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2018年中考数学专题复习过关集训 第四单元 三角形 第7课时 相似三角形的综合应用课件 新人教版

2018年中考数学专题复习过关集训 第四单元 三角形 第7课时 相似三角形的综合应用课件 新人教版

判 定
① 证一对锐角相等 已知直角

② 证两组对应边成比例

① 顶角相等
已知等腰三角形 ② 一对底角相等
③底和腰对应成比例
考点 2 相似三角形考查比较有特点的题干特征或设问特征 1. 题干特征:①有平行线;②有中位线(或两边中点);③已 知线段比值(或锐角三角函数值);④已知线段比例关系;⑤ 有等角(或角平分线); 2. 设问特征:①直接证相似;②求线段比值;③证线段比 例关系、线段乘积关系(常通过观察线段所在三角形将线段 乘积关系转换为线段比例关系);④证线段倍数关系;⑤求 两三角形周长、面积、中线、高线的比值.
OA,过点O作OB⊥OA,并且使OB=2OA,连接AB,当点A
在反比例函数图象上移动时,点B也在某一反比例函数y=
k x
图象上移动,则k的值为( A )
A. -4
B. 4
C. -2
D. 2
第1题图
【解析】如解图,过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作
BN⊥x轴于点N,∴∠BNO=∠AMO=90°,∠NBO+
模型
双垂直型 (母子型 特殊形式)
图形
特征或结论
1. 有一个公共角,角两 边有重合部分 2. 第1个图形AC2= AD·AB仍成立,且CD2= AD·BD(射影定理)
模型
图形
特征或结论
一线三 等角型
(以下三个模型是以 等腰三角形或者等 边三角形为背景)
三个等角顶点在同一直线上 ,称一线三等角模型,其中 ∠1=∠2=∠3,可根据∠1 =180°-∠4-∠5,∠2= 180°-∠4-∠6得∠5=∠6 ,可得图中两阴影部分三角 形相似
∠BON=90°,又∵OB⊥OA,∴∠BON+∠AOM=90°,

