大学物理习题与答案

2πrn d r ，整张 CD 的放音时间 v R2 2πrn d r πn 2 π × 6500 t = dt = = ( R2 − R12 ) = (5.6 2 − 2.2 2 ) = 4166 s = 69.4 min R1 v v 130 130 dω v v dr v v v2 (2) ω = ， r = 5.0 cm 时， ω = = 26 rad/s ， α = =− 2 =− 2 =− r dt r dt r 2πrn 2πr 3 n 5.0 130 2 r = 5.0 cm 时， α = − = −3.31 × 10 −3 rad/s 2 2π × 5 3 × 6500 相对运动 1-11 一列火车以 36km/h的速率向东行驶时， 相对于地面匀速竖直下落的雨滴在车窗上形成的雨迹与竖直方 0 向成 30 角。求（1）雨滴相对于地面的水平分速度多大？相对于列车的水平分速度多大？（2）雨滴 相对于地面的速率如何？相对于列车的速率如何？ v v v 解： v雨对地 = v雨对车 + v车对地
v v 船对水 v v船对水
v v船对地
α
v v水对地
β
v v水对地
(2) β = arctan
x = v 水对地 ×
1000 1000 = 0.55 × = 500 m ， 船到达对岸下游 500 m 处。 v 船对水 1.10
3
v v雨对地 v v车对地
1-12 飞机A以va=1000km/h的速率相对于地面向南飞行，同时另一架飞机B以vb=800km/h的速率相对于地面 向东偏南 300方向飞行。求A机相对于B机速度的大小和方向。
v v v 解： v A对地 = v A对B + v B对地
v A对B = v 2 A对地 + v 2 B对地 − 2v A对地 ⋅ vB对地 cos 60° = 1000 2 + 800 2 − 2 ×1000 × 800 × cos 60° = 917 km/h −v v sin 30° 1000 − 800 × 0.5 = sin α = A对地 B对地 917 v A对B = 0.6543 α = 40.9° 即 A 机相对于 B 机的速度方向为向西偏南 40.9° 。
1-10 一张CD光盘音轨区域的内半径R1=2.2cm，外半径R2=5.6cm，径向音轨密度n=650 条/mm。在CD唱机 内，光盘每转一圈，激光头沿径向向外移动一条音轨，激光束相对光盘是以v=1.3m/s的恒定线速度运 动的。求（1）这张光盘的全部放音时间是多少？（2）激光束到达离盘心r=5.0cm处时，光盘转动的 角速度和角加速度各为多少？ 解：(1) 在距离中心为 r 、宽度为 d r 内音轨的长度为 2πrn d r ，
2x 2 x ⎛ x⎞ +3 (4) t = ， y = 2⎜ ⎟ + 3 = 3 9 ⎝3⎠
1-2 一质点在xOy平面内运动，初始时刻位于x =1m，y=2m处，它的速度为vｘ=10t， vｙ= t 。试求 2 秒时质 点的位置矢量和加速度矢量。 解： v x =
y t x t dy dx 1 = t2 ， d y = t2 dt ， y = t3 + 2 = 10t ， d x = 10t d t ， x = 5t 2 + 1 。 v y = 1 0 2 0 dt dt 3 v v 1 v v v v v v dv v v r = (5t 2 + 1)i + ( t 3 + 2) j ， v = 10t i + t 2 j ， a = = 10 i + 2t j 3 dt v 14 v v v v v t = 2 s 时， r = 21i + j ， a = 10 i + 4 j 3 v v v v v 1-3 一质点具有恒定加速度 a = 6i + 4 j ，在 t=0 时，其速度为零，位置矢量 r0 = 10i ，求（1）任意时刻 质点的速度和位置矢量； （2）质点的轨道方程。 解：质点作匀加速运动 v v v 1 v v v v 1v v v v v v v (1) v = v 0 + a t = 6t i + 4t j ， r = r0 + v 0 t + a t 2 = 10 i + (6 i + 4 j )t 2 = (10 + 3t 2 )i + 2t 2 j 2 2 3y y 2 (2) y = 2t 2 ， t 2 = ， x = 10 + ，∴ y = ( x − 10) 2 2 3 1-4 路灯距地面高度为 H，行人身高为 h，若人以匀速 V 背向路灯行走，人头顶影子的移动速度 v 为多少？ 解：设 x 轴方向水平向左，影子到灯杆距离为 x ，人到灯杆距离为 x ′ ，由几何关系得
２
2
∫
∫
∫
