【精准解析】湖南省长沙市雅礼教育集团2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题
2024届湖南省长沙市雅礼教育集团数学高一下期末经典试题含解析
2024届湖南省长沙市雅礼教育集团数学高一下期末经典试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．方程tan 2x =的解集为（ ） A ．{}|2πarctan 2,x x k k =+∈Z B ．{}|2πarctan 2,x x k k =±∈Z C ．{}|πarctan 2,x x k k =+∈Z D ．(){}|π1arctan 2,kx x k k =+-∈Z2．若(3,1),(1,),2a b t a b a =-=+⊥（），则t =（） A ．32B ．23C ．14D ．133．设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A ．0PA PB += B ．0PC PA +=C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++= 4．已知集合A ＝｛x ｜0≤x≤3｝，B ＝｛x R ｜－2＜x ＜2｝则A ∩B =( ) A ．{0,1}B ．{1}C ．[0,1]D ．[0,2)5．在ABC ∆中，三个内角成等差数列是60B ∠=︒的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件6．已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为 A ．5B ．4C ．2D ．17．从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．238．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若::4:3:2a b c =，则2sin sin sin 2A BC-=（ ）A ．37B ．57C ．97D ．1079．半径为1cm ，中心角为150的弧长为（ ） A ．23cm B ．23cm π C ．56cmD ．56cm π 10．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
湖南省名校2019-2020学年高一下期末学业水平测试数学试题含解析
湖南省名校2019-2020学年高一下期末学业水平测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．()f x 为奇函数，当0x >时，()()arccos sin f x x π=-则0x <时，()f x =A ．()arccos sin xB ．()arccos sin x π+C ．()arccos sin x -D ．()arccos sin x π--【答案】C【解析】【分析】利用奇函数的定义，结合反三角函数，即可得出结论．【详解】 ()sin x sinx -=-()()()arccos sin arccos ,x sinx ππ∴--=--又()arccos arccos απα-=-，()()()arccos sin arccos x sinx ππ∴--=--()()()arccos arccos ,sinx sinx ππ=--=0x ∴<时，0x ->，()()()()()arccos sin arccos ,f x f x x sinx π-=-=--=()arccos(sin )f x x ∴=-故选：C ．【点睛】本题考查奇函数的定义、反三角函数，考查学生的计算能力，属于中档题．2．如图，各棱长均为a 的正三棱柱111ABC A B C -，M 、N 分别为线段1A B 、1B C 上的动点，且MN ∥平面11ACC A ，M ，N 中点S 轨迹长度为3，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为（ ）A ．3B ．233C ．3D ．23【答案】D【解析】【分析】 设111,,AA BB CC 的中点分别为,,D E F ，判断出MN 中点S 的轨迹是等边三角形DEF 的高，由此计算出正三棱柱的边长，进而计算出正三棱柱的体积.【详解】设111,,AA BB CC 的中点分别为,,D E F ，连接1,,,DE EF FD AC .由于//MN 平面11ACC A ，所以1A M CN =.当10A M CN ==时，MN 中点S 为平面11ACC A 的中心，即1A C 的中点（设为G 点）处.当12AM CN a ==时，此时MN 的中点S 为1BB 的中点.所以S 点的轨迹是三角形DEF 的高EG .由于三角形DEF 是等边三角形，而3EG =，所以2a =.故正三棱柱111ABC A B C -的体积为232223⨯⨯=. 故选：D【点睛】本小题主要考查线面平行的有关性质，考查棱柱的体积计算，考查空间想象能力，考查分析与解决问题的能力，属于中档题.3．已知函数()x f x e x =+，()ln g x x x =+，()h x x x =的零点分别为a ，b ，c ，则（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a c b >> 【答案】B【解析】【分析】 a ，b ，c 分别为()0f x =，()0g x =，()0h x =的根，作出x y e =，y lnx =，y x =y x =-，观察交点的横坐标的大小关系．【详解】由题意可得a ，b ，c 分别为()0f x =，()0g x =，()0h x =的根，作出x y e =，y lnx =，y x =,的图象,与直线y x =-的交点的横坐标分别为a ，b ，c ，由图象可得a c b <<，故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数的图象，数形结合思想，属于中档题． 4．在△ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，则AD =A ．14AB +34AC B ．34AB +14AC C ．13AB +23ACD ．23AB +13AC 【答案】C【解析】【分析】根据向量减法和2BD DC =用,AB AC 表示BD ，再根据向量加法用,AB BD 表示AD .【详解】如图：因为22,()33BC AC AB BD BC AC AB =-==-， 所以212()333AD AB BD AB AC AB AB AC =+=+-=+， 故选C.【点睛】本题考查向量几何运算的加减法，结合图形求解.5．如图是棱长为a 的正方体的平面展开图，则在这个正方体中直线, MN EF 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 【答案】C【解析】【分析】根据异面直线所成的角的定义，先作其中一条的平行线，作出异面直线所成的角，然后求解.【详解】 如图所示：在正方体中，//MN EG ，所以FEG ∠直线, MN EF 所成角，由正方体的性质，知EF EG FG ==，所以3FEG π∠=.故选：C【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，还考查了推理论证的能力，属于基础题.6．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平衡6π个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 1B ．函数()g x 的最小正周期为2πC ．函数()g x 的图象关于直线3x π=-对称 D ．函数()g x 在区间2[,]3ππ上单调递增 【答案】C【解析】【分析】根据函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得到g （x ）的解析式，再利用正弦函数的图象性质，得出结论．【详解】 将函数()226f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得y ＝2sin （2x 6π-）的图象， 再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）＝2sin （x 6π-）的图象， 故g （x ）的最大值为2，故A 错误；显然，g （x ）的最小正周期为2π，故B 错误； 当3x π=-时，g （x ）＝2-，是最小值，故函数g （x ）的图象关于直线3x π=-对称，故C 正确； 在区间2[,]3ππ上，x 6π-∈[2π，56π]，函数g （x ）＝2sin （x 6π-）单调递减，故D 错误， 故选：C ．【点睛】 本题主要考查函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象性质应用，属于基础题．7．若001a b ><<，，则2a ab ab ，，的大小关系为 A ．2a ab ab >>B ．2a ab ab <<C ．2ab a ab >>D ．2ab ab a >>【答案】A【解析】【分析】利用作差比较法判断得解.【详解】①()21ab ab ab b -=-，∵001a b ><<，， ∴20ab ab ->，故2ab ab >.②∵001a b ><<，， ∴(1)0a ab a b -=->，所以a ＞ab.综上2a ab ab >>，故选A.【点睛】本题主要考查作差比较法比较实数的大小，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 8．sin 45sin 75sin 45sin15+=（ ）A ．0B ．12 CD ．1【答案】C【解析】试题分析：sin 45sin 75sin 45sin15+=7sin sin sin sin sin cos cos sin sin()sin 4124124124124123πππππππππππ+=+=+== 考点：两角和正弦公式9．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*212,21,n n a a S n n N +==++∈若对任意的*n N ∈，123111120nn a n a n a n a λ++++-≥++++恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】【分析】由()2*212,21n n a a S n n N +==++∈得到a n =n ，任意的*n N ∈，123111120n n a n a n a n a λ++++-≥++++恒成立等价于11112123n n n n n λ++++≥++++，利用作差法求出1111g 1232n n n n n =++++++++的最小值即可. 【详解】 当n=1时，221211a S =++，又22a =，∴11a = ∵a n+12=2S n +n+1，∴当n≥2时，a n 2=2S n ﹣1+n ，两式相减可得：a n+12﹣a n 2=2a n +1，∴a n+12=（a n +1）2，∵数列{a n }是各项均为正数的数列，∴a n+1=a n +1，即a n+1﹣a n =1，显然n=1时，适合上式∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为1．∴a n =1+（n ﹣1）=n ．任意的*n N ∈，123111120nn a n a n a n a λ++++-≥++++恒成立， 即11112123nn n n n λ++++≥++++恒成立 记1111g 123n n n n n n =++++++++ 111111111g 1g 23n 12123n n n n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-=+++++-++++ ⎪ ⎪+++++++++++⎝⎭⎝⎭， 1111121101212122222122n n n n n n n n n n =+-=+-=-++++++++++＞， ∴g n 为单调增数列，即g n 的最小值为1g12= ∴122λ≥，即14λ≤ 故选C【点睛】已知n S 求n a 的一般步骤：（1）当1n =时，由11a S =求1a 的值；（2）当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式；（3）检验1a 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示n a ；（4）写出n a 的完整表达式.10．给出下列四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③若直线,,a b c 满足a b b c ⊥∥，，则a c ⊥；④若直线1l ，2l 是异面直线，则与1l ，2l 都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】利用空间直线的位置关系逐一分析判断得解.【详解】①为假命题.可举反例，如a ，b ，c 三条直线两两垂直；②平行于同一条直线的两条直线平行,是真命题；③若直线,,a b c 满足a b b c ⊥∥，，则a c ⊥，是真命题；④是假命题，如图甲所示，c ，d 与异面直线1l ，2l 交于四个点，此时c ，d 异面，一定不会平行；当点B 在直线1l 上运动（其余三点不动），会出现点A 与点B 重合的情形，如图乙所示，此时c ，d 共面且相交. 故答案为B【点睛】本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．已知数列的通项公式是()()31{22n n n a n n +=-是奇数是偶数，则23⋅a a 等于（ ） A ．70B ．28C ．20D ．8【答案】C【解析】【分析】【详解】 因为()()31{22n n n a n n +=-是奇数是偶数， 所以，所以23⋅a a =20.故选C.12．已知正四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 上，且该正四棱锥的各个棱长均为2，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π【答案】C【解析】设点P 在底面ABCD 的投影点为O '，则12AO AC =='，2PA =，PO '⊥平面ABCD ，故PO ='，而底面ABCD 所在截面圆的半径AO '=则球的半径R =O 的表面积248S R ππ==，故选C.点睛：本题考查球的内接体的判断与应用，球的表面积的求法，考查计算能力；研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系； （2）球的半径与多面体的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面.二、填空题：本题共4小题13．在三棱锥A BCD -中，已知6AB CD ==，5AC AD BC BD ====，则三棱锥A BCD -内切球的表面积为______. 【答案】63π16【解析】【分析】先计算出三棱锥的体积，利用等体积法求出三棱锥的内切球的半径，再求出内切球的表面积。
