基于ARIMA的乘积季节模型在城市供水量预测中的应用

第22卷第1期2011年2月

水资源与水工程学报

Journa l o fW ater R esources&W ater Eng i n eeri n g

V o.l 22N o .1Feb.,2011

收稿日期:2010 06 03; 修回日期:2010 06 19

基金项目:四川省软科学研究计划项目(09RKX 0027)

作者简介:赵凌(1964 ),女,辽宁本溪人,副教授,研究方向:应用统计、数学建模。

基于AR IMA 的乘积季节模型在城市供水量预测中的应用

赵凌,张健,陈涛

(四川师范大学数学与软件科学学院可视化计算与虚拟现实四川省重点实验室,四川成都610068)

摘 要:随看我国经济快速增长、居民收入水平的显著提高,城市供用水量快速增长。本文以成都市2006年至2010年2月供水量数据为基础,在剔除了长期趋势及季节因素后,对其残差序列进行分析和识别,建立了城市月供

水量的乘积季节模型AR I M A (3,1,1)(1,1,1)12,并根据此模型对2010年全年月供水量进行预测,拟合效果良好。关键词:城市供水量;供水量预测;季节效应;AR I M A 模型;乘积季节模型;

中图分类号:F 224;TU 991.3 文献标识码:A 文章编号:1672 643X (2011)01 0058 05

Application of product seasonal AR IM A model to the

forecast of urban water suppl y

ZHAO L ing ,ZHANG Jian ,CHEN Tao

(V isua l Computing and V irtual R ealit y K ey Laboratory of Sichuan P rovince ,Co llege of M at he ma tics and

Sof t ware S cience ,Sichuan N ormal University,Chengdu 610068,Ch i na)

Abst ract :W ith Chi n a s 'rapid econo m ic gro w th ,the peop le s 'inco m e leve ls si g nificantly i n creased w ith

rapid i n crease of the city w ater supp l y and w ater use .based on the wa ter supply data i n Chengdu C ity fro m 2006to the February 2010,disregarded the long-ter m trends and seasonal factors ,through ana l y sis and i d entifica ti o n for the resi d ua l sequence ,th i s paper established the city m onthly w ater supply o f the product seasona lARI M A m odel (3,1,1)(1,1,1)12

.A cco r d i n g to this m ode,l t h e paper forecasted the m on t h w ater supply i n whole 2010,the effectw as good .K ey w ords :urban w ater supply ;forecast of urban w ater supply ;seasonal effects ;AR I M A m ode;l prod uct seasonalm odel

0 引 言

随着我国经济快速增长、居民收入水平的显著提高,城市供水量逐年增加。对某市供水量的分析,2006年供水量高峰期,每月供水量3548.12万m 3

,

2009年同月供水量为4229.04万m 3

,3年增长19%;2007年,2008年,2009年3年年用水量增长率分别为5%、8.3%、8%。在水资源日渐缺乏,缺水问题成为关注的大问题的今天,对城市供水的控制和预测越来越重要,对城市月供量序列,进行分析预测就具有重要的实际意义。

对城市供水量的分析预测,更多是以年数据为单位,主要采用长期趋势分析法[1]

,回归分析法[2、3]、灰色预测法[5]和季节指数平滑法[4]以及神

经网络

[6、7]

等确定性模型来分析。年度数据分析不

出来其中的季节效应,所用的回归模型,长期趋势

法,灰色预测法等,不能进一步对残差做分析,模型精度较差。

时间序列的AR I M A 模型,以其预测精度较高,

被广泛应用于能源消费预测[8、9]

、金融领域的预测问题

[10、11]

以及经济领域的预测

[12]

等。本文以月供

水量为单位,根据成都市2006年1月至2010年2月年城市供水量数据,通过对数据的分析,发现城市供水量有明显的增长趋势和季节效应,在建立了其长期趋势及季节效应的模型后,残差中又含有随机波动的自相关时间序列,针对供水量的这一特征,在剔出长期趋势后季节因素后,用随机性模型ARMA 对残差建模,得到更高精度的供水量预测模型。本

