高一数学上学期期中考试试卷及答案

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北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案

2024年高一第一学期期中试卷数学（答案在最后）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合{}31M x x =-<<，{}14N x x =-≤<，则M N = （）A.{}31x x -<< B.{}3x x >- C.{}11x x -≤< D.{}4x x <2.设命题p ： n ∃∈N ，225n n >+，则p 的否定是（）A. n ∀∈N ，225n n >+ B. n ∀∈N ，225n n ≤+C.n ∃∈N ，225n n ≤+ D.n ∃∈N ，N 225n n <+3.下列各组函数中，两个函数相同的是（）A.3y =和y x=B.2y =和y x=C.y =和2y =D.y =和2x y x=4.下列函数在区间()0,+∞上为增函数的是（）A.2xy = B.()21y x =- C.1y x-= D.3xy -=5.若实数a ，b 满足a b >，则下列不等式成立的是（）A.a b> B.a c b c+>+ C.22a b > D.22ac bc>6.“4a ≥”是“二次函数()2f x x ax a =-+有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在下列区间中，一定包含函数()25xf x x =+-零点的区间是（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,48.已知函数()1,01,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（）A.()1,2 B.(),2-∞- C.()(),12,-∞+∞ D.(][),12,-∞+∞ 9.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，都有()()21210f x f x x x -<-，且()30f =，则不等式()0f x >的解集是（）A.()(),30,3-∞-B.()()3,03,-+∞C.()3,3- D.()(),33,-∞-+∞ 10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数()()2e 0,e 2.71828ex xa bf x ab +=≠=⋅⋅⋅来表示.下列结论正确的是（）A.若0ab >，则()f x 为奇函数B.若0ab >，则()f x 有最小值C.若0ab <，则()f x 为增函数D.若0ab <，则()f x 存在零点二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.函数()f x =的定义域为__________.12.已知函数()()1104f x x x x=++>，则当且仅当x =_________时，()f x 有最小值________.13.已知集合{}2,0A a =，{}3,9B a =-，若满足{}9A B = ，则实数a 的值为________.14.已知函数()y f x =在R 上是奇函数，当0x ≤时，()21xf x =-，则()1f =________；当0x >时，()f x =________.15.已知非空集合A ，B 满足以下四个条件：①{}1,2,3,4,5,6A B = ；②A B =∅ ；③A 中的元素个数不是A 中的元素；④B 中的元素个数不是B 中的元素.（ⅰ）如果集合A 中只有1个元素，那么集合A 的元素是__________；（ⅱ）有序集合对(),A B 的个数是__________.三、解答题（共6小题，第16题9分，第17-19题6分，第20题7分，第21题6分）16.已知集合{}14A x x =-≤≤，{}11B x a x a =-≤≤+.（1）若4a =，求A B ；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.17.解下列关于x 的不等式：（1）2112x x +≤-（2）213x -≥（3）()()2220ax a x a +--≥∈R 18.已知函数()22xxf x a -=⋅-是定义在R 上的奇函数.（1）求a 的值，并用定义法证明()f x 在R 上单调递增；（2）解关于x 的不等式()()23540f x x f x -+->.19.某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底造价为每平方米150元，池壁每平方米造价为120元，怎么设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？20.已知函数()()21f x mx m x m =--+.（1）若不等式()0f x >的解集为R ，求m 的取值范围；（2）若不等式()0f x ≤对一切()0,x ∈+∞恒成立，求m 的取值范围；21.设k 是正整数，集合A 至少有两个元素，且* N A ⊆.如果对于A 中的任意两个不同的元素x ，y ，都有x y k -≠，则称A 具有性质()P k .（1）试判断集合{}1,2,3,4B =和{}1,4,7,10C =是否具有性质()2P ？并说明理由；（2）若集合{}{}1212,,,1,2,,20A a a a =⋅⋅⋅⊆⋅⋅⋅，求证：A 不可能具有性质()3P ；（3）若集合{}1,2,,2023A ⊆⋅⋅⋅，且同时具有性质()4P 和()7P ，求集合A 中元素个数的最大值.高一第一学期期中试卷数学参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）CBAABABDCD二、共填空题（共5小题）11.[)1,+∞12.12；213.-314.12；()12xf x -=-15.5；10三、解答题（共6小题）17.（1）{}23A B x x =≤≤ .（2）a 的取值范围是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.16.（1）()3,2-；（2）(][),12,-∞-+∞ （3）综上所述：当0a =时，不等式解集为(],1-∞-；当0a >时，不等式解集为(]2,1,a ⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭；当20a -<<时，不等式解集为2,1a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式解集为{}1-；当2a <-时，不等式解集为21,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.18.（1）1a =，证明略（2）()()()()()2235403544f x x f x f x x f x f x -+->⇒->--=-∴23542x x x x ->-⇒>或23x <-.19.水池总造价()()16001502331207201600150x f x xy x y x ⎛⎫=⨯++⨯=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭72024000057600240000297600≥+=+=元.当且仅当40x m =，40y m =时取等号.∴设计水池底面为边长为40m 的正方形能使总造价最低，最低造价是297600元.20.（1）m 的取值范围为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）m 的取值范围为(],1-∞-；21.（1）集合B 不具有性质()2P ，集合C 具有性质()2P （2）证明：将集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中的元素分为如下11个集合，{1，4}，{2，5}，{3，6}，{7，10}，{8，11}.{9，12}，{13，16}，{14，17}，{15，18}，{19}，{20}，所以从集合{}1,2,,20⋅⋅⋅中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，所以A 不可能具有性质()3P ；（3）先说明连续11项中集合A 中最多选取5项，以1，2，3……，11为例.构造抽屉{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5}，{6}，{7}.①5，6，7同时选，因为具有性质()4P 和()7P ，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；则只剩4，8.故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.②5，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又{4，11}只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{1，8}只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.③5，6，7中只选1个，又四个集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}每个集合至多选1个元素，故1，2，3……，11中属于集合A 的元素个数不超过5个.由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A 的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9.因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A 的元素最多有184×5=920个.给出如下选取方法：从1，2，3……，11中选取1，4，6，7，9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.此时集合A的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；……；2014，2017，2019，2020，2022，共920个元素.经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个.。

广东省深圳市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

2024-2025学年高一年级第一学期中考试数学试卷考试时长：120分钟卷面总分：150分本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷为1-11题，共58分，第Ⅱ卷为12-19题，共92分.全卷共计100分.考试时间为120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.命题“”的否定是（）A. B.C.D.3.已知幂函数图象过点，则等于（）A.12B.19C.24D.364.已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于（）A.B.1C.17D.255.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.6.若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为（）A. B.或C.或 D.或7.若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.{}1,0,1,2,3,{12}A B xx =-=-<∣…A B ⋂={}1,0-{}1,0,1-{}0,1{}0,1,22,12x x x ∀∈>-R 2,12x x x ∀∈<-R 2,12x x x ∀∈-R …2,12x x x ∃∈-R …2,12x x x∃∈<-R ()fx )2P ()6f ()245f x x mx =-+[)2,∞-+(,2]∞--()1f 7-x ∃∈R ()()22210m x m x -+-+...m 6m >26m <<26m < (2)m …()f x [)0,∞+()21f -=()1f x >{22}x x -<<∣{2xx <-∣2}x >{2xx <-∣02}x <<{2xx >∣20}x -<<()21f x -[]3,1-y ={}131,2⎛⎤ ⎥⎝⎦35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦51,2⎛⎤⎥⎝⎦8.若，且，则的最小值为（）A.B.C.D.二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.命题“，都有”的否定是“，使得”B.当时，的最小值为C.若不等式的解集为，则D.“”是“”的充分不必要条件10.下列说法正确的是（）A.与B.命题，则C.已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是D.函数的值域为11.已知函数，则下列判断中正确的有（）A.存在，函数有4个根B.存在常数，使为奇函数C.若在区间上最大值为，则的取值范围为或D.存在常数，使在上单调递减三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，集合，若，则__________.13.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是__________.a b >2ab =22(1)(1)a b ab-++-24-4-2-0x ∀>21x x >-0x ∃…21x x -…1x >121x x +-2+220ax x c ++>{12}xx -<<∣2a c +=1a >11a<y =y =:,01x p x x ∀∈>-R :,01x p x x ⌝∃∈≤-R ()()()2511x ax x f x ax x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩R a []3,1--1y x =-+1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(),f x x x a a =-∈R k ∈R ()y f x k =-a ()f x ()f x []0,1()1f a 2a ≤-2a ≥a ()f x []1,3{}1,3,2A m =-{}23,B m =B A ⊆m =()1ax f x x a-=-()2,∞+a14.若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知：关于的不等式的解集为：不等式的解集为.（1）若，求；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.16.（15分）某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且该游玩项目的每张门票售价为60元.（1）求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）；（2）当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少.17.（15分）已知满足.（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范围.18.（17分）已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在（上的单调性，并用定义证明；（3）解不等式.19.（17分）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得.()()()2224,02,0x x x f x x x ⎧-+>⎪=⎨≤⎪⎩()1,32a a --a p x ()224300x ax a a -+>…,A q 502x x -≤-B 1a =A B ⋂p q a x ()R x ()()225,(05)20100,(520),90061565,20x R x x x x x x x ⎧⎪<<⎪=+-≤<⎨⎪⎪+-≥⎩()W x x ,0x y >6x y +=3y x y+()2244x y m x y +≥+m ()24ax b f x x +=+()2,2-()115f =()f x ()f x 2,2)-()()210f t f t +->R ()f x ,x y ∀∈R ()()()()()1f x f y f x y f x f y ++=+0x >()0f x >x ∈R ()1f x =（1）求证：为奇函数；（2）求证：在上单调递增；2024-2025学年第一学期期中考试高一年级数学试卷答案一､选择题（共小题）题号1234567891011()f x ()f x R 11选项B C D D C B D D BCD AD BC三､填空题（共3小题）12.13.14.四､解答题（共5小题）15.解：（1）：关于的不等式的解集为：不等式的解集为.当时，，解得，所以，又，所以，解得，所以，所以；（2）若是的必要不充分条件，则是的真子集，由（1）知时，集合，所以，则，又时，，符合是的真子集，时，，符合是的真子集，所以，综上，实数的取值范围为.16.解：（1）某开发商计划2024年全年投入固定成本300万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为60元，则，又，2-(,1)(1,2]∞--⋃[)0,1p x ()224300x ax a a -+>…,A q 502x x --…B 1a =2430x x -+…13x ……{}13A xx =∣ (5)02x x --…()()52020x x x ⎧--⎨-≠⎩…25x <…{25}B xx =<∣…{23}A B xx ⋂=<∣…p q B A ()22{25},4300B xx x ax a a =<-+>∣……0a >{}3A xa x a =∣……235a a ⎧⎨⎩ (5)23a ……2a ={}26A xx =∣……B A 53a =553A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭……B A 523a ……a 523aa ⎧⎫⎨⎬⎩⎭……x ()R x ()225,0520100,52090061565,20x R x x x x x x x ⎧⎪<<⎪=+-<⎨⎪⎪+-⎩……()()60300W x x R x =--()225,0520100,52090061565,20x R x x x x x x x ⎧⎪<<⎪=+-<⎨⎪⎪+-⎩……所以，即W ；（2）当时，单调递增，且当时，所以，当时，，则在上单调递增，所以，当时，，当且仅当即时等号成立，故，，综上，游客为30万人时利润最大，最大为205万.17.解：（1），当且仅当，即时取等号，即取得最小值.（2）由，得，即，不等式恒成立，即恒成立，()()26030025,056030020100,5209006030061565,20x x W x x x x x x x x x ⎧⎪--<<⎪⎪=--+-<⎨⎪⎛⎫⎪--+- ⎪⎪⎝⎭⎩……()260325,0540200,520900265,20x x x x x x x x x ⎧⎪-<<⎪=-+-<⎨⎪⎪--+⎩……05x <<60325y x =-5x =25y =-()25W x <-520x <…()2240200(20)200W x x x x =-+-=--+()W x ()5,20()200W x <20x …()900900265265265205W x x x x x ⎛⎫=--+=-++-+= ⎪⎝⎭ (900)x x=30x =()max 205W x =20520025>>- ()33211211213113122y y x y x x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-=+-=++-=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭113122⎛+-=+ ⎝…2y xx y=()62,61x y =-=3y x y +12+0,0,6x y x y >>+=60x y =->06y <<()2244x y m x y ++…2244x y m x y++…，当且仅当，即时取等号，因此当时，取得最小值，则，所以的取值范围.18.解：（1）函数是定义在上的奇函数，则，即，因为，解得，则，经检验，是奇函数.（2）在（上为增函数，证明如下：设，则，由于，则，即，又，则有，则在上是增函数.（3）由题意可得，在上为单调递增的奇函数，由可得，所以，解得，，故的范围为.19.解：（1）证明：的定义域为，关于原点对称，令，得，解得或，又不存在，使得，故，令，得，故，即，因此为奇函数；()()()2222225(2)322804(6)4512364363232y y x y y y y y x y y y y +-+++-+-+===++++()5163253282323333y y ⎡⎤=++-⋅=⎢⎥+⎣⎦…1622y y +=+2y =4,2x y ==2244x y x y ++8383m …m 83m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ (2)4ax bx ++()2,2-()004bf ==0b =()11145a f ==+1a =()24xf x x =+()f x ()f x 2,2)-22m n -<<<()()()()()()222244444m n mn m nf m f n m n m n ---=-=++++22m n -<<<0,4m n mn -<<40mn ->()()22440m n++>()()0f m f n -<()f x ()2,2-()f x ()2,2-()()210f t f t +->()()()211f t f t f t >--=-2212t t >>->-131t <<t 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x R 0x y ==()()()220010f f f =+()00f =()01f =±x ∈R ()1f x =()00f =y x =-()()()()()()001f x f x f x x f f x f x +--===+-()()0f x f x +-=()()f x f x -=-()f x（2）证明：时，，则，当且仅当，等号成立，又不存在，使得，则，于是时，，又为奇函数，则时，，于是对，任取，则，而，又，则，于是，故，因此在上单调递增；0x >0,022x x f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭()22212212x f x x f x f x f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=+= ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭…12x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭x ∈R ()1f x =12x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭0x >()01f x <<()f x 0x <()()()1,0f x f x =--∈-(),11x f x ∀∈-<<R 12x x <()21210,0x x f x x ->->()()()()()()()()()()212121212121011f x f x f x f x f x x f x x f x f x f x f x +--⎡⎤-=+-==>⎣⎦+--()()()12,1,1f x f x ∈-()()()121,1f x f x ∈-()()1210f x f x ->()()()()21210,f x f x f x f x ->>()f x R。

贵州省六盘水市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学(含答案)