【中考复习】2018届甘肃中考数学《专题聚焦》总复习练习题含答案

【中考复习】2018届甘肃中考数学《专题聚焦》总复习练习题含答案

题型一 规律探索类型一 数与式规律探索 1.(2017·百色)观察以下一列数的特点:0,1,-4,9,-16,25,…,则第11个数是(B )A .-121B .-100C .100D .121 2.(2017·武汉)按照一定规律排列的n 个数:-2、4、-8、16、-32、64、…,若最后三个数的和为768,则n 为(导学号 35694235)(B )A .9B .10C .11D .123.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,它有一定的规律性,若把第一个三角形数记为x 1,第二个三角形数记为x 2,…,第n 个三角形数记为x n ,则x n +x n+1=__(n +1)2__.4.若x 是不等于1的实数,我们把11-x 称为x 的差倒数,如2的差倒数是11-2=-1,-1的差倒数为11-(-1)=12,现已知x 1=-13,x 2是x 1的差倒数,x 3是x 2的差倒数,x 4是x 3的差倒数,…,以此类推,则x 2018=__34__.5.观察下列等式:1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,…,则1+3+5+7+…+2015=__1016064__.6.小明写出如下一组数:15,-39,717,-1533,…,请用你发现的规律,猜想第2014个数为__-22014-122015+1__.7.(2017·云南)观察下列各个等式的规律: 第一个等式:22-12-12=1,第二个等式:32-22-12=2,第三个等式:42-32-12=3,…请用上述等式反映出的规律解决下列问题: (1)直接写出第四个等式;(2)猜想第n 个等式(用n 的代数式表示),并证明你猜想的等式是正确的. 解:(1)第四个等式为:52-42-12=4;(2)第n 个等式为:(n +1)2-n 2-12=n;证明如下:∵(n +1)2-n 2-12=n 2+2n +1-n 2-12=2n 2=n ,∴左边=右边,等式成立.类型二 图形规律探索 1.(2017·德州)观察下列图形,它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点,构成4个小三角形,挖去中间的一个小三角形(如图①);对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法,…将这种做法继续下去(如图②,图③…),则图⑥中挖去三角形的个数为(导学号 35694236)(C )A .121B .362C .364D .7292.如图,在△ABC 中,BC =1,点P 1,M 1分别是AB ,AC 边的中点,点P 2,M 2分别是AP 1,AM 1的中点,点P 3,M 3分别是AP 2,AM 2的中点,按这样的规律下去,P n M n 的长为__12n__(n 为正整数).3.如图,在△ABC 中,∠A =m °,∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1,得∠A 1;∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2,得∠A 2;…∠A 2016BC 和∠A 2016CD 的平分线交于点A 2017,则∠A 2017=__m22017__°.4.如图,是一组按照某种规律摆放成的图案,则图⑤中三角形的个数是(C )A .8B .9C .16D .17 5.如图,下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成:第1个图案需7根火柴,第2个图案需13根火柴,依此规律,第11个图案需(B )根火柴.A .156B .157C .158D .1596.观察下列图形中点的个数,若按其规律再画下去,可以得到第n 个图形中所有点的个数为__(n +1)2__(用含n 的代数式表示).(导学号 35694237)类型三 与坐标系结合的规律探索1.如图,在平面直角坐标系中,将△ABO 绕点A 顺指针旋转到△AB 1C 1的位置,点B 、O 分别落在点B 1、C 1处,点B 1在x 轴上,再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置,点C 2在x 轴上,将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置,点A 2在x 轴上,依次进行下去…,若点A (53,0),B (0,4),则点B 2016的横坐标为(D )A .5B .12C .10070D .100802.如图,在平面直角坐标系中有若干个整数点,其顺序按图中“→”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(3,1),(3,0),(3,-1)…,根据这个规律探索可得第100个点的坐标为(D )A .(14,0)B .(14,-1)C .(14,1)D .(14,2)3.如图,已知菱形OABC 的两个顶点O (0,0),B (2,2),若将菱形绕点O 以每秒45°的速度逆时针旋转,则第2017秒时,菱形两对角线交点D 的坐标为.4.(2017·赤峰)在平面直角坐标系中,点P (x ,y )经过某种变换后得到点P ′(-y +1,x +2),我们把点P ′(-y +1,x +2)叫做点P (x ,y )的终结点.已知点P 1的终结点为P 2,点P 2的终结点为P 3,点P 3的终结点为P 4,这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…,若点P 1的坐标为(2,0),则点P 2017的坐标为__(2,0)__.(导学号 35694238)5.如图,在平面直角坐标系中有一菱形OABC,且∠A=120°,点O、B在y轴上,OA =1,现在把菱形向右无滑动翻转,每次翻转60°,点B的落点依次为B1、B2、B3…,连续翻转2017次,则B2017的坐标为__(1345.5,2)__.题型二尺规作图类型一作与两条直线距离有关的点1.(2017·陕西)如图,在钝角△ABC中,过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D.请用尺规作图法在BC边上求作一点P,使得点P到AC的距离等于BP的长.(保留作图痕迹,不写作法)(导学号35694239)解:如解图,点P即为所求.2.如图,两条公路OA和OB相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使货站P到两条公路OA、OB的距离相等,且到两工厂C、D的距离相等,用尺规作出货站P的位置.(要求:不写作法,保留作图痕迹,写出结论)解:如解图所示,作CD的垂直平分线,∠AOB的平分线的交点P即为所求,此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等.P和P1都是所求的点.3.(2017·绥化)如图,A、B、C为某公园的三个景点,景点A和景点B之间有一条笔直的小路,现要在小路上建一个凉亭P,使景点B、景点C到凉亭P的距离之和等于景点B到景点A的距离,请用直尺和圆规在所给的图中作出点P.(不写作法和证明,只保留作图痕迹)解:如解图,连接AC,作线段AC的垂直平分线MN,直线MN交AB于点P.点P即为所求的点.4.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,用直尺和圆规在边BC上找一点D,使D到AB的距离等于CD.(保留作图痕迹,不写作法)解:如解图,点D即为所求.类型二作角平分线和垂直平分线1.(2017·福建)如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,求作∠ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点;并证明AP=AQ.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)解:BQ就是所求的∠ABC的平分线,P、Q就是所求作的点.证明:∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BPD+∠PBD=90°.∵∠BAC=90°,∴∠AQP+∠ABQ=90°.∵∠ABQ=∠PBD,∴∠BPD=∠AQP.∵∠BPD=∠APQ,∴∠APQ=∠AQP,∴AP=AQ.2.(2017·赤峰)已知平行四边形ABCD.(1)尺规作图:作∠BAD的平分线交直线BC于点E,交DC延长线于点F(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,求证:CE=CF.(1)解:如解图所示,AF即为所求;(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AD∥BC,∴∠1=∠2,∠3=∠4.∵AF平分∠BAD,∴∠1=∠3,∴∠2=∠4,∴CE=CF.3.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°.(1)作边AB的垂直平分线MN;(保留作图痕迹,不写作法)(2)在已知的图中,若MN交AC于点D,连接BD,求∠DBC的度数.(导学号35694240)解:(1)如解图①即为所求垂直平分线MN;(2)如解图②,连接BD,∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,∴AD=BD,∵∠A=40°,∴∠ABD=∠A=40°,∵AB=AC,∴∠ABC =∠C =12(180°-∠A)=70°,∴∠DBC =∠ABC -∠ABD =70°-40°=30°. 4.如图,已知△ABC 中,∠ABC =90°.(1)尺规作图:按下列要求完成作图(保留作图痕迹,请标明字母)①作线段AC 的垂直平分线l ,交AC 于点O ;②连接BO 并延长,在BO 的延长线上截取OD ,使得OD =OB ; ③连接DA 、DC ;(2)判断四边形ABCD 的形状,并说明理由. (1)①②③如解图所示; (2)四边形ABCD 是矩形,理由:∵在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,BO 是AC 边上的中线, ∴BO =12AC ,∵BO =DO ,AO =CO ,∴AO =CO =BO =DO ,∴四边形ABCD 是矩形.类型三 作圆1.如图,在图中求作⊙P ,使⊙P 满足以线段MN 为弦且圆心P 到∠AOB 两边的距离相等.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)解:如解图所示,⊙P 即为所作的圆.2.如图,已知在△ABC 中,∠A =90°.(1)请用圆规和直尺作出⊙P ,使圆心P 在AC 边上,且与AB ,BC 两边都相切(保留作图痕迹,不写作法和证明);(2)若∠B =60°,AB =3,求⊙P 的面积.解:(1)如解图所示, ⊙P 为所求作的圆; (2)∵∠B =60°, BP 平分∠ABC ,∴∠ABP =30°, ∵tan ∠ABP =AP AB, ∴AP =3, ∴S ⊙P =3π.3.(2017·舟山)如图,已知△ABC ,∠B =40°.(1)在图中,用尺规作出△ABC 的内切圆O ,并标出⊙O 与边AB ,BC ,AC 的切点D ,E ,F(保留痕迹,不必写作法);(2)连接EF ,DF ,求∠EFD 的度数. 解:(1)如解图①,⊙O 即为所求;(2)如解图②,连接OD ,OE , ∴OD ⊥AB ,OE ⊥BC , ∴∠ODB =∠OEB =90°, ∵∠B =40°,∴∠DOE =140°,∴∠EFD =70°.4.已知△ABC 中,∠A =25°,∠B =40°.(1)求作:⊙O ,使得⊙O 经过A 、C 两点,且圆心O 落在AB 边上(要求尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法);(2)求证:BC 是(1)中所作⊙O 的切线. (1)解:作图如解图①;(2)证明:如解图②,连接OC ,∵OA =OC ,∠A =25°,∴∠BOC =50°, 又∵∠B =40°,∴∠BOC +∠B =90°, ∴∠OCB =90°,∴OC ⊥BC ,∴BC 是⊙O 的切线.5.如图,在直角三角形ABC 中,∠ABC =90°. (1)先作∠ACB 的平分线,设它交AB 边于点O ,再以点O 为圆心OB 为半径作⊙O(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2)证明:AC 是所作⊙O 的切线;(3)若BC =3,sin A =12,求△AOC 的面积.(1)解:作图如解图所示:(2)证明:过点O 作OE ⊥AC 于点E , ∵FC 平分∠ACB ,∴OB =OE ,∴AC 是所作⊙O 的切线;(3)解:∵sin A =12,∠ABC =90°,∴∠A =30°,∴∠ACO =∠OCB =12∠ACB =30°,∵BC =3,∴AC =23,BO =BC tan 30°=3³33=1, ∴S △AOC =12AC·OE =12³23³1= 3.题型三 与三角形、四边形有关的证明与计算类型一 与三角形有关的证明与计算 1.(2017·黄冈)已知:如图,∠BAC =∠DAM ,AB =AN ,AD =AM ,求证:∠B =∠ANM.