动量和能量的综合应用

动量和能量的综合应用 动量与能量综合应用问题常见的有以下三种模型：

一、滑块—木板模型

1．把滑块、木板看作一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒．

2．由于摩擦生热，把机械能转化为内能，系统机械能不守恒．应由能量守恒求解问题．

3．注意：滑块不滑离木板时最后二者有共同速度．

例1 如图所示，在光滑的水平面上有一质量为M 的长木板，以速度v 0向右做匀速直线运动，将质量为m 的小铁块轻轻放在木板上的A 点，这时小铁块相对地面速度为零，小铁块相对木板向左滑动．由于小铁块和木板间有摩擦，最后它们之间相对静止，已知它们之间的动摩擦因数为μ，问：

(1)小铁块跟木板相对静止时，它们的共同速度多大？

(2)它们相对静止时，小铁块与A 点距离多远？

(3)在全过程中有多少机械能转化为内能？

解析 (1)木板与小铁块组成的系统动量守恒．以v 0的方向为正方向，由动量守恒定律得，

M v 0＝(M ＋m )v ′，则v ′＝M v 0M ＋m

. (2)由功能关系得，摩擦力在相对位移上所做的功等于系统动能的减少量，μmgx 相＝12M v 20－12

(M ＋m )v ′2. 解得x 相＝M v 20

2μg (M ＋m )

(3)由能量守恒定律可得，Q ＝12M v 20－12(M ＋m )v ′2＝Mm v 202(M ＋m )

答案 (1)M v 0M ＋m (2)M v 202μg (M ＋m ) (3)Mm v 202(M ＋m )

例2 如图所示，光滑水平桌面上有长L ＝2 m 的挡板C ，质量m C ＝5 kg ，在其正中央并排放着两个小滑块A 和B ，m A ＝1 kg ，m B ＝3 kg ，开始时三个物体都静止．在A 、B 间放有少量塑胶炸药，爆炸后A 以6 m/s 的速度水平向左运动，A 、B 中任意一块与挡板C 碰撞后，都粘在一起，不计摩擦和碰撞时间，求：(1)当两滑块A 、B 都与挡板C 碰撞后，C 的速度是多大；

(2)A 、C 碰撞过程中损失的机械能．

解析 (1)A 、B 、C 系统动量守恒，有0＝(m A ＋m B ＋m C )v C ，解得v C ＝0.

(2)炸药爆炸时A 、B 系统动量守恒，有m A v A ＝m B v B 解得：v B ＝2 m/s

A 、C 碰撞前后系统动量守恒，有m A v A ＝(m A ＋m C )v 解得v ＝1 m/s

A 、C 碰撞过程中损失的机械能ΔE ＝12m A v 2A －12

(m A ＋m C )v 2＝15 J.答案 (1)0 (2)15 J 二、子弹打木块模型

1．子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，则系统动量守恒．

2．在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化．

3．若子弹不穿出木块，二者最后有共同速度，机械能损失最多．

例3如图所示，在水平地面上放置一质量为M的木块，一质量为m的子弹以水平速度v射入木块(未穿出)，若木块与地面间的动摩擦因数为μ，求：

(1)子弹射入后，木块在地面上前进的距离；

(2)射入的过程中，系统损失的机械能．

解析子弹未射出碰撞后子弹与木块的速度相同，而系统损失的机械能为初、末状态系统的动能之差．

(1)设子弹射入木块时，二者的共同速度为v′，取子弹的初速度方向为正方向，则有：m v＝(M＋m)v′，①

二者一起沿地面滑动，前进的距离为x，由动能定理得：－μ(M＋m)gx＝0－1

2(M＋m)v′

2，②

由①②两式解得：x＝m2v2

2(M＋m)2μg

(2)过程中损失的机械能ΔE＝1

2m v

2－12(M＋m)v′2，③解得：ΔE＝

Mm v2

2(M＋m)

.(1)

m2v2

2(M＋m)2μg

(2)

Mm v2

2(M＋m)

三、弹簧类模型

1．对于弹簧类问题，在作用过程中，系统合外力为零，满足动量守恒．

2．整个过程涉及到弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题．3．注意：弹簧压缩最短时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧弹性势能最大．

例4两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6 m/s 的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4 kg的物块C静止在前方，如图所示．B与C碰撞后二者会粘在一起运动．则在以后的运动中：

(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？

(2)系统中弹性势能的最大值是多少？

解析(1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大．由A、B、C三者组成的系统动量守恒，

(m A＋m B)v＝(m A＋m B＋m C)·v ABC，解得v ABC＝(2＋2)×6

2＋2＋4

m/s＝3 m/s.

(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为v BC，则m B v＝(m B＋m C)v BC，

v BC＝2×6

2＋4

m/s＝2 m/s，设物块A、B、C速度相同时弹簧的弹性势能最大为E p，根据能量守恒E p＝

1

2(m B

＋m C)v2BC＋1

2m A v

2－12(m A＋m B＋m C)v2ABC＝12×(2＋4)×22 J＋12×2×62 J－12×(2＋2＋4)×32 J＝12 J.

答案(1)3 m/s(2)12 J

1．(滑块—木板模型)质量为M、内壁间距为L的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为m 的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ，初始时小物块停在箱子正中间，如图5所示．现给