六盘水市2024-2025学年度第一学期期中质量监测高一年级数学试题卷（考试时长：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）1. 命题“，”的否定为（）A. ，B. ，C. ，D. ，2. 已知集合，，则下列关系正确的是（）A.B. C. D. 3. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 下列函数中既是奇函数又在区间上为增函数是（）A. B. C. D.5. 已知，，，则的最小值为（）A. 9B. 8C. 4D. 36. 已知函数的部分图象如图所示，则（）的x ∃∈Q 220x -=x ∃∉Q 220x -≠x ∃∈Q 220x -≠x ∀∈Q 220x -≠x ∀∉Q 220x -≠{}22A x x =-≤≤{}0,1,2B =AA ⊆Z 1B ⊆B A⊆1x >2x >()0,∞+1y x=21y x =+y x x =1y x x=+0a >0b >21a b +=12a b+()1f x x x=-A. 的定义域为B. 的值域为C. 在区间上单调递减D. 的解集为7. 若关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（）A. B. C. D. 8. 已知是上的偶函数，当时，．若，则的取值范围为（）A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9. 下列命题为真命题的是（）A. 若，则 B. 若，，则C. 若，，则 D. 若，则10. 下列说法正确的是（）A 若，则B. 若，则C. 若是偶函数，则是偶函数D. 若是奇函数，则的图象关于轴对称11. 已知函数，．，用表示，中的较大者，记为，则（）()f x ()f x ()f x (),0∞-()0f x >()()1,01,∞-⋃+x ()()21110a x a x -+--<x a (]3,1-()3,1-()(),31,-∞-+∞ ()[),31,-∞-⋃+∞()y f x =R 0x ≥()11f x x =+()1122f m ->m ()1,+∞()0,1()(),01,-∞⋃+∞(),0-∞a b >22ac bc >a b >c d >a d b c ->-a b >c d >ac bd >a b >1212b a->-()21f x x +=()39f =()21f x x =-()212f x x x+=+()y f x =()2y f x =-()y f x =()y f x =y ()3f x x =+()()21g x ax =+x ∀∈R ()M x ()f x ()g x ()()(){}max ,M x f x g x =A. 的解集为B. 当时，的值域为C. 若在上单调递增，则D. 当时，不等式有4个整数解三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．）12. 函数的定义域为_________．13. 如图所示，动物园要建造一面靠墙的矩形熊猫居室，墙长．如果可供建造围墙的材料总长是，则当宽为_________时，才能使所建造的熊猫居室面积最大，熊猫居室的最大面积是_________．14. 已知定义在上的函数满足：①；②，，；③在上单调递减．则不等式解集为_________．四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15. 已知函数（1）求，的值；（2）若，求的取值范围．16. 设全集，集合，．（1）若，求，；（2）若，求的取值范围．17. 已知二次不等式的解集为．的()0f x >()3,-+∞1a =()M x [)1,+∞()M x 2,9⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭3a ≥-106a -≤<()214g x x >()1f x =-20m 36m x m 2m R ()f x ()124f =x ∀y ∈R ()()()f x y f x f y +=()f x R ()()244f xf x ≥+()22,0,1,0.x x x f x x x ⎧-<=⎨+≥⎩()1f -()()3ff -()3f a ≤a U =R {}13A x m x m =+≤≤224B y y x x ⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭2m =U A ðA B A B A = m 220ax bx ++<()2,1--（1）求不等式的解集；（2）已知，且，求最小值．18. 已知函数．（1）若是偶函数，求的值；（2）求关于的不等式的解集；（3）若在区间上最小值为，求的值．19. 已知集合，其中且．若集合满足：①；②对于中的任意两个元素，（，），满足；则称集合是关于实数的“压缩集”．例如，集合是关于的“压缩集”，理由如下：①；②，，．（1）判断集合是否是关于的“压缩集”，并说明理由：（2）若集合是关于的“压缩集”，（i ）求证：，；（提示：）（ii ）求中元素个数的最大值．的的2340x x a -+≥0m >0n >mn m n b =++m n +()()2122f x x a x a =-++-()f x a x ()0f x <()f x []1,2-1-a {}123,,,,n A x x x x +=⊆N n +∈N 3n ≥A 123n x x x x <<<< A i x j x i {}1,2,3,,j n ∈ 111i j x x K-≥A K {}2,3,4A =12K =234<<1112412-≥1113412-≥1112312-≥{}3,4,5A =20K =A 20K =1120i n n i x x --≥{}1,2,3,,i n ∈ 11202020n in i --++= A六盘水市2024-2025学年度第一学期期中质量监测高一年级数学试题卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】B二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）9.【答案】BD10.【答案】BCD11.【答案】ABD三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．）12.【答案】13.【答案】 ①. ②. 14.【答案】四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.【答案】（1），（2）16. 【解析】【分析】（1）利用基本不等式求得函数的值域，从而解得集合，再求结果即可；（2）根据题意可得，对参数的取值进行分类讨论，列出满足题意的不等式，求解即可.【小问1详解】因，当且仅当，也即，故，又时，，故或，.【小问2详解】由可得：；①若，即时，，满足题意；②若时，要满足题意，则，解得.综上所述，实数的取值范围为：.17.【解析】为[)3,∞-+9162[]1,2-()13f -=()()316f f -=[]1,2-224y x x=+B m 2244y x x =+≥=224x x =x =[)4,+∞224B y y x x ⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭[)4,=+∞2m ={|36}A x x =≤≤U A ð{|3x x =<6}x >A B {|3}x x =≥A B A = 13m m +>12m <A =∅12m ≥14m +≥[)3,m ∈+∞m [)1,3,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据不等式的解集，求得，再解一元二次不等式即可；（2）根据（1）中所求，结合不等式，即可求得的最小值.【小问1详解】根据题意可得：，且，解得，经检验满足题意；，也即，，解得，故不等式的解集为：.【小问2详解】由（1）可知，也即，因为，故可得，也即，故，解得或，又，故，当且仅当，也即时取得等号；故的最小值为.18.【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）求出二次函数的对称轴，代入计算，即可得到结果；（2）将不等式因式分解，然后按照两根的大小关系讨论，即可得到结果；（3）求出二次函数的对称轴，然后结合二次函数的图像特点，分类讨论，即可得到结果.【小问1详解】因为二次函数的对称轴为，,a b b ()214mn m n ≤+m n +()()221,21b a a-+-=--⨯-=1,3a b ==2340x x a -+≥23410x x -+≥()()3110x x --≥[)1,1,3x ⎛⎤∈-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦2340x x a -+≥[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦mn m n b =++3mn m n =++()214mn m n ≤+()2134m n m n ++≤+()()24120m n m n +-+-≥()()620m n m n +-++≥6m n +≥2m n +≤-0,0m n >>6m n +≥,3m n mn m n ==++3m n ==m n +61a =-1a =()()2122f x x a x a =-++-12a x +=若是偶函数，则对称轴为，即.【小问2详解】由可得，即，当时，即，不等式的解集为；当时，即，不等式的解集为；当时，即，不等式的解集为；综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；【小问3详解】二次函数的对称轴为，当时，即，此时函数在上单调递减，则，不符合题意；当时，即，此时，即，化简可得，解得或（舍）；当时，即，此时函数在上单调递增，则，即，解得（舍）；综上所述，.19. 【解析】【分析】（1）根据的“压缩集”定义判断即可；（2）设且，则，()f x 102a x +==1a =-()0f x <()21220x a x a -++-<()()210x x a ---<⎡⎤⎣⎦12a ->3a >21x a <<-12a -=3a =∅12a -<3a <12a x -<<3a >{}21x x a <<-3a =∅3a <{}12x a x -<<()()2122f x x a x a =-++-12a x +=122a +≥3a ≥()f x []1,2-()()min 20f x f ==1122a +-<<33a -<<()min 112a f x f +⎛⎫==- ⎪⎝⎭()211122122a a a a ++⎛⎫-+⋅+-=- ⎪⎝⎭()()150a a --=1a =5a =112a +≤-3a ≤-()f x []1,2-()()min 11f x f =-=-31a =-13a =-1a =20K =12{,,,,,,,}N i j n A x x x x x +=⊆ 121i j n n x x x x x x -<<<<<<<< 1211111i j nx x x x x >>>>>>>（i）根据，结合即可证；（ii ）根据定义，要使中元素个数最大必有，以为界点判断两侧最多能有几个元素属于集合A ，即可得答案.【小问1详解】集合是关于的“压缩集”，理由如下：由题意，对于有，且，，，所以，对于其中任意两个元素都有成立，故是关于的“压缩集”.【小问2详解】设且，所以，（i ）由题意，中的任意两个元素，（），满足，所以，得证；（ii ）由题意随递减，而，，所以中元素个数最大，则，即，若存在，则，可得，所以，若时，此时，显然与矛盾，所以，若必有，以下讨论和两种情况，当，1111120i j i j x x x x -=-≥112111111111i i n i n i i n x x x x x x x x ++-+-=-+-++- A {1,2,3,4,5}A ⊆20k x ={}3,4,5A =20K ={}3,4,5A =345<<111||3412-=112||3515-=111||4520-=11120i j x x -≥{}3,4,5A =20K ={}121,,,,,,N i n n A x x x x x -+=⊆ 121i n n x x x x x -<<<<<< A i x j x i <j 1111120i j i j x x x x -=-≥11211111111111202020n ii n i i i n i n n i x x x x x x x x ++-+---=-+-++-≥++=111n n x x --N n +∈1114520-=1111563020-=<A 1234512345x x x x x =<=<=<=<={1,2,3,4,5}A ⊆6x 6111520x -≥661320203x x ≤⇒≥67x ≥120n x -≥1111111102020n n n n x x x x ---≥⇒≤-≤n x +∈N 20n x ≥120n x -<20n x =20n x >20n x =则，此时，即，由，故在区间中最多有一个元素属于集合，当时，，显然与矛盾，此时最大元素为，同理可证均有，所以，，有，其中，即最多有7个元素；当，若，则，得且，即，同时，得且，即，而，且，故有，此时，综上，，则，其中，即最多有8个元素；同理讨论，均可得，即最多有8个元素；综上，中元素个数的最大值为8.120n x -<111120n n x x -≥+11111010n n x x --≥⇒≤11317107020-=<[7,10]A 67x =67711111120720x x x -≥⇒≤-⇒71401113x ≥>110n x -≤A 7n x x =68,9,10x =7n x x =20n x =6{1,2,3,4,5,,20}A x =6{7,8,9,10}x ∈20n x >119n x -=1111920n x -≥11380n x ≤n x +∈N 380n x ≥21111920n x --≥2139380n x -≥2n x -+∈N 29n x -≤67x ≥1121796320-=<26n x x -=268n n -=⇒=8380x ≥{}681,2,3,4,5,,19,A x x =6{7,8,9}x ∈1{11,12,13,14,15,16,17,18}n x -∈{}6781,2,3,4,5,,,A x x x =A。

江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题(含答案)

江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试题高一数学 2024.11试卷满分:150分，考试时间:120分钟注意事项:1.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上(用2B 铅笔填涂)，非选择题一律在答题卡上作答（用0.5mm 黑色签字笔作答），在试卷上答题无效。

3.考试结束后，请将答题卡交监考人员。

一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每题给出的四个选项中只有一项是最符合题意的。

1.已知集合，，则（）A. B. C. D. 或2. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（）A. 1B. 2C. 3D.43.设为奇函数，且当时，，则当时，（）A. B. C. D. 4．函数的值域为（）A. B. C. D. 5.已知函数的定义域为，则函数）A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（）{|02}A x x =<<{|14}B x x =<<A B = {|02}x x <<{|24}x x <<{|04}x x <<{2|x x <4}x >a {}260A x x x =+-=∣{20}B x ax =-=∣B A ⊆a ()f x 0x ≥()2f x x x =+0x <()f x =2x x +2x x -2x x --2x x -+x x y 211-++=(]2，∞-()2，∞-()20，[)∞+，2(2)f x +(3,4)-()g x =(1,6)(1,2)(1,6)-(1,4)20ax bx c ++>{}12x x -<<()()2112a x b x c ax ++-+>A. B. 或C. 或 D. 7.命题在单调增函数，命题在上为增函数，则命题是命题的（）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要8. 已知,则的最大值为（）A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。

贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷(含解析)

对于 C 项， 1 1 1 (a 4b) (2a 2b)( 1 1 ) 1 (2 2a 2b a 4b )
a 4b 2a 2b 6
a 4b 2a 2b 6 a 4b 2a 2b
1 6
(2
2)
2 3
，当且仅当
2a 2b a 4b
a 4b 2a 2b
即
a
2b
1 时取等号，故
,
1 2
2,
7. 已知集合 M
x x 2k 1, k Z
，
N
x
x
k 4
,k
Z ，则（
）
A. M N
B. N M
C. M N
D. M = N
8. 已知命题：“ x R ， ax2 2ax 4 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围是（）
A. , 4 0, C. 4,0
【详解】命题“ x R ，都有 x2 x 3 0 ”为特称量词命题，
其否定为： x R ，都有 x2 x 3 0 .故选：D
3. 【答案】C
【详解】当 m 3 时，则 m2 2m 3 6 ，此时集合 A 0,3, 6 ，符合要求，当 m2 2m 3 3时，得 m 0 或 m 2 ，而当 m 0 时， A 0, 0, 3 不符合要求，而当 m 2 时， A 0, 2,3 ，符合题意，综上可知： m 3 或 m 2 ，故选：C
x
定义域为 x 1 x 1 ,而 g(x) 1 x g 1 x 1 x2 的定义域为 x 1 x 1 ，故两函数定义域相
同，且对应关系也相同，故是同一函数.故选:ABD. 11. 【答案】ACD
【详解】对于 A， 6 2a 20 ， 7 b 2 32 即 5 b 30 ，11 2a b 50 ，正确，对于 B，3 a 10 ， 7 b 2 32 即 5 b 30 ，10 a 3 ，5 b a 27 ，错误，对于 C，3 a 10 ， 7 b 2 32 即 5 b 30 ， 1 1 1 ， 1 b 10 ，正确,

湖北省荆州2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案

荆州2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（答案在最后）（全卷满分150分考试用时120分钟）一､单项选择题1.设集合{}20,212x x M x N y y x ⎧⎫-=≥==-⎨⎬+⎩⎭∣则M N ⋂=（）A.[)2,∞+ B.[]1,2- C.(]1,2- D.()1,∞-+2.下列说法不正确的是（）A.命题2:,0p x x ∃∈≤R ，则命题p 的否定：2,0x x ∀∈>R B.若集合{}210A xax x =++=∣中只有一个元素，则14a =C.若13,21x y <<-<<-，则328x y <-<D.已知集合{}0,1,2M =，且N M ⊆，满足条件的集合N 的个数为83.下列比较大小的式子中，正确的有（）个①3112351393-⎛⎫<< ⎪⎝⎭；②0.80.60.60.8<<A.0 B.1C.2D.34.幂函数()()22231m m f x m m x +-=--在区间()0,∞+上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断5.在下图中，二次函数2y ax bx c =++与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像只可能是（）A. B.C. D.6.为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了20%，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m ，则2029年的耕地面积为（）A.()25010.2m- B.11010.8m ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2500.8mD.1100.8m7.已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()128xf x =-，则()0f x <的解集为（）A.()()3,00,3-⋃B.()3,3-C.()(),33,∞∞--⋃+ D.()(),30,3∞--⋃8.已知函数()()12,1312,32x x f x f x x ⎧--≤≤⎪=⎨->⎪⎩，则下列说法错误的是（）A.()164f =B.关于x 的方程()641f x =有13个不同的解C.()f x 在[]2024,2025上单调递增D.当[)1,x ∞∈+时，()2xf x ≤恒成立二､多项选择题9.下列说法正确的是（）A.若()f x 的定义域为[]2,2-，则()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.函数()12(0x f x aa -=->且1)a ≠的图象恒过定点()1,2-C.函数()f x =6D.“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正根和一负根”的充要条件10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x=称为高斯函数.例如：][3.24,2.32⎡⎤-=-=⎣⎦.已知函数()21122x xf x =-+，则关于函数()()g x f x ⎡⎤=⎣⎦的叙述中正确的是（）A.()f x 是奇函数B.()g x 是偶函数C.()f x 的值域是11,22⎛⎫-⎪⎝⎭D.()g x 的值域是{}1,0-11.已知函数()(),f x g x 的定义域均为R ，且()()()()21,11g x f x f x g x +-+=-+=，若()y f x =的图象关于直线1x =对称，则以下说法正确的是（）A.()g x 为奇函数B.()(),4x f x f x ∀∈=+R C.()()202420232f x f x ++--= D.302g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭三､填空题12.已知11221a a--=，计算：2233223a a a a--++=-__________.13.已知定义在[)0,∞+上的函数()f x 满足对[)1212,0,,x x x x ∞∀∈+≠，都有()()21212f x f x x x ->-，若()12024f =，则不等式()()202421013f x x ->-的解集为__________.14.已知函数()f x 定义域为()0,∞+，且满足()()()1212f x f x f x x +=，当1x >时，()0f x <，若不等式()fff a ≤+恒成立，则实数a 的取值范围是__________.四､解答题15.已知函数()f x =的定义域为R （1）求实数a 的取值集合A ；（2）设集合{31}B xm x m =<<+∣，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16.已知函数()222,y x a x a a =-++∈R（1）解关于x 的不等式0y <；（2）若方程()2221x a x a x -++=+有两个正实数根12,x x ，求2112x x x x +的最小值.17.荆州中学坐落于历史文化名城荆州，发轫于东汉马融绛帐讲学，历经明清龙山书院､贡院，弦歌不辍，薪火相传，文脉不绝.其近代教育始于1903年清政府创办的荆州府中学堂，临近121周年校庆，学校计划对校史馆进行修缮.现要在校史馆阁楼屋顶上开一窗户，设其一边长（单位：m ）为x.（1）已知阁楼屋顶为高2m ，底边长5m 的锐角三角形，若开一个内接矩形窗户（阴影部分）（如图所示）.（i ）要使窗户面积不小于2平方米，求x 的取值范围；（ii ）规定：公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长x 为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？（2）一般认为，在公共室内场所的窗户面积必须小于地板面积的规定下，窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试从数学角度说明理由.18.已知函数()()4121xxf x m =-+⋅-.（1）若0m =，求()f x 在区间[]1,2-上的值域；（2）若方程()20f x +=有实根，求实数m 的取值范围；（3）设函数()224112x x g x -+-⎛⎫= ⎪⎝⎭，若对任意的[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x ≥，求实数m 的取值范围.19.若存在常数,k b 使得函数()F x 与()G x 在给定区间上的任意实数x 都有()()F x kx b G x ≥+≥，则称y kx b =+是()y F x =与()y G x =的隔离直线函数.已知函数()()2111,12f x x x g x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭.（1）证明：函数()y g x =在区间()0,∞+上单调递增.（2）当0x >时，()y f x =与()y g x =是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由.参考答案题号1234567891011答案CBCABDDCADACDBCD三､填空题12.5213.()2025,∞+14.(四､解答题15.（1）由题意得不等式2102ax ax -+≥的解集为R ：当0a =时，102≥恒成立，满足题意；当0a ≠时，则由解集为R 可得2Δ20a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得：02a <≤，综上可得：[]0,2A =；（2）由x A ∈是x B ∈的必要不充分条件可得：B 是A 的真子集，当B =∅时，满足题意，此时有31m m ≥+，解得：12m ≥；当B ≠∅时，则311230m m m m <+⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，解得102m ≤<，综上可得m 的取值范围是{}0mm ≥∣.16.（1）不等式0y <即为()()()2220210x a x a x a x -++<∴--<，当2a <，即12a<时，不等式的解集为12a x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，当2a =，即12a=时，不等式的解集为∅，当2a >，即12a>时，不等式的解集为12a x x ⎧⎫<<⎨⎩⎭，综上可知：当2a <时，不等式的解集为12a x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，当2a =时，不等式的解集为,∅当2a >时，不等式的解集为12a x x ⎧⎫<<⎨⎩⎭.（2）方程()222x 1x a x a -++=+有两个正实数根12,x x ，即()22310x a x a -++-=有两个正实数根12,x x故()21212Δ(3)810302102a a a x x a x x ⎧⎪=+--≥⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，解得1a >，所以()2221212************ x x x x x x x x x x x x x +-++==()221321a a a ++=-令1t a =-，则0t >，故211282262x x t x x t +=++≥+=当且仅当82t t=即4,5t a ==时取得等号，故2112x x x x +的最小值为6.17.（1）（i ）设矩形的另一边长为y ，由三角形相似得252x y-=且05,02x y <<<<，所以2510x y +=，又矩形窗户面积22255225522S xy x x x ⎛⎫⎛⎫==-=--+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5522x -≤≤，故的取值范围为52x ⎧+⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭.（ii ）设地板面积为1S ，解不等式组11116.50.1S S S S S +=⎧⎨>≥⎩，所以111S S S +≤，即1116.5S ≥，解得32S ≥，故窗户面积最小为32，令23252x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得2420150x x -+=，解得52x +=或52x =.故当x为52+米或52米时，窗户面积最小，为32平方米.（2）设,a b 分别表示原来窗户面积和地板面积，m 表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：0,0a b m <<>，则()()()m b a a m a ab mb ab ma b m b b b m b b m -++---==+++.因为()0,0b a b b m ->+>，所以()()0m b a b b m ->+，即a m ab m b+>+，所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了.18.（1）当0m =时，()()2421221x x xx f x =--=--，令2xt =，因为[]1,2x ∈-，所以1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以可得一个二次函数()2215124p t t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以当1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()p t 单调递增，当12t =时，()p t 有最小值1524p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当4t =时，()p t 有最大值()411p =，所以()5,114p t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.所以0m =时，()f x 在区间[]1,2-上的值域为5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知当令()()22,0,11xt t p t t m t =>=-+-，则()20p t +=，即()2110t m t -++=有实数根，此时实数根大于零，所以可得2102Δ(1)40m m +⎧>⎪⎨⎪=+-≥⎩，解得：1m ≥.所以方程()20f x +=有实根，实数m 的取值范围为[)1,∞+.（3）由题意得()2222412412(1)11222x x xx x g x -+--+--⎛⎫===⎪⎝⎭，若对任意的[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x ≥，可得()()12min min f x g x ≥，由函数22(1)1y x =--可得当[)20,1x ∈时单调递减，当[]21,3x ∈时单调递增，函数2x y =为增函数，所以由复合函数定义可得函数()22(1)12x g x --=在[)20,1x ∈时单调递减，[]21,3x ∈时单调递增，所以当21x =时，()2g x 有最小值()()2min 112g x g ==，由（2）知当令[]112,1,2,,42xt x t ⎡⎤=∈-∈⎢⎥⎣⎦，所以()21112t m t -+-≥在1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即312t m t -≥+在1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为函数3,2y t y t ==-在1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时均单调递增，所以函数32y t t =-在1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时单调递增，所以min 3522t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以571,22m m -≥+≤-.19.（1）任取()12,0,x x ∞∈+，不妨设12x x <，则()()121212111122g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12121212211212111111222x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫--=-+-=-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎦，由()1212,0,,x x x x ∞∈+<，则12120,0x x x x -<>，故12121102x x x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即()()()()12120,g x g x g x g x -<∴<，故函数()y g x =在区间()0,∞+上单调递增.（2）当0x >时，()y f x =与()y g x =存在隔离直线函数；令()()f x g x =，即211112x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，即211022x x x x --+=，即3223102x x x-+=，即()2(1)210x x -+=，解得1x =或12x =-，由于0x >，故舍去12x =-；当1x =时，()()1f x g x ==，即()(),y f x y g x ==有公共点()1,1，设()y f x =与()y g x =存在隔离直线函数y kx b =+，则点()1,1在隔离直线函数y kx b =+上，则1k b +=，即1b k =-，则1y kx k =+-；若当0x >时有()f x kx b ≥+，即()211x x kx k -+≥+-，则()210x k x k -++≥在()0,∞+上恒成立，即()()10x x k --≥，由于()10,∞∈+，故此时只有1k =时上式才成立，则10b k =-=，下面证明()(),0g x x x ≤>，令()11111022y g x x x x ⎛⎫=-=-++≤-⨯= ⎪⎝⎭，即()0y g x x =-≤，故()g x x ≤，当且仅当1x x=，即1x =时，等号成立，所以1y kx k =+-，即y x =为()y f x =与()y g x =的隔离直线函数.。