文建模所用的数据是2006年1月至2009年10月,将2009年11月至2010年2月的数据作为建模检验所用,平均误差不到1%。拟合效果良好,最后用本模型对2010年的各月供水量进行预测。

1 AR I M A 的乘积季节模型介绍

1.1 ARMA 模型

ARMA 模型的全称是自回归移动平均(auto re gression m ov i n g average)模型,是一类常用的随机时

序模型,由美国统计学家G.E .P .Box (博克斯)和G .M.Jenk i n s(詹金斯)于1970年首次提出,广泛应用于各种类型时间序列数据的分析方法,是一种预测精度较高的短期预测方法。基本思想是:某些时间序列是依赖于时间t 的一族随机变量,构成该时序的单个序列值虽然具有不确定性,但整个序列的变化却有一定的规律性,可以用相应的数学模型近似描述,通过对该模型的分析研究,能够更本质地认识时间序列的结构与特征,达到最小方差意义下的最优预测。具有如下结构的模型称为自回归移动平均模型,简记为ARMA (p,q ):

x t = 0+ 1x t-1+ + p x t-p +

t - 1 t-1- - q t-q

p 0, q 0

E ( t )=0,V ar ( t )= 2

, E ( t s )=0,s t E (x s t )=0

, s

引进延迟算子B ,ARMA (p,q )模型又可以简记为: (B )x t = 0+ (B ) t

(2) (B )=1- 1B - 2B 2

- - p B p

(3)称为p 价自回归系数多项式: (B )=1- 1B - 2B 2

- - q B q

(4)

称为q 阶移动平均系数多项式。

ARMA (p,q )模型的平稳条件是p 阶自回归系数多项式 (B )=0的根都在单位圆外。

ARMA (p,q )模型的可逆条件为q 阶移动平均系数多项式 (B )=0的根都在单位圆外。1.2 AR I M A 模型

ARMA 模型要求序列是平稳的,对于非平稳序列,可以将其平稳化处理。序列蕴含着显著的线性趋势,一阶差分就可以实现趋势平稳;序列蕴含着曲线趋势,通常低阶(二阶或三阶)差分就可以提取出曲线趋势的影响;对于蕴含着固定周期的序列进行

步长为周期长度的差分运算,通常可以较好地提取

周期信息。差分运算与AR MA 模型的组合就是

AR I M A 模型:

(B ) d

x t = (B ) t

E ( t )=0,Va r ( t )= 2

, E ( t s )=0,s t E (x s t )=0, s

(5)

{ t }为零均值白噪声序列。估计AR I M A (p ,d,q )模型同估计ARMA (p,q )具体的步骤相同,惟一不同的是在估计之前要确定原序列的差分阶数d,对{X t }进行d 阶差分。因此AR I M A 模型区别于ARMA 之处就在于前者的自回归部分的特征多项式含有d 个单位根。

AR I M A (p,d,q)模型的建模过程,见图1。

图1 AR I M A (p,d,q )建模流程图

1.3 基于AR I M A 的乘积季节模型

AR I M A 模型可以对具有季节效应的序列建模。当序列的季节效应,长期趋势效应和随机波动之间有着得复杂的相互纠缠关系,需要采用乘积季节模

型乘积季节模型的构造原理是:当序列具有短期相关性时,通常使用低阶的ARMA (p,q )模型提取;当序列具有季节效应,季节本身还具有相关性,季节相关性可以使用以同期步长为单位的ARMA (P,Q )提取。由于短期相关性和季节效应之间具有乘积关系,所以拟合模型实质为ARMA (p,q )与AR MA(P,Q )的乘积。

d 阶趋势差分和D 阶以周期S 为步长的季节差分运算,对原观察值序列拟合的乘积模型结构为

d

D

S x t =

(B ) S (B )

