学生们头疼的难题。
最值问题不仅仅是考察学生对知识点的掌握程度，更重要的是考验学生解决实际问题和推理的能力。
在本文中，我们将探讨初三数学中最值问题的常用解法及模型，帮助学生们更好地理解和应对这一难点。
二、常用解法1. 图形法最值问题常常可以通过图形法来解决。
给定一个函数y = f(x)，可以通过画出其图像，然后找出函数的极值点来求解最值问题。
通过观察图像的特点，我们可以更直观地理解函数的最值点在何处，从而得到更准确的解。
2. 性质法有些最值问题可以通过利用函数的性质来解决。
关于一元二次函数的最值问题，我们可以通过一元二次函数的性质，如开口方向、顶点位置等来推导出最值点的位置，从而得到解的方法。
3. 等式法有些最值问题可以通过建立方程或不等式来解决。
通过建立关于未知数的方程或者不等式，我们可以将最值问题转化为解方程或解不等式的问题，从而得到最值点的位置。
三、常用模型1. 长方形面积最大问题给定一段定长的绳子，用这段绳子围成一个长方形，求这个长方形的面积最大是一个最值问题。
通过建立关于长方形面积的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解长方形面积最大问题。
2. 等边三角形周长最小问题给定一个定长的线段，求能够围成等边三角形的线段最小是一个常见的最值问题。
通过建立关于等边三角形周长的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解等边三角形周长最小问题。
3. 盒子体积最大问题给定一定面积的纸张，通过剪切和折叠，能够制成一个盒子，求使得盒子体积最大的折法是一个典型的最值问题。
通过建立关于盒子体积的函数，然后利用导数的性质找出函数的最值点，从而求解盒子体积最大问题。
四、个人观点和理解最值问题在初三数学中是一个重要的难点，但也是一个可以锻炼学生逻辑思维能力和数学推理能力的好机会。
通过多维度的解法和模型，学生们可以更好地理解和掌握最值问题的解法，并且能够将数学知识与实际问题相结合，培养出更强的数学建模能力。
初中数学常见8种最值问题
的方程 3 B.初中数学常见8种最值问题最值问题，也就是最大值和最小值问题.它是初中数学竞赛中的常见问题. 这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度.本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考.一. 配方法例 1. （2005 年全国初中数学联赛武汉 CASIO 杯选拔赛）可取得的最小值为.解：原式 由此可知，当时，有最小值 .二. 设参数法例 2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足 .则 的最大值为.解：设 ，易知,由，得从而，.由此可知，是关于 t 的两个实根.于是，有,解得.故的最大值为 2.例 3. （2004 年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（ ）A. C.D. 6取得最小值 .故选（B ）.解：设 ，则从而可知，当时，解：由 得解得由是非负实数，得 , 解得又 ，故， 三. 选主元法例 4. （2004 年全国初中数学竞赛） 实数满足.则 z 的最大值是.解：由 得.代入 消去 y 并整理成以为主元的二次方程，由 x 为实数，则判别式 . 即 ，整理得 解得 .所以，z 的最大值是 .四. 夹逼法例 5. （2003 年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足.设，记 为 m 的最小值，y 为 m 的最大值.则.五. 构造方程法例 6. （2000 年山东省初中数学竞赛）.于是，因此.已知矩形 A 的边长为 a 和 b ，如果总有另一矩形 B 使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于 k ，试求 k 的最小值.解：设矩形 B 的边长为 x 和 y ，由题设可得 .从而x 和y 可以看作是关于t 的一元二次方程 的两个实数 根，则 ,因为 ，所以 ，解得,所以 k 的最小值是.六. 由某字母所取的最值确定代数式的最值例 7. （2006 年全国初中数学竞赛）已知为整数，且.若，则的最大值为.解：由得，代入得.而由和可知的整数.所以，当时，取得最大值，为.七. 借助几何图形法例 8. （2004 年四川省初中数学联赛）函数的最小值是.解：显然，若，则.因而，当取最小值时，必然有. 如图1，作线段AB=4，，且AC=1，BD=2.对于AB 上的任一点O，令OA=x，则.那么，问题转化为在 AB 上求一点 O，使 OC+OD 最小.图 1设点 C 关于 AB 的对称点为 E，则 DE 与 AB 的交点即为点 O，此时，.