2020年湖南省长沙市雅礼雨花中学高一语文下学期期末试卷含解析
2020年湖南省长沙市雅礼雨花中学高一语文下学期期末试卷含解析一、现代文阅读（35分，共3题）1. 阅读下面的文字，完成（1）-（4）题。
回望钱学森卞毓方①一次，是在中科院一位朋友的办公室。
我去时，朋友在欣赏一卷《钱学森手稿》。
这一套手稿，分两卷，五百多页，是从钱学森早期的手稿遴选出来的。
我拿过来翻了翻，与其说是手稿，不如说是艺术品。
无论中文、英文，大字、小字，计算、图表，都工工整整，一丝不苟，连一个小小的等号，也长短有度，中规中矩。
钱学森的手稿令我想到王羲之的《兰亭集序》、张择端的《清明上河图》，进而想到他的唯美人格。
如是我闻：在美国期间，钱学森仅仅为了解决一道薄壳变形的难题，研究的手稿就累积了厚厚一大摞，在工作进展到五百多页时，他自我感觉是：“不满意！”直到八百多页时，才长舒一口气。
他把手稿装进牛皮纸信封，在外面标明“最后定稿”，继而觉得不妥，又在旁边添上一句：“在科学上没有最后！”②对我来说，印象最为深刻的，是他如下的几句老实话。
回顾学生时代，钱学森明白无误地告诉人们：“我在北京师大附中读书时算是好学生，但每次考试也就是八十多分；我考去上海交大，并不是第一名，而是第三名；在美国的博士口试成绩也不是第一等，而是第二等。
”八十多分，第三名。
第二等，这哪里像公众心目中的天才？然而，事实就是事实，钱学森，没有避讳，倒是轮到世人惊讶，因为他们已习惯了把大师的从前和卓越、优异划等号。
③钱学森的天才是不容置疑的。
麻省理工的学子曾对他佩服不已。
有一回，钱学森正在黑板上解一道十分冗长的算式，有个学生问了另一个与此题目无关、但也十分困难的问题，钱学森起初不予理会，继续在四个十英尺长、四英尺宽的黑板上，写满了算式。
“光是能在脑袋中装进那么多东西，就已经够惊人了，”一位叫做哈维格的学生回忆，“但是更令我们惊叹的是，他转过身来，把另一个复杂问题的答案同时也解答出来！他怎么能够一边在黑板上计算一个冗长算式，而同时又解决另一同样繁复的问题，真是令我大惑不解！”④天才绝对来自于勤奋。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年长沙市雅礼教育集团高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．42．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4＝0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（）A．2B．﹣2C．2，﹣2D．2，0，﹣23．在△ABC中，a＝1，c＝2，∠B＝120°，则b边长为（）A．3B．4C．5D．4．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 3655．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．26．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°10．数列{a n}中，a1＝2，且a n+a n﹣1＝+2（n≥2），则数列{}前2019项和为（）A．B．C．D．11．如图，四面体A﹣BCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．πB．3πC．πD．2π12．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前100项和为（）A．3690B．5050C．1845D．1830二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上. 13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与A1D所成角的大小为．14．设，为单位向量，且，则＝．15．若数列{a n}的前n项和为S n＝a n+，则数列{a n}的通项公式是a n＝．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列命题：①直线BD1⊥平面A1C1D；②三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；③异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]；④直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．其中所有真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E 为线段PC上一点．[Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．18．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD ＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．21．已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆E：x2+y2＝4上运动．（1）求过点C且被圆E截得的弦长为的直线方程；（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．22．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n＝3n+5，且a1＝1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1＝3λ＜0，b n＝λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4【分析】设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，由此解得d的值．解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5＝10，a4＝7，可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，解得d＝2，故选：B．2．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4＝0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（）A．2B．﹣2C．2，﹣2D．2，0，﹣2【分析】根据两直线垂直的充要条件：A1A2+B1B2＝0解：因为两直线垂直，所以：（2a+5）（2﹣a）+（a﹣2）（a+3）＝0，化简得：a2﹣4＝0，解得：a＝2或a＝﹣2故选：C．3．在△ABC中，a＝1，c＝2，∠B＝120°，则b边长为（）A．3B．4C．5D．【分析】根据题意和余弦定理直接求出b即可．解：由题意得，a＝1，c＝2，B＝120°，在△ABC中，由余弦定理得：b2＝c2+a2﹣2ca cos B＝1+4﹣2×1×2×（﹣）＝7，可得：b＝，故选：D．4．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 365【分析】设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意列出方程组，由此能求出结果．解：设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意得，解得b＝125，a＝20%，m＝369．故选：A．5．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．2【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个腰长是2的等腰直角三角形，求出底面的面积，垂直于底面的侧棱长是2，做出体积．解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，右图为该三棱锥的直观图，三棱锥的底面是一个腰长是2的等腰直角三角形，∴底面的面积是＝2垂直于底面的侧棱长是2，即高为2，∴三棱锥的体积是故选：C．6．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】利用已知条件求出||，然后利用向量的数量积求解即可．解：向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，可得||＝＝＝7，cos＜，+＞＝＝＝＝．故选：D．7．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB＝O，所以l⊥γ．所以正确．D、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确；故选：A．8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．【分析】由已知设圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，（2，1）代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a，a），则半径为a，a＞0．故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，再把点（2，1）代入，求得a＝5或1，故要求的圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）；故圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离d＝＝或d＝＝；故选：B．9．在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°【分析】根据正弦定理的式子，将题中数据代入求出sin A＝，结合三角形内角的取值范围即可算出A的值．解：∵在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，∴由正弦定理，得化简得sin A＝•sin30°＝∵a＝＞b＝1∴A＞B，可得A＝60°或120°故选：D．10．数列{a n}中，a1＝2，且a n+a n﹣1＝+2（n≥2），则数列{}前2019项和为（）A．B．C．D．【分析】由a n+a n﹣1＝+2（n≥2），可得﹣﹣2（a n﹣a n﹣1）＝n，化为：﹣＝n，利用“累加求和”方法可得，利用裂项求和即可得出．解：∵a n+a n﹣1＝+2（n≥2），∴﹣﹣2（a n﹣a n﹣1）＝n，化为：﹣＝n，∴﹣＝n+（n﹣1）+ (2)∴＝，可得：＝＝2（）．则数列{}前2019项和＝2＝2＝．故选：B．11．如图，四面体A﹣BCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．πB．3πC．πD．2π【分析】由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的体积．解：由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△ABC都是直角三角形，所以BC的中点就是球心，所以BC＝，球的半径为：所以球的体积为：×＝π．故选：A．12．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前100项和为（）A．3690B．5050C．1845D．1830【分析】n＝2k（k∈N*）时，a2k+1+a2k＝4k﹣1，n＝2k﹣1时，a2k﹣a2k﹣1＝4k﹣3，可得a2k+2﹣a2k+1＝4k+1，可得a2k+1+a2k﹣1＝2，a2k+2+a2k＝8k，利用分组求和即可得出．解：n＝2k（k∈N*）时，a2k+1+a2k＝4k﹣1，n＝2k﹣1时，a2k﹣a2k﹣1＝4k﹣3，可得a2k+2﹣a2k+1＝4k+1，∴a2k+1+a2k﹣1＝2，a2k+2+a2k＝8k，∴{a n}的前100项和＝（a1+a3）+…+（a97+a99）+（a2+a4）+…+（a98+a100）＝2×25+8（1+3+ (49)＝50+＝5050．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上. 13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与A1D所成角的大小为60°．