证明:∵∠BAC =∠DAM ,∠BAC =∠BAD +∠DAC ,∠DAM =∠DAC +∠NAM , ∴∠BAD =∠NAM , 在△BAD 和△NAM 中,⎩⎨⎧AB =AN ,∠BAD =∠NAM ,AD =AM ,∴△BAD ≌△NAM(SAS ),∴∠B =∠ANM. 2.(2017·孝感)如图,已知AB =CD ,AE ⊥BD ,CF ⊥BD ,垂足分别为E ,F ,BF =DE ,求证:AB ∥CD.证明:∵AE ⊥BD , CF ⊥BD ,∴∠AEB =∠CFD =90°, ∵BF =DE ,∴BF +EF =DE +EF , ∴BE =DF.在Rt △AEB 和Rt △CFD 中,⎩⎨⎧AB =CD ,BE =DF ,∴Rt △AEB ≌Rt △CFD(HL ), ∴∠B =∠D ,∴AB ∥CD. 3.(2017·连云港)如图,已知等腰三角形ABC 中,AB =AC ,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,且AD =AE ,连接BE 、CD ,交于点F.(1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A 、F 的直线垂直平分线段BC.(1)解:∠ABE =∠ACD ;理由如下:在△ABE 和△ACD 中,⎩⎨⎧AB =AC ,∠A =∠A ,AE =AD ,∴△ABE ≌△ACD(SAS ),∴∠ABE =∠ACD ; (2)证明:∵AB =AC , ∴∠ABC =∠ACB ,由(1)可知∠ABE =∠ACD , ∴∠FBC =∠FCB , ∴FB =FC , ∵AB =AC ,∴点A 、F 均在线段BC 的垂直平分线上,即直线AF 垂直平分线段BC. 4.(2017·荆门)已知:如图,在Rt △ACB 中,∠ACB =90°,点D 是AB 的中点,点E 是CD 的中点,过点C 作CF ∥AB 交AE 的延长线于点F.(1)求证:△ADE ≌△FCE ;(2)若∠DCF =120°,DE =2,求BC 的长.(1)证明:∵点E 是CD 的中点, ∴DE =CE , ∵AB ∥CF ,∴∠BAF =∠AFC , 在△ADE 与△FCE 中,⎩⎨⎧∠DAF =∠AFC ,∠AED =∠FEC ,DE =CE ,∴△ADE ≌△FCE(AAS ); (2)解:由(1)得,CD =2DE , ∵DE =2,∴CD =4.∵点D 为AB 的中点,∠ACB =90°, ∴AB =2CD =8,AD =CD =12AB.∵AB ∥CF ,∴∠BDC =180°-∠DCF =180°-120°=60°, ∴∠DAC =∠ACD =12∠BDC =12³60°=30°,∴BC =12AB =12³8=4.5.(2017·重庆A )在△ABM 中,∠ABM =45°,AM ⊥BM ,垂足为M ,点C 是BM 延长线上一点,连接AC.(1)如图①,若AB =32,BC =5,求AC 的长;(2)如图②,点D 是线段AM 上一点,MD =MC ,点E 是△ABC 外一点,EC =AC ,连接ED 并延长交BC 于点F ,且点F 是线段BC 的中点,求证:∠BDF =∠CEF.(导学号 35694241)(1)解:AC =13;(2)证明:如解图,延长EF 到点G ,使得FG =EF ,连接BG. ∵DM =MC ,∠BMD =∠AMC , BM =AM ,∴△BMD ≌△AMC(SAS ), ∴AC =BD ,又∵CE =AC ,∴BD =CE , ∵BF =FC ,∠BFG =∠CFE , FG =FE ,∴△BFG ≌△CFE(SAS ),∴BG =CE ,∠G =∠CEF ,∴BD =CE =BG ,∴∠BDG =∠G =∠CEF. 6.(2017·呼和浩特)如图,等腰三角形ABC 中,BD ,CE 分别是两腰上的中线. (1)求证:BD =CE ;(2)设BD 与CE 相交于点O ,点M ,N 分别为线段BO 和CO 的中点,当△ABC 的重心到顶点A 的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN 的形状,无需说明理由.(1)证明:由题意得,AB =AC , ∵BD ,CE 分别是两腰上的中线, ∴AD =12AC ,AE =12AB ,∴AD =AE ,在△ABD 和△ACE 中,⎩⎨⎧AB =AC ,∠A =∠A ,AD =AE ,∴△ABD ≌△ACE(SAS ).∴BD =CE ; (2)解:四边形DEMN 是正方形,证明:略7.△ABC 的三条角平分线相交于点I ,过点I 作DI ⊥IC ,交AC 于点D. (1)如图①,求证:∠AIB =∠ADI ;(2)如图②,延长BI ,交外角∠ACE 的平分线于点F. ①判断DI 与CF 的位置关系,并说明理由; ②若∠BAC =70°,求∠F 的度数.(1)证明:∵AI 、BI 分别平分∠BAC ,∠ABC , ∴∠BAI =12∠BAC ,∠ABI =12∠ABC ,∴∠BAI +∠ABI =12(∠BAC +∠ABC)=12(180°-∠ACB)=90°-12∠ACB ,∴在△ABI 中,∠AIB =180°-(∠BAI +∠ABI)=180°-(90°-12∠ACB)=90°+12∠ACB ,∵CI 平分∠ACB ,∴∠DCI =12∠ACB ,∵DI ⊥IC ,∴∠DIC =90°,∴∠ADI =∠DIC +∠DCI =90°+12∠ACB ,∴∠AIB =∠ADI ;(2)解:①结论:DI ∥CF.理由:∵∠IDC =90°-∠DCI =90°-12∠ACB ,∵CF 平分∠ACE ,∴∠ACF =12∠ACE =12(180°-∠ACB)=90°-12∠ACB ,∴∠IDC =∠ACF ,∴DI ∥CF ;②∵∠ACE =∠ABC +∠BAC ,∴∠ACE -∠ABC =∠BAC =70°, ∵∠FCE =∠FBC +∠F , ∴∠F =∠FCE -∠FBC ,∵∠FCE =12∠ACE ,∠FBC =12∠ABC ,∴∠F =12∠ACE -12∠ABC =12(∠ACE -∠ABC)=35°.8.(8分)(2017·北京)在等腰直角△ABC 中,∠ACB =90°,P 是线段BC 上一动点(与点B 、C 不重合),连接AP ,延长BC 至点Q ,使得CQ =CP ,过点Q 作QH ⊥AP 于点H ,交AB 于点M.(1)若∠PAC =α,求∠AMQ 的大小(用含α的式子表示);(2)用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系,并证明.(导学号 35694242)解:(1)∠AMQ =45°+α;理由如下:∵∠PAC =α,△ACB 是等腰直角三角形, ∴∠BAC =∠B =45°,∠PAB =45°-α, ∵QH ⊥AP , ∴∠AHM =90°, ∴∠AMQ =180°-∠AHM -∠PAB =45°+α;(2)PQ =2MB.理由如下:如解图,连接AQ ,作ME ⊥QB , ∵AC ⊥QP ,CQ =CP , ∴∠QAC =∠PAC =α, ∴∠QAM =45°+α=∠AMQ ,∴AP =AQ =QM , 在△APC 和△QME 中,⎩⎨⎧∠MQE =∠PAC ,∠ACP =∠QEM ,AP =QM ,∴△APC ≌△QME(AAS ),∴PC =ME , ∴△MEB 是等腰直角三角形,∴12PQ =22MB ,∴PQ=2MB.类型二 与四边形有关的证明与计算1.在▱ABCD 中,点E 、F 分别在AB 、CD 上,且AE =CF. (1)求证:△ADE ≌△CBF ;(2)若DF =BF ,求证:四边形DEBF 为菱形.证明:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD =BC ,∠A =∠C , 在△ADE 和△CBF 中,⎩⎨⎧AD =BC ,∠A =∠C ,AE =CF ,∴△ADE ≌△CBF(SAS );(2)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD ,AB =CD , ∵AE =CF ,∴DF =EB ,∴四边形DEBF 是平行四边形,又∵DF =FB ,∴四边形DEBF 为菱形.2.如图,四边形ABCD 中,BD 垂直平分AC ,垂足为点F ,E 为四边形ABCD 外一点,且∠ADE =∠BAD ,AE ⊥AC.(1)求证:四边形ABDE 是平行四边形;(2)如果DA 平分∠BDE ,AB =5,AD =6,求AC 的长. (导学号 35694243)(1)证明:∵AE ⊥AC ,BD 垂直平分AC , ∴AE ∥BD ,∵∠ADE =∠BAD , ∴DE ∥AB ,∴四边形ABDE 是平行四边形; (2)解:∵DA 平分∠BDE , ∴∠BAD =∠ADB , ∴AB =BD =5,设BF =x ,则52-x 2=62-(5-x)2, 解得x =75,∴AF =AB 2-BF 2=245,∴AC =2AF =485. 3.(2017·上海)已知:如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =CD ,E 是对角线BD 上一点,且EA =E C .(1)求证:四边形ABCD 是菱形;(2)如果BE =BC ,且∠CBE ∶∠BCE =2∶3,求证:四边形ABCD 是正方形.证明:(1)在△ADE 和△CDE 中,⎩⎨⎧AD =CD ,DE =DE ,EA =EC ,∴△ADE ≌△CDE(SSS ), ∴∠ADE =∠CDE ,∵AD ∥BC ,∴∠ADE =∠CBD , ∴∠CDE =∠CBD ,∴BC =CD , ∵AD =CD ,∴BC =AD ,∴四边形ABCD 为平行四边形,∵AD =CD ,∴四边形ABCD 是菱形; (2)∵BE =BC ,∴∠BCE =∠BEC , ∵∠CBE ∶∠BCE =2∶3, ∴∠CBE =180°³22+3+3=45°,∵四边形ABCD 是菱形,∴∠ABE =45°, ∴∠ABC =90°,∴四边形ABCD 是正方形.4.如图,在▱ABCD 中,∠BAD 的平分线交CD 于点E ,交BC 的延长线于点F ,连接BE ,∠F =45°.(1)求证:四边形ABCD 是矩形;(2)若AB =14,DE =8,求sin ∠AEB 的值.(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,∴∠DAF =∠F =45°.∵AE 是∠BAD 的平分线, ∴∠EAB =∠DAE =45°, ∴∠DAB =90°,又∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴四边形ABCD 是矩形;(2)解:如解图,过点B 作BH ⊥AE 于点H , ∵四边形ABCD 是矩形, ∴AB =CD ,AD =BC , ∠DCB =∠D =90°,∵AB =14,DE =8,∴CE =6. 在Rt △ADE 中,∠DAE =45°, ∴AD =DE =8,∴BC =8. 在Rt △BCE 中,由勾股定理得BE =BC 2+CE 2=10, 在Rt △AHB 中,∠HAB =45°, ∴BH =AB·sin 45°=72, ∵在Rt △BHE 中,∠BHE =90°, ∴sin ∠AEB =BH BE =7210.5.(2017·大庆)如图,以BC 为底边的等腰△ABC ,点D ,E ,G 分别在BC ,AB ,AC 上,且EG ∥BC ,DE ∥AC ,延长GE 至点F ,使得BE =BF.(1)求证:四边形BDEF 为平行四边形; (2)当∠C =45°,BD =2时,求D ,F 两点间的距离.(导学号 35694244) (1)证明:∵△ABC 是等腰三角形, ∴∠ABC =∠C ,∵EG ∥BC ,DE ∥AC , ∴∠AEG =∠ABC =∠C ,∴四边形CDEG 是平行四边形, ∴∠DEG =∠C , ∵BE =BF ,∴∠BFE =∠BEF =∠AEG =∠ABC , ∴∠F =∠DEG ,∴BF ∥DE , ∴四边形BDEF 为平行四边形; (2)解:∵∠C =45°,∴∠ABC =∠BFE =∠BEF =45°, ∴△BDE 、△BEF 是等腰直角三角形,∴BF =BE =22BD =2, 作FM ⊥BD 于点M ,连接DF ,如解图所示,则△BFM 是等腰直角三角形, ∴FM =BM =22BF =1, ∴DM =3,在Rt △DFM 中,由勾股定理得: DF =12+32=10,即D ,F 两点间的距离为10. 6.(2017·张家界)如图,在平行四边形ABCD 中,边AB 的垂直平分线交AD 于点E ,交CB 的延长线于点F ,连接AF ,BE.(1)求证:△AGE ≌△BGF ;(2)试判断四边形AFBE 的形状,并说明理由.(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,∴∠AEG =∠BFG , ∵EF 垂直平分AB , ∴AG =BG ,在△AGE 和△BGF 中,⎩⎨⎧∠AEG =∠BFG ,∠AGE =∠BGF ,AG =BG ,∴△AGE ≌△BGF(AAS );(2)解:四边形AFBE 是菱形,理由如下: ∵△AGE ≌△BGF ,∴AE =BF ,∵AD ∥BC ,∴四边形AFBE 是平行四边形, 又∵EF ⊥AB ,∴四边形AFBE 是菱形.7.如图,四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,AO =CO ,BO =DO ,且∠ABC +∠ADC =180°.