∫h x − x′ dx 源自 H d x′ H = ，x= x′ ， v = V = = H x dt H − h dt H − h H −h
V
H h
图 1-4
直线运动 1-5 一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为a=3+6x2，若质点在原点处的速度为零，试求其在任 意位置处的速度。 解： a =
大学物理练习册—质点运动学
运动量 1-1 质点在xOy平面内的运动方程为 x=3t，y=2t2+3。求： （1）t=2s时质点的位矢、速度和加速度； （2）从t=1s 到t=2s这段时间内，质点位移的大小和方向； （3） 0 ~ 1 s和 1 ~ 2 s两时间段，质点的平均速度； （4）写 出轨道方程。 v v v v v dr v v v v d2 r v 解：(1) r = 3t i + (2t 2 + 3) j ， v = = 3 i + 4t j ， a = 2 = 4 j dt dt v v v v v v v v t = 2 s 时， r = 6 i + 11 j ， v = 3 i + 8 j ， a = 4 j
v v v v v v v v v v (2) ∆r = r2 − r1 = (6 i + 11 j ) − (3 i + 5 j ) = 3 i + 6 j ， ∆r = 3 2 + 6 2 = 45 ，
与 x 轴正向的夹角 θ = arctan
6 = 63.4° 3
v v v v v v v v v v v v v v r2 − r1 3 i + 6 j v r1 − r0 (3 i + 5 j ) − 3 j = = 3 i + 2 j ， v2 = = = 3i + 6 j (3) v1 = ∆t 1 ∆t 2 1 1
v v A对地 v v A对B
东
30°
v v B对地
α
1-13 一人在静水中以 1.1 m/s 的速度划船，现欲横渡一宽为 1.00 × 10 3 m 、水流速度为 0.55 m/s 的大河。 （1） 若要横渡到正对岸的一点，划行方向应如何？所需时间为多少？（2）如要用最短的时间过河，划行 方向应如何？到达对岸什么位置？
∫
∫ (8 + 2t ) d t ， x = 8t + t
8
t
2
− 180 m
(2) v0 = 8 m/s ， x0 = −180 m 曲线运动 1-8 质量m=0.1kg的小球沿半径R=1m的圆周运动，角位移 θ =t -3，求t=1s时小球所受外力的大小和方向。
４
解： ω =
dθ dω = 4t 3 ， α = = 12t 2 ， a t = Rα = 12 R t 2 ， a n = Rω 2 = 16 R t 6 dt dt
1-9 一质点沿半径为R的圆周运动，质点所经过的弧长与时间的关系为 s = bt + 且Rc>b2，求切向加速度与法向加速度大小相等之前所经历的时间。 解： v =
1 2 ct ，其中b、c为正常数， 2
Rc − b c
(b + ct ) 2 v 2 (b + ct ) 2 ds dv = b + ct ， a t = = c ， an = ， at = a n ， = c，t = = R R dt dt R
dv dv d x dv = =v = 3 + 6x 2 ， dt d x dt dx
∫
v
0
vdv =
∫ (3 + 6 x
0
x
2
1 ) d x ， v 2 = 3 x + 2 x 3 ，∴ v = 6 x + 4 x 3 2
1
大学物理练习册—质点运动学
1-6 一小球由静止下落，由于阻力作用，其加速度 a 与速度 v 的关系为 a=A-Bv，其中 A 和 B 为常数，求 t 时刻小球的速度。 解： a =
激光划过这些音轨所需的时间 d t =
∫
∫
2
大学物理练习册—质点运动学
y
(1) 雨滴相对于地面的水平分速度 v1x = 0
30 °
雨滴相对于列车的水平分速度 v2 x = −36 km/h = −10 m/s
x v v雨对车
v v (2) v雨对地 = v车对地 tan 60° = 36 tan 60° = 62.4 km/h = 17.3 m/s v v v雨对车 = v车对地 / cos 60° = 36 / cos 60° = 72 km/h = 20 m/s
t = 1 s 时， a t = 12 m/s 2 ， a n = 16 m/s 2 ， a = 12 2 + 16 2 = 20 m/s
v v v a 16 v F = ma ， F = ma = 0.1 × 20 = 2 N ， F 与切线方向夹角 β = arctan n = arctan = 53.13° 12 at