作 EF//AB 与DB 的延长线交于 F.在中，易知，所以，.因此，函数的最小值为5.八. 比较法例 9. （2002 年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包天完成，需付180000 元；由乙、丙两队承包天完成，需付150000 元；由甲、丙两队承包天完成，需付160000 元. 现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解：设甲、乙、丙单独承包各需天完成，则解得又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付元，则解得于是，由甲队单独承包，费用是（元）；由乙队单独承包，费用是（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少.。
初中线段最值问题的常用解法
初中线段最值问题的常用解法初中线段最值问题可以通过几种常用解法来解决，其中包括暴力法、排序法、差分法、前缀和法和优先队列法等。
下面将逐一介绍这些常用解法。
一、暴力法：暴力法是最简单直接的解法，通过计算所有可能的情况，找到线段的最大最小值。
具体步骤如下：1.遍历线段的所有可能点对，计算它们之间的长度，并根据需求记录最大值或最小值。
2.对于含有n个点的线段，总共有C(n, 2) = n(n-1)/2个点对，因此时间复杂度为O(n^2)。
二、排序法：排序法首先将线段的所有点按照坐标大小进行排序，然后在有序的序列中找到最大最小值。
具体步骤如下：1.将线段的所有点按照坐标大小进行排序，可使用快速排序或归并排序等算法。
2.排序后的序列中，最小值为第一个点的坐标，最大值为最后一个点的坐标。
3.时间复杂度主要花在排序过程上，一般为O(nlogn)。
三、差分法：差分法是一种巧妙的解法，通过对坐标进行映射，将求最大最小值的问题转化为求差分数组的最大最小值。
具体步骤如下：1.首先对坐标进行离散化处理，将所有的线段点映射到一个连续段上，每个点的映射值对应它在离散化后的序列中的位置。
2.创建一个差分数组，将映射后的位置上的数值标记为1，其他位置上的值为0。
3.对差分数组进行前缀和处理，得到一个前缀和数组。
4.判断差分数组的最小值和最大值所对应的位置，即为原线段的最小值和最大值在映射后的序列中的位置。
5.根据离散化的映射关系，可将得到的位置映射回原线段上。
6.时间复杂度为O(n)。
四、前缀和法：前缀和法是一种相对简单高效的解法，通过对坐标进行前缀和处理，快速计算出每个位置的前缀和值，从而得到最值。
具体步骤如下：1.先计算出原始线段上每个点的前缀和，得到一个前缀和数组。
2.通过计算前缀和数组的差分，得到一个差分数组。
3.对差分数组求前缀和，得到一个二次前缀和数组。
4.遍历二次前缀和数组，记录最大最小值所对应的位置。
5.时间复杂度为O(n)。
初中最值问题的常用解法
初中最值问题的常用解法(重庆北碚西南师范大学附属中学 400700) 张珍俊 最值问题是一个古老而又崭新的课题,它渗透到代数、几何、三角、不等式等各个学科领域,随着数学内容的不断深化,解最值问题的方法也愈加丰富.这类题不仅涉及面广,而且蕴涵着丰富的数学思想和方法.本文介绍一些常见的方法.1 配方法将代数式配成平方和的形式,利用平方是非负数这一特点而求其最值,但应注意能否同时取得最值.例1 求实数x,y的值,使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值.分析:对于多元函数,可选定其中一个作为主元来进行配方.解:原式=5x2+6x y+3y2-30x-20y+46=5x2+(6y-30)x+3y2-20y+46=5[x2+6y-305x+(3y-155)2]-(3y-155)2+3y2-20y+46=5(x+35y-3)2+65(y-56)2+16当x+35y-3=0y-56=0即x=52,y=56时原式有最小值1 6 .例2 设x∈R+,求函数y=x2-x+1 x的最小值.解:原式=(x-1)2+(x-1x)2+ 1当x=1x=1x即x=1时有最小值1. 2 消元法对于多元函数,可选择其中一个作为主元,设法消去另外的变量,从而转化为一元函数.消元法是解决多元函数的一个重要方法,但应注意自变量取值范围.例3 已知x、y、z为实数,且x+2y-z =6,x-y+2z=3,求S=x2+y2+z2的最小值.分析:在S中有三个变量,可通过消元法消去两个变量.解:由已知可得y=5一x,z=4-x,则S=x2+(5-x)2+(4-x)2=3(x-3)2+14.故当x=3时S有最小值14.例4 若a、c、d是整数,b是正整数,且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,求a+b+ c+d的最大值.