函数单调性PPT课件
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1 第1课时 函数的单调性(共44张PPT)
提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体 概念.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单调递减区间是
[1，3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3).
解：由题意，确定函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
()
3.设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中 的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x－2)<f(3)，则 x 的取值范围是 ______________. 解析：函数的定义域为 R.由条件可知，x－2>3，解得 x>5. 答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 单调递增区间.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单调递减区间是
[1，3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3).
解：由题意，确定函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
()
3.设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中 的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x－2)<f(3)，则 x 的取值范围是 ______________. 解析：函数的定义域为 R.由条件可知，x－2>3，解得 x>5. 答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 单调递增区间.
函数的单调性ppt课件
利用函数的单调性求最值 [思路分析] (1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性，从而确定其最大值； 利用函数增加、减少的定义判断f(x)在[2,6]上的单调性，再求最值．
[规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的步骤： 判断：先判断函数的单调性． 求值：利用单调性代入自变量的值求得最值． 明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点： 写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标． 求最值忘记求定义域． 求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入．
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下列命题正确的是( )
[答案] D
PART 1
利用定义证明或判断函数的单调性
结论：根据差的符号，得出单调性的结论．
定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；
作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、通分、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方、分母(分子)有理化等方法变形；
取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2；
在定义域的某个子集上是增加的或是减少的
增函数
减函数
单调函数
3．函数的单调性 如果函数_________________________________，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为________或________，统称为________．
[正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图像的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3. [答案] a＝－3 [规律总结] 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
函数的单调性ppt课件
在[0, ) 上，任取 x1， x2 ，只要 x1 x2 ，就有 f ( x1 ) f ( x2 ) ．
问题：你能归纳以上两个函数单调性的刻画方法，给出函数 =
()在区间I上单调性的符号表述吗？
二、新课讲解
1、函数的单调性的定义:
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间 ⊆D:
• 思考1：根据图象，当自变量x的值增大时,相应函数值是如何变化的呢？
4
当x≤ 0时，y随x的增大而减小
当x≥0时，y随x的增大而增大
1
-2 -1
O
x
1 2
0.001和0.002差着
0.001，0.001和0却
差着一切。
二、新课讲解
• 以函数图像y=f(x)= 2 为例：
思考2：我们知道当x≤0时，y随x的增大而减小。那“x增大了”如何用符号语言
表示？“对应函数值y减小”又该如何表示？观察下表，你能给出具体描述吗？
x
...
-5
-4
-3
-2
-1
...
f(x)=x2
...
25
16
9
4
1
...
当x从-5增大到-4，函数值f(x)从25减小到16；当x从-4增大到-3，函数值f(x)从
16减小到9；当x从-3增大到-2，函数值f(x)从9减小到4；
即f (x1)<f (x2).这时,f (x)=kx+b是增函数.
②当k<0时,k(x1-x2)＞0.于是f (x1)-f (x2)>0,
即f (x1)>f (x2).这时,f (x)=kx+b是减函数.
变形
判号
定论
三、题目训练
问题：你能归纳以上两个函数单调性的刻画方法，给出函数 =
()在区间I上单调性的符号表述吗？
二、新课讲解
1、函数的单调性的定义:
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间 ⊆D:
• 思考1：根据图象，当自变量x的值增大时,相应函数值是如何变化的呢？
4
当x≤ 0时，y随x的增大而减小
当x≥0时，y随x的增大而增大
1
-2 -1
O
x
1 2
0.001和0.002差着
0.001，0.001和0却
差着一切。
二、新课讲解
• 以函数图像y=f(x)= 2 为例：
思考2：我们知道当x≤0时，y随x的增大而减小。那“x增大了”如何用符号语言
表示？“对应函数值y减小”又该如何表示？观察下表，你能给出具体描述吗？
x
...
-5
-4
-3
-2
-1
...
f(x)=x2
...
25
16
9
4
1
...
当x从-5增大到-4，函数值f(x)从25减小到16；当x从-4增大到-3，函数值f(x)从
16减小到9；当x从-3增大到-2，函数值f(x)从9减小到4；
即f (x1)<f (x2).这时,f (x)=kx+b是增函数.