【分析】由直线AD1∥B1C，得∠ACB1是直线AB1与A1D，由AB1＝CB1＝AC，求出直线AB1与A1D所成角的大小．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵直线AD1∥B1C，∴∠ACB1是直线AB1与A1D，∵AB1＝CB1＝AC，∴∠ACB1＝60°，∴直线AB1与A1D所成角的大小为60°．故答案为：60°．14．设，为单位向量，且，则＝．【分析】根据条件，对两边平方，进行数量积的运算即可求出，从而可求出的值．解：∵，∴＝，∴，∴．故答案为：．15．若数列{a n}的前n项和为S n＝a n+，则数列{a n}的通项公式是a n＝（﹣2）n﹣1．【分析】把n＝1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．解：当n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝1当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（）﹣（）＝，整理可得，即＝﹣2，故数列{a n}是以1为首项，﹣2为公比的等比数列，∴a n＝（﹣2）n﹣1．故答案为：（﹣2）n﹣1．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列命题：①直线BD1⊥平面A1C1D；②三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；③异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]；④直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．其中所有真命题的序号是①②④．【分析】在A中，推导出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，从而直线BD1⊥平面A1C1D；在B中，由B1C∥平面A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；在C中，异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．解：在①中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故①正确；在②中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故②正确；在③中，∵A1D∥B1C，∴异面直线AP与A1D所成的角为直线AP与B1C所成的角，当P运动到B1或C点时，直线AP与B1C所成的角最小为60°，当P在为B1C中点时，直线AP与B1C所成的角最大为90°，∴异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]，故③错误；在④中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，P（a，1，a），则D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），＝（1，0，1）＝（0，1，1），＝（a，0，a﹣1），设平面A1C1D的法向量＝（x，y，z），则取x＝1，得＝（1，1，﹣1），∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为＝＝：，∴当a＝时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E 为线段PC上一点．[Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．【分析】（Ⅰ）由PA⊥AB，PA⊥BC，推导出PA⊥平面ABC，由此能证明PA⊥BD．（Ⅱ）推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面BDE⊥平面PAC．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，∴PA⊥平面ABC，∵D为线段AC的中点，∴BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD．（Ⅱ）∵AB＝BC，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，∵PA⊥BD，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC．18．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．（2）＝＝﹣．利用裂项求和方法即可得出．解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1＝2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n＝2．∴a n＝．当n＝1时，a1＝2，上式也成立．∴a n＝．（2）＝＝﹣．∴数列{}的前n项和＝++…+＝1﹣＝．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出A的值．（2）利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出三角形的周长．解：（1）知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．则：2b sin A cos A＝a sin B，由于：sin A sin B≠0，则：cos A＝，由于：0＜A＜π，所以：A＝．（2）利用余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，由于：a＝2，所以：4＝b2+c2﹣bc，△ABC的面积为，则：，解得：bc＝4．故：b2+c2＝8，所以：（b+c）2＝8+2•4＝16，则：b+c＝4．所以：三角形的周长为2+4＝6．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD ＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．【分析】（I）取AD的中点H，连接GH，FH，说明PA不在平面EFG，FH在平面EFG，证明PA平行平面EFG内的直线FH即可证明PA∥平面EFG；（II）利用转化法，求出底面面积和高，求三棱锥P﹣EFG 的体积．【解答】解（I）：如图，取AD的中点H，连接GH，FH，∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD．∵G，H分别为BC，AD的中点，∴GH∥CD．∴EF∥GH．∴E，F，H，G四点共面．∵F，H分别为DP，DA的中点，∴PA∥FH．∵PA不在平面EFG，FH⊂平面EFG，∴PA∥平面EFG．（II）解：∵PD⊥平面ABCD，GC⊂平面ABCD，∴GC⊥PD．∵ABCD为正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD＝D，∴GC⊥平面PCD．∵PF＝PD＝1，EF＝CD＝1，∴．∵GC＝＝1，∴21．已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆E：x2+y2＝4上运动．（1）求过点C且被圆E截得的弦长为的直线方程；（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．【分析】（1）设直线方程为y+2＝k（x﹣4），由题意可知圆心到直线的距离为，利用点到直线距离公式即可求出k的值，从而得出直线方程；（2）P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，利用两点间距离公式化简|PA|2+|PB|2+|PC|2＝80﹣4y又﹣2≤y≤2，从而得到|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．解：（1）依题意，直线的斜率存在，因为过点C的直线被圆E截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为，设直线方程为y+2＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣2＝0，所以，解得或k＝﹣1，所以直线方程为x+7y+10＝0或x+y﹣2＝0；（2）设P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，所以|PA|2+|PB|2+|PC|2＝（x+2）2+（y+2）2+（x+2）2+（y﹣6）2+（x﹣4）2+（y+2）2＝3（x2+y2）﹣4y+68＝80﹣4y，因为﹣2≤y≤2，所以72≤80﹣4y≤88，即|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88，最小值为72．22．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n＝3n+5，且a1＝1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1＝3λ＜0，b n＝λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．【分析】（1）把b n＝3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n＝6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n ＝2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ＝﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n 的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围．【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），b n＝3n+5，∴a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n）＝2（3n+8﹣3n﹣5）＝6，∴{a n}是等差数列，首项为a1＝1，公差为6，则a n＝1+（n﹣1）×6＝6n﹣5；（2）∵a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1＝2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m＝a1＝3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得．∴λ∈（）．②当λ＝﹣1时，a2n＝1，a2n﹣1＝﹣3，∴M＝3，m＝﹣1，不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．。
【试卷】2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一(下)期末数学试卷
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x＜2}，B＝{0，1}，则下列判断正确的是（）A．B∈A B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A2．（5分）已知x＞0，则对于2﹣3x﹣，说法正确的是（）A．有最小值2+4B．有最小值2﹣4C．有最大值2+4D．有最大值2﹣43．（5分）已知＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．D．104．（5分）已知a＝log0.33，b＝log0.34，c＝30.3，那么（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．（5分）为了得到函数y＝cos，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y＝cos x，x∈R上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变6．（5分）随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分．如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是（）A．这9年我国快递业务量有增有减B．这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C．这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D．这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件7．（5分）在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为（）A．相交但不垂直B．垂直但不相交C．不相交也不垂直D．无法判断8．（5分）若直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α≤B．＜α＜πC．≤α＜D．＜α≤二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，则a的取值可以是（）A．﹣1B．1C．2D．510．（5分）已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的定义域为RB．