分析:由于b是正整数,可考虑以b为主元,设法消去a、c、d.解:由已知得c-a=b,d-c=b,c+ d-a=0解得a=-3b,c=-2b,d=-b故a+b+c+d=-5b≤-5,故b=1时,a+b+c+d有最大值- 5.3 构造法有些最值题目的已知条件与未知条件之间的关系比较隐蔽,需要通过构造搭建桥梁,使问题解决的途径明朗化,具体说来,构造的方法有数数联想构造,有形形联想构造,还有数形联想构造等.例5 设x、y是实数,且x2+x y+y2= 3,求x2-x y+y2的最值.解:设x2-x y+y2=m,又x2+x y+y2=3解得x+y=±9-m2,x y=3-m2则x,y是方程t2±9-m2t+3-m2=0的两个实根.从而有Δ=(±9-m2)2-43-m2≥解得m≥1,又9-m2≥0,即m≤9,则1≤m≤9.故m的最小值为1,最大值为9.例6 设a、b、c、d、e是实数,且a+b+ c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,求e的最大值.解:由已知得a+b+c+d-8-e,得a2+b2+c2+d2=16-e2令f(x)=4x2-2(a+b+c+d)x+ (a2+b2+c2+d2)==(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+ (x-d)2≥0另一方面,二次项系数为4,有Δ≤0解得0≤e≤165,所以e的最大值为165.例7 求函数y=x2-4x+8+ x2+2x+2的最小值.解:原式=(x-2)2+22+ (x+1)2+ 1.它表示点A(x,0)到点B(2,2),C(-1,1)的距离之和,原题转化为在x轴上找一点A到点B、C距离之和最小,由几何知识可得,应先求出点B关于x轴的对称点B′,,则最小值为B′C,又B′(2,—2),所以B′C= (2+1)2+(-2-1)2=32,故所求最小值为3 2.4 数形结合法所谓数形结合就是根据问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决.图1例8 当a取遍0到5的所有实数值时,求满足3b=a(3a-8)的整数b的个数.分析:由3b=a(3a-8),有b=a2-83a.这是一个二次函数,其图象是一条抛物线,当a取遍0到5的所有实数时,求整数b的个数就是求b的最大值与最小值之间的整数的个数.解:先作出b=a2-83a的图象(注意0≤a≤5).由图象知,在0≤a≤5时,b的最小值为-(-83)24=-169,b的最大值为f(5)= 353.在-169与353之间共有13个整数.故整数b 的个数为13.例9 在满足x+2y≤3,x≥0,y≥0的条件下,求2x+y能达到的最大值.图2解:如图2,作出直线x+2y=3,满足不等式x≥0,y≥0,x+2y≤3约束的点集是图中直线与x,y轴所围成的区域△ABO(包括边界).要求s=2x+y的最大值,把s=2x+y变形为y=-2x+s,其相应的图象是斜率为-2的平行直线束.欲求s 的最大值,转化为求平行线通过△ABO时截距的最大值,显然,当直线y=-2x+s通过A(3,0)时,截距s最大,此时s= 6.5 局部调整法(变量取整数)有些最值问题它的自变量取整数,变量呈现一定的离散状况,且不少题目中变量也不止一个,解决这类问题,普通方法不一定适合,这时可考虑局部调整法,让我们从熟悉的例题谈起.例10 已知若干个正整数之和为1976,求其乘积的最大值.解:设n个正整数x1,x2,…,x n之和为1976,即x1+x2++…+x n=1976这里的n是一个变量,这是因为题目中要求的和为1976的正整数的个数是不确定的,我们的目标是追求乘积的最大值,而不拘泥于正整数的个数n.首先,关注一个大于4的正整数,如果x1,x2,…,x n中有一个大于4,比如x j >4,把x j拆成一个2与一个x j-2的和,x j= 2+(x j+2)两个加数的乘积2(x j-2)=2x j-4=x j+*x j-4)> x j所以,第一步调整是把x1,x2,…,x n中所有大于4的数x j,通过分拆成2与x j-2,全部换成不大于4的正整数.当然,不能让拆出的数中出现1,因为这时乘积不会变大,还要注意到,如果拆出的数恰巧出现4,由于4=2+2=2×2,所以把4换成2+2时,不会使乘积变小.因此,第二步调整是把x i中所有的4全部换成2×2.经过两步调整,乘积将会变大,而且是把1976拆成若干个2与3的和.下面的注意力就放在2和3的调整上由于2+2+2=3×2,但2×2×2< 3×3这说明,在对1976的分拆中多出现3比多出现2好于是,第三步调整是把1976的分拆中,每3个2换成两个3,即让分拆中多出现 3.因为1976=658×3+2,所以经过这三步调整把1976分成658个3与1个2之和.这时乘积最大,最大值为2×3658.