②当k<0时,k(x1-x2)＞0.于是f (x1)-f (x2)>0,
即f (x1)>f (x2).这时,f (x)=kx+b是减函数.
变形
判号
定论
三、题目训练
函数的单调性课件(共17张PPT)
如果我们以x表示时间间隔（单位：h),y表示记忆保持量，则 不难看出，图3-7中，y是的函数，记这个函数为y =f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
2024版《函数的单调性》全市一等奖完整版PPT课件
利用单调性证明不等式
1 2
构造函数 根据不等式的特点，构造一个与不等式相关的函 数。
判断函数单调性 通过求导或差分等方法判断所构造函数的单调性。
3
利用单调性证明不等式 根据函数的单调性，结合不等式的性质，证明不 等式成立。
2024/1/29
18
利用单调性解决实际应用问题
要点一
建立数学模型
要点二
判断函数单调性
2024/1/29
21
导数与微分在函数单调性研究中的应用
导数大于零的区间内函数单调 增加，导数小于零的区间内函 数单调减少。
2024/1/29
导数等于零的点为函数的驻点， 需要进一步判断其左右两侧导 数的符号来确定该点的单调性。
微分的概念可以应用于函数单 调性的研究，通过微分可以分 析函数的局部变化率，进而判 断函数的单调性。
14
指数函数与对数函数
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的单调 性
当 $0 < a < 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递减。
当 $a > 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递增。
指数函数与对数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称，即 互为反函数。
2024/1/29
19
05
函数单调性与其他知识点关联
2024/1/29
20
函数奇偶性与周期性对单调性影响
奇函数在对称区间上的单调性相 同，偶函数在对称区间上的单调
性相反。
周期函数在一个周期内的单调性 与整体单调性一致，可以通过研 究一个周期内的单调性推断整体
的单调性。
函数的单调性_PPT课件
同理可得f（x）在（0, a］上是减函数.
当x<0时，由奇函数的性质知函数f（x）
在（-∞, a］上是增函数，在［ ,a0）上是 减函数.
综上，函数f（x）在［ a ,0）,（0, a］
上是减函数，在（-∞, ］a ,［ ,a+∞）上是增 函数.
18
【评注】研究函数的单调性一般有两种方 法，即定义法和导数法.定义法是基础，掌握定 义法的关键是作差（f（x2）-f（x1）），运算 的结果可以判断正、负.本题判断正、负的依据 是代数式“x1x2-a”，处理这个代数式的符号是 一个难点，要有一定的数学功底作基础.把x1、 x2看成自变量，则转化为判断“x2-a”的符号， 于是转化为判断“x ”的 符a 号，自然过渡 到x= 是函数a单调区间的分界点.
0(x [2, ,
3a 0
))
解得-4<a≤4.
所以实数a的取值范围是（-4,4］.
28
【评注】利用函数单调性讨论参数的取 值范围是高考试题考查能力的知识结合点， 一般要弄清三个环节：（1）考虑函数的定义 域，保证研究过程有意义.本题中，不能忽视 u=x2-ax+3a>0;（2）保证常见函数的单调区间 与题目给出的单调区间的同一性.本题中， ［ a ,+∞）上是单调增区间与［2,+∞）一致； （32）注意防止扩大参数的取值范围，本题中， u（2）>0.
1 2
.
33
题型5 抽象函数的单调性
已知函数f（x）的定义域为
（0，
+∞），当x>1时，f（x）>0，且对于任意的正
数x,y都有f（xy）=f（x）+f（y）.
（1）证明：函数f（x）在定义域上是增函 数；
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
k(x1 x2 )．
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
函数的基本性质ppt课件
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
（2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示， 可以用逗号或“和”。
例如 函数 f(x)＝x＋1x的单调递增区间为________.
解析 由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
变式训练：
已知奇函数f (x)的定义域为- 2,2，且在区间 - 2,0上递减，则满足f (1 m) f (1 m2) 0的 实数m的取值范围是-1,1
题型五、函数的周期性解题方略
1.有关函数周期性的常用结论 (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2|a|； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2|a|； (3)若 f(x＋a)＝f（1x），则函数的周期为 2|a|； (4)若 f(x＋a)＝－f（1x），则函数的周期为 2|a|.