(1)求证:四边形ABCD 是矩形.(2)若∠ADF ∶∠FDC =3∶2,DF ⊥AC ,则∠BDF 的度数是多少?(1)证明:∵AO =CO ,BO =DO∴四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠ABC =∠ADC ,∵∠ABC +∠ADC =180°, ∴∠ABC =∠ADC =90°,∴四边形ABCD 是矩形;(2)解:∵∠ADC =90°,∠ADF ∶∠FDC =3∶2, ∴∠FDC =36°,∵DF ⊥AC ,∴∠DCO =90°-36°=54°, ∵四边形ABCD 是矩形, ∴OC =OD ,∴∠ODC =54°,∴∠BDF =∠ODC -∠FDC =18°. 8.(2017·娄底)如图,在▱ABCD 中,各内角的平分线分别相交于点E ,F ,G ,H. (1)求证:△ABG ≌△CDE ;(2)猜一猜:四边形EFGH 是什么样的特殊四边形?证明你的猜想; (3)若AB =6,BC =4,∠DAB =60°,求四边形EFGH 的面积.(1)证明:∵GA 平分∠BAD ,EC 平分∠BCD , ∴∠BAG =12∠BAD ,∠DCE =12∠DCB ,∵在▱ABCD 中,∠BAD =∠DCB ,AB =CD ,∴∠BAG =∠DCE ,同理可得,∠ABG =∠CDE ,∵在△ABG 和△CDE 中,⎩⎨⎧∠BAG =∠DCE ,AB =CD ,∠ABG =∠CDE ,∴△ABG ≌△CDE(ASA ); (2)解:四边形EFGH 是矩形.证明:∵GA 平分∠BAD ,GB 平分∠ABC , ∴∠GAB =12∠BAD ,∠GBA =12∠ABC ,∵在▱ABCD 中,∠DAB +∠ABC =180°,∴∠GAB +∠GBA =12(∠DAB +∠ABC)=90°,即∠AGB =90°,同理可得,∠DEC =90°,∠AHD =90°=∠EHG , ∴四边形EFGH 是矩形;(3)解:依题意得:∠BAG =12∠BAD =30°,∵AB =6,∴BG =12AB =3,AG =33=CE ,∵BC =4,∠BCF =12∠BCD =30°,∴BF =12BC =2,CF =23,∴EF =33-23=3,GF =3-2=1, ∴S 矩形EFGH 的面积=EF·GF = 3.题型四解直角三角形的实际应用1.(2017·镇江)如图,小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°,顶部的仰角为37°,已知教学楼和实验楼在同一平面上,观测点距地面的垂直高度AB为15 m,求实验楼的垂直高度即CD长.(精确到1 m,参考值:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)解:作AE⊥CD于E,如解图,∵AB=15 m,∴DE=AB=15 m,∵∠DAE=45°,∴AE=DE=15 m,在Rt△ACE中,tan∠CAE=CE AE,则CE=AE·tan37°=15³0.75≈11 m,∴CD=CE+DE=11+15=26 m.答:实验楼的垂直高度CD长为26 m.2.(2017·宜宾)如图,为了测量某条河的宽度,现在河边的一岸边任意取一点A,又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α=30°,∠β=45°,量得BC长为100米,求河的宽度.(结果保留根号)解:过点A作AD⊥BC于点D,如解图,∵∠β=45°,∠ADC=90°,∴AD=DC,设AD=DC=x m,则tan 30°=x x +100=33, 解得x =50(3+1).答:河的宽度为50(3+1) m . 3.(2017·宿迁)如图所示,飞机在一定高度上沿水平直线飞行,先在点A 处测得正前方小岛C 的俯角为30°,面向小岛方向继续飞行10 km 到达B 处,发现小岛在其正后方,此时测得小岛的俯角为45°,如果小岛高度忽略不计,求飞机飞行的高度.(结果保留根号)(导学号 35694245)解:过点C 作CD ⊥AB 于点D ,如解图,设CD =x , ∵∠CBD =45°, ∴BD =CD =x ,在Rt △ACD 中, ∵tan ∠CAD =CDAD,∴AD =CD tan ∠CAD =x tan 30°=x33=3x ,由AD +BD =AB 可得3x +x =10,解得x =53-5.答:飞机飞行的高度为(53-5) km . 4.(2016·菏泽)南沙群岛是我国固有领土,现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B 处时,测得该岛位于正北方向20(1+3)海里的C 处,为了防止某国海巡警干扰,就请求我A 处的渔监船前往C 处护航,已知C 位于A 处的北偏东45°方向上,A 位于B 的北偏西30°的方向上,求A 、C 之间的距离.解:如解图,作AD ⊥BC ,垂足为D ,由题意得,∠ACD =45°, ∠ABD =30°.设CD=x,在Rt△ACD中,可得AD=x,在Rt△ABD中,可得BD=3x,又∵BC=20(1+3),CD+BD=BC,即x+3x=20(1+3),解得:x=20,∴AC=2x=202(海里).答:A、C之间的距离为20 2 海里.5.(2017·荆门)金桥学校“科技体艺节”期间,八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高,他们在旗杆正前方台阶上的点C处,测得旗杆顶端A的仰角为45°,朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处,测得旗杆顶端A的仰角为60°,已知升旗台的高度BE为1米,点C距地面的高度CD为3米,台阶CF的坡角为30°,且点E、F、D在同一条直线上,求旗杆AB的高度.(计算结果精确到0.1米,参考数据:2≈1.41,3≈1.73)解:如解图,过点C作CM⊥AB于M.则四边形MEDC是矩形,∴ME=DC=3,CM=ED,在Rt△AEF中,∠AFE=60°,设EF=x,则AF=2x,AE=3x,在Rt△FCD中,CD=3,∠CFD=30°,∴DF=33,在Rt △AMC 中, ∠ACM =45°,∴∠MAC =∠ACM =45°,∴MA =MC , ∵ED =CM ,∴AM =ED ,∵AM =AE -ME ,ED =EF +DF , ∴3x -3=x +33,解得x =6+33, ∴AE =3(6+33)=63+9,∴AB =AE -BE =9+63-1≈18.4米. 答:旗杆AB 的高度约为18.4米. 6.(2016·贺州)如图,是某市一座人行天桥的示意图,天桥离地面的高BC 是10米,坡面10米处有一建筑物HQ ,为了方便使行人推车过天桥,市政府部门决定降低坡度,使新坡面DC 的倾斜角∠BDC =30°,若新坡面下D 处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道,问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数.参考数据:2≈1.414,3≈1.732)(导学号 35694246)解:由题意得,AH =10米,BC =10米, 在Rt △ABC 中,∠CAB =45°, ∴AB =BC =10,在Rt △DBC 中,∠CDB =30°, ∴DB =BCtan ∠CDB=103,∴DH =AH -AD =AH -(DB -AB)=10-103+10=20-103≈2.7(米), ∵2.7米<3米,∴该建筑物需要拆除.7.(2017·鄂州)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度,他从食堂楼底M 处出发,向前走3米到达A 处,测得树顶端E 的仰角为30°,他又继续走下台阶到达C 处,测得树的顶端E 的仰角是60°,再继续向前走到大树底D 处,测得食堂楼顶N 的仰角为45°.已知A 点离地面的高度AB =2米,∠BCA =30°,且B 、C 、D 三点在同一直线上.(1)求树DE 的高度;(2)求食堂MN 的高度. 解:(1)如解图,设DE =x ,∵AB =DF =2,∴EF =DE -DF =x -2, ∵∠EAF =30°, ∴AF =EFtan ∠EAF =x -233=3(x -2),又∵CD =DE tan ∠DCE =x 3=33x ,BC =AB tan ∠ACB =233=23,∴BD =BC +CD =23+33x , 由AF =BD 可得3(x -2)=23+33x , 解得:x =6,∴树DE 的高度为6米;(2)延长NM 交DB 延长线于点P ,如解图,则AM =BP =3, 由(1)知CD =33x =33³6=23,BC =23, ∴PD =BP +BC +CD =3+23+23=3+43,∵∠NDP =45°,且MP =AB =2, ∴NP =PD =3+43,∴NM =NP -MP =3+43-2=1+43, ∴食堂MN 的高度为1+4 3 米.题型五 与圆有关的证明与计算类型一 与切线判定有关的证明与计算1.如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 分别与BC 、AC 交于点D 、E ,过点D 作DF ⊥AC 于点F.(1)求证:DF 是⊙O 的切线;(2)若⊙O 的半径为2,BC =22,求DF 的长. (导学号 35694247)(1)证明:连接OD ,如解图,∵OB =OD ,∴∠ABC =∠ODB , ∵AB =AC ,∴∠ABC =∠ACB , ∴OD ∥AC ,∵DF ⊥AC ,∴DF ⊥OD ,∴DF 是⊙O 的切线;(2)解:连接AD ,如解图, ∵AB 是⊙O 的直径, ∴AD ⊥BC ,又∵AB =AC ,∴BD =DC =2,∴AD =AB 2-BD 2=42-(2)2=14, ∵DF ⊥AC ,∴△ADC ∽△DFC ,∴AD DF =AC DC ,∴14DF =42,∴DF =72. 2.如图,在△ABC 中,以BC 为直径的⊙O 交AC 于点D ,∠ABD =∠ACB. (1)求证:AB 是⊙O 的切线;(2)若点E 是BC 上一点,已知BE =4,tan ∠AEB =53,AB ∶BC =2∶3,求⊙O 的直径.(1)证明:∵BC 是直径, ∴∠BDC =90°,∴∠ACB +∠DBC =90°,∵∠ABD =∠ACB , ∴∠ABD +∠DBC =90°, ∴∠ABC =90°, ∴AB ⊥BC , ∴AB 是⊙O 的切线;(2)解:在Rt △AEB 中,tan ∠AEB =53,∴AB BE =53,即AB =53BE =203, 在Rt △ABC 中,AB BC =23,∴BC =32AB =10,∴⊙O 的直径为10.3.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,点D 是BC ︵的中点,DE ⊥AC 于点E ,DF ⊥AB 于点F.(1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若OF =2,求AC 的长度.(导学号 35694248)(1)证明:如解图①,连接OD 、AD , ∵点D 是BC ︵的中点,∴BD ︵=CD ︵,∴∠DAO =∠DAC , ∵OA =OD ,∴∠DAO =∠ODA ,图①∴∠DAC =∠ODA ,∴OD ∥AE , ∵DE ⊥AE ,∴∠AED =90°, ∴∠AED =∠ODE =90°, ∴OD ⊥DE , ∴DE 是⊙O 的切线;图②(2)解:如解图②,连接BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵OD∥AE,∴∠DOB=∠EAB,∵∠DFO=∠ACB=90°,∴△DFO∽△BCA,∴OFAC=ODAB=12,即2AC=12,∴AC=4.4.(2017·张家界)在等腰△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O分别与AB,AC相交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)分别延长CB,FD,相交于点G,∠A=60°,⊙O的半径为6,求阴影部分的面积.(1)证明:连接OD,如解图所示,∵AC=BC,OB=OD,∴∠ABC=∠A,∠ABC=∠ODB,∴∠A=∠ODB,∴OD∥AC,∵DF⊥AC,∴DF⊥OD,∵OD是⊙O的半径,∴DF是⊙O的切线;(2)解:∵AC=BC,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∵OD=OB,∴△OBD是等边三角形,∴∠BOD =60°,∵DF ⊥OD ,∴∠ODG =90°,∴∠G =30°, ∴DG =3OD =63,∴S 阴影部分=S △ODG -S 扇形OBD =12³6³63-60π³62360=183-6π.5.(2017·安顺)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,OD ⊥BC 于点D ,过点C 作⊙O 的切线,交OD 的延长线于点E ,连接BE.(1)求证:BE 与⊙O 相切;(2)设OE 交⊙O 于点F ,若DF =1,BC =23,求阴影部分的面积.