这道题的解题过程是一组正整数的和等于1976第一次调整大于4的数拆成2,3,4若干个2,3,4的和等于1976第二次调整4拆成2+2若干个2,3的和等于1976第三次调整3个2拆成2个3658个3与1个2的和等于1976乘积最大值2×3658.例11 已知x1,x2,…,x67是正整数,并且它们的和等于110,求x21+x22+…+x267的最大值和最小值.解:(1)设x1≤x2≤…≤x66≤x67首先,把x2,x3,…,x66冻结,只研究x1和x67,由于(x1-1)2+(x67+1)2=x21+x267+2+ 2(x67-x1)>x21+x267.这表明,如果把最小数x1减少1,而把最大数x67增加1,(这时67个正整数的和不变),它们的平方和就增大,为此我们进行这样的调整.每次把x1减少1,把减少的1加到x67上,直到x1=1为止,从而对x1调整结束.这样调整的结果是,67个正整数的和为110不变,而平方和在调整后比调整前大.再把x2解冻,对x2调整,仍然是每次把x2减少1,把x67加上1,直到x2=1为止,结束对x2的调整.如此对x3,x4,…,x66一步一步地调整下去,直到把(x1,x2,…,x66,x67)调整到(1,1,…,1,44)这时,由于1+1+…+1+44=66×1+44=110并且每调整一次,平方和就增大一次,所以,所求x 21+x 22+…+x 267的最大值为12+…+1266个+442=2002(2)求最小值若|x j -x i |≥2时,不妨设x j >x i ,则由(x j -1)2+(x i +1)2-x 2j -x 2i =2(x i -x j )+2≤-2<0知,当|x j -x i |≥2时,将大数减1,小数加1,它们的平方和减少了,因此,要使x 21+x22+…+x 267最小,这67个数中任意两个数的差的绝对值不超过1,又由于这67个数的和为110,所以只有取43个2和24个1,使x 21+x 22+…+x 267最小,最小值为43×22+24×12=196.6 排序法对于某些轮换对称式可考虑此法.例12 设x 1,x 2,x 3,x 4,x 5均为自然数,且x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=x 1x 2x 3x 4x 5,试求x 5的最大值.解:不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4≤x 5.因为x 1+x 2+x 4+x 4+x 5=x 1x 2x 3 x 4x 5所以1=1x 2x 3x 4x 5+1x 1x 3x 4x 5+1x 1x 2x 4x 5+1x 1x 2x 3x 5+1x 1x 2x 3x 4≤1x 4x 5+1x 4x 5+1x 4x 5+1x 5+1x 4=3+x 4+x 5x 4x 5于是,x 4x 5≤3+x 4+x 5从而,(x 4-1)(x 5-1)≤4若x 4=1,则x 1=x 2=x 3=x 4=1,由已知得4+x 5=x 5,矛盾.所以x 4≥2,则x 5-1≤(x 4-1)(x 5-1)≤4,x 5≤5当x 5=5时,存在x 1=x 2=x 3=1,x 4=2使等式成立.因而,x 5的最大值为 5.例13 设a ,b ,c ,a +b -c ,a +c -b ,b +c -a ,a +b +c 是7个两两不同的质数,且a ,b ,c 中有两数之和是800,设d 是这7个质数中最大数与最小数的差,求d 的最大可能值.(2001年中国数学奥林匹克竞赛题)解:不妨设a <b <c ,于是,这7个数中a 十b -c 最小,而a +b +c 最大,从而有d =(a +b +c )-(a +b -c )=2c ,问题转化为求c 的最大可能值.因为a +b -c >0,所以c <a +b <a +c <b +c 又因为a +b ,a +c ,b +c 中有一个数为800,所以c <800由于799=17×47和798都不是质数,而797为质数,故有c ≤797,d ≤1594另一方面,当a +b =800时,注意到a =5,b =795,a =7,b =793=13×61,a =11,b =789=3×263都不全是质数,从而不能满足题中要求.而a =13,b =787都是质数,这时a +b -c =3,a +c -b =23也都是质数,容易验:b +c -a =1571和a +b +c =1597也都是质数,综上可知,d 的最大可能值为1594.7 几何意义例14 设x 是实数,且f (x )=|x +1|+|x +2|+…+|x +5|,求f (x )的最小值.解:由绝对值几何意义,在数轴上画出-1、-2、-3、-4、-5对应的点分列为A 、B 、C 、D 、E ,设x 对应的点为P (如图3),则f (x )=|P A |+|PB |+|PC |+|P D |+|P E |.