北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含答案

北京2024-2025学年度第一学期期中考试（答案在最后）高一年级数学学科本试卷共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（每题4分，共48分）1．已知集合{}12A x Z x =∈-≤<，则下列说法正确的是（）A ．0A⊆B ．0A∉C ．3A∈D ．1A-∈2．记命题:0,3p x x ∃>≥，则p ⌝为（）A ．0,3x x ∀><3．集合{}0,1的真子集有（）个A ．1B ．2C ．3D ．44．已知实数,a b c ，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A ．b a c a -<+B ．2c ab<C ．c cb a>D ．b c a c<5．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A ．1y x x=-B ．y =C ．2xy -=D ．22y x x=-6．“12x -<<”是“12x>”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．已知偶函数()f x 在区间(,1]-∞-上单调递减，则下列关系式中成立的是（）A ．5()(3)(2)2f f f -<≠且的值域为(0,1]，则函数log a x 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是（）A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,+-∞∞ ）10．设 1.2 1.23log 6,2,0.5a b c ===，则（）A ．b a c <<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．a c b<<11．已知函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为（）A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(0,1)12．设集合A 是集合N *的子集，对于i N *∈，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在N *的两个不同子集,A B ，使得任意i N *∈都满足()0i A B ϕ= 且()1i A B ϕ= ；②任取N *的两个不同子集,A B ，对任意i N *∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=⋅ ；③任取N *的两个不同子集,A B ，对任意i N *∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ=+ ．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、填空题（每题5分，共30分）13．函数1()1f x x =-的定义域为________．14．已知函数3()27log x f x x =+，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________．15．若()g x 在R 上是增函数，能够说明“()y xg x =在R 上也是增函数”是假命题的一个()g x 的解析式()g x =________．16．函数221,1()2,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩的值域为________．17．已知下列四个函数：1,,ln ,x y x y y x y e x====．从中选出两个函数分别记为()f x 和()g x ，若()F x =()()f x g x +的图象如图所示，则()F x =________．18．已知函数2,(),x a x a f x x x a+≤⎧=⎨>⎩．若存在非零实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数a 的取值范围为________．三、解答题（每题12分，共72分）19．已知集合{}{}3,15A x a x a B x x x =≤≤+=<->或．（Ⅰ）若2a =-，求集合()()R R B A ；I 痧（Ⅱ）若A B A = ，求a 的取值范围．20．分别求下列关于x 的不等式的解集：（Ⅰ）2610x x --<；（Ⅱ）2(2)20x a x a +--≤．21．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为x 米，如图所示．（I ）将两个养殖池的总面积y 表示为x 的函数，并写出定义域；（Ⅱ）当温室的边长x 取何值时，总面积y 最大？最大值是多少？22．已知函数()2,f x x x a a R =--∈．（I ）当2a =时，直接写出函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当2a >时，求函数()f x 在区间[1，2]上的最小值．23．已知()y f x =是定义在[-3，3]上的奇函数，当[3,0]x ∈-]时，1()()94xx af x a R =+∈．（I ）求()y f x =在（0，3]上的解析式；（Ⅱ）当1[1,2x ∈--时，不等式11()34x x m f x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围．24．若集合A 具有以下性质：①0,1A A ∈∈；②若,x y A ∈，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈．则称集合A 是“好集”．（I ）分别判断集合{}1,0,1B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若,x y A ∈，则x y A +∈；（Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由．命题p ：若,x y A ∈，则必有xy A ∈；命题q ：若,x y A ∈，且0x ≠，则必有yA x∈．参考答案一、选择题DACDC ，BDBDC ，BA 二、填空题13．{}1x x ≠或写为(,1)(1,)-∞+∞ 14．215．x （答案不唯一）16．(1,+-∞）17．1x e x+18．1[2,4-三、解答题19．（I ）（1，5]（Ⅱ）(,4)(5,)-∞-+∞ 20．（I ）11(,)32-（Ⅱ）2a <-时，解集为[2，a -]；2a =-时，解集为{}2；2a >-时，解集为[a -，2]．21．解：（I ）依题意得温室的另一边长为1500x米．因此养殖池的总面积1500(3)(5)y x x=--，因为150030,50x x->->，所以3300x <<．所以定义域为{}3300x x <<．（Ⅱ）15004500(3)(5)1515(5)151515153001215y x x x x =--=-+≤-=-=，当且仅当45005x x=，即30x =时上式等号成立，当温室的边长x 为30米时，总面积y 取最大值为1215平方米．22．解：（1）当2a =时，(2)2,2()22(2)2,2x x x f x x x x x x --≥⎧=--=⎨--<⎩，22(1)3,2()(1)1,2x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨---<⎪⎩，由二次函数的性质知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）．或写为（-∞，1），（2，+∞）（Ⅱ）∵2a >，x ∈[1，2]时，所以2()()22f x x a x x ax =--=-+-228(24a a x -=-+，当3122a <≤，即23a <≤时，min ()(2)26f x f a ==-；当322a >，即3a >时，min ()(1)3f x f a ==-；∴min26,23()3,3a a f x a a -<≤⎧=⎨->⎩．23．（I ）因为()y f x =是定义在[-3，3]上的奇函数，x ∈[-3，0]时，1()()94x xaf x a R =+∈，所以001(0)094a f =+=，解得1a =-，所以x ∈（-3，0]时，11()94x xf x =-当(0,3]x ∈时，[3,0)x -∈-，所以11()9494x x x x f x ---=-=-，又()()49xxf x f x =--=-，即()y f x =在(0,3]上的解析式为()49xxf x =-，（Ⅱ）因为1[1,2x ∈--时，11()94x xf x =-，所以11()34x x m f x -≤-可化为11119434x x x x m --≤-，整理得13(334xx m ⎛⎫≥+⋅ ⎪⎝⎭，令13()334xxg x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据指数函数单调性可得，所以()g x 也是减函数．所以11max13()(1)3734g x g --⎛⎫⎛⎫=-=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7m ≥，故实数m 的取值范围是[7，+∞）．24．解：（I ）集合B 不是“好集”．理由是：假设集合B 是“好集”．因为1,1B B -∈∈，所以112B --=-∈．这与2B -∉矛盾．有理数集Q 是“好集”．因为0,1Q Q ∈∈，对任意的,x y Q ∈，有x y Q -∈，且0x ≠时，1Q x∈．所以有理数集Q 是“好集”．（Ⅱ）因为集合A 是“好集”，所以0A ∈．若,x y A ∈，则0y A -∈，即y A -∈．所以()x y A --∈，即x y A +∈．（Ⅲ）命题,p q 均为真命题．理由如下：对任意一个“好集”A ，任取,x y A ∈，若,x y 中有0或1时，显然xy A ∈．下设,x y 均不为0，1．由定义可知：111,,1x A x x-∈-．所以111A x x -∈-，即1(1)A x x ∈-．所以(1)x x A -∈．由（Ⅱ）可得：(1)x x x A -+∈，即2x A ∈．同理可得2y A ∈．若0x y +=或1x y +=，则显然2()x y A +∈．若0x y +≠且1x y +≠，则2()x y A +∈．所以2222()xy x y x y A =+--∈．所以12A xy∈．由（Ⅱ）可得：11122A xy xy xy=+∈．所以xy A ∈．综上可知，xy A ∈，即命题p 为真命题．若,x y A ∈，且0x ≠，则1A x∈．所以1y y A x x=⋅∈，即命题q 为真命题．。

甘肃省兰州市第五十一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

兰州五十一中2024~2025年度第一学期期中考试试卷高一数学第I 卷（58分）一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.设全集，则（）A. B. C. D.2.“”是“”成立的（）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分又不必要3.函数的定义域是（）A. B. C. D.4.命题“”的否定是（）A. B.C. D.5.不等式的解为（）A. B.或C. D.或6.已知函数，且，则（）A.1B.2C.3D.67.已知函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.8.函数）A. B. C. D.{}{3},0,1,2,3A x x B =∈<=N ∣A B ⋂={}0,1{}1,2{}0,1,2{}0,1,2,34x =3x ≥0(4)y x =-+[)1,∞-+()1,∞-+[)()1,44,∞-⋃+()()1,44,∞-⋃+2000,10x x x ∃∈++<R 2000,10x x x ∃∈++>R 2000,10x x x ∃∈++≥R 2,10x x x ∀∈++>R 2,10x x x ∀∈++≥R 21xx -≥01x <≤0x <1x ≥01x ≤≤0x ≤1x ≥()21,21,237,3x f x x x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩()02f x =0x =()f x [)0,∞+()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭x 12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭y x =(],2∞-[)2,∞+9,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦9,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.下列命题正确的是（）A.若，且B.已知正数满足，则的最小值为C.若，则的最大值是D.若，则的最小值是911.定义在上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（）A.B.为奇函数C.在区间上有最大值D.的解集为第II 卷（92分）三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则的真子集的个数是__________个.13.已知，则__________.14.若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知集合或，关于的不等式的解集为.（1）求集合；0,c ac bc >>a b>24,13a b -<<<<822a b -<-<0,0a b m >><m m a b<24,123a b b a -<+<<-<923a b -<-<,a b ∈R 0,ab a b >+≥x y ､1x y +=141x y ++920x >423x x--2-()2,0,0x x y x y =->>2x y +R ()f x ()()()f x f y f x y +=+0x <()0f x >()00f =()f x ()f x [],m n ()f n ()()22120f x f x -+->{31}x x -<<∣{24,}A xx x =-<<∈Z ∣A +⋂Z ()2132f x x x +=-+()f x =1x >1211x m x +≥--m {2A x x =>∣1}x <-x ()22210x a x a a -+++>B B（2）若，求实数的取值范围.16.若正实数满足：.（1）求的最大值；（2）求的最小值；（3）求的最小值.17.已知函数的解析式为（1）画出这个函数的图象，并写出的最大值；（2）解不等式；（3）若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的范围.18.已知函数是上的偶函数，当，（1）求函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围.19.对于函数，若，则称实数为的“不动点”，若，则称实数为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为和，即，.（1）对于函数，分别求出集合和；（2）设，若，求集合.A B B ⋃=a ,a b 2a b +=ab 14a b+2211a b +()f x ()22,1,126,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩()f x ()2f x <y k =k ()f x k ()f x R ()20,43x f x x x ≤=-+-()f x ()()211f m f m -<+m ()f x ()f x x =x ()f x ()()f f x x =x ()f x ()f x A B (){}A x f x x ==∣()(){}B x f f x x ==∣()21f x x =-A B ()2f x x ax b =++{}1,3A =-B兰州五十一中2024~2025年度第一学期期中考试试卷高一数学第I卷（58分）题号12345678910答案C A D D A C D C AB BC题号11答案ABD第II卷（92分）三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.713.14.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（1）或16.（1）1（2）（3）217.（1），最大值为4（2）或（3）或18.（1）（2）19.（1）256x x-+(],2∞-{x x a<∣()1};211x a a>+-≤≤92{x x<∣4}x>k<14k<<()2243,043,0x x xf xx x x⎧--->=⎨-+-≤⎩()(),02,∞∞-⋃+{}{}1,1A B==B=-（2）{。

河北省唐山市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)

高一年级期中考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册第一章到第三章。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是A.， B.，C.， D.，2.已知集合，，若，则A.1B.2C.3D.43.函数在上单调递增，则的取值范围是A. B. C. D.4.已知不等式的解集是，则A. B. C.1D.35.甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛，若该比赛的冠军只有1人，则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.若函数的定义域是，则函数的定义域是A. B. C. D.7.若，则有A.最小值4B.最小值2C.最大值D.最大值8.已知函数，若不等式成立，则的取值范围是A. B.0x ∀>2320x x -->0x ∀>2320x x --...0x ∀ (2)320x x --…0x ∃>2320x x --...0x ∃ (2)320x x --…{}25A x x =-<<{}2126B x a x a =-<<+{}35A B x x =<< a =()25f x x ax =+-()1,-+∞a (],2-∞(],1-∞[)1,+∞[)2,+∞230ax bx ++>()3,1-a b +=3-1-()f x []3,7-()21f x -[]7,13-[]5,15-[]1,4-[]2,3-1x <-2261x x x -++8-10-()3232f x x x =--+()()2154f a f a -+-->a ()(),23,-∞-+∞ ()2,3-C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D.10.已知，，且，则A. B. C. D.11.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则A. B.的图象关于直线对称C.的图象关于点中心对称D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数则______.13.已知某商品的原价为元，由于市场原因，先降价出售，一段时间后，再提价出售，则该商品提价后的售价______该商品的原价.（填“高于”“低于”或“等于”）14.设函数，即表示函数，中的较大者.已知函数，，若的值域为，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.14.（13分）已知集合，.（1）当时，求，；（2）若，求的取值范围.16.（15分）已知幂函数是奇函数.（1）求的解析式；（2）若不等式成立，求的取值范围.17.（15分）已知，，且.()(),32,-∞-+∞ ()3,2-a b c >>a b b c->-22a b ac bc->-333a b c>>222a b c>>0a >0b >22a b ab +=12a >1b >2ab …()()222112a b -+-…()f x R ()()4f x f x =-02x <…()22f x x x =-()31f =-()f x 1x =()f x ()4,046x ……()21024f x x x =-+-()22,0,31,0,x x x f x x x ⎧-+<=⎨->⎩()()1f f -=a ()%0100p p <<%p ()()(){}max ,F x f x g x =()F x ()f x ()g x ()2f x x =-()21g x x ax =++()F x [)1,-+∞a ={}35A x x =-<<{}2127B x a x a =+<+…1a =A B A B A B =∅ a ()()2133m f x m m x -=--()f x ()()11233m m a a a ---<-a 0a >0b >22a b +=（1）证明：.（2）求的最小值.18.（17分）已知是定义在上的函数，，，，且当时，.（1）求的值.（2）证明：是上的减函数.（3）若，求不等式的解集.19.（17分）已知是定义在上的函数，对任意的，存在常数，使得恒成立，则称是上的受限函数，为的限定值.（1）若函数在上是限定值为8的受限函数，求的最大值.（2）若函数，判断是否是受限函数.若是，求出的限定值的最小值；若不是，请说明理由.（3）若函数在上是限定值为11的受限函数，求的取值范围.22418a b + (29)a b+()f x ()0,+∞0x ∀>0y >()()()f xy f x f y =+1x >()0f x <()1f ()f x ()0,+∞()23f =-()179f x f x ⎛⎫-->- ⎪⎝⎭()f x D x D ∈0M >()f x M …()f x D M ()f x ()22f x x x m =-++[]0,3m ()4f x =+()f x ()f x M ()221a f x ax x x x =+--1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦a高一年级期中考试数学参考答案1.C 命题“，”的否定是“，”.2.B 由题意可得，解得.3.D 由题意可得，解得.4.A 由题意可得解得，，则.5.B 若甲是冠军，则乙不是冠军；若乙不是冠军，则甲是冠军或丙是冠军.故“甲是冠军”是“乙不是冠军”的充分不必要条件.6.C 由题意可得，解得，即函数的定义域是.7.D.因为，所以，，所以，当且仅当时，等号成立，则，即有最大值.8.B 设，则，故是奇函数.不等式等价于不等式，即不等式.因为是奇函数，所以.易证是上的减函数，则，即，解得.9.ABD 当，，时，，则A 符合题意.当，，时，，则B 符合题意.因为，所以，则C 不符合题意.当，，时，，则D 符合题意.10.ABD 因为，所以.因为，，所以，则A 正确.因为，所以.因为，，所以，则B 正确.因为，，且0x ∀>2320x x -->0x ∃>2320x x --…213a -=2a =12a --…2a …31,331,b aa ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩1a =-2b =-3a b +=-3217x --……14x -……()21f x -[]1,4-()()22141926914111x x xx x x x x +-++-+==++-+++1x <-10x +<901x <+()9911611x x x x ⎡⎤⎛⎫++=--++-- ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦…4x =-914101x x ++--+…2261x x x -++10-()()3223g x f x x x =-=--()()323g x x x g x -=+=-()g x ()()2154f a f a -+-->()()212520f a f a --+--->()()2150g a g a -+-->()g x ()()215g a g a ->+()g x R 215a a -<+260a a --<23a -<<3a =2b =1c =1a b b c -=-=1a =-2b =-3c =-22a b ac bc -=-a b c >>333a b c >>1a =-2b =-3c =-222a b c <<22a b ab +=221a b a =-0a >0b >12a >22ab ab +=()21ba b =-0a >0b >1b >0a >0b >，所以，解得，当且仅当时，等号成立，则C 错误.因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，则D 正确.11.ACD 因为，所以，因为，所以，则A 正确.因为是定义在上的奇函数，所以，所以.因为，所以的图象不关于直线对称，则B 错误.因为，所以.因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以的图象关于点中心对称，则C 正确.因为是定义在上的奇函数，所以，所以当时，.设，则，所以.因为，所以，则D 正确.12.11 由题意可得，则.13.低于第一次降价后的售价为元，第二次提价后的售价为元.因为，所以，所以，所以，即该商品提价后的售价低于该商品的原价.14.3或因为的值域为，所以，解得或.当时，，解得；当时，，解得.综上，或.15.解：（1）当时，，………………………………………………………………1分则，……………………………………………………………………………………4分.………………………………………………………………………………………7分（2）因为，所以或，…………………………………………………10分解得或，即的取值范围是.……………………………………………13分22a b ab +=2ab …2ab …22a b ==22a b ab +=221a b a =-21112121a b a a -=-=--()()()()2222121121221a b a a -+-=-+-…()()2212121a a -=-1a =()()4f x f x =-()()31f f =()()2202f x x x x =-<…()()311f f ==-()f x R ()()f x f x -=-()()111f f -=-=()()13f f -≠()f x 1x =()()4f x f x =-()()4f x f x -=+()f x R ()()f x f x -=-()()44f x f x +=--()f x ()4,0()f x R ()00f =02x ……()22f x x x =-46x ……042x -……()()224(4)241024f x x x x x -=---=-+()()4f x f x =-()()241024f x f x x x =--=-+-()()()211124f -=---+=()()()1434111ff f -==⨯-=()1%a p -()()1%1%a p p -+0100p <<0%1p <<()()()21%1%1%1p p p -+=-<()()1%1%a p p a -+<3-()F x [)1,-+∞()21f x x =--…1x …1x -…1x =-()1111g a -=-+=-3a =1x =()1111g a =++=-3a =-3a =3a =-1a ={}39B x x =<…{}39A B x x =-< …{}35A B x x =<< A B =∅ 215A +…273A +-…2a …5a -…a (][),52,-∞-+∞16.解：（1）因为是幂函数，所以，即，………………………1分所以，解得或.…………………………………………………………3分当时，，此时，所以是奇函数，则符合题意；5分当时，，此时，所以是偶函数，则不符合题意.………………………………………………………………………………………………………………7分故.…………………………………………………………………………………………………8分（2）由（1）可知，所以不等式，即不等式，…9分因为为增函数，…………………………………………………………………………………………11分所以，即，…………………………………………………………………13分所以，解得或，即的取值范围是.…………………15分17.（1）证明：由基本不等式可得，…………………………………………2分当且仅当，即时，等号成立.…………………………………………………………3分因为，，且，所以，所以，……………………………………5分当且仅当时，等号成立，…………………………………………………………………………6分所以，所以.……………………………………………………………………………………7分故，当且仅当时，等号成立.………………………………………………………8分（2）解：因为，所以.…………………10分因为，，所以，，所以，………………………………………12分当且仅当，即，时，等号成立，……………………………………………………13分所以，所以，…………………………………………………14分则，即的最小值是16.……………………………………………………………………15分18.（1）解：令，得，则.………………………………………3分()f x 2331m m --=2340m m --=()()410m m -+=4m =1m =-4m =()3f x x =()()3f x x f x -=-=-()f x 4m =1m =-()2f x x -=()()2f x xf x --==()f x 1m =-()3f x x =4m =()()11233m m a a a ---<-()()33233a a a -<-3y x =233a a a -<-2430a a -+>()()130a a -->3a >1a <a ()(),13,-∞+∞ 22414a b ab+= (22)41a b=21a b ==0a >0b >22a b +=212ab ...21a b ==12ab ...48ab (2241)8a b+…21a b ==22a b +=()2912914922022b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0a >0b >40b a >90a b >4912b a a b+…49b a a b =12a =34b =492032b a a b ++…14920162b a a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭...2916a b + (29)a b+1x y ==()()()111f f f =+()10f =（2）证明：设，，且，则.…………………………………………4分因为，所以.…………………………6分当时，，所以，所以，………………………………8分则是上的减函数.………………………………………………………………………………9分（3）解：令，得.…………………………………………………10分令，，得.………………………………………………………11分因为，所以，所以，12分则不等式等价于不等式.…………………………………13分由（2）可知是上的减函数，则………………………………………………15分解得，即不等式的解集为.……………………………………17分19.解：（1）因为，所以.………2分因为在上是限定值为8的受限函数，所以，…………………………………………3分解得，则的最大值为7.………………………………………………………………………………5分（2）由题意可得，解得.………………………………………………………………6分当时，，所以，………………………………………………………7分所以，即，……………………………………………………………………8分所以是上的受限函数，且的限定值满足，故的限定值的最小值为7.…………………………………………………………………………10分（3）因为在上是限定值为11的受限函数，所以在上恒成立，即10x xy =>20x y =>12x x >1x >()()()f xy f x f y =+()()()()()12f x f x f xy f y f x -=-=1x >()0f x <()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x ()0,+∞2x y ==()()()4226f f f =+=-2x =4y =()()()8249f f f =+=-()()()f xy f x f y =+()()()f xy f y f x -=()(2177)f x f f x x x ⎛⎫--=-⎪⎝⎭()179f x f x ⎛⎫-->-⎪⎝⎭()()278f x x f ->()f x ()0,+∞270,10,78,x x x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪>><⎩--78x <<()179f x f x ⎛⎫-->-⎪⎝⎭()7,8[]0,3x ∈()()[]222113,1f x x x m x m m m =-++=--++∈-+()f x []0,318m +…7m …m 290x -…33x -……33x -……2099x -……03…447……()47f x ……()f x []3,3-()f x M 7M …()f x M ()f x 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦()11f x …1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立.…………………………………………………………………………………………12分因为，所以，所以，………………………………………………14分当且仅当，即.…………………………………………………15分因为，所以，即的取值范围为.………………………………………17分22111a ax x x x +--…1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦221111x x a x x +++…1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦191a x x x x+++…1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦132x ……10x x +>1961x x x x+++ (19)1x x x x+=+x =191a x x x x+++…6a …a (],6-∞。

