xyzt四维正交坐标系

xyzt 四维正交坐标系

朱昌路 临邑县第一中学

摘要

闵氏时空不是正交坐标系，本文引入时间和世间的概念，建立xyzt 四维正交坐标系并对其进行初步的研究，结论与闵氏四维时空完全相同。

关键词：四维正交坐标系 方程变换 速度变换 能量变换 频率变换 杆长变换

一、概念

世间τ：参考系的钟表时间叫做世间，用τ表示。闵氏时空是τxyz 四维坐标系。

时间t ：物体的钟表时间叫做时间，用t 表示。

时空等价：时间和空间是相互正交垂直的维度，本文认为1年=1光年，我们可以建立xyzt 正交坐标系。 基准时钟：基准时钟A 、B 、C ……以速度a cos 、b cos 、c cos ……做匀速直线运动且0年时在O 点相遇。 时间规定：规定物体的时钟必须与相对静止的基准时钟对钟。按照这一规定，物体变速后应该调整时钟。 世界唯一：当物体D 发生事件P 时，物体D 的时间P t 与参考系的选择无关。 相遇条件：两个物体相遇的充要条件是同一世间处于同一空间。

质能等价：质量和能量等价。J 10×

9=1kg 16

同一坐标系中同一过程，所有物体的图像轨迹等长：

2

2

2

2

2

d dt dz dy dx ）（）（）（）（）（τ=+++

世间和距离的测量：2

E

E 发光返光τττ+=

2

L E

E 发光返光－ττ=

二、坐标之间的关系

A 系中基准时钟

B 的时空方程：ττ

d dx x B = ττd dy y B = ττd dz z B =

b s i n d dt

t B ττ

τ== 与B 速度相同的物体D 发生事件P 时的状态：P τ、P x 、P y 、P z 、P t 、τd dx 、τd dy 、τd dz 、

τd dt

A 系中物体D 发生事件P 时，恰好遇到D 的光信号E 的方程：

2

P 2P 2P 2P z z y y x x ）－（）－（）－（）－（ττ=++ B 发出E 和B 返回E 的时间B t 满足：2P B 2P B 2P B 2P B

d dt t x dt dz t x dt dy t x dt dx t ）

－（）－（）－（）－（ττ

=++ 解出B 系中D 发生事件P 的时间规定：2

22P P P

P E

B E B P d dz d dy d dx 1d dz z d dy y d dx x 2

t t t ）

－（）－（）－（－－－发返τττττττ=

+=

即：坐标之间的关系τττττ=+++d dt

t d dz z d dy y d dx x

三、时空方程变换

A 系中物体C 的时空方程：c cos x C τ=

0y C =

0z C =

c s i n

t C τ= A 系中物体D 发生事件P 时的状态：P τ、P x 、P y 、P z 、P t 、

τd dx 、τd dy 、τd dz 、τ

d dt

A 系中物体D 的时空方程：

τττd dx x x P P =－－、τττd dy y y P P =－－、τττd dz z z P P =－－、

τ

ττd dt

t t P P =－－

A 系中物体D 发生事件P 时，恰好遇到D 的光信号E 的方程：

2

P 2P 2P 2P z z y y x x ）－（）－（）－（）－（ττ=++ C 发出E 和C 返回E 的时间C t 满足：2

P C 2P

2P 2P C

sin t z y x sin cos t ）－（）－（τc c c =++

解得：⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧++=+++=2P 2P 2P P P P E C 2

P

2P 2P P P P E C z y sin cos x sin cos x t z y sin cos x sin cos x t ）－（－－）－（－发返c c c c c c c c ττττ

C 系中事件P 的世间：c

c

sin cos x 2

t t P P E

C E C P

－发返ττ=

+='

C 系中事件P 发生时，

D 与C 的距离：2

P

2P 2P P E

C E C 2

P 2P 2P z y sin cos x 2

t t z y x ++==

++'）－（－发返c c τ

C 系中事件P 的空间坐标：c

c

sin cos x x P P P τ－='

C 系中物体

D 的速度：

c c cos

d dx 1cos d dx d x d τττ－－='' c c c o s d dx 1sin d dy d dy τττ－=' c c

c o s

d dx 1sin d dz

d dz τ

τ

τ－=' c c b c o s d dx 1sin sin d dt ττ－='

C 系中物体

D 的时空方程：

c c c c c c cos

d dx 1cos d dx sin cos x sin cos x x P P P P τττττ－－－－－－

='' c

c

c c cos

d dx 1sin d dy

sin cos x y y P P P

τ

τ

ττ－－－－=' c c c c cos d dx 1sin d dz sin cos x z z P P P ττττ－－－－=' c

c

c c cos

d dx 1sin d dt sin cos x t t P P P ττττ－－－－=' 四、速度变换

在A 系中，当A 、B 、C ……沿x 轴以速度0cos =a 、b cos 、c cos ……运动时，A 、B 、C ……遇到光信号E 的时间分别为E A t 遇、E B t 遇、E C t 遇……。

在A 系中，E A t 遇、E B t 遇、E C t 遇……之间的关系：⋯⋯===2tan t 2tan t 2tan t E C E B E A c

b a 遇遇遇 在B 系中，E A t 遇、E B t 遇、E C t 遇……之间的关系：⋯

⋯='

='='2tan t 2tan t 2tan t E C E B E A c b a 遇遇遇

速度变换比例式：

⋯⋯='='='2

tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan c c b b a a 速度变换传递式：2

tan

2

tan

2

tan

A

C C B

A

B 相对相对相对c b b '=

传递式可变形为洛伦兹式：A

C A B A C A B C B

cos cos 1cos cos cos 相对相对相对相对相对－－c b c b b ='