(1)证明:连接OC ,如解图, ∵CE 为切线,∴OC ⊥CE , ∴∠OCE =90°,∵OD ⊥BC ,∴CD =BD , 即OD 垂中平分BC , ∴EC =EB ,在△OCE 和△OBE 中,⎩⎨⎧OC =OB ,OE =OE ,EC =EB ,∴△OCE ≌△OBE ,∴∠OBE =∠OCE =90°, ∴OB ⊥BE ,∴BE 与⊙O 相切;(2)解:设⊙O 的半径为r ,则OD =r -1, 在Rt △OBD 中,BD =CD =12BC =3,∴(r -1)2+(3)2=r 2,解得r =2, ∵tan ∠BOD =BDOD =3,∴∠BOD =60°,∴∠BOC =2∠BOD =120°, 在Rt △OBE 中,BE =3OB =23, ∴S 阴影部分=S 四边形OBEC -S 扇形BOC =2S △OBE -S 扇形BOC=2³12³2³23-120π³22360=43-43π.类型二 与切线性质有关的证明与计算 1.(2017·绵阳)如图,已知AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为H ,与AC 平行的⊙O 的一条切线交CD 的延长线于点M ,交AB 的延长线于点E ,切点为F ,连接AF 交CD 于点N.(1)求证:CA =CN ;(2)连接OF ,若cos ∠DFA =45,AN =210,求⊙O 的直径的长度.(1)证明:连接OF ,则∠OAF =∠OFA ,如解图①所示, ∵ME 与⊙O 相切, ∴OF ⊥ME. ∵CD ⊥AB ,∴∠M +∠FOH =180°.∵∠BOF =∠OAF +∠OFA =2∠OAF ,∠FOH +∠BOF =180°, ∴∠M =2∠OAF. ∵ME ∥AC ,∴∠M =∠C =2∠OAF.∵CD ⊥AB ,∴∠ANC +∠OAF =∠BAC +∠C =90°, ∴∠ANC =90°-∠OAF ,∠BAC =90°-∠C =90°-2∠OAF , ∴∠CAN =∠OAF +∠BAC =90°-∠OAF =∠ANC , ∴CA =CN ;(2)解:连接OC ,如解图②所示. ∵cos ∠DFA =45,∠DFA =∠ACH , ∴CH AC =45. 设CH =4a ,则AC =5a ,AH =3a , ∵CA =CN ,∴NH =a ,∴AN =AH 2+NH 2=(3a )2+a 2=10a =210, ∴a =2,AH =3a =6,CH =4a =8. 设⊙O 的半径为r ,则OH =r -6,在Rt △OCH 中,OC =r ,CH =8,OH =r -6, ∴OC 2=CH 2+OH 2,r 2=82+(r -6)2, 解得:r =253,∴⊙O 的直径的长度为2r =503.2.(2017·大连)如图,AB 是⊙O 直径,点C 在⊙O 上,AD 平分∠CAB ,BD 是⊙O 的切线,AD 与BC 相交于点E.(1)求证:BD =BE ;(2)若DE =2,BD =5,求CE 的长. (导学号 35694249)(1)证明:设∠BAD =α,∵AD 平分∠BAC ,∴∠CAD =∠BAD =α,∵AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,∴∠ACB =90°, ∴∠ABC =90°-2α,∵BD 是⊙O 的切线,∴BD ⊥AB ,∴∠DBE =2α,∠BED =∠BAD +∠ABC =90°-α, ∴∠D =180°-∠DBE -∠BED =90°-α, ∴∠D =∠BED ,∴BD =BE ;(2)解:设AD 交⊙O 于点F ,CE =x ,则AC =2x ,连接BF ,如解图, ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠AFB =90°,∵BD =BE ,DE =2,∴FE =FD =1,∵BD =5,∴BF =2, ∵∠BAD +∠D =90°,∠D +∠FBD =90°, ∴∠FBD =∠BAD =α,∴tan α=FD BF =12,∴AB =BF sin α=255=25,在Rt △ABC 中,由勾股定理可知(2x)2+(x +5)2=(25)2, 解得x =-5(舍去)或x =355,∴CE =355.3.(2017·南京)如图,PA ,PB 是⊙O 的切线,A ,B 为切点,连接AO 并延长,交PB 的延长线于点C ,连接PO ,交⊙O 于点D.(1)求证:PO 平分∠APC ; (2)连接DB ,若∠C =30°,求证:DB ∥AC.证明:(1)如解图,连接OB , ∵PA ,PB 是⊙O 的切线, ∴OA ⊥AP ,OB ⊥BP , 又OA =OB ,∴PO 平分∠APC ;(2)∵OA ⊥AP ,OB ⊥BP , ∴∠CAP =∠OBP =90°,∵∠C =30°, ∴∠APC =90°-30°=60°, ∵PO 平分∠APC ,∴∠OPC =12∠APC =12³60°=30°,∴∠POB =90°-∠OPC =90°-30°=60°,又∵OD =OB ,∴△ODB 是等边三角形, ∴∠OBD =60°,∴∠DBP =∠OBP -∠OBD =90°-60°=30°, ∴∠DBP =∠C ,∴DB ∥AC.4.如图,直线l 经过点A(4,0),B(0,3).(1)求直线l 的函数表达式;(2)若圆M 的半径为2,圆心M 在y 轴上,当圆M 与直线l 相切时,求点M 的坐标.(1)∵A(4,0),B(0,3),∴直线l 的解析式为:y =-34x +3;(2)作MH ⊥AB ,垂足为H ,如解图所示, ∵M 在y 轴上,∴设M(0,t),2S △ABM =BM·AO =AB·MH , ∴|3-t|³4=5³2, 解得t 1=12,t 2=112,∴M 1(0,12),M 2(0,112).题型六 二次函数与几何图形综合题类型一 探究特殊三角形的存在性问题 1.(2017·乌鲁木齐)如图,抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)与直线y =x +1相交于A(-1,0),B(4,m)两点,且抛物线经过点C(5,0).(1)求抛物线的解析式;(2)点P 是抛物线上的一个动点(不与点A 、点B 重合),过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ,交直线AB 于点E.①当PE =2ED 时,求P 点坐标;②是否存在点P ,使△BEC 为等腰三角形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(导学号 35694250)解:(1)∵点B(4,m)在直线y =x +1上, ∴m =4+1=5,∴B(4,5),把A 、B 、C 三点坐标代入抛物线解析式可得 ⎩⎨⎧a -b +c =0,16a +4b +c =5,25a +5b +c =0, 解得⎩⎨⎧a =-1,b =4,c =5,∴抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5;(2)①设P(x ,-x 2+4x +5),则E(x ,x +1),D(x ,0),则PE =|-x 2+4x +5-(x +1)|=|-x 2+3x +4|,DE =|x +1|, ∵PE =2ED ,∴|-x 2+3x +4|=2|x +1|,当-x 2+3x +4=2(x +1)时,解得x =-1或x =2,但当x =-1时,P 与A 重合不合题意,舍去,∴P(2,9);当-x 2+3x +4=-2(x +1)时,解得x =-1或x =6,但当x =-1时,P 与A 重合,不合题意,舍去,∴P(6,-7);综上可知,P 点坐标为(2,9)或(6,-7);②点P 的坐标为(34,11916)或(4+13,-413-8)或(4-13,413-8)或(0,5)时,△BEC 为等腰三角形.2.(2017·阜新)如图,抛物线y =-x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A(-5,0),B(1,0)两点,与y 轴交于点C ,抛物线的对称轴与x 轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图①,点E(x ,y)为抛物线上一点,且-5<x<-2,过点E 作EF ∥x 轴,交抛物线的对称轴于点F ,作EH ⊥x 轴于点H ,得到矩形EHDF ,求矩形EHDF 周长的最大值;(3)如图②,点P 为抛物线对称轴上一点,是否存在点P ,使以点P ,A ,C 为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)把A(-5,0),B(1,0)代入y =-x 2+bx +c ,得到⎩⎨⎧-25-5b +c =0,-1+b +c =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =-4,c =5.∴抛物线的函数表达式为y =-x 2-4x +5;(2)如解图①,∵抛物线的对称轴为直线x =-2,E(x ,-x 2-4x +5), ∴EH =-x 2-4x +5, EF =-2-x ,∴矩形EFDH 的周长=2(EH +EF)=2(-x 2-5x +3)=-2(x +52)2+372,∵-2<0,∴x =-52时,矩形EHDF 的周长最大,最大值为372;(3) 如解图②,设P(-2,m),①当∠ACP =90°时, AC 2+PC 2=PA 2,∴(52)2+22+(m -5)2=32+m 2, 解得m =7, ∴P 1(-2,7).②当∠CAP =90°时, AC 2+PA 2=PC 2,∴(52)2+32+m 2=22+(m -5)2, 解得m =-3,∴P 2(-2,-3).③当∠APC =90°时,PA 2+PC 2=AC 2,∴32+m 2+22+(m -5)2=(52)2, 解得m =6或m =-1,∴P 3(-2,6),P 4(-2,-1),综上所述,满足条件的点P 坐标为(-2,7)或(-2,-3)或(-2,6)或(-2,-1). 3.(2017·重庆A )如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =33x 2-233x -3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,对称轴与x 轴交于点D ,点E(4,n)在抛物线上.(1)求直线AE 的解析式;(2)点P 为直线CE 下方抛物线上的一点,连接PC ,PE.当△PCE 的面积最大时,连接CD ,CB ,点K 是线段CB 的中点,点M 是CP 上的一点,点N 是CD 上的一点,求KM +MN +NK 的最小值;(3)点G 是线段CE 的中点,将抛物线y =33x 2-233x -3沿x 轴正方向平移得到抛物线y′,y ′经过点D ,y ′的顶点为点F.在新抛物线y′的对称轴上,是否存在点Q ,使得△FGQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)直线AE 的解析式为y =33x +33.(2)设直线CE 的解析式为y =mx -3, ∴直线CE 的解析式为y =233x - 3. 过点P 作PF ∥y 轴,交CE 于点F.如解图①, 设点P 的坐标为(x ,33x 2-233x -3), 则点F(x ,233x -3),则FP =-33x 2+433x.∴△EPC 的面积=-233x 2+833x.∴当x =2时,△EPC 的面积最大.∴P(2,-3).如解图②,作点K 关于CD 和CP 的对称点G 、H ,连接G 、H 交CD 和CP 于N 、M.∵K 是CB 的中点,∴K(32,32).∴tan ∠KCP =33.∵OD =1,OC =3, ∴tan ∠OCD =33. ∴∠OCD =∠KCP =30°. ∴∠KCD =30°.∵K 是BC 的中点,∠OCB =60°, ∴OC =CK.∴点O 与点K 关于CD 对称. ∴点G 与点O 重合. ∴点G(0,0).∵点H 与点K 关于CP 对称,∴点H 的坐标为(32,-332).∴KM +MN +NK =MH +MN +GN.当点G 、N 、M 、H 在一条直线上时,KM +MN +NK 有最小值,最小值=GH. ∴GH =(32)2+(332)2=3. ∴KM +MN +NK 的最小值为3.(3)点Q 的坐标为(3,-43+2213)或(3,-43-2213)或(3,23)或(3,-235).类型二 探究特殊四边形的存在性问题1.(2017·宜宾)如图,抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴分别交于A(-1,0),B(5,0)两点. (1)求抛物线的解析式;(2)在第二象限内取一点C ,作CD 垂直x 轴于点D ,连接AC ,且AD =5,CD =8,将Rt △ACD 沿x 轴向右平移m 个单位,当点C 落在抛物线上时,求m 的值;(3)在(2)的条件下,当点C 第一次落在抛物线上记为点E ,点P 是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q ,使以点B 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.(导学号 35694251)解:(1)抛物线的解析式为y =-x 2+4x +5; (2)∵AD =5,且OA =1,∴OD =6, 又∵CD =8,∴C(-6,8),设平移后的点C 的对应点为C′,则C′点的纵坐标为8,代入抛物线解析式可得8=-x 2+4x +5,解得x =1或x =3,∴C ′点的坐标为(1,8)或(3,8), ∵C(-6,8),∴当点C 落在抛物线上时,向右平移了7或9个单位,∴m 的值为7或9;(3)Q 点的坐标为(-2,-7)或(6,-7)或(4,5)时,以点B 、E 、P 、Q 四点为顶点的四边形为平行四边形.。