2024-2025学年宁波中学高一数学上学期期中考试卷及答案解析

宁波中学2024年度第一学期期中高一数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2,4,7M =，{}4,6,7N =，则M N =I （）A. {}1,2,4,6,7B. {}1,2,6C. {}4,7D. {}2,4【答案】C 【解析】【分析】利用集合的交集运算即可得解.【详解】因{}1,2,4,7M =，{}4,6,7N =，所以M N =I {}4,7.故选：C.2. 命题“N n "Î，22Z n n ++Î”的否定为（）A. N n "Î，22Z n n ++Ï B. N n "Ï，22Z n n ++ÏC. N n $Î，22Z n n ++Î D. N n $Î，22Zn n ++Ï【答案】D 【解析】【分析】利用量词命题的否定方法即可得解.【详解】因为量词命题的否定方法为：改量词，否结论，所以命题“N n "Î，22Z n n ++Î”的否定为N n $Î，22Z n n ++Ï.故选：D.3. 已知0.23a =，0.33b =，0.22c =，则（）A. b a c >> B. a b c >>C. b c a >> D. a c b>>【答案】A 【解析】为【分析】利用指数函数的单调性与幂函数的单调性即可判断得解.【详解】因为3x y =为单调递增函数，所以0.30.233>，则b a >，因0.2y x =为增函数，所以0.20.232>，则a c >，综上，b a c >>.故选：A.4. 已知正实数a ，b 满足2a b +=，则312a b+的最小值为（）A.272B. 14C. 15D. 27【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因正实数a ，b 满足2a b +=，所以31213121312127()15152222b a a b a b a b a b ææöæö+=++=++³+=çç÷ç÷çèøèøè，当且仅当312b a a b=，即24,33a b ==时取等号，所以312a b+的最小值为272.故选：A 5. 函数3(e)x f xx =的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D为【解析】【分析】先利用奇偶函数的定义判断得()f x 的奇偶性排除AB ，再利用指数函数的性质分析得()f x 的正负情况，从而排除C ，由此得解.【详解】对于3()ex xf x =，其定义域为R ，又33()()e ex xx xf x f x ---==-=-，则()f x 是奇函数，排除AB ，当0x >时，30x >，e e 0x x =>，所以()0f x >，排除C ，又选项D 的图象满足上述性质，故D 正确.故选：D.6. 设m ÎR ，“12m <-”是“方程22(3)40m x m x -++=在区间(2,)+¥上有两个不等实根”的（）条件.A. 充分必要B. 充分不必要C. 必要不充分D. 既不充分也不必要【答案】C 【解析】【分析】举反例说明充分性，利用二次方程根的分布说明必要性，从而得解.【详解】当12m <-时，取3m =-，则方程22(3)40m x m x -++=为2940x +=，显然无解，即充分性不成立；当方程22(3)40m x m x -++=在区间(2,)+¥上有两个不等实根时，则()22222Δ344032242(3)40m m m m x m m m ì>ï=+-´>ïïí+=>ïïï-++>î，即0315********m m m m m m ¹ìïï-<<ïïí-<<<<ïïï-ïî或或，则3152m -<<-，此时12m <-成立，即必要性成立；所以前者是后者的必要不充分，故C 正确.故选：C.7. 中国5G 技术领先世界，其数学原理之一便是香农公式：2log 1S C W N æö=+ç÷èø，它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，将信噪比S N从2000提升至10000，则C 大约增加了(lg 20.3010)»（）A 18%B. 21%C. 23%D. 25%【答案】B 【解析】【分析】由已知公式，将信噪比SN看作整体，分别取2000,10000求出相应的C 值，再利用对数运算性质与换底公式变形即可得解.【详解】由题意，将信噪比SN从2000提升至10000，则最大信息传递速率C 从()12log 12000C W =+增加至()22log 110000C W =+，所以2212212210001log log 10001log 20012001log 2001log 2001C C W W C W --==3100011000010lglg lg10.3012001200020.2121%lg 2001lg 2000lg 2lg100.3013-=»==»=++.故选：B.8. 已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x ³时，2()2f x x x =-，若函数()g x 满足(),0()(),0f x xg x f x x ³ì=í-<î，且(())0g f x a -=有8个不同的解，则实数a 的取值范围为（）A. 1a <-B. 10a -<<C. 01a <<D. 1a >【答案】B 【解析】【分析】先利用函数的奇偶性与题设条件得到()f x 与()g x 的解析式，设()t f x =，作出函数()g t 的图.象，数形结合，分类讨论函数1a <-、10a -<<与0a >三种情况，得到对应情况下(())0g f x a -=的解的个数，从而得解.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，当0x ³时f (x )=x 2―2x ，令0x <，则0x ->，则()22f x x x -=+，又()()22f x f x x x=--=--所以()222,02,0x x x f x x x x ì-³=í--<î，则()222,02,0x x x g x x x x ì-³=í+<î，设()t f x =，作出函数()g t 的图象，对于A ，当1a <-时，函数()g t a =没有实数根，不满足题意；对于B ，当10a -<<时，函数()g t a =有四个根1234,,,t t t t ，其中1(2,1)t Î--，2(1,0)t Î-，3(0,1)t Î，4(1,2)t Î；作出()f x 与1y t =、2y t =、3y t =与4=y t 的图象，如图，显然几个函数恰有8个交点，则(())0g f x a -=有8个不同的解，故B 正确；对于CD ，当0a >时，函数()g t a =有两个根12,t t ，其中1(,2)t Î-¥-，2(2,)t Î+¥，与选项B 同理可知()f x 与1y t =、2y t =各有一个交点，则(())0g f x a -=只有2个不同的解，不满足题意，故CD 错误.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（）A.11a b< B.11a cb c<--C. ac bc > D.22a b c c >【答案】AD 【解析】【分析】根据不等式的性质，作差逐一判断即可.【详解】因为0a b >>，选项A ：110b aa b ab --=<，所以11a b<，故A 说法正确；选项B ：()()11b aa cbc a c b c --=----，当a b c >>或c a b >>时，()()0b aa cbc -<--，即11a c b c<--；当a c b >>时，()()0b a a c b c ->--，即11a c b c>--，故B 说法错误；选项C ：当0c =时，ac bc =，故C 说法错误；选项D ：因为210c >，所以22a b c c >，故D 说法正确；故选：AD10. 已知函数)()lg 1f x x =-+，则下列说法正确的是（）A. ()f x 的值域为RB. (1)f x +关于原点对称C. ()f x 在(1,)+¥上单调递增D. ()f x 在[1,1]x m m Î-+上的最大值、最小值分别为M 、N ，则0M N +=【答案】ABD 【解析】【分析】利用作差法，结合对数函数的性质判断A ，构造函数())lg k x x =，研究()k x 的性质判断B ，利用()k x 的单调性与奇偶性判断CD ，从而得解.【详解】对于A ，()2222110x x x -+--=>，所以()222210x x x -+>-³1x >-，10x -+>恒成立，所以()f x 的定义域为R ，且当x 趋于无穷大时，1y x =-+接近于0，当x 趋于无穷小时，1y x =-+=趋于无穷大，所以()f x 的值域为R ，故A 正确；对于B ，因为))(1)lg (1)1lgf x x x +=++=-，令())lgk x x =，则()(1)f x k x +=，易知()k x 的定义域为R ，又()()))lglglg10k x k x x x -+=++==，所以()k x 为奇函数，关于原点对称，即(1)f x +关于原点对称，故B 正确；对于C ，因为())1gk x x =-=在()0,¥+上递减，而将()k x 的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，所以()f x 在(1,)+¥上单调递减，故C 错误；对于D ，因为()k x 在()0,¥+上递减，且())1gk x x =-为奇函数，则()00k =，())k x x =-\在(),-¥+¥上为减函数，而将()k x 的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，()f x \在(),-¥+¥上为减函数，即()f x 在[1,1]m m -+上单调递减，则()()()()110M N f m f m k m k m +=-++=-+=，故D 正确.故选：ABD.11. 已知函数()f x 满足：对于,x y ÎR ，都有()()()(1)(1)f x y f x f y f x f y -=+++，且(0)(2)f f ¹，则以下选项正确的是（）A. (0)0f = B. (1)0f =C. (1)(1)0f x f x ++-= D. (4)()f x f x +=【答案】BCD 【解析】【分析】利用赋值法，结合条件分析得()()1,0f f 的值，从而判断AB ，利用赋值法，结合AB 中的结论、抽象函数的奇偶性和周期性的判定方法判断CD ，从而得解.【详解】对于B ：令0x y ==，则()()()22001,f f f éùéù=+ëûëû令1x y ==，则()()()22012,f f f éùéù=+ëûëû所以()()2202,f f éùéù=ëûëû因为()()02f f ¹，所以()()02f f =-，令1,0x y ==，则()()()()()110210f f f f f =+=，故B 正确；对于A ：由选项B 可得()()200f f éù=ëû，所以()00f =或()01f =，若()00f =，则()()()220120f f f éùéù=+=ëûëû，所以()20f =，这与()()02f f ¹矛盾，舍去；若()01f =，则()()()220120f f f éùéù=+=ëûëû，解得()21f =±，因为()()02f f ¹，所以()21f =-，()01f =，故A 错误；对于C ：令0x =，则()()()()()011f y f f y f f y -=++，因为f (1)=0，()01f =，所以()()f y f y -=，所以()f x 为偶函数，令1x =，则()()()()()()11211f y f f y f f y f y -=++=-+，即()()11f x f x -=-+，所以(1)(1)0f x f x ++-=，故C 正确；对于D ：由选项C 知()()11f x f x -=-+，所以()()2f x f x -=-+，又()f x 为偶函数，所以()()()2f x f x f x =-=-+，即f (x +2)=―f (x )，所以f (x +4)=―f (x +2)=f (x )，故D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还可能得出函数的奇偶性、周期性，这样对规律性求值起到决定性的作用.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 函数3()log (31)f x x =+的定义域为______.【答案】13x x ìü-íýîþ【解析】【分析】根据对数式的意义即可求解.【详解】要使函数有意义，则13103x x +>Þ>-，所以函数的定义域为13x x ìü-íýîþ.故答案为：13x x ìü-íýîþ.13. 定义()f x x =éùêú（其中éùêúx 表示不小于x 的最小整数）为“向上取整函数”.例如 1.11-=-éùêú，2.13=éùêú，44=éùêú.以下描述正确的是______.（请填写序号）①若()2024f x =，则(2023,2024]x Î，②若27120x x -+£éùéùêúêú，则(2,4]x Î，③()f x x =éùêú是R 上的奇函数，④()f x 在R 上单调递增.【答案】①②【解析】【分析】利用对“向上取整函数”定义的理解，结合定义域与二次不等式的求解可判断①②，举反例，结合函数奇偶性与单调性的定义可判断③④，从而得解.【详解】因为éùêúx 表示不小于x 最小整数，的则有x x ³éùêú且1x x -<éùêú，即1x x x -<éùéùêúê£ú，对于①，()2024f x x ==éùêú，则20232024x <£，即(2023,2024]x Î，故①正确；对于②，令t x =éùêú，则不等式可化为27120t t -+£，解得34t ££，又t x =éùêú为整数，则3t =或4t =，当3t =时，即3x =éùêú，则23x <£；当4t =时，即4x =éùêú，则34x <£，所以24x <£，则(2,4]x Î，故②正确；对于③，因为()f x x =éùêú，则(0.5)1f =，(0.5)0(0.5)f f -=¹-，则()f x x =éùêú不是R 上的奇函数，故③错误；对于④，因为()f x x =éùêú，则(0.5)1f =，(0.6)1f =，即(0.5)(0.6)f f =，所以()f x 在R 上不单调递增，故④错误.故答案为：①②.14. 已知a ，b 满足2221a ab b +-=，则232a ab -的最小值为______【答案】2【解析】【分析】变形给定等式，换元2a b m +=，用m 表示,a b ，再代入，利用基本不等式求出最小值.【详解】由2221a ab b +-=，得(2)()1a b a b +-=，令2a b m +=，则1a b m-=，解得233m a m =+，8322()33m a b a a b m-=+-=+，因此22228116132(32)()()(10(102333399m m a ab a a b m m m m -=-=++=++³+=，当且仅当2216m m=，即24m =时取等号，所以232a ab -的最小值为2.故答案为：2【点睛】关键点点睛：将2221a ab b +-=变形为(2)()1a b a b +-=，令2a b m +=，再表示出,a b 是求出最小值的关键.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 求值（110232ln 2024+-（2）()()24525log 5log 0.2log 2log 0.5++【答案】（1）152 （2）14【解析】【分析】（1）根据根式与指数式的互化将根式化为同底的指数式，再结合对数运算性质和指数幂性质即可计算得解.（2）根据对数性质、运算法则和换底公式即可计算求解.【小问1详解】原式()()111125253424211115221222222´´=´+-=-=-=.【小问2详解】原式225511log 5log 0.2log 2log 0.522æöæö=++ç÷ç÷èøèø225525log 5log log 2log log log æ=++=ççè11lg 5lg 2122lg 2lg 54==´=.16. 已知集合{}121A x m x m =+££-，11|288x B x -ìüíýîþ=££.（1）求B ；（2）若A B Í，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|24B x x =-££（2）5,2æù-¥çúèû【解析】【分析】（1）利用指数函数的单调性解不等式，从而化简集合B ；（2）利用集合间的包含关系，分类讨论A =Æ与A ¹Æ两种情况，得到关于m 的不等式（组），解之即可得解.【小问1详解】由11288x -££，得313222x --££，所以313x -£-£，解得24x -££，所以{}|24B x x =-££.【小问2详解】因为A B Í，{}121A x m x m =+££-，当A =Æ时，121m m +>-，得2m <，满足条件；当A ¹Æ时，2m ≥且21214m m -£+ìí-£î，解得522m ££；综上所述，m 的取值范围是5,2æù-¥çúèû.17. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W （单位：千克）与使用肥料x （单位：千克）满足如下关系：210(3),02()100100,251x x W x x x ì+££ï=í-<£ï+î，肥料成本投入为11x 元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）25x 元.已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）.（1）求()f x 的函数关系式；（2）当使用肥料为多少千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）220036600,02()2000200036,251x x x f x x x x ì-+££ï=í--<£ï+î；（2）当使用肥料为5千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是44603元.【解析】【分析】（1）根据单株产量W 与施用肥料x 满足的关系，结合利润的算法，即可求得答案.（2）结合二次函数的最值以及对勾函数求最值，分段计算水果树的单株利润，比较大小，即可求得答案.【小问1详解】依题意，2200(3)36,02()20()251120()3610020(10036,251x x x f x W x x x W x x x x x ì+-££ï=--=-=í--<£ï+î220036600,022*********,251x x x x x x ì-+££ï=í--<£ï+î.【小问2详解】当02x ££时，2()20036600f x x x =-+，则当2x =时，()f x 取得最大值(2)1328f =；当25x <£时，500()203636(1)20364[9(1)]112000f x x x x x=--+=-++++令1(3,6]x t +=Î，5005009(1)91x t x t ++=++，函数5009t ty +=在(3,6]上单调递减，当6t =时，min 4123y =，此时5x =，()f x 取得最大值4460(5)3f =，而446013283<，因此当5x =时，max 4460()3f x =，所以当使用肥料为5千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是44603元.18. 已知函数()42x x a f x -=为奇函数，（1）求a 的值；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义加以证明；（3）求关于x 的不等式()22(4)0f x x f x ++-<的解集.【答案】（1）1a =（2）()f x 在R 上单调递增，证明见解析（3）{}41x x -<<【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质()00f =求得a ，再进行检验即可得解；（2）利用函数单调性的定义，结合作差法与指数函数的性质即可得解；（3）利用()f x 的奇偶性与单调性，将问题转化为224x x x +<-，从而得解.【小问1详解】因为()42x x a f x -=为奇函数，且定义域为R ，所以()00f =，则00402a -=，解得1a =，此时()411222x x x x f x -==-，则()()112222x x x x f x f x --æö-=-=--=-ç÷èø，即()f x 为奇函数，所以1a =.【小问2详解】()f x 在R 上单调递增，证明如下：任取12,R x x Î，且12x x <，则12220x x -<，12220x x ×>则()()1222211112111122222222x x x x x x x x f x f x æö-=---=-+-ç÷èø()12121212122212222102222x x x x x x x x x x -æö=-+=-+<ç÷××èø，所以()()12f x f x <，故()f x 在R 上单调递增.【小问3详解】因为()22(4)0f x x f x ++-<，所以()()22(4)4f x x f x f x +<--=-，则224x x x +<-，即2340x x +-<，解得41x -<<，所以()22(4)0f x x f x ++-<的解集为{}41x x -<<.19. 已知函数3()f x x a a x=--+，(R)a Î，（1）若1a =，求关于x 方程()1f x =的解；（2）若关于x 的方程2()f x a=有三个不同的正实数根1x ，2x ，3x 且123x x x <<，（i ）求a 的取值范围；的（ii ）证明：1333x x x >.【答案】（1）12x =（2）（i ）；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意得由31x x-=，分类讨论1x ³与1x <两种情况去掉绝对值即可得解；（2）（i ）分段讨论()f x 的解析式，结合对勾函数的性质分析得()f x 的单调性，进而得到关于a 的不等式，解之即可得解；（ii ）利用（i ）中结论，分析得123x x =与3x 关于a 的表达式，进而得解.【小问1详解】当1a =时，3()11f x x x =--+，则由()1f x =，得31x x -=，当1x ³时，则31x x -=，即230x x --=，解得12x =+或12x =（舍去）；当1x <时，则31x x-=，即230x x -+=，无实数解，综上，12x =+.【小问2详解】（i ）因为3()f x x a a x=--+，当x a £时，33()2f x x a a a x x x æö=-+-+=-+ç÷èø，当x a >时，33()f x x a a x x x=--+=-，由对勾函数的性质可知，32y a x x æö=-+ç÷èø在(上单调递增，在)+¥上单调递减，易知3y x x =-在()0,¥+上单调递增，当)0a a £¹时，则32y a x x æö=-+ç÷èø在()0,a 上单调递增，3y x x =-在(),a +¥上单调递增，又当x a =时，332a x x x xæö-+=-ç÷èø，所以()f x 在()0,¥+上单调递增，故方程2()f x a=不可能存在3个不同正实根，所以a ³32y a x x æö=-+ç÷èø在(上单调递增，在)a 上单调递减，3y x x=-在(),a +¥上单调递增，故2322a a a a a <<-æö-+ç÷èøa <<即a 的取值范围为；（ii ）12x x ､是方程322a x x a æö-+=ç÷èø，即22230x a x a æö--+=ç÷èø的两个根，故123x x =，3x 是方程32x x a -=30x -=的较大根，则31x a =+且在区间上单调递减，所以1233333x x x x =>+=>.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。