函数f（x）在R上为增函数C．函数f（x）的值域为（﹣3，+∞）D．函数f（x）只有一个零点11．（5分）设z为复数，在复平面内z、对应的点分别为P、Q，坐标原点为O，则下列命题中正确的有（）A．当z为纯虚数时，P，O，Q三点共线B．当z＝1+i时，△POQ为等腰直角三角形C．对任意复数z，D．当z为实数时，12．（5分）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，下列命题中真命题是（）A．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交B．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直C．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交D．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知，，则tan2α＝．14．（5分）已知两点A（1，﹣2），B（5，0），则线段AB的垂直平分线方程为．15．（5分）甲、乙两位同学进行羽毛球赛，采取三局两胜制．设甲每一局获胜的概率为，乙每一局获胜的概率为，且甲已获得第一局胜利．求甲获得最终比赛胜利的概率为．16．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，△SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，则该三棱锥外接球的表面积为．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g（x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．18．（12分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，f（A）＝，a＝，b＝2c，求c．19．（12分）某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查．（1）求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率．20．（12分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°．求：（1）AC1的长；（2）直线BD1与AC所成角的余弦值．21．（12分）已知直线l：（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．（2）为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝PD＝P A＝AD＝AB＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面P AB；（2）求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x＜2}，B＝{0，1}，则下列判断正确的是（）A．B∈A B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A【分析】利用集合之间的包含关系判断集合的关系．【解答】解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B集合的元素都在集合A中，∴B⊆A．故选：D．【点评】本题考查的集合的子集概念，是基础题．2．（5分）已知x＞0，则对于2﹣3x﹣，说法正确的是（）A．有最小值2+4B．有最小值2﹣4C．有最大值2+4D．有最大值2﹣4【分析】直接利用基本不等式求解即可判断选项．【解答】解：2﹣3x﹣＝2﹣（3x+），x＞0，3x+≥＝4．当且仅当3x2＝4，即x＝是取等号．∴2﹣3x﹣＝2﹣（3x+）≤2﹣4．故选：D．【点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，注意表达式的变形是解题的关键．3．（5分）已知＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．D．10【分析】根据，即可求出x，y的值，然后即可求出的坐标，进而得出的值．【解答】解：∵，∴，解得x＝2，∵，∴﹣4﹣2y＝0，解得y＝﹣2，∴，，∴．故选：A．【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，平行向量的坐标关系，向量坐标的加法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）已知a＝log0.33，b＝log0.34，c＝30.3，那么（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】可得出，然后即可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵log0.34＜log0.33＜log0.31＝0，30.3＞0，∴b＜a＜c．故选：C．【点评】本题考查了对数函数的单调性，指数函数的值域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．5．（5分）为了得到函数y＝cos，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y＝cos x，x∈R上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变【分析】根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．【解答】解：将函数y＝cos x图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos x的图象．故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+∅）的图象变换规律，属于基础题．6．（5分）随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分．如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是（）A．这9年我国快递业务量有增有减B．这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C．这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D．这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件【分析】分别观察这9年我国快递业务量和各年我国快递业务量同比增速，对选项一一分析，可得结论．【解答】解：由条形图可得，这9年我国快递业务量逐年增加，故A错误；将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得：25.3%，26.6%，28.0%，30.5%，48.0%，51.4%，51.9%，54.8%，61.6%，故中位数为第五个数48.0%，故B错误；这9年我国快递业务量同比增速的极差为61.6%﹣25.3%＝36.3%＞36%，故C错误；由条形图可得，自2016年起，各年的快递业务量远超过210亿件，故快递业务量的平均数超过210亿件，故D正确．故选：D．【点评】本题考查条形图、曲线图的应用，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．7．（5分）在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为（）A．相交但不垂直B．垂直但不相交C．不相交也不垂直D．无法判断【分析】作AO⊥平面BCD，垂足为O，连接OA，OB，OC，由线面垂直的判定和性质，以及三角形的垂心的定义，可得结论．【解答】解：如图，作AO⊥平面BCD，垂足为O，可得AO⊥CD，又AB⊥CD，则CD⊥平面ABO，所以BO⊥CD，同理可证DO⊥BC，所以O为△BCD的垂心，所以OC⊥BD，又OA⊥BD，OA∩OC＝O，所以BD⊥平面ACO，故BD⊥AC．故选：B．【点评】本题考查空间中线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题．8．（5分）若直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α≤B．＜α＜πC．≤α＜D．＜α≤【分析】根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率k，分析可得斜率k的范围，结合直线的斜率k与倾斜角的关系可得tanα＝k≥1，又由倾斜角的范围，分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2），则直线l的斜率k＝＝1+m2，又由m∈R，则k＝1+m2≥1，则有tanα＝k≥1，又由0≤α＜π，则≤α＜；故选：C．【点评】本题考查直线的斜率、倾斜角的计算，关键是求出斜率的范围．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，则a的取值可以是（）A．﹣1B．1C．2D．5【分析】由题意可得，三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点，由此求得a的范围．【解答】解：∵三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点．而直线x+y＝0和x﹣y＝0交于原点，无论a为何值，直线x+ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay＝3与另两条直线不平行，所以，a≠±1，故选：CD．【点评】本题主要考查三条直线能构成三角形的条件，两条直线不平行的条件，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的定义域为RB．函数f（x）在R上为增函数C．函数f（x）的值域为（﹣3，+∞）D．函数f（x）只有一个零点【分析】利用分段函数的性质对应各个选项逐个判断即可．【解答】解：选项A：由已知可得函数定义域为R，故A正确；选项B：当x＜1时，函数f（x）为增函数，当x≥1时，函数为增函数，且41﹣3＝1＞ln1＝0，所以函数在R上不单调，故B错误；选项C：当x＜1时，﹣3＜f（x）＜1，当x≥1时，f（x）≥0，所以函数的值域为（﹣3，+∞），故C正确；选项D：当x＜1时，令4x﹣3＝0，解得x＝log43，当x≥1时，令lnx＝0，解得x＝1，故函数有两个零点，故D错误，故选：AC．【点评】本题考查了分段函数的性质，考查了学生对分段函数的理解能力，属于中档题．11．（5分）设z为复数，在复平面内z、对应的点分别为P、Q，坐标原点为O，则下列命题中正确的有（）A．当z为纯虚数时，P，O，Q三点共线B．当z＝1+i时，△POQ为等腰直角三角形C．对任意复数z，D．当z为实数时，【分析】当z为纯虚数时，可得P、O、Q都在虚轴上，判断A正确；由|OP|＝|OQ|且判断B；举例说明C错误；当z为实数时，由判断D．【解答】解：对于A，当z为纯虚数时，设z＝bi（b∈R且b≠0），则P（0，b），O（0，0），Q（0，﹣b），三点共线，故A正确；对于B，当z＝1+i时，，则P（1，1），Q（1，﹣1），|OP|＝|OQ|，且，则△POQ为等腰直角三角形，故B正确；对于C，取z＝1，则，有，故C错误；对于D，当z为实数时，，则，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．12．（5分）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，下列命题中真命题是（）A．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交B．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直C．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交D．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行【分析】点M不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交，A正确．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，B正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，C不正确．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，D正确．【解答】解：直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取C1C的中点N，则MN∥AB，且MN＝AB，设BN与B1C1交于H，则点A、B、M、N、H共面，直线HM必与AB直线相交于某点O．所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故A正确．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故B正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故C不正确．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知，，则tan2α＝．【分析】由已知求得cosα，进一步得到tanα，再由二倍角的正切求解．