由几何意义,当P 在线段AE 上时|P A |+|P E |最小.图3同理,当P 在线段B D 上时|P B |+|P D |最小.向量方法在平面几何中的应用(重庆市第八中学 400030) 桂本祥 平面向量具有较强的工具性作用,向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题,还可以简洁明快地解决平面几何许多常见证明(平行、垂直、共线、相切、角相等)与求值(距离、角、比值等)问题.用向量法解决平面几何问题的一般途径是:问题条件翻译向量关系式向量运算其它向量关系式翻译问题结论向量法应用于平面几何中时,它是数学中的数与形完美结合,能使平面几何许多问题代数化,程序化,从而得到更有效的解决.1 利用两个非零向量a、b共线的充要条件a =λb(其中λ是实数),解决与“平行或共线”有关的问题. 例1 如图1,一直线割△O AB的三边O A、AB、BO所在直线分别交于点R、S、T,求证:ORR AASSBB TTO=- 1.分析:点A、S、T分OR,AB,TR,BO的比为λ,m,n,u设OR=a,OB=b为基底向量,此定理是著名的梅涅劳斯定理,其逆定理也成立.证明:设OR=a,OB=b,O A=λa,O T= u b,A S=m AB,TS=n TR由O A+A S=OS=OB+B S=O T+ T S,所以λa+m(b-λa)=u b+n(a-u b)即λ(1-m)a+m b=u(1-n)b+n a,因为a,b不共线,所以λ(1-m)=nu(1-n)=m解得m=u(1-λ)1-λu 故ORR AASSBB TTO=-11-λm1-m1-uu=- 1. 当P与C点重合时,|PC|最小.故当P与C重合时,f(x)最小,易得最小值为6.推广到一般:设a1<a2<a3<…<a n,求f(x)=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-a n|的最小值.答案:当n为偶数且a n2≤x≤a n2+1时f(x)有最小值a n+12+1+…+a n-(a1+a2+…+a n-12).8 归纳法指由特殊情形结论的形式,归纳出一般情况的结论形式,这种方法有助于培养对新问题的探索能力的提高.例15 已知正数a1,a2,…,a n;b1,b2,…,b n 满足a21+a22+…+a2n=b21+b22+…+b2n= 1,求F=min{a1b1,a2b2,a nb n}的最大值.解:易知,当所有的字母都相等时,F的值为1.下面证明:对于任意正数a1,a2,…,a n;b1, b2,…,b n均有F≤1若不然,则F>1,故a1b1>1a2b2>1,…,a nb n>1即有a21>b21,a22>b22,a2n>b2n于是a21+a22+…+a2n>b21+b22+…+ b2n,与题设矛盾,故F的最大值为 1.。
求最值问题的6种解法
求最值问题的6种解法
最值问题是指在一组给定的值中，找出最大值或最小值的问题。
以下是六种常见的解决最值问题的方法：
1. 线性搜索：遍历给定的值，通过比较每个值与当前最值的大小来更新最值。
这种方法简单直接，但效率较低，适用于数据量较小的情况。
2. 排序法：将给定的值进行排序，然后取第一个或最后一个值作为最值。
这种方法的时间复杂度主要依赖于排序算法，适用于需要找到多个最值的情况。
3. 分治法：将给定的值划分成多个子问题，递归地求解每个子问题的最值，然后将子问题的最值合并得到整体的最值。
这种方法适用于问题可以分解成若干小规模相同结构的子问题的情况。
4. 动态规划：根据问题的特点，定义状态和状态转移方程，利用动态规划的思想求解最值问题。
动态规划通常需要使用一个表格来记录中间结果，以减少重复计算。
这种方法适用于问题具有最优子结构和重叠子问题性质的情况。
5. 贪心法：根据局部最优的选择策略，逐步构建全局最优解。
贪心法通常不保证得到全局最优解，但在一些特定问题上表现良好，并且具有较高的执行效率。
6. 深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）：对于给定的值构成的图或树结构，通过搜索遍历所有可能的路径或状态，
找到满足最值条件的路径或状态。
这种方法适用于问题可以抽象成图或树结构的情况。
根据具体问题的特点，选择合适的解法可以提高求解最值问题的效率和准确性。
初中几何最值问题的常用解法
初中几何最值问题的常用解法
初中几何最值问题的常用解法有以下几种：
1. 利用图形的性质和特点：根据所给的几何图形，利用其性质和特点推导出最值问题的解答。
例如，利用等腰三角形的性质，可以求解最短路径问题；利用圆的性质，可以求出最大面积问题等。
2. 利用相似三角形：当给定的几何图形不易直接求解时，可以通过构建相似三角形来求解最值问题。
通过建立相似三角形的比较关系，可以求得所需的未知数，并得到最值问题的解答。