湖北省襄阳四校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)

襄州二中宜城二中枣阳二中枣阳师范2024-2025学年上学期高一期中考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答卷上填写清楚2.选择题答案用2B 铅笔在答题卷把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm 黑色签字笔在每题对应的答题区内做答，答在试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.下列说法正确的有（）A .10以内的质数组成的集合是B .与是同一个集合C ：方程的解集是D .集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形2.命题：p ：，的否定为（）A .，B .，C .，D .，3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A .B .C .D .4下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（）A .B .C .D .5下列说法正确的是（）A .若，则B .若a ，b ，，则C .若，则D .若，，则6.不等式的一个必要不充分条件是（）A .B .C .D .7已知，，且恒成立，则实数m 的取值范围是（）{}0,2,3,5,7∅{}02210x x -+={}1,1{},,M a b c =ABC ∆ABC ∆x ∀∈R 0x x +≥x ∃∈R 0x x +≥x ∃∈R 0x x +<x ∃∈R 0x x +≤x ∀∈R 0x x +<()f x []0,1()1f x +[]0,1[]1,0-{}0[]1,2()0,+∞y x =3y x =2y x =3y x =-22ac bc >a b>()0,m ∈+∞b b m a a m +<+a b >11a b <a b >x y >ax by >22530x x --<132x -<<16x -<<102x -<<132x <<0a >0b >211a b+=a b m +≥A .B .C .D .8.今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为a ，b ，设物体的真实质量为G ，则（）A.B .C .D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2024学年哈尔滨市三中高一数学上学期期中考试卷附答案解析

哈三中2024－2025学年度上学期高一学年期中考试数学试卷考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟；第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{M x y ==，(],2N =-∞，则M N = （）A. [)1,+∞B. []1,2 C. RD. ∅【答案】B 【解析】【分析】根据函数有意义求出集合A ，进而结合交集的定义求解即可.【详解】因为{{}1M x y x x ===≥，(],2N =-∞，所以[]1,2M N = .故选：B.2. 已知函数()1,13,1x x x f x x ⎧-≤=⎨>⎩，则()3f f -=⎡⎤⎣⎦（）A. 0B. 1C. 3D. 9【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数解析式，由内而外，逐步计算，即可得出结果．【详解】由题意，()3312f -=--=，则()()23239f f f -===⎡⎤⎣⎦.故选：D.3. 若函数()211f x x +=-，则()f x =（）A. 22x x +B. 21x -C 22x x- D. 21x +.【答案】C 【解析】【分析】借助配凑法即可解答．【详解】由()()()2211121f x x x x +=-=+-+，则()22f x x x =-.故选：C.4. 已知20.1a =，2log 2b =，0.12c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A. c a b >> B. c b a >>C. b a c >> D. b c a>>【答案】B 【解析】【分析】先化简0.01a =，1b =，结合指数函数的单调性比较1c >，进而比较大小即可.【详解】因为20.010.1a ==，2log 21b ==，0.10221c =>=所以c b a >>.故选：B.5. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =-.则当0x <时，()f x =（）A. ()1x x + B. ()1x x -C. ()1x x -+ D. ()1x x -【答案】A 【解析】【分析】结合奇函数的性质求解即可.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，当0x ≥时，()()1f x x x =-，则当0x <时，0x ->，()()()1f x x x f x -=-+=-，即()()1f x x x =+.故选：A.6. 函数()f x =的单调递增区间为（）A. ()0,2B. (),2-∞C. ()2,4D. ()2,+∞【答案】A 【解析】【分析】求出函数定义域，由复合函数的内函数的单调区间得到函数单调区间.【详解】函数定义域：240x x -+≥，∴04x ≤≤，∵函数24y x x =-+在区间()0,2上单调递增，()2,4上单调递减，∴函数()f x 在区间()0,2上单调递增，()2,4上单调递减.故选：A.7. 若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩满足对任意不相等的两个实数1x ，2x 都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A [)4,8- B. [)4,8 C. ()4,8 D. ()1,8【答案】B 【解析】【分析】结合题设易得函数()f x 在R 上单调递增，进而由分段函数单调性的性，结合指数函数与一次函数单调性求解即可.【详解】因为对任意不相等的两个实数1x ，2x 都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 在R 上单调递增，则1402422a a aa ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪-+≤⎪⎩，解得48a ≤<，即实数a 的取值范围是[)4,8.故选：B..8. 关于x 的方程33245xa a +⎛⎫= ⎪-⎝⎭有负根的一个充分不必要条件是（）A. 344a << B.354a <<C 364a << D. 2334a -<<【答案】A 【解析】【分析】结合指数函数的性质，要使关于x 的方程33245xa a +⎛⎫= ⎪-⎝⎭有负根，可得3215a a+>-，解出354a <<，再根据充分不必要条件的定义判断即可.【详解】当0x <时，314⎛⎫> ⎪⎝⎭x，要使关于x 的方程33245xa a +⎛⎫= ⎪-⎝⎭有负根，则3215a a +>-，即4305a a->-，即()()4350a a --<，解得354a <<，所以关于x 的方程33245xa a +⎛⎫= ⎪-⎝⎭有负根的一个充分不必要条件是344a <<.故选：A.二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知0x >，0y >，且31x y +=，则下列选项正确的是（）A. y 的范围为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. xy 的最大值为112C. 13x y+的最小值为16D. 229x y +的最小值为2【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意，结合不等式的性质可判断A ；根据基本不等式可判断BCD.【详解】对于A ：由题知0,0x y >>，所以0130y x y >⎧⎨=->⎩，解得103y <<，即10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故A 正确；.对于B ：31x y +=≥=，即112xy ≤，当且仅当3x y =，即11,26x y ==时等号成立，所以xy 的最大值为112，故B 正确；对于C ：()1313310310316x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x y =时等号成立，所以13x y+的最小值为16,故C 正确；对于D ：222293112224x y x y ++⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴22192x y +≥，当且仅当132x y ==，即11,26x y ==时，时等号成立，∴229x y +有最小值12，故D 不正确.故选：ABC.10. 在同一平面直角坐标系中，函数21:aC y x-=，2:xC y a =（0a >且1a ≠）图象可能是（）A. B.C. D.【答案】AC 【解析】【分析】根据幂函数和指数函数的单调性分析判断即可.【详解】若01a <<，122a <-<，则21:aC y x-=在[)0,+∞上单调递增，且图象呈现下凸趋势，2:x C y a =是R 上的减函数，故A 正确，BD 错误；若3a =，21a -=-，则11:1xC y x-==在(),0-∞和()0,∞+上单调递减，2:3x C y =是R 上的增函数，故C 正确.故选：AC.11. 下列命题中正确的是（）A. 函数()2xf x x =+，[]1,2x ∈的值域是[]3,6B. 函数()1421xx f x +=++的值域是[)1,+∞C. 函数()211f x x x =++的值域是40,3⎛⎤⎥⎝⎦D. 函数()2125x f x x x +=++的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，结合指数函数和一次函数的性质求解判断即可；对于B ，令()20xt t =>，换元，利用二次函数的性质求解判断即可；对于C ，利用二次函数的性质求解判断即可；对于D ，结合基本不等式讨论求解判断即可.【详解】对于A ，因为函数2,x y y x ==在[]1,2上单调递增，所以函数()2xf x x =+在[]1,2上单调递增，且()()13,26f f ==，所以函数()2xf x x =+，[]1,2x ∈的值域是[]3,6，故A 正确；对于B ，令()20xt t =>，则()()1242121xx f x g t t t +=++==++，因为函数()g t 在()0,∞+上单调递增，且()01g =，所以函数()1421xx f x +=++的值域是()1,+∞，故B 错误；对于C ，因为221331244y x x x ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭，所以214013x x <≤++，则函数()211f x x x =++的值域是40,3⎛⎤⎥⎝⎦，故C 正确；对于D ，对于函数()2125x f x x x +=++，当1x =-时，()0f x =；当1x ≠-时，()()221114251411x x f x x x x x x ++===+++++++，若1x >-，则4141x x ++≥=+，当且仅当411x x +=+，即1x =时等号成立，则()110,4411f x x x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦+++；若1x <-，则4141x x ++≤-=-+，当且仅当411x x +=+，即3x =-时等号成立，则()11,04411f x x x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎣⎭+++.综上所述，函数()2125x f x x x +=++的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12. 函数()21f x x =-在区间[]2,4上的最大值为________.【答案】2【解析】【分析】根据函数的单调性求解最值即可.【详解】因为函数()21f x x =-在区间[]2,4上单调递减，所以()()max 22221f x f ===-.故答案为：2.13. 已知函数()f x 的数据如下表，则该函数可能的一个解析式为________.x012345…()f x 3612244896…【答案】()32xf x =⋅（答案可能不止一个）【解析】【分析】根据表中数据可得函数与指数函数相关，故可得一个可能的解析式.【详解】表中数据中函数值从左到右的规律为：右侧数据为相邻左侧数据的2倍，故可设()2xf x a =⨯，由()03f =可得3a =，故()32xf x =⋅，检验符合，另外，如果()()()()123(4)(5)312345x x x x x f x -----=-⨯⨯⨯⨯⨯()()()()()()()()()()()23(4)(5)13(4)(5)6121123421123x x x x x x x x x x --------+⨯+⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-()()()()()()()12(4)(5)12(3)(5)24483211243211x x x x x x x x x x --------+⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯-()()12(3)(4)9612345x x x x x ----+⨯⨯⨯⨯⨯，检验后也符号要求.故答案为：()32xf x =⋅（答案可能不止一个）14. 设函数()()()4e 166xf x x x x =+--<<，则()f x 是________函数（从“奇”、“偶”、“既奇又偶”、“非奇非偶”中选一个恰当答案填入），关于x 的不等式()()()31213f x f f x ++-<-的解集为________.【答案】 ①. 奇函数. ②. 51,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】根据奇函数的定义可判断函数为奇函数，再根据函数单调性定义可判断()f x 在()6,6-上为增函数，设()()()()31213s x f x f f x =++---，根据复合函数的单调性可得()s x 在()6,6-上为增函数，据此可求不等式的解.【详解】因为()()()4e 1xf x x x f x -=-+-=-且()6,6-关于原点对称，故()f x 为奇函数.当06x ≤<时，()5e xf x x x x =+-，设()()e 1xg x x =-，06x ≤<，任意1206x x ≤<<，则有120e 1e 1x x ≤-<-，故()()12120e 1e 1xxx x ≤-<-即()()12g x g x <，故()()e 1x g x x =-在[)0,6上为增函数，而5y x =在[)0,6上为增函数，故()5e xf x x x x =+-在[)0,6上为增函数，结合()f x 为奇函数，()00f =，故()5e xf x x x x =+-在()6,6-上为增函数，设()()()()31213s x f x f f x =++---，由复合函数的同增异减可得()s x 在()6,6-上为增函数，而()()()122003s f f f ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，故()()()31213f x f f x ++-<-即为()10()3s x s <=，故13x <，又63166136x x -<+<⎧⎨-<-<⎩，故5133x -<<故不等式的解集为51,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：奇函数；51,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知102m =，105n =，求下列各式的值：（1）210m n -；（2）m n +；（3）1125mn+.【答案】（1）225（2）1 （3）20【解析】【分析】（1）根据同底数幂的除法法则及幂的乘方求解即可；（2）根据同底数幂的乘法法则求解即可；（3）结合指数与对数相互转化可得lg 2m =，lg 5n =，再结合换底公式可得21log 10m =，51log 10n=，进而代值计算即可.【小问1详解】()2222101022105251010m m m n n n-====.【小问2详解】因为1010251010m n n m +=⋅=⨯=，所以1m n +=.【小问3详解】由102m =，105n =，则lg 2m =，lg 5n =，则21log 10m =，51log 10n=，所以52log 10log 01112510102025m n ==+++=16. 已知幂函数()()21af x a a x =+-在()0,∞+上单调递增.（1）求()f x 解析式；（2）若()()22g x x f x mx m =⋅-+在[]0,2上的最小值为2-，求m 的值.【答案】（1）()f x x = （2）1-或3【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得2110a a a ⎧+-=⎨>⎩，进而求解即可；（2）根据二次函数的性质讨论求解即可.【小问1详解】由题意得，2110a a a ⎧+-=⎨>⎩，解得1a =，则()f x x =.【小问2详解】的.由()()22222g x x f x mx m x mx m =⋅-+=-+，对称轴为x m =，当0m ≤时，()()min 02g x g m ==，则22m =-，即1m =-；当02m <<时，()()2min 2g x g m m m ==-+，则222m m -+=-，即1m =+1m =；当2m ≥时，()()min 242g x g m ==-，则422m -=-，即3m =.综上所述，1m =-或3.17. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是1θ℃，室温是0θ℃，那么t min 后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式()()010e kt t θθθθ-=+-求得，其中k 是常数.为了求出这个k 的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用95℃的水泡制成95℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从0t =开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：t min012345θ（℃）95.0089.1984.7581.1978.1975.00（1）请你仅利用表中的一组数据5t =，75.00θ=，求k 的值，并求出此时()t θ的解析式；（2）在25℃室温环境下，王老师用95℃的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至45℃时再饮用，根据（1）的结果，王老师要等待多长时间？（参考数据：ln 20.7≈，ln 5 1.6≈，ln 7 1.9≈，e 是自然对数的底数.）【答案】（1）350k ≈，()3502570et θ-=+ （2）王老师大约等待20min 【解析】【分析】（1）由题意得()575259525ek-=+-，结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质求解即可；（2）令3502570e 45t -+=，进而结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质求解即可.【小问1详解】由题意，得()575259525ek-=+-，即55e7k-=，即55ln ln 5ln 7 1.6 1.90.37k -==-≈-=-，解得350k ≈，此时()3502570e t t θ-=+.【小问2详解】令3502570e 45-+=，即3502e7-=，即32ln ln 2ln 70.7 1.9 1.2507t -==-≈-=-，解得20t ≈，所以王老师大约等待20min.18. 已知函数()e 1e 1x x a f x -=+为奇函数.（1）求a 的值；（2）利用定义证明()y f x =在R 上单调递增；（3）若存在实数[]1,3x ∈，使得()()4320xxf k f ⋅-+>成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1 （2）证明见解析（3）1,12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质求解即可；（2）利用函数的单调性定义证明即可；（3）结合函数()f x 的单调性和奇偶性转化题目问题为存在实数[]1,3x ∈，使得3142xx k >-成立，则min3142x x k ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，进而令111282x t t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为函数()e 1e 1x x a f x -=+为奇函数，定义域为R ，所以()10011a f -==+，即1a =，此时()e 1e 1x x f x -=+，则()()e 11e e 11e x xx xf x f x -----===-++，满足题意，所以1a =.【小问2详解】证明：由（1）知，()e 1e 1221e 1e 1e 1x x x x xf x -+-===-+++，任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()122112222211e 1e 1e 1e 1x x x x f x f x -=--+=-++++()()()()()()121212122e 1e 12e e e 1e 1e 1e 1x x x x x x x x +---==++++，因为12x x <，则12e e 0x x -<，()()12e 1e 10xx++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()y f x =在R 上单调递增.【小问3详解】由()()4320xxf k f ⋅-+>，即()()()4322xxxf k f f ⋅->-=-，因为函数()y f x =在R 上单调递增，所以432x x k ⋅->-，即3142xx k >-，由题意，存在实数[]1,3x ∈，使得3142xx k >-成立，则min3142x x k ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，令111282x t t ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则()2min 3k t t >-当16t =时，()2min1312t t -=-，即112k >-，所以k 的取值范围为1,12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.19. 对于定义在区间D 上的函数()f x ，若存在闭区间[],a b D ⊆和常数c ，使得对任意[]1,x a b ∈，都有()1f x c =，且对任意2x D ∈，当[]2,x a b ∉时，()2f x c >恒成立，则称函数()f x 为区间D 上的“卷函数”.（1）判断函数()11g x x x =++-是否为R 上的“卷函数”？并说明理由：（2）设()g x 是（1）中的“卷函数”，若不等式()2344222xttttg ---≤+++-对t ∀∈R 恒成立，求实数x 的取值范围；（3）若函数()h x mx =[)3,∞-+上的“卷函数”，求m n 的值.【答案】（1）函数()11g x x x =++-为R 上的“卷函数”，理由见解析（2）[]1,2 （3）4【解析】【分析】（1）写出函数()g x 的分段函数形式，再结合新定义判断即可；（2）令()222ttm m -=≥+，结合二次函数的性质及题意可得不等式()232x g -≤恒成立，进而结合函数()g x 的值域可得1231x -≤-≤，进而求解即可；（3）根据题意可得存在区间[][),3,a b ⊆-+∞和常数c，使得mx c +=恒成立，即()224x x n mx c ++=-，列出方程组即可求得m 、c 、n 的值，代入函数验证是否满足题意即可确定m 、n的值，进而求解.【小问1详解】函数()11g x x x =++-为R 上的“卷函数”，理由如下：对于函数()2,1112,112,1x x g x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪>⎩，当[]1,1x ∈-时，()2g x =，且当1x <-或1x >时，()2g x >恒成立，所以函数()11g x x x =++-为R 上的“卷函数”.【小问2详解】由于222t t -≥=+，当且仅当22t t -=，即0t =时等号成立，令()222ttm m -=≥+，则2244t t m -+=-，所以2442224t t t t m m --+++-=+-，因为函数24y m m =+-在[)2,+∞上单调递增，所以当2m =时，()2min42m m +-=，由题意，不等式()2344222xttttg ---≤+++-对t ∀∈R 恒成立，即不等式()232xg -≤恒成立，由（1）知，当[]1,1x ∈-时，()2g x =，且当1x <-或1x >时，()2g x >恒成立，则1231x -≤-≤，解得12x ≤≤，即实数x 的取值范围为[]1,2.【小问3详解】因为函数()h x mx =+是区间[)3,∞-+上的“卷函数”，则存在区间[][),3,a b ⊆-+∞和常数c，使得mx c +=恒成立.所以()2222242x x n c mx m x mcx c ++=-=-+恒成立，即22124m mc c n ⎧=⎪-=⎨⎪=⎩，解得124m c n =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或124m c n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，当124m c n =⎧⎪=-⎨⎪=⎩时，()2,32222,2x h x x x x x x --≤≤-⎧==++=⎨+>-⎩，当[]3,2x ∈--时，()2h x =-，当()2,x ∈-+∞时，()2h x >-恒成立.此时，()h x 是区间[)3,∞-+上的“卷函数”.当124m c n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩时，()22,3222,2x x h x x x x x ---≤≤-⎧=-+=-++=⎨>-⎩.当[]3,2x ∈--时，()2h x >-，当()2,x ∈-+∞时，()2h x =，此时，()h x 不是区间[)3,∞-+上的“卷函数”.综上所述，1m =，4n =，所以4m n =.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