叫做f(x)的最小正周期.
题型归纳
题型一 判断函数的单调性 判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(3) 图 象 法 ： 如 果 f(x) 是 以 图 象 形 式 给 出 的 ， 或 者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单
域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.
解析 由定义域关于原点对称得 a－1＋2a＝0，解得 a＝13，即
f(x)＝13x2＋bx＋b＋1，又 f(x)为偶函数，由 f(－x)＝f(x)得 b＝0.
答案
1 3
0
（2）若函数 f(x)为奇函数且在原点有意义，则 f(0)＝0
[点评] 解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2) 的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
（2）函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示， 可以用逗号或“和”。
例如 函数 f(x)＝x＋1x的单调递增区间为________.
解析 由f(x)图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)
变式训练：
已知奇函数f (x)的定义域为- 2,2，且在区间 - 2,0上递减，则满足f (1 m) f (1 m2) 0的 实数m的取值范围是-1,1
题型五、函数的周期性解题方略
1.有关函数周期性的常用结论 (1)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为 2|a|； (2)若 f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为 2|a|； (3)若 f(x＋a)＝f（1x），则函数的周期为 2|a|； (4)若 f(x＋a)＝－f（1x），则函数的周期为 2|a|.
叫做f(x)的最小正周期.
题型归纳
题型一 判断函数的单调性 判断函数的单调性或求单调区间的方法 (1)利用已知函数的单调性. (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(3) 图 象 法 ： 如 果 f(x) 是 以 图 象 形 式 给 出 的 ， 或 者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单
域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.
解析 由定义域关于原点对称得 a－1＋2a＝0，解得 a＝13，即
f(x)＝13x2＋bx＋b＋1，又 f(x)为偶函数，由 f(－x)＝f(x)得 b＝0.
答案
1 3
0
（2）若函数 f(x)为奇函数且在原点有意义，则 f(0)＝0
[点评] 解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2) 的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.
函数的单调性ppt课件
应用实例
THANKS
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定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
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函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
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03
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切实实地 金字,
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函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
数学人教A版必修一3.2.1函数的单调性课件(共23张ppt)
有(1 ) < (2 )，就称函数 = ()在区间上是增函数.
(× )
(× )
② 函数 = ()在区间上是增函数，如果(1 ) < (2 )，则1 < 2 .
1
③ () = 在定义域内为减函数.
（× ）
④ 若函数 = ()的定义域内区间D上的任意两个变量1 , 2 ，
1
在区间
1, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 3-2
根据定义证明函数 = −
1
在区间
0, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 4
已知函数 =
1
.
2 −1
（1）求 的定义域；
（2）判断函数 在 1, +∞ 上的单调性，并用定义加以证明.
例题演练
变 4
求证：函数 =
1
2
2
−∞, −
=−
2
概念剖析
（3）反比例函数 =
和 (0， + ∞)上都是减函数；
①k __
> 0 时，在(−∞，0) ____
和 (0， + ∞)上都是增函数．
< 0 时，在(−∞，0) ____
②k __
概念剖析
观察函数图象：
(1 )
= 2
(2 )
你觉得它们反映了函数的哪些方面的性质？
概念剖析
反比例函数 =
1. 列表：
1
=
1
−
3
1
的表示：
1
−
2
2. 函数解析式： =
(× )
(× )
② 函数 = ()在区间上是增函数，如果(1 ) < (2 )，则1 < 2 .
1
③ () = 在定义域内为减函数.
（× ）
④ 若函数 = ()的定义域内区间D上的任意两个变量1 , 2 ，
1
在区间
1, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 3-2
根据定义证明函数 = −
1
在区间
0, +∞ 上的单调性.
例题演练
例 4
已知函数 =
1
.
2 −1
（1）求 的定义域；
（2）判断函数 在 1, +∞ 上的单调性，并用定义加以证明.