3. 利用变量法：将所给的几何图形进行变量代换，将问题转化为代数问题。
通过对新的代数表达式进行求导或求极值的方法，可以求解最值问题。
4. 利用平面几何基本定理：平面几何基本定理是初中几何学中的核心理论，其中包括了如角等分线定理、平行线性质定理、正弦定理、余弦定理等。
利用这些定理，可以有效地解决几何最值问题。
总之，初中几何最值问题的解决方法需要深入理解几何图形的性质和运用几何定理，同时也需要灵活运用代数方法和应用数学思维来解决问题。
最值问题的常用解法
最值问题的常用解法
在研究数学时，函数的极值与最值问题是非常值得注意的，两者是数学中函数性态中相对比较重要的一部分。
在实际生产和日常生活中也是应用相对广泛，常常能在最大化、最小化问题中遇到极值与最值的应用实例，最值问题的常用解法有：
1.配方法：用于二次函数及二次方程的最值求解。
2.单调性法：利用函数单调性求最值。
3.均值不等式法：利用均值不等式求最值。
4.导数法：用于求函数单调区间及极值。
5.判别式法：主要用于二次方程根的分布问题。
6.三角函数有界性：利用三角函数的有界性来求最值。
7.数形结合图象法：通过将问题与图形相结合来求解。
最值问题的几种解法
最值问题的几种解法舞钢市二中 贾彩霞 邮编 462500初中数学中,不论是中考还是竞赛,"最值"问题都是每年必考的内容.纵观近几年的数学竞赛,"最值"问题不仅出现在解答题中,而且在填空、选择题中也多有涉及,可以说成为了每年竞赛的热点内容.反观近几年的中考,也几乎每年必考.下面笔者就十多年数学教学中所遇到的"最值"问题的常见类型和方法介绍如下:一、 构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解决往往离不开函数。
【例1】已知：ｘ、ｙ、ｚ为实数，且满足⎩⎨⎧=+-=-+3262z y x z y x 那么ｘ2＋ｙ2＋ｚ2的最小值是多少？解：设ｗ＝ｘ2＋ｙ2＋ｚ2由已知：⎩⎨⎧-=-=x y x z 54 代入ｗ中得： ｗ＝３ｘ２－18ｘ＋41＝3（ｘ－3）2＋14故当ｘ＝3时，ｗ取最小值14。
二、构造三角形法【例4】函数106422+-++=x x x y 的最小值为 （ ） A ．102+ B ．113+ C ．23 D ．62解：答案选Ｃ 分析：将原函数式化为22221)3(2+-++=x x y 可见ｙ可以看作是两个直角三角形的斜边的和，于是构造Rt △OAM, Rt △BCM,使OA=2,OM=x,BC=1,BM=3-x （如图），则 ∣ＡＭ∣＝222+x ，∣ＣＭ∣＝221)3(+-x A ∴ｙ＝∣ＡＭ∣＋∣ＣＭ∣≥∣ＡＣ∣ 2＝223)12(++＝23 O M ， M ′ B所以，当ＡＭＣ三点共线时，有x x -=312得ｘ＝2时ｙ最小＝23 C二、构造二次方程法：【例３】已知ｘ、ｙ为实数，且满足ｘ＋ｙ＋ｍ＝5，ｘｙ＋ｙｍ＋ｍｘ＝3，求实数ｍ的最大值。
解：由条件等式得：ｘ＋ｙ＝5－ｍ，ｘ·ｙ＝3－ｍ（ｘ＋ｙ）＝3－ｍ（５－ｍ）＝ｍ2－5ｍ＋3∴ｘ、ｙ是方程ｚ2－（5－ｍ）ｚ＋（ｍ2－5ｍ＋3）＝0的两个实数根，∴△＝〔－（5－ｍ）〕2－4（ｍ2－5ｍ＋3）≥0， 即3ｍ2－10ｍ－13≤0解得：－1≤ｍ≤313∴ｍ的最大值是313三、构造方差法【例４】已知：正实数ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ满足等式ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＝8和ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋ｄ2＋ｅ2＝16，求实数ｅ的最大值。
初三最值问题的常用解法
初三最值问题，是数学中的一个重要问题。
如何求解呢？以下是一些常用的解法：
1. 配方法：通过配方将二次函数转化为顶点式，从而找到最大或最小值。
这种方法可以使我们更容易地找到函数的最值。
2. 判别式法：利用一元二次方程的判别式来判断函数的最大值或最小值。
这种方法需要一定的计算能力，但可以解决一些比较复杂的问题。
3. 均值不等式法：利用均值不等式求出函数的最小值。
这种方法需要一定的技巧，但可以在一些特定的问题上非常有效。
4. 利用函数的增减性：通过判断函数的增减性来求出函数的最值。
这种方法需要理解函数的单调性，但可以解决一些涉及单调性的问题。
5. 利用导数求最值：通过求导数来判断函数的单调性，从而求出最值。
这种方法需要一定的微积分知识，但可以解决一些比较复杂的问题。
无论采用哪种方法，都需要对数学概念有深刻的理解和掌握。
因此，在解决最值问题时，我们需要注重基础知识的掌握和运用。
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( 2+ 1) 2 + ( - 2 - 1) 2 = 3 2 ,故所求最
小值为 3 2 .