辽宁省辽南协作体2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含解析)

2024-2025学年度上学期期中考试高一数学时间：120分钟满分：150分命题范围：必修一一、单选题：（每题5分）1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.已知，，则“”是“且”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.5.已知关于的方程有两个实数根，.若，满足，则实数的取值为（）A.或6B.6C. D.6.函数的定义域为，函数，则的定义域为（）A. B.C. D.{}*05,U x xx =≤<∈N {}1,2,3P ={}2,4Q =()UP Q = ð{}0,2,3,4{}2,4{}2,3,4{}1,2,43x ∃≥2230x x -+<3x ∀≥2230x x -+<3x ∀≥2230x x -+≥3x ∀<2230x x -+≥3x ∃<2230x x -+≥x y ∈R 1x y +≤12x ≤12y ≤a b ad bc c d =-2014132a a <a 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()3,1,2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭3,12⎛⎫-⎪⎝⎭()3,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭x ()222110x k x k +-+-=1x 2x 1x 2x 22121216x x x x +=+k 2-2-54()1f x +[]2,1-()g x =()g x 1,22⎛⎫-⎪⎝⎭()1,-+∞()1,00,22⎛⎫-⎪⎝⎭1,22⎛⎤-⎥⎝⎦7.已知函数，若在上是减函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（）A. B. C.-3D.0二、多选题（每题6分）9.下列函数中，值域为的是（）A. B.C.， D.（）10.下列命题中，真命题是（）A.若、且，则、至少有一个大于1B.C.“”是“”的必要条件D.“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件11.已知，，，则下列结论中一定成立的是（）A.的最小值是B.的最小值是2D.的最小值是25三、填空（每题5分）12.已知集合，，，则的值为______.13.已知函数，，则______.14.已知是定义在上的偶函数，若在上是增函数，则满足的实数的取值范围为______；若当时，，则当时，的解析式是______.四、解答题（共77分）15.已知：（），：.()()231,1,1a x x f x a x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x R a 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭23,34⎛⎤⎥⎝⎦2,13⎛⎫⎪⎝⎭3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭()y g x =()(),11,-∞--+∞ ()1g x -1x >-()221g x x =-()()1f x g x =-1-2-[]0,4()[]1,1,5f x x x =-∈()24f x x =-+()f x =[]2,14x ∈-()12f x x x=+-0x >x y ∈R 2x y +>x y 2,2x x x∀∈<R x y >x y >0m <220x x m -+=0a >0b >1a b +=22a b +121ab ab +49a b+{}3,A a ={},1B a ={}1,2,3,2A B =- a ()2f x x =()2g x x =+()()3f g =()f x R ()f x [)0,+∞()()11f m f -<m 0x ≥()24f x x x =+0x <()f x p 22680x ax a -+<0a ≠q 2430x x -+≤（1）当时，若同时成立，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.16.已知集合，集合，集合，集合.（1）求（2）设，求实数的取值范围.17.已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求实数和的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；（3）若，求的取值范围.18.某厂家拟定在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足（为常数）.如果不举行促销活动，该产品的年销量只能是1万件.已知2023年生产该产品的固定投入将为10万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元（再投入费用不包含促销费用），厂家将每件产品的销售价格定为“平均每件产品的固定投入与再投入”的倍.（1）求的值；（2）将2023年该产品的利润（万元）表示为年促销费用（万元）的函数；（3）该厂家2023，结果保留1位小数）.19.对于二次函数（），若存在，使得成立，则称为二次函数（）的不动点.（1）求二次函数的不动点；（2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且，，求的最小值.（3）若对任意实数，二次函数（）恒有不动点，求的取值范围.1a =,p q x p q a U =R 4221x A xx ⎧-⎫=<⎨⎬+⎩⎭{}312B x x =->[],1C m m =+A B()U B C C = ðm ()24ax b f x x +=-()2,2-()213f =a b ()f x ()2,2-()()2110f t f t -+-<t x m 0m ≥32kx m =-+k 32k y m 1.414=2y mx nx t =++0m ≠0x ∈R 2000mx nx t x ++=0x 2y mx nx t =++0m ≠23y x x =--()2231y x a x a =-++-1x 2x 1x 20x >1221x x x x +b ()()211y ax b x b =+++-0a ≠a高一数学参考答案题号1234567891011答案BBBACDBAACADACD1. B 因为，所以.2. B 解：因为命题“，”为存在量词命题，所以其否定为“，”.3. B 【详解】当“”时，如，，满足，但不满足且，当且时，根据不等式的性质有“”，故“”是“且”的必要不充分条件.4. A 【详解】因为，即，即，即，解得，所以实数的取值范围为.故选：A5. C 【详解】∵关于的方程有两个实数根，，∴，解得，∴实数的取值范围为，根据韦达定理可得，，∵，∴，即，解得或（不符合题意，舍去），∴实数的值为.6. D 【详解】由函数的定义域为，可得函数的定义域为，函数，可得，解得，所以函数定义域为.{}{}*05,1,2,3,4U x x x U =≤<∈==N(){}{}{}42,42,4UP Q == ð3x ∃≥2230x x -+<3x ∀≥2230x x -+≥1x y +≤4x =-1y =1x y +≤12x ≤12y ≤12x ≤12y ≤1x y +≤1x y +≤12x ≤12y ≤2014132a a <2213140a a -⨯<⨯-⨯2230a a --<()()2310a a -+<312a -<<a 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭x ()222110x k x k +-+-=1x 2x ()()222141450k k k ∆=---=-+≥54k ≤k 54k ≤1212x x k +=-2121x x k =-()22212121212216x x x x x x x x +=+-=+()()()2221221161k k k ---=+-24120k k --=2k =-6k =k 2-()1f x +[]2,1-112x -≤+≤()f x []1,2-()g x =12210x x -≤≤⎧⎨+>⎩122x -<≤()g x 1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦7. B 【详解】由在上是减函数可得，解得，8. A 【详解】因为为奇函数，所以关于对称，则关于对称，即，当时，，当时，，则，所以，则，因为，则或，解得或，所以.9. AC 【详解】对于A ：函数，在定义域上单调递增，又，，所以，故A 正确；对于B ：由，所以，即，故B 错误；对于C ：函数，在定义域上单调递增，又，，所以，故正确；对于D ：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，故D 错误；10. AD 【详解】假设，都不大于1，即，，则，因此不成立，所以假设不成立，故A 正确；()f x R 2300231a a a a-<⎧⎪>⎨⎪-+≥⎩2334a <≤()1g x -()1g x -()0,0()g x ()1,0-()()2g x g x =---1x >-()221g x x ==1x <-21x -->-()()()222221287g x g x x x x ⎡⎤=---=----=---⎣⎦()2221,1287,1x x g x x x x ⎧->-=⎨---<-⎩()()()2222,1122,1x x f x g x x x ⎧->-⎪=-=⎨-+<-⎪⎩()0f x =22201x x ⎧-=⎨>-⎩()21220x x <-⎧⎪⎨-+=⎪⎩11x =22x =-121x x +=-()1f x x =-[]1,5x ∈()10f =()54f =()[]0,4f x ∈20x ≥244x -+≤()(],4f x ∈-∞()f x =[]2,14x ∈-()20f -=()144f =()[]0,4f x ∈C 0x >()1220f x x x =+-≥-=1x x=1x =()[)0,f x ∈+∞x y 1x ≤1y ≤2x y +≤2x y +>因为时，，故B 错误；因为，但是，则不一定能推出，且，但是，所以不一定能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C 错误；关于方程有一正一负根，所以“”是“关于方程有一正一负根”的充要条件，故D 正确；故选：AD11. ACD 【详解】∵，，，∴，所以A 中结论一定成立，由已知得，∴，所以B 中的结论是错误的，由，所以C 中的结论是成立的，由已知得，所以D 中的结论是成立的，12.【详解】由题意得，且，故，13. 25 【详解】根据题意可知，则.【详解】∵是定义在上的偶函数，若在上是增函数，∴不等式等价为，即得，得，若，则，则当时，，则当时，，1x =22x x >32->32-<x y >x y >23>-23<-x y >x y >x y >x y >220x x m -+=44000m m m ∆=->⎧⇔⇔<⎨<⎩0m <220x x m -+=0a >0b >1a b +=()2221122a b a b +≥+=21024a b ab +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭()2222111117241244ab a b ab ab ab ab -+⎛⎫+==+≥-+= ⎪⎝⎭()222a b ≤+=≤()494949131325b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭2-a a ≠2a =2a =-()3325g =+=()()()235525f g f ===()f x R ()f x [)0,+∞()()11f m f -<()()11f m f -<111m m -=-<111m -<-<02m <<0x <0x ->0x -≥()()24f x x x f x -=-=0x <()24f x x x =-故答案为：（1），（2）15.【详解】（1）当时，：，即：，：，即：，若同时成立，则，即实数的取值范围为（2）由（1）知，：，：（），即：，①当时，：，若是的充分不必要条件，则，解得；②当时，：，此时不可能是的充分不必要条件，不符合题意综上，实数的取值范围为.16.【详解】（1）由已知，，所以；（2）由（1）得，所以，又，且所以，即，解得，所以实数的取值范围是.17.【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，所以得，02m <<()24f x x x=-1a =p 2680x x -+p 24a x a <=-∞-+∞ ⎪⎝⎭ ()11,1,23A B ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()1,1,3B ⎛⎫=-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 1,13U B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ð()U B C C = ð[],1C m m =+()U C C B ⊆C ≠∅1311m m ⎧≥-⎪⎨⎪+≤⎩103m -≤≤m 103m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭()24ax bf x x+=-()2,2-()004bf ==0b =又因为，所以，经检验，当，时，是奇函数，所以，（2）由（1）可知，设所以因为，所以，，，，，所以，即，所以函数在上是增函数.（3）由函数是定义在上的奇函数且，则，所以所以的取值范围是.18.【详解】（1）由已知，当时，，，解得：，（2）由（1）知，故。

山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学(含答案)

山东省实验中学2024~2025学年第一学期期中高一数学试题2024.11（必修第一册阶段检测）说明：本试卷满分150分，分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷为第1页至第2页，第II 卷为第2页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟第I 卷（选择题58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 2. 命题，，则命题的否定形式是（）A. ， B. ，C. ， D. ，3. 若，函数最小值为（）A.B. 2C. D. 44. 若幂函数的图象关于轴对称，则（）A. 或4B.C. 4D. 25. “”的一个必要不充分条件为（）A. B. C. D. {2,1,0,1,2}A =--1|22x B x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭A B = {}1-{2,1}--{1}{1,0,1}-:2p x ∀>210x ->p 2x ∀>210x -≤2x ∀≤210x ->2x ∃>210x -≤2x ∃≤210x -≤0x >13y x x=+()()219mf x m m x =+-y m =5-5-3a ≥1a ≥1a <3a ≥3a >6. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 的解集为7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 8. 在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A ，B 均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B. C. D. 10. 若，，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D. 11. 已知函数的定义域为R ，且，的图象关于对称.当时，，若，则（）20ax bx c ++<{|1x x <-3}x >0a >0c <0a b c ++<20cx bx a -+<113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭()()2314,16,1a x a x f x x ax x ⎧-+<=⎨-+≥⎩12,x x ∈R 12x x ≠()()1212f x f x x x ->-a [)2,+∞1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦[]1,2M a b M ∈[2,3]ab∉M {}1,4,6,7{}1,2,,A B n = n (0,)x ∈+∞()f x =()||f x x =2()||f x x x =+()22x xf x -=-a 0b ≠a bc c>a b >11a b<a b>a c b c>()f x ()(2)f x f x =-(2)y f x =+(0,0)[0,1]x ∈()2x f x a b =⋅+(3)1f =-A. 的周期为4B. 图象关于对称C.D. 当时，第II 卷（非选择题 92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若函数定义域为，则的定义域为______.13. 若正实数x ，y 满足，则的最小值为_________.14. 已知函数，若关于方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15设集合，.（1）当时，求与；（2）当时，求实数的取值范围.16. 已知定义域为上的奇函数满足当时，.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的最大值和最小值及对应的值.17已知二次函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）当，时，求的最大值.18. 已知函数.（1）判断并证明的奇偶性；（2）判断并证明在上的单调性；（3）若关于的不等式f (ax 2+3ax )+f (1―ax )>0对于任意实数恒成立，求实数的取值范围.的的的()f x ()y f x =(4,0)(2025)1f =[4,5]x ∈()21x f x =-(31)f x +[1,2]-()f x 32x y +=31x y+22,0()112,0x x x f x x x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩x ()2f x kx k =-k {}23100A x x x =--≤{}121B x m x m =-<<+4m =()A B ⋂R ðA B A B A = m R ()f x ],(0x ∈-∞2()4f x x x =+()f x ()f x [1,3]-x 2()33f x x mx x m =+--m ∈R x ()0f x ≤2m =[],1x t t ∈+()f x ()g t 3()2||1xf x x x =++()f x ()f x [0,)+∞x x a19. 已知函数，.（1）求函数的值域；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值.1()21x f x =+x ∈R ()f x ()y f x =1[1,]x n ∈2[1,2]x ∈m ()()11231f mx f x x -+=n山东省实验中学2024~2025学年第一学期期中高一数学试题2024.11（必修第一册阶段检测）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BC10.【答案】ACD11.【答案】ABC第II 卷（非选择题 92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】13. 【答案】814.【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求集合A ，再应用集合的交并补运算求集合；（2）根据题意有，讨论集合B ，列对应不等式求参数范围.【小问1详解】由，，所以或，则，.【小问2详解】由题意，若，则，可得，若，则且，可得，综上，实数的取值范围是.16. 【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.（2）对进行分类讨论，根据二次函数的单调性求得最值.【小问1详解】∵函数是定义在上的奇函数，[]2,7-2[,2)(2,)5-+∞ B A ⊆{}23100{|25}A x x x x x =--≤=-≤≤{}39B x x =<<R {|2A x x =<-ð5}x >(){|59}A B x x ⋂=<<R ð{|29}A B x x =-≤-12215m m -≥-⎧⎨+≤⎩12m -≤≤m (,2][1,2]-∞-- ()f x x ()f x R则，∴，设，则，∴，所以【小问2详解】当时，由二次函数的性质得在上单调递增，在上单调递减，所以，可得此时；当时，由二次函数的性质得在上单调递增，所以，可得此时，综上，当时，；当时，.17. 【解析】【分析】（1）先因式分解，然后对进行分类讨论，从而求得正确答案.（2）对进行分类讨论，根据二次函数的性质求得正确答案.【小问1详解】，①当时，不等式的解集为；②当时，不等式的解集为；③当时，不等式的解集为.【小问2详解】当，对称轴为，区间中点为，比较与的关系，()()f x f x -=-()()f x f x =--0x >0x -<()()()()2244f x f x x x x x =--=---=-+()224,04,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩0x >()f x (0,2)(2,3](2)4,(0)0(3)3f f f ==<=()(0,4]f x ∈0x ≤()f x [1,0]-(1)3,(0)0f f -=-=()[3,0]f x ∈-2x =max ()4f x =1x =-min ()3f x =-m t 233(3)()0x mx x m x x m +--=-+≤3m >-{}3xm x -≤≤∣3m =-{3}3m <-{}3xx m ≤≤-∣22,()6m f x x x ==--12x =[,1]t t +212t +212t +12①当，即时，；②当，即时，；综上可得.18. 【解析】【分析】（1）利用奇偶性定义证明；（2）利用单调性定义证明；（3）根据（1）（2），将不等式化为在上恒成立，分类讨论并结合二次函数性质求参数范围.【小问1详解】为奇函数，证明如下：由解析式知，函数定义域为R ，且，所以为奇函数；小问2详解】在上的单调递增，证明如下：令，则，，而，，所以，即在上的单调递增.【小问3详解】由（1）（2）知：在R 上单调递增，且，所以，故，即在上恒成立，当时，有，满足题设；【21122t +≤0t ≤2()()6g t f t t t ==--21122t +>0t >2()(1)6g t f t t t =+=+-226,0()6,0t t t g t t t t ⎧--≤=⎨+->⎩2210ax ax ++>R x ∈()f x 33()22()||1||1x xf x x x f x x x --=-+=--=--++()f x ()f x [0,)+∞120x x >≥12121212121212333()()()222()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x x x x x --=+--=-+++++12123()[2(1)(1)x x x x =-+++120x x ->12320(1)(1)x x +>++12()()f x f x >()f x [0,)+∞()f x ()()f x f x -=-()()()()2231031f ax ax f ax f ax ax f ax ++->⇒+>-231ax ax ax +>-2210ax ax ++>R x ∈0a =22110ax ax ++=>当时，则，综上，.19. 【解析】【分析】（1）利用复合函数的单调性及指数函数值域求的值域；（2）只需证明，即可证结论；（3）根据（2）结论有，令得，结合题设条件有，即可求参数范围.【小问1详解】由复合函数的单调性，易知在R 上单调递减，由指数函数性质知，，即，故；【小问2详解】由，即，故关于中心对称，得证；【小问3详解】由（2）及，知，对于，以为主元且，则在上递减，所以，问题化为任意，都有，只需，则，则，又，所以，即参数n 的最大值为.0a ≠201Δ440a a a a >⎧⇒<<⎨=-<⎩01a ≤<()f x ()()1f x f x -+=1123mx x x -=112y mx x x =-11[(2),(1)]y m x m x ∈--(2)31n m m -≤≤-()f x 2(0,)x ∈+∞21(1,)x +∈+∞()(0,1)f x ∈12()2112xx xf x --==++()()1f x f x -+=()y f x =1(0,)2()()11231f mx f x x -+=11230mx x x -+=⇒1123mx x x -=112y mx x x =-2x 1[1,]x n ∈y 2[1,2]x ∈11[(2),(1)]y m x m x ∈--1[1,]x n ∈3∈11[(2),(1)]m x m x --(2)31n m m -≤≤-432m n m ≥⎧⎪⎨≤⎪-⎩33(0,]22m ∈-1n ≥312n ≤≤32。