【解答】解：∵，，∴cosα＝﹣，∴tanα＝．则tan2α＝＝．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．14．（5分）已知两点A（1，﹣2），B（5，0），则线段AB的垂直平分线方程为2x+y﹣5＝0．【分析】求出线段AB的中点和斜率，可得AB中垂线的斜率，再利用点斜式求出线段AB的垂直平分线方程．【解答】解：经过两点A（1，﹣2），B（5，0）的直线的斜率为＝，中点为（3，﹣1），则线段AB的垂直平分线的斜率为﹣2，故线段AB的垂直平分线方程为y+1＝﹣2（x﹣3），即2x+y﹣5＝0，故答案为：2x+y﹣5＝0．【点评】本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式求直线的方程，属于基础题．15．（5分）甲、乙两位同学进行羽毛球赛，采取三局两胜制．设甲每一局获胜的概率为，乙每一局获胜的概率为，且甲已获得第一局胜利．求甲获得最终比赛胜利的概率为．【分析】直接法：分成甲胜第二局直接取胜和乙胜第二局甲胜第三局两种情况，甲胜第二局概率为，乙胜第二局甲胜第三局概率为＝，由此能求出甲获胜概率．间接法：先求出乙获胜概率，利用对立事件概率计算公式能求出甲获胜概率．【解答】解：直接法：分成甲胜第二局直接取胜和乙胜第二局甲胜第三局两种情况．甲胜第二局概率为：，乙胜第二局甲胜第三局概率为：＝，∴甲获胜概率为：＝．间接法：乙获胜概率为＝，所以甲获胜概率为：1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，△SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，则该三棱锥外接球的表面积为．【分析】由题意画出图形，可得等边三角形ABC外接圆的圆心为三棱锥S﹣ABC的外接球的其球心，求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：如图，取AB中点G，则G为三角形SAB的外心，取等边三角形ABC的外心O，则OG⊥平面SAB，又二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，即平面SAB⊥平面ABC，且平面SAB∩平面ABC＝AB，∴OG⊥平面SAB，则OC＝OA＝OB＝OS，故O为三棱锥S﹣ABC的外接球的球心，则外接球的半径R＝OC＝，则该三棱锥外接球的表面积为4π×＝．故答案为：．【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查数形结合思想，是中档题．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g（x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．【分析】（1）直接由已知结合利润＝总收益﹣总成本可得每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）分段求出函数的最大值，则答案可求．【解答】解：由题意可得：（1）；（2）由（1）可得：当0≤x≤10时，f（x）＝﹣2（x﹣8）2+23．当x＝8时，f（x）max＝f（8）＝23；当x＞10时，f（x）＝30﹣x为减函数，则f（x）＜20．∴当x＝8时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大．最大利润为：w＝23×10＝230（万元）．【点评】本题考查函数模型的选择及其应用，训练了分段函数最值的求法，是基础题．18．（12分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，f（A）＝，a＝，b＝2c，求c．【分析】（I）先结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；（II）由已知可先求A，然后结合余弦定理可求．【解答】解：（I）f（x）＝，＝﹣cos x，＝sin（x﹣），故函数的最大值为1；（II）由f（A）＝sin（A﹣）＝且A为三角形内角，则A＝，因为a＝，b＝2c，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc，即3＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝1．【点评】本题主要考查了二倍角公式，正弦函数的性质，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．19．（12分）某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查．（1）求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率．【分析】（1）由频率分布直方图的性质列方程能求出a，由此能估算这100位学生学习的平均时长．（2）从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，在[6，11）的学生中抽取5位，在[21，26）的学生中抽取3位，从这8位学生中随机抽取2位家访，基本事件总数n＝＝28，这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m＝＝15．由此能求出这2位学生来自不同组别的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.020+0.050+0.070+a+a）×5＝1，解得a＝0.03．∴估算这100位学生学习的平均时长为：3.5×0.020×5+8.5×0.050×5+13.5×0.070×5+18.5×0.030×5+23.5×0.030×5＝13.5（小时）．（2）从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，学习时长在[6，11）的学生中抽取：8×＝5位，学习时长在[21，26）的学生中抽取：8×＝3位，从这8位学生中随机抽取2位家访，基本事件总数n＝＝28，这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m＝＝15．∴这2位学生来自不同组别的概率P＝＝．【点评】本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．20．（12分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°．求：（1）AC1的长；（2）直线BD1与AC所成角的余弦值．【分析】（1）由，两边平方，代入数量积运算即可求解；（2）分别求出、及，再由数量积求夹角公式可得直线BD1与AC 所成角的余弦值．【解答】解：（1）∵，∴＝+＝22+12+12+2×1×2×cos120°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°＝2，∴；（2）∵，∴＝12+12+0＝2，∴，∵，∴＝+＝22+12+12+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°＝6，∴，∴＝﹣2．∴＝．∴直线BD1与AC所成角的余弦值为．【点评】本题考查空间中的点、线、面间的距离计算，考查异面直线所成角的求法，考查空间向量的应用，是中档题．21．（12分）已知直线l：（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．（2）为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．【分析】（1）直线l方程可整理为：a（3x﹣y）+（﹣x+2y﹣1）＝0，由直线系的知识联立方程组，解方程组可得定点；（2）把直线转化为y＝x﹣，由直线不经过第二象限，得到x的系数不小于0，且常数不大于0，由此能求出实数m的取值范围，（3）由题意可得a的范围，分别令x＝0，y＝0可得相应的截距，可表示面积，由二次函数的知识可得结论．【解答】解：（1）直线l方程可整理为：a（3x﹣y）+（﹣x+2y﹣1）＝0，联立，解得，∴直线恒过定点（，）；（2）∵（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1，当a＝2时，x＝，满足题意，当a≠2时，∴y＝x﹣，∵直线不经过第二象限，∴，解得a＞2．∴实数a的取值范围是[2，+∞）；（3）由题意可知直线的斜率k＝＜0，解得＜a＜2，令y＝0可得x＝，令x＝0可得y＝．∴S△＝•|•|＝||，对于函数y＝3a2﹣7a+2其对称轴为a＝，当a＝时，此时函数y取最小值，且为负数，为﹣所以函数y＝|3a2﹣7a+2|的范围为（0，]，∴S的面积有最小值，当a＝时取最小值．此时l的方程为：5y+15x﹣6＝0．【点评】本题考查直线方程过定点的证明，考查直线不过第二象限时参数的取值范围的求法涉及函数最值的求解，属中档题．22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝PD＝P A＝AD＝AB＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面P AB；（2）求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．【分析】（1）取PB的中点E，P A的中点F，连接DF，EF，EC，先证明四边形EFDC 为平行四边形，可得CE∥DF，由面面垂直的性质定理证明AB⊥平面P AD，从而证明AB⊥DF，CE⊥AP，由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PCB和平面PCD的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可．【解答】（1）证明：取PB的中点E，P A的中点F，连接DF，EF，EC，所以EF∥AB，AB＝2EF，又因为AB∥CD，AB＝2CD，则EF∥CD，且EF＝CD，故四边形EFDC为平行四边形，所以CE∥DF，因为平面PDA⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，又因为AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面P AD，又DF⊂平面P AD，所以AB⊥DF，因为PD＝P A，F为P A的中点，所以DF⊥AP，因为CE∥DF，所以CE⊥AB，CE⊥AP，又AP∩AB＝A，AB⊂平面P AB，所以CE⊥平面P AB，又因为CE⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面P AB．（2）解：取AD的中点O，取BC的中点G，以点O为坐标原地，建立如空间直角坐标系图所示，则O（0，0，0），，所以，，设平面PCB的法向量为，则，即，令，则x＝1，y＝﹣1，故，设平面PCD的法向量为，则，即，令，则x＝3，故，设二面角D﹣PC﹣B的大小为θ，所以|cosθ|＝＝，则，故二面角D﹣PC﹣B的正弦值为．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．。
湖南四大名校内部资料试卷-雅礼教育集团2019-2020-1高一数学期末
雅礼教育集团2019年高一下学期数学期终考试数 学时量：120分钟 满分：150分一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分) 1.命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为( )A.对任意x R ∈，都有20x <B.不存在x R ∈，都有20x <C.存在0x R ∈，使得200x ≥D.存在0x R ∈，使得200x <2.已知集合{}220A x x x =-->，则R C A =( )A.{}12x x -<<B.{}12x x -≤≤ C.{}{}12x x x x <->UD.{}{}12x x x x ≤-≥U3.若1a >，则“x y a a >”是“log log a a x y >”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数()23xf x x =+的零点所在的一个区间是( )A.()2,1--B.()1,0-C.()0,1D.()1,25.若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125B.125-C.512D.512-6.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<7.设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r，则( )A.1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u rB.1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u rC.4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rD.4133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r8.要得到函数5cos 46y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象( ) A.向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移3π个单位D.向右平移3π个单位9.函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，若()11f =-，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是( )A.