例题演练
变 4
求证：函数 =
1
2
2
−∞, −
=−
2
概念剖析
（3）反比例函数 =
和 (0， + ∞)上都是减函数；
①k __
> 0 时，在(−∞，0) ____
和 (0， + ∞)上都是增函数．
< 0 时，在(−∞，0) ____
②k __
概念剖析
观察函数图象：
(1 )
= 2
(2 )
你觉得它们反映了函数的哪些方面的性质？
概念剖析
反比例函数 =
1. 列表：
1
=
1
−
3
1
的表示：
1
−
2
2. 函数解析式： =
函数单调性课件(公开课)ppt
函数单调性课件(公开课)
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
目录
• 函数单调性的定义与性质 • 判断函数单调性的方法 • 单调性在解决实际问题中的应用 • 函数单调性的深入理解 • 函数单调性的实际案例分析
01 函数单调性的定义与性质
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增， 则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表 示函数值随着自变量的增加而减小。
的计算过程。
单调性与微分方程的关系
要点一
单调性决定了微分方程解的稳定 性
对于一阶线性微分方程，如果其系数函数在某区间内单调 递增（或递减），则该微分方程的解在此区间内是稳定的 。
要点二
单调性是研究微分方程的重要工 具
通过单调性可以判断微分方程解的存在性和唯一性，以及 研究解的动态行为。
05 函数单调性的实际案例分 析
总结词
利用单调性证明或解决不等式问题
详细描述
单调性在解决不等式问题中起到关键作用。通过分析函数的单调性，我们可以证明不等式或解决与不等式相关的 问题。例如，利用单调性可以证明数学归纳法中的不等式，或者在比较大小的问题中利用单调性进行判断。
单调性在函数极值问题中的应用
总结词
利用单调性求解函数的极值
详细描述
函数单调性的定义可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的性质
函数单调性具有传递性，即如果函数在区间I上单调递增，且 在区间J上单调递增，则函数在区间I和J的交集上也是单调递 增的。
函数单调性具有相对性，即如果函数在区间I上单调递增，且 另一个函数在区间J上单调递增，则这两个函数在区间I和J的 交集上也是单调递增的。
函数单调性说课稿PPT(共25张PPT)
19
教材分 析
3.例题讲解，巩固新知
学情分 析
例2
教法学法 分析
河教南学跨过程境 E设贸计易
设计意图：使学生掌握利用定义证明函数的单调性，并进一步加深学生对函 数单调性的理解。
板书设 计
20
教材分 析
4.课堂练习，升华新知
学情分 析
教法学法 分析
课堂练习
教河学南过跨境程 E设贸计易
板书设 计
设计意图
13
2.探索新知，讲授新课
教材分 析
学情分 析
问题2
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
16
9
4
1
0
1
4
9
16
…
设计意图
实现学生用“数字语言”表述函数的单调性，实现“形”到“数” 的转换。使学生体会到用数量大小关系表述函数单调性。
14
2.探索新知，讲授新课
启发学生利用图象和单调性概念解决相 关实际的问题。目的是加深学生对定义的理 解，巩固定义法证明函数单调性的步骤。同 时为导数的教学作准备。
21
5.归纳总结，布置作业
教材分 析
学情分 析
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
1学会了……的知识
2掌握了……的方
法
回顾探 究过程 形成自 主反思
掌握判别函数单调性的方法。
（1）函数单调性概念的形成；
设（计3）意探图究教：过引学程起中过学用生程到的的认思知想冲方突法，和把思学维生方的法注，意如力数从形图结表合上，转等到价解转析换式，上类，比让等学。生体会从解析式上研（究2）函判数断单函数调单性调的性必的要方性法。（图象、
教材分 析
3.例题讲解，巩固新知
学情分 析
例2
教法学法 分析
河教南学跨过程境 E设贸计易
设计意图：使学生掌握利用定义证明函数的单调性，并进一步加深学生对函 数单调性的理解。
板书设 计
20
教材分 析
4.课堂练习，升华新知
学情分 析
教法学法 分析
课堂练习
教河学南过跨境程 E设贸计易
板书设 计
设计意图
13
2.探索新知，讲授新课
教材分 析
学情分 析
问题2
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
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设计意图
实现学生用“数字语言”表述函数的单调性，实现“形”到“数” 的转换。使学生体会到用数量大小关系表述函数单调性。
14
2.探索新知，讲授新课
启发学生利用图象和单调性概念解决相 关实际的问题。目的是加深学生对定义的理 解，巩固定义法证明函数单调性的步骤。同 时为导数的教学作准备。