中考数学专题复习——规律探索(详细答案)

中考数学专题复习——规律探索(详细答案)

中考数学复习专题——规律探索一.选择题1. (2018·湖北随州·3 分)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如 1,3, 6,10…)和“正方形数”(如 1,4,9,1,在小于 200 的数中,设最大的“三角形数”为 m ,最大的 “正方形数”为 n ,则 m +n 的值为( )A .33B .301C .386D .5712.(2018•山东烟台市•3 分)如图所示,下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的,按此规律摆 下去,第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花,则 n 的值为( )3.(2018•山东济宁市•3 分)如图,小正方形是按一定规律摆放的,下面四个选项中的图片, 适合填补图中空白处的是( )A .B . B.C .D .4. (2018 湖南张家界 3.00 分)观察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256…, 则 2+22+23+24+25+…+21018 的末位数字是( )A .8B .6C .4D .0二、填空题 1. (2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3 分)如图,在平面直角坐标系中,△P 1OA 1,△P 2A 1A 2, △P3A2A3,…都是等2.(2018•江苏淮安•3 分)如图,在平面直角坐标系中,直线l为正比例函数y=x 的图象,点A1的坐标为(1,,过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1,以A1D1为边作正方形A1B1C1D1;过点C1作直线l的垂线,垂足为A2,交x 轴于点B2,以A2B2为边作正方形A2B2C2D2;过点C2作x 轴的垂线,垂足为A3,交直线l 于点D3,以A3D3为边作正方形A3B3C3D3,…,按此规律操作下所得到的正方形A n B n C n D n的面积是(92)n﹣1 .3.(2018•山东东营市•3分)如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3,…和B1,B2,B3,…分别在直线y=15x+b和x轴上.△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3B3,…都是等腰直角三角形.如果点A1(1,那么点A2018的纵坐标是20173()2.4.(2018•临安•3 分.)已知:2+23=22×23,3+38=32×38,4+415=42×415,5+524=52×524,…,若10+ba=102×ba符合前面式子的规律,则a+b= .5. (2018•广西桂林•3分)将从1开始的连续自然数按如图规律排列:规定位于第m行,第n列的自然记为6. (2018•广西南宁•3 分)观察下列等式:30=1,31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,…,根据其中规律可 得 30+31+32+…+32018 的结果的个位数字是 .7. (2018·黑龙江龙东地区·3 分)如图,已知等边△A BC 的边长是 2,以 B C 边上的高 AB 1 为边作等边三角 形,得到第一个等边△AB 1C 1;再以等边△AB 1C 1 的 B 1C 1边上的高 AB 2 为边作等边三角形,得到第二个等边△AB 2C 2;再以等边△A B 2C 2 的B 2C 2边上的高 A B 3 为边作等边三角形,得到第三个等边△AB 3C 3;…,记△B 1CB 2 的面积为 S 1,△B 2C 1B 3 的面积为 S 2,△B 3C 2B 4 的面积为 S 3,如此下去,则 S n = .8.(2018·黑龙江齐齐哈尔·3 分)在平面直角坐标系中,点 A (3,1)在射线 O M 上,点 B (3,3)在 射线 ON 上,以 AB 为直角边作 Rt △A BA 1,以 BA 1 为直角边作第二个 Rt △BA 1B 1,以A 1B 1 为直角边作第三个 Rt△A 1B 1A 2,…,依次规律,得到 R t △B 2017A 2018B 2018,则点 B 2018 的纵坐标为 . 9.(2018•广东•3 分)如图,已B 1 作 B 1A 2∥OA 1 交双曲线于点 A 2,过 A 2 作 A 2B 2∥A 1B 1 交 x 轴于点 B 2,得到第二个等边△B 1A 2B 2;过 B 2 作 B 2A 3∥B 1A 2 交双曲线于点 A 3,过 A 3 作 A 3B 3∥A 2B 2 交 x 轴于点 B 3,得到第三个等边△B 2A 3B 3;以此类推,…,则点 B 6 的坐标 为 ( ) .nn201810. (2018•广西北海•3 分)观察下列等式: 30 = 1, 31 = 3, 32 = 9 , 33 = 27 , 34 = 81, 35= 243,…,根据其中规律可得 01220183+3+3+...3+的结果的个位数字是 。