[]2,2-B.[]1,1-C.[]0,4D.[]1,310.设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是( ) A.()f x 的一个周期为2π-B.()y f x =的图象关于直线83x π=对称 C.()f x π+的一个零点为6x π=D.()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减11.已知点A 的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为( )A.2B.2C.112D.13212.函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <函时，都有()()12f x f x ≤数，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-.则1138f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于( ) A.23B.34C.1D.45二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________. 14.函数()cos 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0,π的零点个数为__________. 15.某公司一年购买某种化物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________.16.化简2cos 70sin 40sin 50+o oo的结果为__________. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分) 17.(本小题满分10分)已知全集U R =，{}39A x x =≤≤，{}4,1xB y y x ==≥，13log ,C y y x x A ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}20D x x ax b =++≤.(1)求()U C A B ⋂； (2)若C D =，求a b -的值.18.(本小题满分12分)已知函数()()2210f x ax x a =-+≠.(1)若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围；(2)若函数()f x 在区间()0,1与()1,2上各有一个零点，求a 的取值范围.19.(本小题满分12分)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .(1)求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)求()f x 的最小正周期及单调递增区间.20.(本小题满分12分)已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，且当6x π=时，()f x 取得最大值2(1)求()f x 的解析式；(2)用五点法作出()f x 在[]0,π上的图象21.(本小题满分12分) 已知α，β为锐角，4tan 3α=，()cos αβ+=(1)求cos2a 的值； (2)求()tan αβ-的值.22.(本小题满分12分) 已知()221f x x x kx =-++(1)若2k =，(],1x ∈-∞-，求方程()0f x =的解； (2)若关于x 的方程()0f x =在()0,2上有两解1x ，2x ， ①求k 的取值范围；②证明：12`114x x +<.。
2019学年湖南省高一下学期期末考语文卷【含答案及解析】
2019学年湖南省高一下学期期末考语文卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、现代文阅读1. 阅读下面的文字，完成小题。
提笔忘字：科技进步导致文化衰退？日前美国《洛杉矶时报》的一则报道一石激起千层浪：“由于使用拼音发手机短信及电脑打字正在取代拥有数千年传统的一笔一画汉字书写，越来越多的中国人不记得如何用笔书写汉字。
”显然“提笔忘字”不是个别现象，否则也不会吸引国内诸多媒体纷纷发表报道和评论。
虽然现在用得着手写的地方越来越少，但在偶尔出现需要的时候，如写个便条，填个表格，答个试卷等等，“提笔忘字”却并非偶尔。
此时，人们的解决之道颇为典型：不再去翻新华字典，而是掏出手机按几个按键，用拼音打出忘了的字。
“键盘依赖症”，就是这样活灵活现。
其实自从选择了现代化发展之路，汉字手写被更为高效和标准的键盘输入所替代就是必然结果。
御牛耕地，烧火做饭，这些中国人千百年来赖以糊口吃饭的基本技能，都在逐渐退出历史舞台。
生存和生活技能的更新换代，是人类文明逐渐进步的伴随现象，这是生产力不断上升的结果，是历史的必然。
然而，对于汉字书写的淡忘，却绝对是中华文化──至少是传统文化的衰退。
相对于其他生存和生活技能，汉字书写还担负着重要的文化传承作用，因为中国文化之精髓所在就寄托在汉字字形和书写汉字的手脑配合之中。
这是汉字区别于其他字母类文字的地方，也是台湾地区力主要把繁体汉字申报为世界遗产的原因之一。
倘若大部分中国人都不再会手书汉字，将是以汉字为基础的中国文化的重大缺失。
作家王蒙曾言：“遗失了中国的传统文化之精髓与汉字原形，我们成了数典忘祖的新文盲。
”可是，避免成为“新文盲”的目标绝不是一纸政令或者法律法规所能达成的。
今天的人们虽然偶尔还会发出“原来你写的一手好字啊”这样的惊叹，但基本上人们已经淡忘隽秀字体所带来的荣光。
因为，写一手好字已经失去了当年的实际作用，比如找到更好的工作甚至找到更好的对象；因为，写一手好字并不能与现在的办公自动化“无缝衔接”，这是实用主义的选择。
雅礼中学教育集团2019-2020-1高一数学期末试卷答案
又因为 cos 5
5
所以 sin 1 cos2 2 5
5
因此 tan 2
因为 tan 4 3
所以 tan 2
2 tan 1 tan2
24 7因此，Fra bibliotektan
tan
2
tan 2 tan 1 tan 2 tan
2 11
22.【解析】(1)当 k 2 ， x 1时
f
1
0
，即 a
1
0
f
2
0
4a 3 0
解得 3 a 2 4
19.【解析】(1)由 sin 2 3
3 2
， cos 2 3
1 2
，
f
2 3
3 2
2
1 2
2
2
3
3 2
1 2
得
f
2 3
2
(2)由 cos 2x cos2 x sin2 x 与 sin 2x 2sin x cos x 得
雅礼教育集团 2019 年高一下学期数学期终考试
数学参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
D
B
A
B
D
A
A
B
D
D
D
B
二、填空题
13.1
14. 3
15. 30
16. 3
三、解答题
17.【解析】(1) B y y 4 CU A B x x 9 (2) C y 2 y 1 a 3， b 2 a b 1
k
1 x1
,
x1
0,1
k
湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年高一(下)期末物理试题(解析版)
雅礼教育集团2020下学期期末考试试卷高一物理时量：75分钟分值：100分一、选择题（1～7小题为单选题，每小题4分，每小题只有一个选项符合题目要求；8～10小题为多项选择题，每小题5分，每题有两个或者两个以上选项符合题目要求，全部选对得5分，没有选全得3分，不选或者错选不得分）1. 如图所示，国产某品牌汽车装备了具有“全力自动刹车”功能的城市安全系统，系统以50 Hz的频率监视前方的交通状况。
当车速v≤10 m/s且与前方静止的障碍物之间的距离接近安全距离时，如果司机未采取制动措施，系统就会立即启动“全力自动刹车”，加速度大小约为5 m/s2，使汽车避免与障碍物相撞。
则“全力自动刹车”系统设置的安全距离约为（）A. 50 mB. 20 mC. 10 mD. 1 m【答案】C【解析】【详解】由题意知，车速v≤10 m/s，系统立即启动“全力自动刹车”的加速度大小约为5 m/s2，最后末速度减为0，由速度位移公式v2−v02=2ax可得x≤22va=21025m=10 m所以系统设置的安全距离约10 m，故C正确，ABD错误。
故选C。
2. 如图所示，很多地铁站安装了智能化的阶梯式自动扶梯。
为了节约能源，在没有乘客乘行时，即自动扶梯不载重时往往以较小的速度匀速运行，当有乘客乘行时自动扶梯经过先加速再匀速两个阶段运动。
一乘客乘阶梯式自动扶梯上楼，恰好经历了这两个过程。
则下列说法正确的是（）A. 在扶梯加速时，扶梯对顾客的摩擦力沿水平方向B. 扶梯加速、匀速运转时，对顾客摩擦力方向都为水平方向C. 扶梯对顾客的弹力大小始终等于重力D. 顾客始终受到三个力的作用【答案】A【解析】【分析】【详解】乘客在加速度上升的过程中，所受合力沿电梯斜向上，此时扶梯对顾客的弹力大于重力，由于摩擦力的方向和相对运动方向相反，因此摩擦力沿水平方向；当乘客匀速上升的过程中，扶梯对顾客的弹力和重力大小相等，方向相反，摩擦力等于零，此时乘客处于平衡状态，受两个力的作用。
湖南省长沙市雨花区2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含答案
2020年上学期期末质量检测卷高一数学注意事项：1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6、本试卷共22个小题,考试时量120分钟，满分150分。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若0cos >α,0tan >α，则角α是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．下列命题正确的是A ．若0=a，则0=a B ．若b a=，则ba =C ．若b a =，则a ∥b D ．若a ∥b，则ba =3.函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 的最小正周期为A ．π4B ．π2C ．πD ．2π4．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，如果S 10=120，那么a 1+a 10的值是A ．12B ．24C ．36D ．485．下列结论正确的是A ．若ac bc >，则a b >B ．若88a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <D a b <，则a b>6．已知点D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列等式中错误的是A ．FD DA FA+=B ．0FD DE EF ++=C ．DE DA EC +=D ．+=DA DE FD7．若1tan 2α=，1tan 3β=-，则tan()αβ+=A ．57-B ．57C ．17D ．17-8．已知向量a=（0，5），向量b =（3，-1），若a b μ- 与a b + 垂直，则μ=A ．1-B ．1C ．12D ．149．在△ABC 中，已知A ，B ，C 成等差数列，且b =3，则CB A c b a sin sin sin ++++=A ．3B ．23C ．3D ．610．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 图象，则函数的解析式是A ．()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭11．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里12．在△ABC 中，,,a b c 分别为A ，B ，C 的对边，A =60︒，b =1，这个三角形的面积为3，则a =A ．2BC ．D ．二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．cos15︒cos75︒+sin15︒sin75︒的值为______.14．等比数列{}n a 中，23=a ，87=a 则5a =________.15．已知1=a ，2=b ，向量a ，b 的夹角为3π，则()b a a +⋅=_________.16．设1>x ，则函数511+-+=x x y 的最小值为.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）已知平面向量a ，b ，a=（1，2）.（1）若b=（0，1），求2a b + 的值；（2）若b =（2，m ），a 与a b -共线，求实数m 的值.18.（本题满分12分）已知1cos 7α=-，()0,απ∈.（1）求22cosα的值；（2）若()1cos 2αβ+=-，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值.19.（本题满分12分）已知()()()2f x x a x =--.（1）当1a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）解关于x 的不等式()0f x <.20．（本题满分12分）高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B 、E 、F 为山脚两侧共线的三点，在山顶A 处测得这三点的俯角分别为30︒、60︒、45︒，计划沿直线BF 开通穿山隧道，现已测得BC 、DE 、EF 三段线段的长度分别为3、1、2.（1）求出线段AE 的长度；（2）求出隧道CD 的长度.21.