《数学教学通讯》 2004年 10月 (上半月 ) (总第 203期 )
4 数形结合法
所谓数形结合就是根据问题的条件和结论
之间的内在联系 ,既分析其代数含义 ,又揭示其 几 何意义 ,使数量关系和空间形式巧妙和谐地
结合起来 ,并充分利用这种“结合” ,寻找解题思
路 ,使问题得到解决 .
例 8 当 a取遍 0到 5的所有实数值时 , 求满
d - a= 0 解得 a = - 3b, c = - 2b, d = - b 故 a+ b+ c+ d = - 5b≤ - 5,故 b = 1
时 , a+ b + c + d 有最大值 - 5.
3 构造法
有些最值题目的已知条件与未知条件之间 的关系比较隐蔽 ,需要通过构造搭建桥梁 ,使问 题解决的途径明朗化 ,具体说来 ,构造的方法有 数数联想构造 ,有形形联想构造 ,还有数形联想
x
2 1
+
x
2 2
+
…+
x
2 67
的
最
大值和最小值 .
解: ( 1) 设 x 1 ≤ x 2 ≤ … ≤ x66 ≤ x 67
首先 ,把 x2 , x 3 ,… , x 66 冻结 ,只研究 x 1 和
x 67 ,由于
( x1 - 1) 2 +
( x67 +
1) 2 = x21 +
x
2 67
+
2+
2( x 67 - x 1 ) > x21 + x 267.
A ( 3, 0) 时 ,截距 s最大 ,此时 s = 6.
《数学教学通讯》 2004年 10月 (上半月 ) (总第 203期 )
重庆 · 41·
5 局部调整法 (变量取整数 )
有些最值问题它的自变量取整数 ,变量呈 现 一定的离散状况 ,且不少题目中变量也不止 一 个 ,解决这类问题 ,普通方法不一定适合 ,这 时 可考虑局部调整法 ,让我们从熟悉的例题谈 起.
… , 1, 44)
这时 ,由于
1+ 1+ … + 1+ 44= 66× 1+ 44= 110
并且每调整一次 ,平方和就增大一次 ,所
· 42· 重庆
以, 所求
x
2 1
+
x
2 2
+
…+
x
2 67
的
最
大
值
为
12 + … + 12 + 442 = 2002
66个
( 2) 求最小值
若 |x j - xi|≥ 2时 ,不妨设 x j > xi ,则由
110不变 ,而平方和在调整后比调整前大 .
再把 x 2 解冻 ,对 x 2 调整 ,仍然是每次把 x 2
减少 1,把 x67 加上 1,直到 x 2 = 1为止 ,结束对
x 2 的调整 .
如此对 x 3 , x 4 ,… , x 66 一步 一步地 调整 下
去 , 直到 把 ( x1 , x 2 ,… , x 66 , x67 ) 调 整到 ( 1, 1,
直线与 x , y轴所围成的
区 域 △ ABO( 包 括 边
界 ) . 要求 s = 2x + y 的
图2
最大值 ,把 s= 2x + y 变形为 y = - 2x + s,其
相应的图象是斜率为 - 2的平行直线束 .欲求 s 的最大值 ,转化为求平行线通过 △ ABO时截距 的最大值 , 显然 , 当 直线 y = - 2x + s 通 过
因此 ,第二步调整是把 xi 中所有的 4全部 换成 2× 2.