2018年中考数学真题分类汇编(第二期)专题10平面直角坐标系与点的坐标试题(含解析)

2018年中考数学真题分类汇编(第二期)专题10平面直角坐标系与点的坐标试题(含解析)

平面直角坐标系与点的坐标一.选择题1.(2018•山东东营市•3分)在平面直角坐标系中,若点P(m﹣2,m+1)在第二象限,则m 的取值范围是()A.m<﹣1 B.m>2 C.﹣1<m<2 D.m>﹣1【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数,纵坐标是正数列出不等式组求解即可.【解答】解:∵点P(m﹣2,m+1)在第二象限,∴,解得﹣1<m<2.故选:C.【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(﹣,+);第三象限(﹣,﹣);第四象限(+,﹣).2.(2018•山东聊城市•3分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA,OC分别在x轴和y轴上,并且OA=5,OC=3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转,使点A恰好落在BC 边上的A1处,则点C的对应点C1的坐标为()A.(﹣,) B.(﹣,) C.(﹣,)D.(﹣,)【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC1三边关系,再利用勾股定理得出答案.【解答】解:过点C1作C1N⊥x轴于点N,过点A1作A1M⊥x轴于点M,由题意可得:∠C1NO=∠A1MO=90°,∠1=∠2=∠3,则△A1OM∽△OC1N,∵OA=5,OC=3,∴OA1=5,A1M=3,∴OM=4,∴设NO=3x,则NC1=4x,OC1=3,则(3x)2+(4x)2=9,解得:x=±(负数舍去),则NO=,NC1=,故点C的对应点C1的坐标为:(﹣,).故选:A.【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识,正确得出△A1OM∽△OC1N是解题关键.3. (2018•乌鲁木齐•4分)在平面直角坐标系xOy中,将点N(﹣1,﹣2)绕点O旋转180°,得到的对应点的坐标是()A.(1,2)B.(﹣1,2)C.(﹣1,﹣2)D.(1,﹣2)【分析】根据题意可知点N旋转以后横纵坐标都互为相反数,从而可以解答本题.【解答】解:在平面直角坐标系xOy中,将点N(﹣1,﹣2)绕点O旋转180°,得到的对应点的坐标是(1,2),故选:A.【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转,解答本题的关键是明确题意,利用旋转的知识解答.4.(2018•金华、丽水•3分)小明为画一个零件的轴截面,以该轴截面底边所在的直线为x 轴,对称轴为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.若坐标轴的单位长度取1mm,则图中转折点P的坐标表示正确的是()A. (5,30)B. (8,10) C. (9,10) D. (10,10)【解析】【解答】解:因为点P在第一象限,点P到x轴的距离为:40-30=10,即纵坐标为10;点P到y轴的距离为,即横坐标为9,∴点P(9,10),故答案为:C。

2018年中考数学专题复习训练:尺规作图

2018年中考数学专题复习训练:尺规作图

中考复习训练尺规作图一、选择题1.下列关于画图的语句正确的是()A. 画直线AB=8cmB. 画射线OA=8cmC. 已知A,B,C三点,过这三点画一条直线D. 过直线AB外一点画一直线与AB平行2.下列各条件中,不能作出唯一三角形的是()A. 已知两边和夹角B. 已知两边和其中一边的对角C. 已知两角和夹边D. 已知三边3.如图,在CD上求一点P,使它到OA,OB的距离相等,则P点是()A. 线段CD的中点B. OA与OB的中垂线的交点C. OA与CD的中垂线的交点D. CD与∠AOB的平分线的交点4.如图,在▱ABCD中,AB>2BC,观察图中尺规作图的痕迹,则下列结论错误的是()A. BG平分∠ABCB. BE=BFC. AD=CHD. CH=DH5.如图,是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图,画图的原理是()A. 同位角相等,两直线平行B. 内错角相等,两直线平行C. 两直线平行,同位角相等D. 两直线平行,内错角相等6.用三角尺可以按照下面的方法画∠AOB的角平分线:在OA、OB上分别取点M、N,使OM=ON;再分别过点M、N画OA、OB的垂线,这两条垂线相交于点P,画射线OP(如图),则射线OP平分∠AOB,以上画角平分线时,用到的三角形全等的判定方法是()A. SSSB. SASC. HLD. ASA7. 用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形,作图痕迹如图所示,能得到四边形ABCD是菱形的依据是()A. 一组邻边相等的四边形是菱形B. 四边相等的四边形是菱形C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形8.如图,根据尺规作图的痕迹,判断下列说法不正确的是()A. AE、BF是△ABC的内角平分线B. CG也是△ABC的一条内角平分线C. 点O到△ABC三边的距离相等D. AO=BO=CO9.如图,已知△ABC中,AC=3,BC=5,AB=7,在△ABC所在平面内一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中有一个边长为3的等腰三角形,则这样的直线最多可画()A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条10.小明同学画角平分,作法如下:①以O为圆心,适当长为半径作弧,交两边于D、E②分别以C、D为圆心,相同的长度为半径作弧,两弧交于E,③则射线OE就是∠AOB的平分线.小明这样做的依据是()A. SASB. ASAC. AASD. SSS11.如图,∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合,过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC,这一做法用到三角形全等的判定方法是()A. SSSB. SASC. ASAD. HL12.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=32°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法:①AD是∠BAC的平分线;②CD是△ADC的高;③点D在AB的垂直平分线上;④∠ADC=61°.其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题13.利用直尺和圆规作出一个角的角平分线的作法,其理论依据是全等三角形判定方法________ .14.下列语句是有关几何作图的叙述.①以O为圆心作弧;②延长射线AB到点C;③作∠AOB ,使∠AOB=∠1;④作直线AB ,使AB=a;⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线.其中正确的有________15.已知一条线段作等边三角形,使其边长等于已知线段,则作图的依据是________.16.(2014•河南)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;②作直线MN交AB于点D,连接CD,若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB的度数为________.17.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于P,连接AP并延长交BC于点D,则∠ADB= ________18.已知△ABC,小明利用下述方法作出了△ABC的一条角平分线.小明的作法:(i)过点B作与AC平行的射线BM;(边AC与射线BM位于边BC的异侧)(ii)在射线BM上取一点D,使得BD=BA;(iii)连结AD,交BC于点E.线段AE即为所求.小明的作法所蕴含的数学道理为________.19. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程:已知:直线l和l外一点P.(如图1)求作:直线l的垂线,使它经过点P.作法:如图2(1)在直线l上任取两点A,B;(2)分别以点A,B为圆心,AP,BP长为半径作弧,两弧相交于点Q;(3)作直线PQ.所以直线PQ就是所求的垂线.请回答:该作图的依据是________20.如图,点D是直线l外一点,在l上去两点A、B,连接AD,分别以点B、D为圆心,AD、AB的长尾半径画弧,两弧交于点C,连接CD、BC,则四边形ABCD是平行四边形,理由是________.21. 如图所示,已知∠AOB=40°,现按照以下步骤作图:①在OA,OB上分别截取线段OD,OE,使OD=OE;②分别以D,E为圆心,以大于DE的长为半径画弧,在∠AOB内两弧交于点C;③作射线OC.则∠AOC的大小为________.三、解答题22.已知:在△ABC中,AB=AC.(1)尺规作图:作AD⊥BC于点D.(不要求写作法,保留作图痕迹)(2)延长AD至E点,使得DE=AD.求证:四边形ABEC是菱形.23.利用直尺或圆规画图(不写画法、保留作图痕迹,以答卷上的图为准)(1)利用图a中的网格,过P点画直线AB的平行线;(2)已知:如图b,线段a,b;请按下列步骤画图;①画线段BC,使得BC=a﹣b;②在直线BC外取一点A,使线段BA=a﹣b,画线段AB和射线AC.24. 如图,在▱ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心,大于BF的相同长为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则所得四边形ABEF是菱形.(Ⅰ)根据以上尺规作图的过程,求证:四边形ABEF是菱形;(Ⅱ)若菱形ABEF的周长为16,AE=4 ,求∠C的大小.参考答案一、选择题D B D D A C B D C D A C二、填空题13. SSS14.③⑤15.SSS16.105°17.125°18.等边对等角;两直线平行,内错角相等19.到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上(A、B都在线段PQ的垂直平分线上)20.两组对边分别相等的四边形是平行四边形21.20°三、解答题22.解:(1)如图所示:(2)证明:如图所示:∵AB=AC,AD⊥BC,∴CD=BD,∵AD=DE,∴四边形ABEC是平行四边形,又∵AD⊥BC,∴四边形ABEC是菱形.23.解:(1)如图a所示.(2)请按下列步骤画图:①画线段BC,使得BC=a﹣b;②在直线BC外任取一点A,使线段BA=a﹣b,画直线AB和射线AC.24.解:(Ⅰ)在△AEB和△AEF中,,∴△AEB≌△AEF,∴∠EAB=∠EAF,∵AD∥BC,∴∠EAF=∠AEB=∠EAB,∴BE=AB=AF.∵AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形,∵AB=BE,∴四边形ABEF是菱形;(Ⅱ)如图,连结BF,交AE于G.∵菱形ABEF的周长为16,AE=4 ,∴AB=BE=EF=AF=4,AG= AE=2 ,∠BAF=2∠BAE,AE⊥BF.在直角△ABG中,∵∠AGB=90°,∴cos∠BAG= = = ,∴∠BAG=30°,∴∠BAF=2∠BAE=60°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠C=∠BAF=60°.。