21
5.归纳总结，布置作业
教材分 析
学情分 析
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
1学会了……的知识
2掌握了……的方
法
回顾探 究过程 形成自 主反思
掌握判别函数单调性的方法。
（1）函数单调性概念的形成；
设（计3）意探图究教：过引学程起中过学用生程到的的认思知想冲方突法，和把思学维生方的法注，意如力数从形图结表合上，转等到价解转析换式，上类，比让等学。生体会从解析式上研（究2）函判数断单函数调单性调的性必的要方性法。（图象、
函数单调性课件ppt
导数与函数单调性
01
02
03
导数大于0
函数在对应区间内单调递 增
导数小于0
函数在对应区间内单调递 减
导数等于0
函数可能存在拐点或不可 导点
复合函数的单调性
同增异减
内外层函数单调性相同，则复合 函数单调递增；内外层函数单调 性不同，则复合函数单调递减。
注意拐点
复合函数在拐点处可能改变单调 性。
常见函数的单调性
函数单调性课件
目录
• 函数单调性的定义 • 判断函数单调性的方法 • 函数单调性的应用 • 函数单调性的实例分析 • 函数单调性的综合练习
01
函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的 增减性。如果函数在某个区间内单调 递增，那么对于该区间内的任意两个 数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时 ，有$f(x_1) < f(x_2)$；反之，如果 函数在某个区间内单调递减，那么对 于该区间内的任意两个数$x_1$和 $x_2$，当$x_1 < x_2$时，有 $f(x_1) > f(x_2)$。
03
函数单调性的应用
利用单调性证明不等式
总结词
单调性是证明不等式的一种有效工具 ，通过比较函数在不同区间的增减性 ，可以推导出不等式的正确性。
详细描述
利用单调性证明不等式的基本思路是 ，首先确定函数在指定区间上的单调 性，然后根据单调性定义，比较函数 值的大小，从而证明不等式。
利用单调性求函数的极值
VS
单调性是函数的一种固有属性，与函 数的定义域和值域无关，只与函数的 增减性有关。
单调增函数和单调减函数
01
单调增函数是指函数在某个区间 内单调递增的函数。对于任意两 个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) < f(x_2)$。
函数的单调性与最值课件共20张PPT
那么就称函数f(x)在区间D上单 那么就称函数f(x)在区间D上单
调递增
调递减
∀x1，x2∈D 且 x1≠x2，有fxx11－ －fx2x2>0(<0)或
(x1－ x2)[f(x1)－ f(x2)]>0(<0)⇔ f(x) 在区 间 D 上单 调递 增
(减).
复习回顾
图象 描述
自左向右看图象是上升的
解析
令
x2＋4＝t，则
t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝ t2
＋t 1＝t＋1 1，
t
设 h(t)＝t＋1，则 h(t)在[2，＋∞)上为增函数， t
∴h(t)min＝h(2)＝52，∴y≤15＝25(x＝0 时取等号)． 2
即 y 的最大值为2. 5
求函数最值的三种基本方法：
一．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. 二．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性 变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
调递增
调递减
∀x1，x2∈D 且 x1≠x2，有fxx11－ －fx2x2>0(<0)或
(x1－ x2)[f(x1)－ f(x2)]>0(<0)⇔ f(x) 在区 间 D 上单 调递 增
(减).
复习回顾
图象 描述
自左向右看图象是上升的
解析
令
x2＋4＝t，则
t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝ t2
＋t 1＝t＋1 1，
t
设 h(t)＝t＋1，则 h(t)在[2，＋∞)上为增函数， t
∴h(t)min＝h(2)＝52，∴y≤15＝25(x＝0 时取等号)． 2
即 y 的最大值为2. 5
求函数最值的三种基本方法：
一．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. 二．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性 变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
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函数的单调性
.
