高中数学几种常见的数列递推关系式专题辅导

高中数学几种常见的数列递推关系式

数列的递推关系是指数列中的前一项（前几项）与后一项的关系式。递推数列是数列中的重要内容，通过递推关系，观察，探求数列的规律，进而可求出整个数列的通项公式。通过递推关系的学习，可以培养学生的观察能力，归纳与转化能力，综合运用知识等能力，因此，是近几年高考与竞赛的热点。

下面针对几种高中常见的递推形式及处理方法做一总结。 一. 定义法

常见形式：

已知：a a a a d n n 11==++， ① 或a a a a q n n 110=≠=+，

②

（其中，d 常数，q ≠0为常数）

定义法即高中所学的两大基本数列——等差数列与等比数列的基本定义式。

已知首项，与递推关系，数列的通项即知，在此不做赘述。但这两个基本数列的求通项公式的方法在后续学习中，在方法上起到了指导作用。即我们下面要介绍的方法。

二. 迭代法

常见形式：已知

a a a a f n n n 110=≠=++，()

③

或a a a a f n f n n n 110=≠=+，，()()不恒为零

④

（这里的f n ()是关于n 的关系式）。

这两个形式的递推关系式，虽然不是等差与等比数列，但表达方式上非常接近。我们可以利用迭代的方法来求出通项a n 也可以分别称为叠加法和叠乘法。 如：③a a f 211-=() a a f 322-=()

……

a a f n n n N n n -=-≥∈-112()()*，

将以上n -1个式子叠加，可得

a a f f f n n n N n -=+++-≥∈11212()()()()*…，

这里，我们只须已知数列的首项a 1利用求和求出上述等式右端的和，即可求出数列

{}a n 的通项公式来。

如：④的具体例子：

例1. （2020年东北三省三校一模试题21）已知数列{}a n ，S n 是数列的前n 项和，

a S n

a n n 212

==

，。求S n 。 解：因为S n

S S n n N n n n =-≥∈-2

21()()*，

所以n S n S n n 22

21-=-

S S n

n n n N n n -=

-≥∈123()*， S S S S S S S S n n n

n n n N n n n n 3243121314253641323·…····…

·，---=---≥∈()*

即

S S n n n 212

=

-()

S n n n n N n =

-≥∈()

()*12

3， 经验证，n =12，也适合上式。

所以，S n n n N n =-∈()

()*12

三. 构造法

常见形式：已知a a a pa q n n 110=≠=++，，（p ，q 为常数，p p q ≠≠≠010，，）

⑤

1. 利用递推式构造法

构造新数列，转化到常用形式①或②，即基本数列定义式。

a pa q a pa q n n N n n n n +-=+=+≥∈112（，）*

两式相减，得

a a p a a n n N n n n n +--=-≥∈112()()*，，

其实，a a a a n n n n ----11与不正是一个数列的前后两项吗？所以，构造一个新的等比数列{}a a n n --1，这个数列的首项是a a 21-，公比是p 。因为各项是差的形式，利用等比数列求和公式，即可求出通项公式。

a a a a a a a a a a p p

n n N n n n 2132431

211112-+-+-++-=---≥∈--……，()()()*

a a a a p p

n N n n =+

---∈-121111()()

()* 2. 利用不动点构造法

利用函数不动点的方法。a pa q n n +=+1（p ，q 为常数，p p q ≠≠≠010，，）其实是一个函数关系y px q =+。利用函数不动点的特点，解方程f x x ()=，即px q x +=，解得

x q

p =

-1，通过这个不动点，易构造新的等比数列：

a q p p a q p a q p a q p p n n n n +--

-=--⎛⎝

⎫⎭⎪=

-+--⎛⎝ ⎫⎭

⎪111

1111

3. 利用待定系数构造法

若通过观察，对常数q 适当的拆分，即可以构造新数列，那么也可以用先猜想后待定的办法确定出新数列来。

设递推关系式可化为：a t p a t n n +-=-1()可解出t p =-1

1。

以上三种构造法，可以用来解决很多问题。

如：常见形式：a pa q n n n +=+1（p ，q 为常数，p p q ≠≠≠010，，）

⑥

可以用方法三（1），两边同时除以q n -1，得

a q p q

a q q n

n n n ++=+111

·即转化到常见形式⑤来处理。

或者利用待定系数法，但对q n 适当的拆分不能当成常数进行拆分，须要考虑到与项数的关系：a tq p a tq n n n n ++-=-11()，然后同样的方法，解出系数t p q n

=

-1

1()。

（当然，递推关系的证明题是可以用数学归纳法来证明的）

又如：常见形式：a pa qa p q p q n n n ++=+≠≠2100()，为常数，，

⑦

这是连续三项的递推关系，利用a n +1的前后关联性，进行构造新数列，不妨采用待定

系数法。

a a a a n n n n +++-=-111αβα() 即a a a n n n ++=+-21()αβαβ

这时，我们只须令αβαβ+=-=p q ， 不难解出α，β构成新数列

再如：例2. 已知：数列{}a a a a a n n n n ，，11226

1

==

+++，这道题目，不方便观察与待

定系数，我们仍可以用函数不动点思想来解决。设函数y x x =++261，解方程26

1

x x x ++=，解得x =-2或x =3，所以原数列递推关系，可化为：

()()()()()()()a a t a a t a a t a t a t n n n n n n n n ++++-+=-+--++++-=1111323213223660

即

解：通过原式，解出t =-1

4

进而，可构造出等比数列a a n n -+⎧⎨⎩⎫⎬⎭

32，公比为-1

4。

进而，可构造出等比数列a a n n -+⎧⎨⎩⎫⎬⎭

32，公比为-1

4。

四. 换元法

例3. 已知数列{}a a a a n n N n n n ，，，11222==+≥∈-()*，求数列{}a n 的通项公式。

解：通过计算a a a 234，，等，观察出数列{}a n 的极限是2 所以用不动点方法解2+=x x 解得x x ==-21或均不合题意。

用数学归纳法不难证出刚才的猜想：02<<∈a n N n ()*

根据三角函数的有界性，不妨设a n n n =<<⎛

⎝ ⎫⎭

⎪202cos θθπ，代入原递推关系

2222211

cos cos cos θθθn n n =+=--

得到，另一组递推关系：θθn n =

-1

2

所以，{}θn 是一个以π

4

为首项，以12为公比的等比数列，θππ

n n n =⎛⎝ ⎫⎭⎪

=

-+41221

1

·

故a n n =+22

1

cos π