(B ) S (B )

t

(6)

式中:

(B )=1- 1B - 2B 2- - q B

q

(7) S (B )=1- 1B - 2B 2

- - q B q (8) (B )=1- 1B S

- 2B

2S - - p B

pS (9) S (B )=1- 1B S - 2B

2S - - p B

pS

(10)

式(6)称为乘积季节模型,简记为AR I M A (p ,d,

59

第1期 赵凌,等:基于AR I M A 的乘积季节模型在城市供水量预测中的应用

q )(P,D,Q )s

。

2 AR I M A (p,d,q )(P,D,Q )s

建模及预测

2.1 城市月供水量数据特点

(1)序列{X t }存在长期趋势和季节效应。本文整理成都市水务局每日公布的供水量数据

[15]

,得到

月供水量序列{X t }(万m 3

)。从图2可以看出,月供水量一直呈现上升趋势,

并有明显的季节效应。

图2

{X t }的序列图

(2)序列{Y t }平稳并且没有白噪声。对序列{X t }作一阶趋势差分和一阶季节差分(步长12),得到序列{Y t }。做平稳检验,T 统计量值为-7.13,小于检验水平为0.01、0.05、0.10的t 统计量临界

值,其对应的概率P 值=0.0000,非常小,拒绝序列存在单位根的假设,即序列{Y t }通过平稳性检验。在{Y t }平稳的情况下,进一步做{Y t }的纯随机性(白噪声)检验,如果{Y t }是纯随机性序列,则残差中已经不包含有价值信息,建模过程结束;如果{Y t }不是纯随机性序列,说明序列值之间具有密切的相关关系,历史数据对未来的发展有一定影响,挖掘历史数据中的有效信息,建立ARMA 模型作进一步的分析和预测,见图3

。

图3

{Y t }的自相关和偏自相关图

从图3可以看出,{Y t }自相关函数落在0.95的置信区域之外,对应的Q 统计量值,在滞后1阶到2

阶对应的概率值小于0.05,因此拒绝原假设,认为序列{Y t }不是纯随机序列。综上分析,对月供水量序列建立AR I M A (p,d,q)(P,D,Q )s

A 模型。2.2 建模过程

(1)模型的定阶。因为序列{X t }在一阶趋势

差分和一阶季节差分(步长12)后平稳,取s =12,d

=1,D =0或1,Q =0或1。图3中看到 ^k 拖尾, ^kk

疑似三阶截尾,选p =3,q =0或1。

考虑4种模型:模型一AR I M A (3,1,1)(1,1,

1)12

、模型二AR I M A (3,1,0)(1,1,1)12

、模型三

AR I M A (3,1,1)(0,1,1)12

、模型四AR I M A (3,1,1)(1,1,0)12

。样本范围从2006年1月至2009年10月。

表1 4种预测模型参数模型

A IC 准则值修正判

定系数R 2残差平方和过程是

否平稳

AR I M A (3,1,1)(1,1,1)12

10.690.9423648.17是AR I M A (3,1,0)(1,1,1)1210.810.9329852.37是

AR I M A (3,1,1)(0,1,1)1211.760.71

161677.1是

AR I M A (3,1,1)(1,1,0)1212.74

0.61

205733.5是

表2 预测供水量计算结果

时间实际供水量模型一预测量模型二预测量模型三预测量模型四预测量2009 11

3884.773690.1017

3717.93493605.30483731.5042009 124071.843951.06653958.101813788.17193902.9472010 014088.123817.12423804.880713689.80093796.1002010 02

3377.343235.47113259.511763101.43513263.849误差平方和

146047.400

134878.500

393349.700

150171.500

从拟合优度指标上分析,模型一最好,从对未来四个月的预测效果上看,模型二最优。

(2)模型参数估计。用最小二乘法估计参数,得模型一 12x t =

1-0.4645B

1+4.6351B +1.4952B 2+0.6442B

3

1+0.9703B

12

1+0.5769B 12 t

(11)