经过两步调整 ,乘积将会变大 ,而且是把 1976拆成若干个 2与 3的和 . 下面的注意力就 放在 2和 3的调整上
由于 2+ 2+ 2= 3× 2, 但 2× 2× 2 < 3× 3
这说明 ,在对 1976的分拆中多出现 3比多 出现 2好
( x j - 1) 2 +
(xi +
1) 2 -
x
2 j
-
xi2 =
2(xi -
xj ) + 2≤ - 2 < 0
知 ,当 |xj - xi|≥ 2时 ,将大数减 1,小数
加 1,它们的平方和减少了 ,因此 ,要使 x21 +
x
2 2
+
…+
x
2 67
最小
,这
67个数中任意两个数的差
的绝 对值不 超过 1, 又由于这 67个数 的和为
解: 原式 = 5x 2 + 6x y + 3y2 - 30x - 20y
+ 46 = 5x 2 + ( 6y - 30) x + 3y 2 - 20y + 46 =
5[x 2 +
6y 5
30x
+
(
3y
5
15) 2 ]
-
( 3y
5
15) 2 +
3y2 - 20y +
46 =
5( x +
3 5
y
-
3) 2 +
9
2
m
t
+
3
2
m
=
从而有 Δ= (±
9
2
m
)
2
-
4
3
2
m≥
0
解得
m≥
1 ,又
9
2
m
≥
0,即
m≤
9, 则
1≤ m ≤ 9.
故 m 的最小值为 1,最大值为 9.
例 6 设 a、b、c、 d、e 是实数 , 且 a + b+
c+ d + e = 8, a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = 16,
2( x j - 2) = 2xj - 4= x j + * x j - 4) >
xj 所以 ,第一步调整是把 x 1 , x2 ,… , xn 中所有
大于 4的数 x j ,通过分拆成 2与 x j - 2,全部换 成不大于 4的正整数 .
当然 ,不能让拆出的数中出现 1,因为这时 乘积不会变大 ,还要注意到 ,如果拆出的数恰巧 出现 4,由于 4= 2+ 2= 2× 2,所以把 4换成 2+ 2时 ,不会使乘积变小 .
6 5
(
y
-
5 6
)
2
+
1 6
x+ 当
y-
3 5
y
-
3=
0 即 x=
5 6
=
0
5 2
,
y=
5 6
时原式有最小值
1 6
.
例 2 设 x ∈ R+ ,求函数 y = x 2 - x +
1 x
的最小值 .
解: 原式 = (x - 1)2+ ( x - 1 )2+ x
1
x= 1 当 x=
2 消元法
1 即 x = 1时有最小值 1. x
《数学教学通讯》 2004年 10月 (上半月 ) (总第 203期 )
重庆 · 39·
初中最值问题的常用解法
(重庆北碚 西南师范大学附属中学 400700) 张珍俊
最值问题是一个古老而又崭新的课题 ,它 渗 透到代数、几何、三角、不等式等各个学科领 域 ,随着数学内容的不断深化 ,解最值问题的方 法也愈加丰富 .这类题不仅涉及面广 ,而且蕴涵 着 丰富的数学思想和方法 .本文介绍一些常见 的方法 .
求 e 的最大值 .
解: 由已知得 a + b+ c + d - 8 - e,
得 a2 + b2 + c2 + d2 = 16 - e2
令 f ( x ) = 4x2 - 2( a + b+ c + d ) x +
( a2 + b2 + c2 + d2 ) =
= (x - a )2 + (x - b)2 + (x - c)2+
例 10 已知若干个正整数之和为 1976,求 其乘积的最大值 .
解: 设 n 个 正 整 数 x1 , x 2 ,… , xn 之 和 为 1976 ,即
x 1 + x 2 + + … + xn = 1976 这里的 n 是一个变量 ,这是因为题目中要 求的和为 1976的正整数的个数是不确定的 ,我 们 的目标是追求乘积的最大值 ,而不拘泥于正 整数的个数 n. 首先 ,关注一个大于 4的正整数 , 如果 x 1 , x 2 ,… , xn 中有一个大于 4,比如 xj > 4,把 x j 拆成一个 2与一个 xj - 2的和 , x j = 2+ ( x j + 2) 两个加数的乘积
于是 ,第三步调整是把 1976的分拆中 ,每 3
个 2换成两个 3, 即让分 拆中多出现 3. 因为 1976= 658× 3+ 2,所以经过这三步调整把 1976分成 658个 3与 1个 2之和 .