北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含答案

北京市2024～2025学年第一学期期中考试高一学科：数学（答案在最后）2024年10月（考试时间120分钟满分150分）提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.已知集合{}1,0,1,2,3U =-，{}13,N A x x x =-<<∈，则U A =ð（）A.{}1,3-B.{}1,2C.{}1,0,3- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】首先求解集合A ，再根据补集的定义即可得出答案.【详解】因为{}{}13,N 0,1,2A x x x =-<<∈=，{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U A =-ð.故选：A.2.下列函数中是偶函数的是（）A.4(0)y x x =<B.221y x =+C.31y x =- D.1y x =+【答案】B 【解析】【分析】根据奇偶性的定义对各个选项逐一判断即可得出答案.【详解】解：对于A ，因为函数4(0)y x x =<的定义域不关于原点对称，所函数不具有奇偶性，故A 不符题意；对于B ，函数()221y f x x ==+的定义域为R ，()()221f x f x x -==+，所以函数为偶函数，故B 符合题意；对于C ，函数()31y f x x ==-的定义域为R ，()()31f x x f x -=--≠，所以函数不是偶函数，故C 不符题意；对于D ，函数()1y f x x ==+的定义域为R ，因为()()1012f f -=≠=，所以函数不是偶函数，故D 不符题意.故选：B.3.已知,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式正确的是（）A.ac bc >B.22a b >C.33a b > D.11a b<【答案】C 【解析】【分析】根据特值法可排除A ，B ，D ，根据3y x =在R 上单调递增，可判断C 项.【详解】当0c =时，ac bc =，故A 错误；当1a =-，2b =-时，22a b <，故B 错误；因为3y x =在R 上单调递增，且a b >，所以33a b >，故C 正确；当1a =，1b =-时，11a b>，故D 错误.综上，正确的为C .故选：C .4.函数3xy =的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数的值域，以及指数函数的图象特征，即可判断选项.【详解】0x ≥，所以31x≥，排除AC ，且3,033,0x xx x x -⎧≥=⎨<⎩，排除D.故选：B5.若奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数，且最小值为5，则它在区间[]7,3--上是（）A.增函数且有最大值5-B.增函数且有最小值5-C.减函数且有最大值5-D.减函数且有最小值5-【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶函数的性质直接得出结果.【详解】因为函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，且有最小值5，所以(3)5f =，又()f x 为奇函数，所以函数()f x 在区间[7,3]--上是增函数，且有最大值(3)(3)5f f -=-=-.故选：A6.随着我国经济的不断发展，2023年年底某地区农民人均年收入为7000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6％的年平均增长率增长，那么2030年年底该地区的农民人均年收入为（）A.70001.067⨯⨯元B.770001.06⨯元C.70001.068⨯⨯元D.870001.06⨯元【答案】B 【解析】【分析】根据指数增长模型计算即可.【详解】设经过x 年，该地区的农民人均年收入为y 元，根据题意可得7000 1.06x y =⨯，从2023年年底到2030年年底共经过了7年，所以2030年年底该地区的农民人均年收入为770001.06⨯元．故选：B.7.已知0a >，则41a a++的最小值为（）A.1-B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】因为0a >，根据基本不等式可得441115a a a a ++=++≥+=，当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立；所以41a a++的最小值为5，故选：D.8.如图，已知全集U =R ，集合{}2340A x x x =-->，{}0B x x =>，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}0x x ≤ B.{}1x x ≥- C.{}10x x -≤≤ D.{}04x x x 或【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合.【详解】依题意，集合{|1A x x =<-或}4x >，而{}0B x x =>，则|1{A B x x =<- 或}0x >，由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为(){|10}U A B x x =-≤≤ ð.故选：C.9.“01a <≤”是“关于x 的不等式2210ax ax -+≥对R x ∀∈恒成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求不等式恒成立时a 的取值范围，再根据集合的关系，即可判断.【详解】不等式2210ax ax -+≥对R x ∀∈恒成立,当0a =时，10≥恒成立，当0a ≠时，2Δ440a a a >⎧⎨=-≤⎩，得01a <≤，所以01a ≤≤，所以“01a <≤”是“关于x 的不等式2210ax ax -+≥对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件.故选：A10.已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A.(]0,3 B.[)2,+∞ C.()0,∞+ D.[]2,3【答案】D 【解析】【分析】由题意可知函数()f x 在R 上递减，结合分段函数单调性列式求解即可.【详解】因为函数()f x 满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x -<-成立，不妨假设12x x <，则210x x ->，可得()()210f x f x -<，即()()12f x f x >，可知函数()f x 在R 上递减，则1206a a a a ⎧≥⎪⎪>⎨⎪-+≥⎪⎩，解得：23a ≤≤，所以a 的取值范围是[]2,3.故选：D.11.函数()221,21,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的值域为（）A.31,4⎛⎫--⎪⎝⎭B.[)1,-+∞C.(),-∞+∞ D.31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】由指数函数与二次函数的图象与性质即可得到函数的值域【详解】当2x -＜时，()21xf x =-因为函数2x y =在(),2-∞-上单调递增，所以函数21x y =+在(),2-∞-上单调递增，又20x >所以()31,4f x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭；当2x ≥-时，()()[]21,1,f x x f x =-∈-+∞，所以，()f x 的值域为[)1,-+∞.故选：B.12.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N ⋃=Q ，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割.试判断，对于任一戴金德分割(),M N ，下列选项中一定不成立的是（）A .M 没有最大元素，N 有一个最小元素B.M 没有最大元素，N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素，N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D 都能举出特定的例子，排除法则说明C 选项错误【详解】若{},0M x Q x =∈<，{},0N x Q x =∈≥；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0；故A 正确；若{,M x Q x =∈<，{,N x Q x =∈≥；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素；故B 正确；若{},0M x Q x =∈≤，{},0N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 不正确.故选：C二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）13.函数()0f x -=的定义域为______.【答案】11,,222⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】根据函数的形式，列不等式，即可求解.【详解】函数的定义域需满足㌴㌴，得2x <且12x ≠，所以函数的定义域为11,,222∞⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：11,,222∞⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14.关于a 的不等式的220a -<解集是______.【答案】{a a <<【解析】【分析】因式分解后，即可求解不等式.【详解】(2200a a a -<⇔+-<，得a <<，所以不等式的解集为{a a <<.故答案为：{a a <<15.计算：()33log 927+-=______.【答案】19681-【解析】【分析】根据对数公式和指数运算公式，即可求解.【详解】()33log 92721968319681+-=-=-.故答案为：19681-16.命题“∀x ＞0，x 2+2x -3＞0”的否定是______．【答案】∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【详解】命题为全称命题，则命题“∀x ＞0，x 2+2x -3＞0”的否定是为∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0，故答案为∃x 0＞0，x 02+2x 0-3≤0．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．17.已知()21g x x =-，当[]2,6x ∈时，函数()g x 的最小值是______，最大值是______.【答案】①.25##0.4②.2【解析】【分析】先判断函数单调性，再根据单调性求最值.【详解】[]12,2,6x x ∀∈，且12x x <，()()()()()211212122221111x x g x g x x x x x --=-=----，因为[]2,6x ∈，12x x <，所以21120,10,10x x x x ->->->，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x >，所以()g x 在[]2,6上为减函数，则()()()()min max 26,225g x g g x g ====，故答案为：25，2.18.如图是一份纸制作的矩形的宣传单，其排版面积（矩形ABCD ）为P ，两边都留有宽为a 的空白，顶部和底部都留有宽为2a 的空白.若2cm a =，2800cm P =，则当AB =______时，才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是______.【答案】①.20cm②.21152cm 【解析】【分析】首先设cm AB x =，再根据条件，用x 表示用纸的用量，列式后再用基本不等式，即可求解.【详解】设cm AB x =，纸的用量为S ，则800cm AD x=，所以()()8008002448S x a a x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，232003200832883281152cm x x x x=++≥+⋅，当32008x x=时，即20cm x =，所以当20cm AB =时，最少的纸的用量为21152cm .故答案为：20cm ；21152cm 19.函数()2f x x x =-+的单调递增区间是______.【答案】1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦和10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】首先去绝对值，将函数写成分段函数的形式，再结合二次函数的单调性，即可求解.【详解】()22,0,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨--<⎩，当0x ≥时，221124y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数的单调递增区间，当0x <时，221124y x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦是函数的单调递增区间，所以函数的单调递增区间是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦和10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦和10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦20.函数10.52x y =+的值域是______.【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】利用指数函数的值域可得0.522x +>，再利用不等式的性质即可求解.【详解】因为函数10.52xy =+定义域为R ，又0.50x >，所以0.522x +>，所以1100.522x <<+，即10,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭.21.已知函数()243f x x x =-+，()32g x mx m =+-，若对任意[]10,4x ∈，总存在[]20,4x ∈，使()()11220f x x g x +-=成立，则实数m 的取值范围为______.【答案】(][),44,-∞-⋃+∞【解析】【分析】由题意可得两个函数的值域的包含关系，进而可列关于m 的不等式，求解即可.【详解】因为对任意[]10,4x ∈，总存在[]20,4x ∈，使()()11220f x x g x +-=成立，即()()2112g x f x x =+成立，设()()()2222312h x f x x x x x -+=-+=+=，因为[]0,4x ∈，所以()[]2,11h x ∈，当0m =时，()3g x =，不符合题意；当0m >时，可得()[]32,23g x m m ∈-+，则3222311m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得4≥m ；当0m <时，可得()[]23,32g x m m ∈+-，则2323211m m +≤⎧⎨-≥⎩，解得4m ≤-；综上所述，实数m 的取值范围为(][),44,-∞-⋃+∞.故答案为：(][),44,-∞-⋃+∞.22.已知函数()()f x x ∈R 满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图象的m 个交点为()()()1122,,,,,,m m x y x y x y ⋅⋅⋅，则()()()1122m m x y x y x y ++++⋅⋅⋅++的值是______.【答案】m【解析】【分析】首先判断两个函数的对称性，再根据对称性，确定交点的对称性，即可求解.【详解】由条件()()2f x f x -=-得，()()2f x f x -+=，所以()y f x =关于点()0,1对称，111x y x x +==+关于点()0,1对称，所以函数1x y x+=与()y f x =图象的m 个交点有2m 对关于点()0,1对称，所以123...0m x x x x ++++=，12...22m m y y y m +++=⨯=，所以()()()1122m m x y x y x y m ++++⋅⋅⋅++=.故答案为：m三、解答题：本大题有5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.23.记全集U =R ，集合{}221,A x a x a a =-≤≤+∈R ，{}37B x x x =≤≥或.（1）若2a =，求A B ⋂，U B ð；（2）若A B ⋃=R ，求a 的取值范围；（3）若A B A = ，求a 的取值范围.【答案】（1）{}|03A B x x ⋂=≤≤，{}|37U B x x =<<ð（2）{}|35a a ≤≤（3）{|1a a ≤或}9a ≥【解析】【分析】（1）根据交集和补集的运算即可求解；（2）根据题意可得到有关a 的一个方程组，求解即可；（3）分A =∅和A ≠∅两种情况求解即可.【小问1详解】若2a =，则{}05A x x =≤≤，又{3B x x =≤或7}x ≥，则{}|03A B x x ⋂=≤≤，{}|37U B x x =<<ð；【小问2详解】集合{}221,A x a x a a =-≤≤+∈R ，{3B x x =≤或7}x ≥，A B ⋃=R ，所以23217a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得35a ≤≤，所以a 的取值范围为{}|35a a ≤≤；【小问3详解】因为A B A = ，则A B ⊆，{}221,A x a x a a =-≤≤+∈R ，{3B x x =≤或7}x ≥，当A =∅时，221a a ->+，解得3a <-；当A ≠∅时，221213a a a -≤+⎧⎨+≤⎩或22127a a a -≤+⎧⎨-≥⎩，解得31a -≤≤或9a ≥，综上,若A B A = ，求a 的取值范围为{|1a a ≤或}9a ≥.24.已知函数()22f x x mx =-（1）当[]0,1x ∈，()f x 的最大值为3，求实数m 的值.（2）当11t -≤≤时，若不等式()22f t t >-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1m =-（2）51|22m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）根据二次函数的性质，分情况讨论即可；（2）先根据不等式得到()22220t m t -++>在[]1,1t ∈-上恒成立，令()()2222h t t m t =-++，分析该函数对称轴与区间的关系，只需让区间上最小值大于零即可.【小问1详解】已知()()2222f x x mx x m m =-=--，当0m ≤时，函数()f x 在[]0,1x ∈上递增，所以()()max 1123f x f m ==-=，解得1m =-；当1m ≥时，函数()f x 在[]0,1x ∈上递减，所以()()max 003f x f ==≠，矛盾；当01m <<时，函数()f x 在[)0,x m ∈上递减，在[],1m 上递增，所以()()max 003f x f ==≠或()()max 1123f x f m ==-=，解得1m =-，均不符合题意；综上1m =-；【小问2详解】当11t -≤≤时，若不等式()22f t t >-恒成立，即2222t mt t ->-在[]1,1t ∈-上恒成立，即()22220t m t -++>在[]1,1t ∈-上恒成立，令()()2222h t t m t =-++，该函数对称轴为1t m =+，①当11m +≥，即0m ≥时，函数()h t 在[]1,1t ∈-上递减，只需让()()min 10h t h =>即可，则()()112220h m =-++>，解得12m <，即102m ≤<；②当111m -<+<，即20m -<<时，此时()()()()()2min 1122120h t h m m m m =+=+-+++>，解得11m -<<-，即20m -<<；③当11m +≤-，即2m ≤-时，函数()h t 在[]1,1t ∈-上递增，此时()()112220h m -=+++>，解得52m >-，即522m -<≤-；综上m 的取值范围为51|22m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.25.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过123m 的部分3元/3m 超过123m 但不超过183m 的部分6元/3m 超过183m 的部分9元/3m （1）求出每月用水量和水费之间的函数关系；（2）若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为多少？【答案】（1）3,012636,1218990,18x x y x x x x ⎧⎪=-<⎨⎪->⎩（2）153m 【解析】【分析】（1）先分别求出每一段的函数解析式，再写成分段函数的形式即可；（2）由（1）分012x ，1218x <，18x >三种情况讨论即可的解．【小问1详解】解：当012x 时，3y x =，当1218x <时，3126(12)636y x x =⨯+⨯-=-，当18x >时，312669(18)990y x x =⨯+⨯+⨯-=-，y ∴关于x 的函数解析式为：3,012636,1218990,18x x y x x x x ⎧⎪=-<⎨⎪->⎩；【小问2详解】解：当012x 时，354y x ==，解得18x =舍去，当1218x <时，63654y x =-=，解得15x =，当18x >时，99054y x =-=，解得16x =舍去，综上所述，若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为153m .26.已知函数()21ax b f x x +=+是定义在上的奇函数，且1225f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式以及零点.（2）判断并用函数单调性的定义证明()f x 在 t 的单调性.（3）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出()f x 在定义域上的准确示意图.【答案】（1）()21x f x x =-+，零点为0（2）函数()21x f x x =-+在[]1,0x ∈-上单调递减，证明见详解；（3）图象见详解.【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质和1225f ⎛⎫=-⎪⎝⎭可解得a ，b 的值，即可得函数的解析式；令()0f x =可解得函数的零点；（2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）根据函数的性质画出函数的图象即可.【小问1详解】因为函数()21ax b f x x +=+是定义在上的奇函数，所以()00f =，解得0b =，又1225f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即21225112a =-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得1a =-，所以()21x f x x =-+，令()0f x =得201x x -=+，解得0x =，即函数的零点为0；【小问2详解】函数()21x f x x =-+在[]1,0x ∈-上单调递减；证明：设1210x x -≤<≤，则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-+=++++，因为1210x x -≤<≤，所以120x x -<，1210x x -<，㌴㌴，所以㌴㌴，即()()12f x f x >，所以函数()21x f x x =-+在[]1,0x ∈-上单调递减；【小问3详解】函数()f x 的图像如下：27.设集合A 为非空数集，定义{}|,,A x x a b a b A +==+∈，{}|,,A x x a b a b A -==-∈．（1）若{}1,1A =-，写出集合A +、A -；（2）若{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且A A -=，求证：1423x x x x +=+；（3）若{}|02021,N A x x x ⊆≤≤∈，且AA +-=∅ ，求集合A 元素个数的最大值．【答案】（1）{}2,0,2A +=-，{}0,2A =（2）证明见解析（3）1348【解析】【分析】（1）根据定义{}|,,A x x a b a b A +==+∈，{}|,,A x x a b a b A -==-∈，直接求解即可，（2）由题意利用集合A 中的元素间的关系及可证明，（3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式求k 的范围，即可求出最大值．【小问1详解】由题意，得{}2,0,2A +=-，{}0,2A =，【小问2详解】证明：因为{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且A A -=，所以集合A -也有四个元素，且都为非负数，因为12||0x x A --=∈，又因为A A -=，所以0A ∈且10x =，所以集合A -中其他元素为220x x -=，330x x -=，440x x -=，即{}2131410,,,}A x x x x x x -=---，剩下的324321x x x x x x -=-=-，因为1324240x x x x x x =<-<-<，所以322x x x -=，423x x x -=即4231x x x x -=-，即1423x x x x +=+，所以1423x x x x +=+【小问3详解】设{}123,,,,k A a a a a = ，满足题意，其中123k a a a a <<<< ，因为11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+< ，所以21A k +≥-，因为1121311k a a a a a a a a -<-<-<<- ，所以||A k -≥，因为A A +-=∅ ，所以31A A A A k +-+-⋃=+≥-，A A +- 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ，所以*21,31214043(N ),1348k k A A a k a k k +-⋃≤+-≤+≤∈≤，实际当{}674,675,676,,2020A = ，时满足题意，证明如下：设{},1,2,2021A m m m =++ ，N m ∈，则{}2,21,22,4040A m m m +=++ ，{}0,1,2,2020A m -=- ，由题意得20202m m -<，即16733m >，故m 的最小值为674．即{}674,675,676,,2021A = 时，满足题意，综上所述，集合A 中元素的个数为202167411348-+=（个)．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是能够结合题意得到*21,31214043(N ),1348k k A A a k a k k +-⋃≤+-≤+≤∈≤，进而证明{}674,675,676,,2021A = 符合题意.。