模型二 12x t =

1

1+1.3852B +1.2341B 2+0.3863B

3

60 水资源与水工程学报 2011年

1+0.9582B 12

1+0.5581B 12 t

(12)

这里选用模型一作分析预测。

(3)残差分析。通过对原始时间序列与所建的AR I M A 模型之间的残差序列e 进行检验.若残差序列e 具有随机性,就意味着所建立的模型己包含了原始时间序列的所有趋势(包周期性变动),从而将所建立的模型应用于预测是合适的;反之,若残差序列e 不具有随机性,则说明所建立的模型还有改善的余地,应对模型进行修正或重新建模.残差序列的这种随机性可利用博克斯一皮尔斯Q 统计量法来进行。

原假设

H 0: 1=0 1= 2=0 1= 2= m =0

H 1:至少存在某个 k 0, m 1,k m 统计量:

Q =n(n +2) m

k =1( ^2

k n -k

)~ 2

(m )(13)

当Q 统计量对应的P 值大于0.05,则认为在置

信水平0.95下无法拒绝原假设,即不能显著拒绝序列为纯随机序列的假定。如果P 值小于0.05,在置信水平0.95下拒绝原假设,认为该序列为非白噪声

序列。

由图4可以看到是残差的自相关与偏自相关都落入2倍标准差范围以内。Q 统计量值对应的P 值全部小于0.05。本模型的残差是白噪声序列序列,说明模型对历史数据提练信息充分,拟合效果好。

3 模型预测

用2006年1月至2009年10月的数据作样本,对2009年11月至2010年2月供水量进行预测,并与实际值比较。表3表示的是2009年11月至2010

年2月供水量的实际值、预测值的相对误差,从表中可以看出,实际值与预测值的相对误差都比较小,预

测效果比较好。

表3 2009年11月至2010年2月

实际值与预测值

万m 3,%2009 11

2009 122010 012010 02实际值

3884.774071.84

4088.12

3377.34

预测值3690.103951.073817.123235.47相对误差

5.00

2.90

6.60

4.

20

图4 残差的自相关图与偏自相关图

用所有的样本(2006年1月至2010年2月)重新估计模型的参数,预测2010年全年的供水量,见

表4。2010年全年供水量将达到47802.03万m 3

,较上一年增长2.9%。用水的增长势头有所减缓。用水的高峰期仍然是8月份,2010年8月的用水量将达到历史最高期的4346.84万m 3

,较去年同期增长2.8%。

表4 2010年全年供水量预测值

万m 3时间

供水量

时间

供水量

时间

供水量

2010 013740.142010 053896.262010 094112.952010 023235.46

2010 064004.282010 104159.58

2010 033986.892010 074392.652010 113943.192010 043832.402010 084346.842010 124151.39

图5表示的是从2008年5月至2010年2月的

实际值与2008年5月至2010年12月的预测值。图6中,虚线是置信水平为95%的预测置信区间,中间的实线是预测值。

61

第1期 赵凌,等:基于AR I M A 的乘积季节模型在城市供水量预测中的应用

4 结 语

以月尺度水文过程的时间序列为例,序列本身有一个年际月变化的影响,所以对这样的水文以月供水量的时间序列,本身有一个年际月变化的影响,所以对这样的序列直接采用时间序列的方法是不合适的。应该将其分解成周期项和趋势项,再对其用时间序列的方法进行建模。本文建立了乘积季节的AR I M模型,通过对残差分析,残差为一个白噪声,模型已经提取有效信息.所建立的模型能更好地预测供水量。

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(上接第57页)

(3)通过最大容许位移和最大容许位移速率验证可以看出,隧道围岩在开挖过程中受到应力场和渗流场的作用下保持稳定,隧道设计和施工是可靠的。

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