1
永切隔数形数焉数
远莫离形少无能与
,
,
——
联忘分结数形分形
华 罗 庚
系 莫 分 离
几 何 代 数 统
家 万 事 休
合 百 般 好
时 难 入 微
时 少 直 觉
作 两 边 飞
本 是 相 倚 依
一
体
.
2
北京市8月8日一天24小时内气温随时间变化曲线图
.
3
广元市年生产总值统计表
生产总值 （亿元）
x
.
15
单调区间的书写：
函数在其定义域内某一点处的函数值 是确定的，讨论函数在某点处的单调 性无意义。若函数在区间端点处有定 义，则写成闭区间，当然写成开区间 也可以，若函数在区间端点处无定于， 则必须写成开区间。
.
16
例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(2)yx2 2. y x2+ 2 的 单 调 增 区 间 是 _(____,_0_];
函数 f (x)在R上是增函数；
y
f(2)
f(1)
.
O 1 2x
13
下表是函数 f (x) x2 中y随x的变化 情况
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
f (x) x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
分析函数值的变化可得到函数的单调性。
.
14
例1.画出下列函数图像，并写出单调区间：
3360
30
1971 20
756
10 467
2001 2002 2003 2004 年份
.
4
苍溪县日平均出生人数统计表
人数
（人）
45
42
36
35
25
20 17
15 2000 2001 2002 2003 年份
.
5
上升
y y x 1
o
x
下降
y
y x1
o
x
局部上升或下降 y
y x2
o
x
能函用数图的象这上种动性点质P称（为x，函y数）的的单横调、性纵坐标
间
间
a>0
b 2a
,
,
b 2a
a<0
,
b 2a
b 2a
,
.
返回18
成果运用
若二次函数 f(x)x2ax4在区间 ,1 上单调递
增，求a的取值范围。
.
19
成果运用
若二次函数 f(x)x2ax4在区间 ,1 上单调递
增，求a的取值范围。
y
y
o1
x
o1
x
解：二次函数 f(x)x2ax4的对称轴为
5. 下结论
.
21
证明：在区间 1, 上任取两个值 x 1 , x 2 且 x1 x 2 取值
的任意两个自变量的值x1,x2，
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调
函数，I称为f(x)的单调 增 区间.
减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.
(1)y 1 (x 0);
y
y 1 x
x
x
？ y1x的单调减区间是_(___,_0_)_U_, _(0_,___ )
讨论1：根据函数单调性的定义，
能 不 能 说 y1(x0)在 定 义 域 ( ,0)U (0, )上 x
是 单 调 减 函 数 ?
2试讨论 f (x) k (k 0) 在 , 0 和 0, 上 的单调性？
x
a 2
,
由图象可知只要 x a 1 ，即a 2即可.
2
.
20
例3.判断函数 y x 在 定1 义域 x
上 0的, 单调性.
并给出证明
主要步骤
1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)； 3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
义 那么就说 f (x)在区间I上是单调增函数，I 称为 f (x)的单调
增区间.
.
10
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
y
y
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上
y
y=-x2+2
2
1
y x2+ 2 的 单 调 减 区 间 是 _[_0_,____) .
-讨论 yax2(a0) 的单调性
变式2：讨论 yax2bxc(a0) 的单调性
成果交流
.
17
yax2bxc(a0)的对称轴为 x b
2a
yax2 bxc单调增区 单调减区
关在系某一来区说间明内上，升或下降趋势吗？
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
.
6
y
10
8
6
4
2
I
O
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x
-2
.
7
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
单. 调区间
11
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数 f (x)= x2 在 ,是单调增函数；
区间I内随着x的增大，y也增大
N
f(x2)
对区间I内 任意 x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时，都 有f(x1)<f(x2)
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于区间I上的任意
定 两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
f(x2)
N
？
对区间I内
x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
.
8
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
N
？
对区间I内 任意 x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
.