南京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

南京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷命题人：高一数学备课组一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{22,},{4}A xx x B =-∈=R ∣剟，则A B =（）A.[2,2]-B.[0，2]C.(0,2)D.{0,1,2}2.命题“2,10x x x ∃∈-->R ”的否定是（） A.2,10x x x ∃∈--<R B.2,10x x x ∃∈--R … C.2,10x x x ∀∈--R … D.2R,10x x x ∀∈-->3.“0,0a b >>”是“2b aa b+…”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一个函数的是（）A.()()f x g x x ==B.2(),()||f x g x x == C.2(),()x f x g x x x==D.3(),()f x g x x ==5.函数2168y x x =--+的部分图象大致为（）A. B. C. D.6.设函数2(2),0()3,0,f x x f x x x x +⎧=⎨->⎩，…则(4)f -=（）A.-4B.-2C.0D.27.若0,0x y >>，且x y xy +=，则2x y +的最小值为（）A.2+B.5C.3+D.68.已知定义在R 上的函数()f x 满足()(4)2f x f x +-=，若函数()2xg x x =-与()f x 的图象的交点为()()()1122,,,,,,,m m x y x y x y 则1212=mmy y y x x x ++++++（） A.2B.1C.12D.0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.下列四个条件中，能成为“a b >”的充分条件的有（） A.11a b< B.22at bt >C.||||a b >D.33a b >10.已知全集()()()0,,,,{1,9},{410U UAUx U xx N A U B U A B B x ⎧⎫=<∈⊆⊆⋂=⋂=⎨⎬-⎩⎭痧?，6,7},{3}A B =，则下列说法正确的有（）A.8B ∈B.6()U AB ∉ð C.{2,5}B ⊆ D.A 的不同子集的个数为811.设a 为实数，已知函数()|1||1|f x x ax =++-，则下列说法正确的有（） A.当1a =时，()f x 是偶函数B.当2a =时，()f x 的最小值为32C.若()f x 在(,1)-∞-上单调递减，则a 的取值范围为(,1][0,)-∞-+∞D.若存在t ∈R ，对于任意的,()()x f t x f t x ∈+=-R ，则a 的可能值共有3个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数y =______.13.设0a >=1122a a +的值是______. 14.设550a 剟，函数100()f x x x=+在(0,]a 上的最小值为1m ，在区间[,)a +∞上的最小值为2m ，若存在两个不同的a ，使得12m m t =成立，则实数t 的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）计算：（1）20.53812274-⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）21log 34312log 3log 8lg1000+-⨯+ 16.（本小题满分15分）设a 为实数，已知集合{(2)(2)0},[3,6]A x ax x B =--<=∣. （1）若12a =，求A B ；（2）若B A ⊆，求a 的取值范围.17.（本小题满分15分）如图，已知矩形()ABCD AB AD >的周长为24cm ，把ABC 沿AC 向ADC 折叠，得到AB C '.设线段AB '与线段DC 交于点P ，且 c m AB x =.（1）若c m PC y =，求y 关于x 的解析式；（2）求ADP 面积S 的最大值及相应x 的值.18.（本小题满分17分）设a 为实数，已知函数2()(1)1f x x a x =--+为R 上的偶函数. （1）求a 的值；（2）设函数(),[1,1]()xg x x f x =∈-. ①用定义证明：()g x 在[0，1]上单调递增； ②解关于x 的不等式()(13)0g x g x +-<.19.（本小题满分17分）已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为A 和B ，若对任意t A ∈，恰好都存在()* N n n ∈个不同的实数12,,,n x x x B ⋯∈，使得()()(1,2,,)i g x f t i n ==⋯，则称()g x 为()f x 的“n 型函数”.（1）判断2()2,[2,3]g x x x x =-∈是否为()1,[0,3]f x x x =+∈的“1型函数”，并说明理由；（2）设a 为实数，若2()g x x ax =-为()||f x x a =+的“2型函数”，求a 的取值范围；（3）设0,a n >为给定的正整数.定义{}[]x x x =-为实数x 的小数部分，[]x 为不超过x 的最大整数，如{1.2}0.2,{1.3}0.7,{1}0=-==.若(){},[0,1)g x ax x =∈为21(),[1,)f x x x x=∈+∞+的“n 型函数”，求a的取值范围（结果用含n的式子表示）.南京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷命题人：高一数学备课组一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】B【解析】(4)(2)(0)(2)2f f f f -=-===- 7.【答案】C【解析】1111212(2)33y xx y xy x y x y x y x y x y ⎛⎫+=⇒+=⇒+=++=++≥+ ⎪⎝⎭8.【答案】C【解析】由()(4)2f x f x +-=得()f x 关于(2,1)对称，由()2x g x x =-得4(4)2xg x x--=-，即4()(4)222x xg x g x x x-+-=+=--，所以()g x 也关于(2,1)对称，因此两函数图象交点也是对称的.假设点()11,x y 与点()22,x y 对称，则121224y y x x +=+，所以推理可得121212m m y y y x x x ++⋯+=++⋯+.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.【答案】BD【解析】即求哪个选项可以推出a b >，所以若0,0a b <>，则A 错；对于B 来说，0t ≠，所以左右同除以2t 可得a b >；若2,1a b =-=，则C 错；()2332223()()0, 24b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以可得. a b >10.【答案】ACD【解析】由已知得{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，且A 中必有1，9，而B 中必没有1，9；A 中必没有4，6，7，且B 中也没有4，6，7；A 和B 中都有3，可以总结如下：11.【答案】ABD【解析】若1a =，则()|1||1|f x x x =++-，所以()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=++-=，故A 对；若2a =，则13,21()|1||21|2,123,1x x f x x x x x x x ⎧>⎪⎪⎪=++-=--≤≤⎨⎪-<-⎪⎪⎩，如图：故min 13()22f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故B 对；在(,1)-∞-上，()(1)f x a x =-+单调递减，则10a +>即1a >-，故C 错；若()()f t x f t x +=-，则()f x 关于x t =对称，所以由C 可知0a =与1a =-均能满足题意，此外由B 可知要满足题意则中间部分必须水平，所以11x a -<<或11x a<<-时，1a -或1a -要为0，即1a =，共有3个，故D 对．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】[3,0)(0,3]-13.【答案】3【解析】因为224-=，所以29=0>，所以3=． 14.【答案】(400,500] 【解析】函数草图如下：由图可知最值的关键在于a 与10的大小关系，因为不确定，故讨论： ①510a ≤<时，12100()(10)20m f a a m f a ==+==，，即1210020(400,500]m m a a ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；②10a =时，12(10)20m m f ===，即12400m m =； ③1050a <≤时，12100(10)20()m f m f a a a ====+，，即1210020(400,1040]m m a a ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭；所以要想存在两个不同的a 使得12m m 相同，则必须一个[5,10)a ∈，另一个(10,50]a ∈，即(400,500](400,1040](400,500]t ∈⋂=.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）原式2239111232424-⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭（2）原式2log 3lg33lg 233223632lg 2lg322=⨯-⨯-=--= 16.【解析】（1）12a =时，(2,4)A =，故(2,6]A B =；（2）①0a =时，(2,)A =+∞，满足题意；②01a <<时，22,A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，要满足题意则有26a >，即103a <<； ③1a =时，A =∅，与已知矛盾，舍； ④1a >时，2,2A a ⎛⎫=⎪⎝⎭，与已知矛盾，舍； ⑤0a <时，2,(2,)A a ⎛⎫=-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，一定满足题意.综上所述，a 的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.17.【解析】（1）由已知得(cm)DP x y =-，易得Rt ADP 和Rt CB P '全等，所以(cm)AP PC y ==，由勾股定理得222(12)()x x y y -+-=，即7212y x x=+-，期中612x <<；（2）1172(12)()61810822ADPSAD PD x x y x x ⎡⎤⎛⎫=⋅=--=-+≤- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当且仅当x =108-18.【解析】（1）由偶函数得对称轴102a x -==，即1a =；（2）由（1）得2()1xg x x =+， ①任取12x x >，且12,[0,1]x x ∈，所以()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x g x g x x x x x +-+-=-=++++ ()()()()()()()12211212122222121211111x x x x x x x x x x xx xx -+---==++++因为12x x >，且12,[0,1]x x ∈，所以1210x x -≥且120x x ->，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x >，因此()g x 在[0，1]上单调递增得证； ②因为()()21xg x g x x --==-+，所以()g x 为奇函数，由①可知()g x 在[1,1]-单调递增，因此由()(13)0g x g x +-<，可得()(13)g x g x <--，进而有()(13)g x g x <-+，所以得13x x <-+，即12x >，此外由定义域得111131x x -≤≤⎧⎨-≤-+≤⎩，综上不等式的解集为12,23⎛⎤⎥⎝⎦. 19.【解析】（1）由已知得()f x 的值域为[1,4],()g x 的值域为[0，3]，所以不存在x 满足()(3)4g x f ==，故不是；注：“1型函数”实际上要求()f x 的值域是()g x 的值域的子集，且()g x 在定义域内单调．（2）由已知得()f x 的值域为[,),()a g x +∞的值域为[0,)+∞，因此要满足题意首先需要0a ≥，此外要存在两个不同的实数12,x x ，则要满足24a a >，即4a <，但0a =时，()0g x =只有一解，与已知矛盾，所以a 的取值范围是(0,4)；（3）由已知得()f x 的值域为1,0,1120,,()1,,, 2ax x a g x ax x a a ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎛⎤⎡⎫=-∈⎨ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭⎪⎪⎪⎩即可视为一个周期函数，要满足题意则需2112n n a a -<≤，即a 的取值范围是1,2n n ⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

北京市大峪中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

大峪中学2024-2025第一学期高一年级数学学科期中考试试卷（满分：150分；时间：120分钟；命题人：高一集备组；审核人：）一､选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）1.若，则集合A 中的元素个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.命题“，都有”的否定是（）A.，使得B.，使得C.，都有D.，都有3.已知四个实数.当时，这四个实数中的最大者是（）A. B. C. D.4.“”是“”的（）.A.充分不必要条件.B.既不充分也不必要条件C.充要条件D.必要不充分条件5.已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：123456136.115.610.9判断函数的零点个数至少有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知函数，若则（）A.1 B.3 C.4 D.27.若函数是偶函数，且，则必有（）A.B.C. D.8.函数是上是减函数，那么下述式子中正确的是（）()(){}1,2,0,0A =-0x ∀>20x x -...0x ∃>20x x -...0x ∃>20x x ->0x ∀>20x x ->0x ∀ (20)x x ->22,2,,2a a a a 01a <<a 22a 2a 2a 2x <2x <R ()f x x()f x 3.9-52.5-2321-.()20,11,125,2x f x x x x x <⎧⎪=+≤<⎨⎪-+≥⎩()1,f a =a =()()y f x x =∈R ()()23f f <()()32f f ->-()()32f f -<()()32f f -<-()()33f f -<()f x [)0,∞+A. B.C. D.以上关系均不确定9.如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（）A. B.C. D.10.对表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯取整函数，则下列命题中的假命题是（）A.B.函数的值域为C.D.若，使得同时成立，则正整数的最大值是5二､填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）11.已知函数的定义域为，且自变量与函数值的关系对应如表：12343212()()2122f f a a ≥++()()2122f f a a ≤++()()2122f f a a =++h t [],x x ∀∈R x []y x =[],1x x x ∃∈≤+R []()y x x x =-∈R []0,1[][][],,x y x y x y ∀∈+≤+R t ∃∈R 3451,2,3,,2n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ n ()f x {}1,2,3,4x x()f x（1）__________；（2）不等式的解集为__________.12.已知函数__________；__________.13.方程的两根为，则__________.14.函数在上不单调，则实数的取值范围为__________.15.表示不超过的最大整数，定义函数，则下列结论中：①函数的值域为；②方程有无数个解；③函数的图象是一条直线；④函数是上的增函数；正确的有__________.（只填序号）三､解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）16.（15分）求下列不等式的解集.（1）；（2）.（3）17.（13分）已知集合.（1）求；（2）若，求的取值范围.18.（14分）已知是定义在上的偶函数，当时，（1）求的值；（2）求的解析式；()2f =()2f x ≥()()221,0,11,0x x f x f x x +≥⎧==⎨-+<⎩()()1f f -=2410x x -+=12,x x 1211x x +=()21f x x ax =+-[]2,3a []x x ()[]f x x x =-[)0,1()12f x =R 23262x x --+≤-3270x --≤52321x x -≤+{}2{37},12200,{}A xx B x x x C x x a =≤<=-+<=<∣∣∣();A B A B ⋃⋂R ðA C ⋂≠∅a ()y f x =R 0x ≥()22f x x x =-()()1,2f f -()f x（3）画出简图；写出的单调递增区间，并写出的解集.（只需写出结果，不要证明单调性）.19.（14分）经济订货批量模型，是目前大多数工厂､企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货､不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费.某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元.（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？20.（14分）已知函数.（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）求关于x 的不等式的解集；（3）若在区间上恒成立，求实数a 的范围.21.（15分）已知集合A 为非空数集，定义：，（1）若集合，直接写出集合（无需写计算过程）；（2）若集合，且，求证：（3）若集合，记为集合A 中的元素个数，求的最大值.22.附加题（10分）已知，函数在区间上有两个不同零点，求的最小值.()y f x =()y f x =()0f x >T x ()2Bx AC T x x=+A B C ()()21f x x a x a =-++2a =x ()0f x >()0f x <()20f x x +≥()1,∞+{}{},,,,,S xx a b a b A T x x a b a b A ==+∈==-∈∣∣{}1,3A =S T ､{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<T A =1423x x x x +=+{}02023,,A xx x S T ⊆≤≤∈⋂=∅N ∣A A *,,a b c ∈N ()2f x ax bx c =++()1,0-()1f大峪中学2024—2025第一学期高一年级数学学科期中考试试卷答案1.B2.B3.C 4D 5.C6D 7.A 8.A 9.B 10.B 11.2， 12.3，1 13.4 14.15.①②16.（1）（2）（3）17.（1）因为集合，所以或，或（2）因为，且，所以，所以的取值范围是.18.解：（1）当时，，；（2）是定义在上的偶函数，当时，，当时，，.（2），当时，，抛物线开口向上，对称轴方程为，顶点坐标，当时，；当时，.当时，，抛物线开口向上，对称轴方程为，顶点坐标，当时，.由此能作出函数的图象如下：{}1,2,464a -<<-(]4,2,3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭[]2,5-(]1,5,2∞∞⎡⎫--⋃-+⎪⎢⎣⎭{}2{37},12200{210}A x x B x x x x x =≤<=-+<=<<∣∣∣{210},{3A B x x A x x ⋃=<<=<R ∣∣ð7}x ≥(){23B x x ⋂=<<R∣ð710};x ≤<A C ⋂≠∅{}C xx a =<∣3a >a ()3,∞+0x …()()()22,f x x x f x f x =--=()()()11,220f f f ∴=--==()y f x = R 0x …()22f x x x =-0x <()()220,()22x f x x x x x ->-=---=+()()()2222,02,2,0x x x f x f x x x f x x x x ⎧-≥∴=-=+∴=⎨+<⎩()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩∴0x …22y x x =-1x =()1,1-0y =120,2x x ==0x =0y =0x <22y x x =+1x =-()1,1--0y =2x =-()f x结合图象，知的增区间是19.（1）；（2）20.已知函数.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集.（2）根据函数，分类讨论可得不等式的解集.（3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数的范围.【详解】（1）当时，则，由，得，原不等式的解集为；（2）由，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.（3）由即在上恒成立，得.()f x ()()()()1,0,1,,22,∞∞∞-+⋅--⋃+()()1500000060,30068000T x x T x=+=min 500,60000x T ==()()21f x x a x a =-++()(),12,∞∞-⋃+(,3∞⎤-+⎦2a =2320x x -+>()()()()21010f x x a x a x a x =-++<⇒--<()20f x x +≥()1,∞+21x x a x +≤-()1,∞+a 2a =()232f x x x =-+()0f x >()()2320210x x x x -+>⇒-->()(),12,∞∞-⋃+()()()010f x x a x <⇒--<1a >()1,a 1a =∅1a <(),1a ()20f x x +≥()210x x x a +--≥()1,∞+21x x a x +≤-令，则，当且仅当，即时取等号.则，.故实数的范围是21.【答案】（1）（2）见解析（3）1349【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合即可；（2）根据集合相等的概念，能证明；（3）通过假设集合，求出对应的集合，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可.【详解】（1），集合，集合.（2），且，中也只包含4个元素，即，剩下的元素满足；（3）设集合满足题意，其中，则，由容斥原理，，的最小元素为0，最大元素为，解得实际上时满足题意，证明如下：设，则，()10t x t =->22(1)12331x x t t t x t t++++==++≥+-t =1x =+3a ≤a (,3∞⎤-+⎦{}{}2,4,6,0,2S T ==,S T 1423x x x x +=+{}(),1,2,3,,2023A m m m m m =+++⋯∈N ,S T S T ⋂=∅{}{}{}1,3,,,,|,,A S x x a b a b A T x x a b a b A ===+∈==-∈ ∣∴{}2,4,6S ={}0,2T ={}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<< T A =T ∴{}2131410,,,T x x x x x x =---2132431423,x x x x x x x x x x -=-=-∴+=+{}12,,,k A a a a = 12k a a a <<< 1121312322k k k k k ka a a a a a a a a a a a a a <+<+<<+<+<+<<+< ”112131121,,k S k a a a a a a a a T k∴≥--<-<-<<-∴≥ S T φ⋂= 31S T S T k ⋃=+≥-S T ⋃2,21k k a S T a ∴⋃≤+()*31214047k k a k ∴-≤+≤∈N 1349k ≤{}675,676,,2023A =⋯{}(),1,2,3,,2023A m m m m m =+++⋯∈N {}{}2,21,22,,4046,0,1,2,,2023S m m m T m =++⋯=⋯-题意有，即，的最小值为当时，集合中元素最多，即时满足题意综上，的最大值为1349.20232m m -<16743m >m ∴675,∴675m =A {}675,676,,2023A =⋯A。

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