（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且545S =，6 60S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{} n b 满足n n n a b b =-+1（n ∈N *）且13b =.设数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：34n T <.22.（本题满分12分）已知0ϕπ≤<，函数23()cos(2)sin 2f x x x ϕ=++．（1）若6π=ϕ，求()f x 的单调递增区间；（2）若()f x 的最大值是32，求ϕ的值．2020上高一年级数学参考答案与评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）题号123456789101112答案AACBCDCDBCBD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13、2114、415、216、8三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17、（1）2(1,2)(0,2)(1,4)+=+= a b ，所以2+== a b 分）（2）(1,2)m -=-- a b ，因为a 与a b - 共线，所以1212m--=，解得4m =.（10分）18、（1）（1）由2cos 2cos12αα=-得：21cos 3cos .227αα+==（6分）（2）1cos 7α=- ，()0,απ∈，,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭.sin 7α∴==.（8分）又,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(),2αβππ∴+∈，()sin 2αβ∴+=-（10分）()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα∴=+-=+++⎡⎤⎣⎦1111272714⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12分）19、（1）1a =时，不等式()0f x >化为()()120x x -->，解得1x <或2x >，∴不等式的解集为()(),12,-∞⋃+∞.（6分）（2）关于x 的不等式()0f x <，即()()20x a x --<；当2a =时，不等式化为()220x -<，不等式无解，解集为Ф；（8分）当2a >时，解不等式()()20x a x --<，得2x a <<，解集为(2，a )；（10分）当2a <时，解不等式()()20x a x --<，得2a x <<，解集为(a ，2)。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一(下)3月月考数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一（下）3月月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设函数的定义域A，函数的定义域为B，则A. B. C. D.2.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度3.已知向量，，且，则实数A. B. 0 C. 3 D.4.函数则满足的a的值为A. 1，B. 1，C.D. 1，5.已知角的终边经过点，且，则t等于A. B. C. D.6.等差数列的前n项和为，若，，则等于A. 8B. 10C. 12D. 147.已知，若，则的值为A. B. C. D.8.在中，若a、b、c成等比数例，且，则cos B等于A. B. C. D.9.如图，AB是的的直径，且半径为1，点C、D是半圆弧AB上的两个等三分点，则向量在向量上的投影等于A.B.C.D.10.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若的面为S，且，则A. 1B.C.D.11.已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分别在边BC，DC上，，，若，则的值为A. 3B. 2C.D.12.已知数列满足，，则的最小值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.______ ．14.关于函数有下述四个结论：是偶函数在区间单调递增在有4个零点的最大值为2其中所有正确结论的编号是______．15.已知，则______．16.设是数列的前项和，且，，则．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量，，．若与共线，求x的值；记，求的最大值以及对应的x的值．18.已知实数列是等比数列，其中，且，，成等差数列．求数列的通项公式；数列的前n项和记为，证明：．19.在中，三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知三内角A，B，C成等差数列．求角B的值；若，且的面积等于，求a，c；若，求三角形的周长L的范围．20.47712其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数．Ⅰ写出的值；Ⅱ写出的计算公式；Ⅲ证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是可以分解成两个不是1的正整数之积．21.如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O．设，求的值；若，求的值．22.已知数列与满足，．若，且，求数列的通项公式；设，，求t的取值范围，使得有最大值M与最小值m，且．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由题意可知，，，则．故选：D．根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集，进而可求．本题考查了求函数定义域的求解及集合的基本运算，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．2.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．由条件根据函数的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选：D．3.答案：B解析：解：向量，，且，，求得，故选：B．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出k的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．4.答案：B解析：解：当时，，则，舍，当时，，解可得，综上可得或．故选：B．结合已知函数解析式，先对a分类讨论，然后结合的表达式代入，解方程可求a．本题主要考查了分段函数的应用，体现了分类讨论思想的应用．5.答案：B解析：解：角的终边经过点，，，，，，正值舍故选：B．根据三角函数的定义，先计算r，再利用正弦函数的定义求出t．本题考查任意角的三角函数的定义，是对基本知识的考查．6.答案：C解析：解：由题意可得，解得，公差，，故选：C．由已知可得，进而可得公差d，可得．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题．7.答案：C解析：解：，，，又，，，，，由得：，．．故选C．利用同角三角函数间的基本关系可求得，从而可求得与，继而可得答案．本题考查同角三角函数间的基本关系，求得是关键，也是难点，属于中档题．8.答案：B解析：解：、b、c成等比数列，，又，，，，则由余弦定理得：．故选：B．由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再根据，用表示出，及ac，然后利用余弦定理表示出cos B，把表示出的各量代入，即可求出cos B 的值．此题考查了等比数列的性质，以及余弦定理的运用，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．9.答案：D解析：解：半径为1，点C、D是半圆弧AB上的两个等三分点，和都是等边三角形，，与的夹角为，，向量在向量上的投影为：，故选：D．由题意可得和都是等边三角形，，所以与的夹角为，，再利用向量数量积的几何意义，即可求出结果．本题主要考查了向量的数量积的几何意义，是基础题．10.答案：D解析：解：由，得，，，即即，则，，，，即，则，故选：D．根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．11.答案：B解析：解：由菱形ABCD的边长为2，，所以，因为，，所以，，又，所以，所以，所以，即，解得，故选：B．由平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算可得：，即，解得，得解．本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算，属中档题．12.答案：C解析：解：数列满足，，．，令，，可得时函数取对最小值．而，．的最小值为．故选：C．数列满足，，利用累加求和方法可得：，于是，令，利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了等差数列的求和公式、累加求和方法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.答案：解析：解：，故答案为：．利用二倍角公式、诱导公式，求得所给式子的值．本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，属于基础题．14.答案：解析：解：函数的定义域为R，因为，所以函数是偶函数，即正确；当时，，在上单调递减，即错误；因为函数是偶函数，所以只需要考虑上的零点个数，此时，在上有2个零点，为和，所以在有3个零点，为、和，即错误；因为函数是偶函数，所以考虑的情况即可，当时，．所以的最大值为2，即正确．故答案为：．利用函数奇偶性的概念即可判断；因为，所以可以直接去掉绝对值，，再根据正弦函数的单调性可判断；因为函数是偶函数，所以只需要考虑上的零点个数，，再根据正弦函数的零点即可判断；因为函数是偶函数，所以考虑的情况即可，，从而判断．本题考查正弦函数的图象与性质、绝对值函数的处理方式等，考查学生数形结合的能力和运算能力，属于中档题．15.答案：解析：解已知，则，故答案为：．由题意利用两角和差的三角公式，求出的值．本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．16.答案：解析：【分析】本题考查了数列的递推关系及等差数列的判定，属于中档题．根据已知结合数列性质可推出数列为等差数列，继而可求和．【解答】解：因为，，所以，，故是以为首项，为公差的等差数列．所以，即．因为，所以故答案为：．17.答案：解：向量，，由与共线，则，所以；又，所以；由；由，得所以；所以，即时，有最大值，最大值为2．解析：根据平面向量的共线定理即可求解；化为正弦型函数，再结合三角函数的性质即可求解．本题考查了向量的平行和数量积以及三角函数的性质应用问题，是基础题．18.答案：解：数列是公比为q的等比数列，，且，，成等差数列可得，且，即，解得，，则数列的通项公式为，；证明：数列的前n项和，由，可得．解析：数列是公比为q的等比数列，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；运用等比数列的求和公式，以及不等式的性质，即可得证．本题考查等比数列的通项公式和求和公式，以及等差数列的中项性质的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19.答案：解：三内角A，B，C成等差数列．，解得．由已知可得：，，联立解得．由正弦定理可得：，，，．三角形的周长，，，．解析：由三内角A，B，C成等差数列．可得，解得B．由已知可得：，，联立解得a，c．由正弦定理可得：，，可得三角形的周长，利用三角函数的单调性即可得出．本题考查了等差数列的性质、三角形面积公式、正弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：．该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：，第二行是首项为7，公差为5的等差数列：，第i行是首项为，公差为的等差数列，因此，．必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得，从而，即正整数可以分解成两个不是1的正整数之积．充分性：若可以分解成两个不是1的正整数之积，由于是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得，从而，可见N在该等差数阵中．综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是可以分解成两个不是1的正整数之积．解析：先根据图象和每行、每列都是等差数列得到的值．先根据第一行的前两个数求出第一行的通项公式，同理可得第二行的通项公式，进而求出第i行的首项和公差得到通项公式．必要性：先假设N在该等差数阵中，则一定存在正整数i，j使得成立，再得到的关系式后进行整理即可得得证．充分性：先假设可以分解成两个不是1的正整数之积，根据是奇数可以分解为两个不是1的奇数之积，表示出来即可得证．本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．21.答案：解：中，D是BC的中点，，AD与CE交于点O．设，又，，所以，所以，又，所以，由组成方程组解得，所以；设，；所以，，所以，，所以；又，所以，所以，所以．解析：用、表示，再用、表示，利用向量相等列方程组求出x、y的值即可；先求出，再用、表示出、，利用即可求得的值．本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．22.答案：解：，，，，数列是首项为1，公差为2的等差数列，；，，当时，，当时，，满足上式，，，，，当时，由指数函数的单调性知数列不存在最大值和最小值，当时，数列的最大值为3，最小值为，而，当时，由指数函数的单调性知数列的最大值，最小值，，解得，综上所述，时满足条件．解析：把代入，可得数列是首项为1，公差为2的等差数列，再由等差数列的通项公式得答案；由，，可得，然后分，，三种情况求出数列的最大值M与最小值m，再列出不等式组求出t的取值范围．本题主要考查了数列的递推式，是中档题．。