9
y
图象在区间I逐渐上升
y
y x2
o
x
.
12
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （3） x 1, x 2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则
.
1
永切隔数形数焉数
远莫离形少无能与
,
,
——
联忘分结数形分形
华 罗 庚
系 莫 分 离
几 何 代 数 统
家 万 事 休
合 百 般 好
时 难 入 微
时 少 直 觉
作 两 边 飞
本 是 相 倚 依
一
体
.
2
北京市8月8日一天24小时内气温随时间变化曲线图
.
3
广元市年生产总值统计表
生产总值 （亿元）
x
.
15
单调区间的书写：
函数在其定义域内某一点处的函数值 是确定的，讨论函数在某点处的单调 性无意义。若函数在区间端点处有定 义，则写成闭区间，当然写成开区间 也可以，若函数在区间端点处无定于， 则必须写成开区间。
.
16
例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(2)yx2 2. y x2+ 2 的 单 调 增 区 间 是 _(____,_0_];
函数 f (x)在R上是增函数；
y
f(2)
f(1)
.
O 1 2x
13
下表是函数 f (x) x2 中y随x的变化 情况
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
f (x) x2 … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
分析函数值的变化可得到函数的单调性。
.
14
例1.画出下列函数图像，并写出单调区间：
3360
30
1971 20
756
10 467
2001 2002 2003 2004 年份
.
4
苍溪县日平均出生人数统计表
人数
（人）
45
42
36
35
25
20 17
15 2000 2001 2002 2003 年份
.
5
上升
y y x 1
o
x
下降
y
y x1
o
x
局部上升或下降 y
y x2
o
x
能函用数图的象这上种动性点质P称（为x，函y数）的的单横调、性纵坐标
间
间
a>0
b 2a
,
,
b 2a
a<0
,
b 2a
b 2a
,
.
返回18
成果运用
若二次函数 f(x)x2ax4在区间 ,1 上单调递
增，求a的取值范围。
.
19
成果运用
若二次函数 f(x)x2ax4在区间 ,1 上单调递
增，求a的取值范围。
y
y
o1
x
o1
x
解：二次函数 f(x)x2ax4的对称轴为
5. 下结论
.
21
证明：在区间 1, 上任取两个值 x 1 , x 2 且 x1 x 2 取值
的任意两个自变量的值x1,x2，
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调
函数，I称为f(x)的单调 增 区间.
减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.
(1)y 1 (x 0);
y
y 1 x
x
x
？ y1x的单调减区间是_(___,_0_)_U_, _(0_,___ )
讨论1：根据函数单调性的定义，
能 不 能 说 y1(x0)在 定 义 域 ( ,0)U (0, )上 x
是 单 调 减 函 数 ?
2试讨论 f (x) k (k 0) 在 , 0 和 0, 上 的单调性？
x
a 2
,
由图象可知只要 x a 1 ，即a 2即可.
2
.
20
例3.判断函数 y x 在 定1 义域 x
上 0的, 单调性.
并给出证明
主要步骤
1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)； 3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
义 那么就说 f (x)在区间I上是单调增函数，I 称为 f (x)的单调
增区间.
.
10
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
y
y
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上
y
y=-x2+2
2
1
y x2+ 2 的 单 调 减 区 间 是 _[_0_,____) .
-讨论 yax2(a0) 的单调性
变式2：讨论 yax2bxc(a0) 的单调性
成果交流
.
17
yax2bxc(a0)的对称轴为 x b
2a
yax2 bxc单调增区 单调减区
关在系某一来区说间明内上，升或下降趋势吗？
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
.
6
y
10
8
6
4
2
I
O
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x
-2
.
7
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
单. 调区间
11
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数 f (x)= x2 在 ,是单调增函数；
区间I内随着x的增大，y也增大
N
f(x2)
对区间I内 任意 x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时，都 有f(x1)<f(x2)
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于区间I上的任意
定 两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
f(x2)
N
？
对区间I内
x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
.
8
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
N
？
对区间I内 任意 x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
.
9
y
图象在区间I逐渐上升
y
y x2
o
x
.
12
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （3） x 1, x 2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则