2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (38)-720(解析版)
2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (38)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 下列角与α=36°终边相同的角为( )A. 324°B. −324°C. 336°D. −336°2. 设平面向量a ⃗ =(−1,0)，b ⃗ =(0,2)，则2a ⃗ −3b ⃗ 等于 ( )A. (6,3)B. (−2,−6)C. (2,1)D. (7,2) 3. 一个扇形的面积是1cm 2，半径是1cm ，则该扇形圆心角的弧度数是( )A. 12B. 1C. 2D. 2sin14. 将函数y =cos2x 的图象向左平移π3个单位长度，所得图象的函数解析式为( )A. y =cos(2x −2π3) B. y =cos(2x +π3) C. y =cos(2x +2π3)D. y =cos(2x −π3)5. α,β∈(0,π2)，且α，β的终边关于直线y =x 对称，若sinα=35，则sinβ=( )A. 35B. 45C. 7√210D. 3√3+4√2106. 在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =3CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R )，则λ⋅μ= A. −3B. −13C. 3D. 137. 函数y =sin(π3−2x)的单调减区间是( )A. [2kπ−π12,2kπ+5π12](k ∈Z) B. [kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z) C. [2kπ+5π12,2kπ+11π12](k ∈Z) D. [kπ+5π12,kπ+11π12](k ∈Z)8. 对于函数f(x)=sin (πx +π2)，下列说法正确的是( )A. f(x)的周期为π，且在[0,1]上单调递增B. f(x)的周期为2，且在[0,1]上单调递减C. f(x)的周期为π，且在[−1,0]上单调递增D. f(x)的周期为2，且在[−1,0]上单调递减9. 已知sin(π+α)=−13，则cos(3π2−α)的值为( )A. 13B. 2√23C. −2√23D. −13 10. 已知单位向量e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 的夹角为60°，则向量e 2⃗⃗⃗ −2e 1⃗⃗⃗ 在e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 方向上的投影是( )A. √32B. −√32C. 12D. −1211. 函数f(x)=sin(2x +φ)(0≤φ≤π)图象向右平移π6个单位后关于y 轴对称，则φ的值是( )A. 0B. π6C. π3D. 5π612. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 1 B. 6C. −7D. 7二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若向量m⃗⃗⃗ =(2,1)，n ⃗ =(−3,2λ)，且(2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ )//(m ⃗⃗⃗ +3n ⃗ )，则实数λ=______． 14. cos(−π4)−sin(−π4)的值是______ ．15. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．16. 在ΔABC 中，D 为边BC 上一点，且AD ⊥BC ，若AD =1，BD =2，CD =3，则∠BAC 的度数为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知向量a ⃗ =(m +1,−3),b ⃗ =(1,m −3),(a ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −b ⃗ )，求实数m 的值．18. 已知，17π12<x <7π4．(Ⅰ)求sin2x 的值． (Ⅱ)求tan x 的值．19. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(其中ω>0，|φ|<π2)，若函数f(x)的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为π2且过点(0,1)．(1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的单调增区间； (3)求f(x)在(−π2,0)的值域．20. 已知向量a ⃗ =(sinα,√5cosα−sinα)，b ⃗ =(cosβ−√5sinβ,cosβ)，且a ⃗ ·b ⃗ =2．(1)cos(α+β)的值；(2)若0<α<π2，0<β<π2，且sinα=√1010，求2α+β的值21. 已知向量a ⃗ =(cosx,sinx +√3cosx)，b ⃗ =(cosx −√3sinx,−sinx)，f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)当x ∈[−π6,π4]时，求函数f(x)的取值范围．22. 如图，平面四边形ABCD 中，AB =13，AC =10，AD =5，cos∠DAC =35，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =120． (1)求cos∠BAD ；(2)设AC⃗⃗⃗⃗⃗ =x ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求x 、y 的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查终边相同角的表示，属于基础题．直接利用终边相同角的表示方法求解即可．【解答】解：与36°角终边相同的角为36°+k×360°，k∈Z，令k=−1，可得−324°．故选B．2.答案：B解析：【分析】本题考查向量的坐标运算.根据向量的坐标运算即可.属于基础题。
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故选 A．
【点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等比
数列的性质的合理运用．
5.如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直
角三角形的直角边长为 2，那么这个几何体的体积为（ ）
8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2x y 3 0 的距离为（ ）
A. 5 5
B. 2 5 5
C. 5 5
D. 4 5 5
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 a, a , a 0 ，可得圆的半径为 a ，写出圆的标
准方程，利用点 2,1 在圆上，求得实数 a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线
6.已知向量 ab
a
，
b
满足
|
a
|
5
，
|
b
|
6
，
a
b
6
，则
cos
a,
a
b
=（
）
A. 31 35
B. 19 35
17
C.
35
19
D.
35
【答案】D
【解析】
【分析】
计算出 a a b 、 a b 的值，利用平面向量数量积可计算出 cos a, a b 的值.
【详解】
故选：B．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用，由已知条件求基本量．
2.如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0 与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0 互相垂直，则 a 的值等于
（）
A. 2
B. －2
C. 2,－2
D. 2,0,－2
【答案】C
【解析】
(2a＋5)(2－a)＋(a－2)(a＋3)＝0，所以 a＝2 或 a＝－2.
可得 a2 6a 5 0 ，解得 a 1 或 a 5 ，
所以圆心的坐标为 1,1 或 5,5 ，
-2-
4
A.
3
【答案】A
8
B.
3
C. 4
【解析】
【分析】
根据三视图还原原图，并根据锥体体积公式，计算出几何体的体积.
【详解】由三视图可知，该几何体为三棱锥，如下图所示，
故体积为
1 3
1 2
2
2
2
4 3
.
故选：A
D. 8
【点睛】本小题主要考查根据三视图还原原图，考查几何体体积的求法，属于基础题.
雅礼教育集团 2019-2020 学年度第二学期期末考试试卷
高一数学
（时量：120 分钟 满分：150 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.等差数列an 中， a1 a5 10 ， a4 7 ，则数列an 的公差为（ ）
a
5，
b
6
，
a
b
6
，
a
ab
2 a
a b
52
6
19 .
ab
2 ab
2 a
2a b
b
2
25 2 6 36 7 ，
因此， cos a, a b
a
a b
19
19 .
a a b 5 7 35
-3-
故选：D. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向 量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7. 下列命题中错误的是（ ） A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么 l⊥平面γ D. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D 【解析】 由题意可知： A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立； B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命 题成立； C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于 l 的直线垂直于交线，再由线面垂直的性 质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与 l 平 行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立； D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题 错误． 故选 D．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
设数列{an} 的公差为 d ，则由题意可得 2a1 4d 10 ， a1 3d 7 ，由此解得 d 的值．
【详解】解：设数列{an} 的公差为 d ，则由 a1 a5 10 ， a4 7 ，
可得 2a1 4d 10 ， a1 3d 7 ， 解得 d 2 .
4.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常
称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得100 , 60 , 36 , 21.6 个单
位,递减的比例为 40% ,今共有粮 m(m 0) 石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙
衰分得 80 石,乙、丁衰分所得的和为164 石,则“衰分比”与 m 的值分别为（ ）
A. 20% 369
B. 80% 369
C. 40% 360
D. 60%
365
【答案】A
【解析】
【分析】
设“衰分比”为 a ,甲衰分得 b 石,由题意列出方程组,由此能求出结果． 【详解】解：设“衰分比”为 a ,甲衰分得 b 石,
b(1 a)2 80 由题意得 b(1 a) b(1 a)3 164 ,
-4-
2x y 3 0 的距离.
【详解】由于圆上的点 2,1 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 a,a ，则圆的半径为 a ，
圆的标准方程为 x a2 y a2 a2 . 由题意可得 2 a2 1 a2 a2 ，
3.在 ABC 中， a 1 ， c 2 ， B 120 ，则 b 边长为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦定理可求得 b 边长.
-1-
【详解】由余弦定理得 b2 a2 c2 2ac cos B 7 ，因此， b 7 .
故选：D.
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.