2018年中考数学专题训练—整式、分式的化简及求值(含答案)

2018年中考数学专题训练—整式、分式的化简及求值(含答案)

2018年中考数学专题复习—整式、分式的化简及求值一.解答题(共30小题)1.计算:(1)(x﹣y)2﹣(x﹣2y)(x+y)(2)÷(2x﹣)2.化简:(1)(a+b)2﹣(a+2b)(a﹣2b)﹣2a(a+3b)(2)(﹣)÷.3.化简下列各式(1)(a﹣b)2+(2a﹣b)(a﹣2b)(2).4.化简:(1)(2a+1)(1﹣2a)﹣(a﹣3)(a+2)+2(a+1)2 (2)(﹣)÷.(1)(a﹣2b)(a+2b)﹣(2a﹣b)2(2)(﹣)÷.6.化简:(1)(a+b)2+(a﹣b)(2a+b)﹣3a2;(2)(x+1﹣).7.化简:(1)a(2﹣a)+(a+1)(a﹣1)(2)﹣÷.8.化简:(1)a(1﹣a)+(a+1)2﹣1 (2)(﹣)÷.(1)(a+3b)2+a(a﹣6b);(2)÷(﹣a﹣b).10.化简下列各式:(1)(a+b)(a﹣2b)﹣(a﹣b)2(2).11.计算:(1)(2x﹣y)2+2x(2y﹣x)+(x﹣y)(x+y)(2)(﹣)÷.12.化简:(1)(a﹣2b)2﹣(2a+b)(b﹣2a)﹣4a(a﹣b)(2)÷(﹣a﹣b)13.化简下列各式:(1)(a﹣b)2﹣a(a﹣2b)+(2a+b)(2a﹣b)(2).14.计算:(1)x(x+2y)﹣(x﹣y)2+y2(2)(﹣x+3)÷.15.化简:(1)(x+2)2+(x+2)(x﹣2)﹣2(2x+1)(3﹣x)(2).16.(1)(a+b)(a﹣2b)﹣(a﹣b)2﹣b(a﹣b).(2).17.化简:(1)(2a+b)2﹣(5a+b)(a﹣b)+2(a﹣b)(a+b)(2)÷(﹣x﹣1)﹣.18.计算:(1)(x+1)2﹣x(1﹣x)﹣2x2;(2)(1﹣)÷.19.先化简,再求值:(﹣)÷(﹣),其中x=,y=1.20.先化简,再求值:÷(x﹣2﹣)﹣,其中x为方程5x+1=2(x﹣1)的解.21.先化简,再求值:(a﹣)÷﹣a2,其中a是方程2x2﹣2x﹣9=0的解.22.先化简,再求值:(a﹣)÷﹣a2,其中a是方程x2﹣x﹣3=0的解.23.先化简,再求值:﹣÷(﹣),其中x满足x2﹣2x+4=0.24.先化简,再求值,其中.25.化简求值:.26.先化简,再求值:÷(1+)﹣,其中x是不等式组的整数解.27.先化简,再求值:,其中a=2sin45°﹣tan30°,b=tan45°.28.先化简,再求值:÷(1﹣x+),其中x为方程(x﹣1)2=3(x﹣1)的解.29.先化简,再求值:,其中x是不等式组的整数解.30.先化简,再求值:,其中x,y满足.中考数学专题复习-整式、分式的化简及求值参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1.计算:(1)(x﹣y)2﹣(x﹣2y)(x+y)(2)÷(2x﹣)【分析】(1)根据平方差公式、多项式乘多项式法则进行计算;(2)根据分式混合运算法则进行计算.【解答】解:(1)(x﹣y)2﹣(x﹣2y)(x+y)=x2﹣2xy+y2﹣x2+xy+2y2=﹣xy+3y2;(2)÷(2x﹣)=×=.【点评】本题考查的是整式的混合运算、分式的混合运算,掌握平方差公式、多项式乘多项式法则、分式的混合运算法则是解题的关键.2.化简:(1)(a+b)2﹣(a+2b)(a﹣2b)﹣2a(a+3b)(2)(﹣)÷.【分析】(1)根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式可以对本题化简;(2)先化简括号内的式子,再根据分式的除法进行计算即可解答本题.【解答】解:(1)(a+b)2﹣(a+2b)(a﹣2b)﹣2a(a+3b)=a2+2ab+b2﹣a2+4b2﹣2a2﹣6ab=﹣2a2﹣4ab+5b2;(2)(﹣)÷====.【点评】本题考查分式的混合运算、整式的混合运算,解题的关键是明确它们各自的计算方法.3.化简下列各式(1)(a﹣b)2+(2a﹣b)(a﹣2b)(2).【分析】(1)利用乘法公式展开,然后合并同类项即可;(2)先把括号内通分后进行同分母的减法运算,再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算,然后约分即可.【解答】解:(1)原式=a2﹣2ab+b2+2a2﹣ab﹣4ab+2b2=3a2﹣7ab+3b2;(2)原式=、====.【点评】本题考查了分式的混合运算:分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序;先乘方,再乘除,然后加减,有括号的先算括号里面的.最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.也考查了整式的混合运算.4.化简:(1)(2a+1)(1﹣2a)﹣(a﹣3)(a+2)+2(a+1)2(2)(﹣)÷.【分析】(1)根据平方差公式、完全平方公式、多项式乘多项式法则化简即可.(2)先通分,除法转化为乘法,约分化简即可.【解答】解:(1)原式=1﹣4a2﹣(a2﹣a﹣6)+2(a2+2a+1)=1﹣4a2﹣a2+a+6+2a2+4a+2=﹣3a2+5a+9.(2)原式=•=.【点评】本题考查分式的混合运算、乘法公式等知识,解题的关键是熟练应用乘法公式,掌握分式混合运算法则,属于中考常考题型.5.化简:(1)(a﹣2b)(a+2b)﹣(2a﹣b)2(2)(﹣)÷.【分析】(1)根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题;(2)先化简括号内的式子,然后根据分式的除法可以解答本题.【解答】解:(1)(a﹣2b)(a+2b)﹣(2a﹣b)2=a2﹣4b2﹣4a2+4ab﹣b2=﹣3a2﹣5b2+4ab;(2)(﹣)÷====.【点评】本题考查分式的混合运算、完全平方公式、平方差公式,解题的关键是明确它们各自的计算方法.6.化简:(1)(a+b)2+(a﹣b)(2a+b)﹣3a2;(2)(x+1﹣).【分析】(1)先利用乘法公式展开,然后合并即可;(2)先把括号内通分和除法运算化为乘法运算,然后把分子分母因式分解后约分即可.【解答】解:(1)原式=a2+2ab+b2+2a2+ab﹣2ab﹣b2﹣3a2=ab;(2)原式=•=﹣•=﹣.【点评】本题考查了分式的混合运算:分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序;先乘方,再乘除,然后加减,有括号的先算括号里面的.(2)最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.也考查了整式的运算.7.化简:(1)a(2﹣a)+(a+1)(a﹣1)(2)﹣÷.【分析】(1)根据单项式乘以多项式和平方差公式可以化简本题;(2)根据分式的除法和减法可以化简本题.【解答】解:(1)a(2﹣a)+(a+1)(a﹣1)=2a﹣a2+a2﹣1=2a﹣1;(2)﹣÷===.【点评】本题考查分式的混合运算、单项式乘以多项式、平方差公式,解题的关键是明确它们各自的计算方法.8.化简:(1)a(1﹣a)+(a+1)2﹣1(2)(﹣)÷.【分析】(1)根据完全平方公式、单项式乘多项式法则最快化简即可.(2)先通分,除法转化为乘法,约分化简即可.【解答】解:(1)原式=a﹣a2+a2+2a+1﹣1=3a.(2)原式=•=•=【点评】本题考查分式的混合运算、乘法公式等知识,解题的关键是熟练应用乘法公式,掌握分式混合运算法则,属于中考常考题型.9.化简:(1)(a+3b)2+a(a﹣6b);(2)÷(﹣a﹣b).【分析】(1)先利用乘法公式展开,然后合并即可;(2)先把括号内通分,再把分子分母因式分解和除法转化为乘法运算,然后约分即可.【解答】解:(1)原式=a2+6ab+9b2+a2﹣6ab=2a2+9b2;(2)原式=÷=•=﹣.【点评】本题考查了分式的混合运算:分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序;先乘方,再乘除,然后加减,有括号的先算括号里面的.(2)最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.也考查了整式的运算.10.化简下列各式:(1)(a+b)(a﹣2b)﹣(a﹣b)2(2).【分析】(1)根据多项式乘以多项式、完全平方公式可以对原式进行化简;(2)先化简括号内的式子,然后根据分式的除法进行计算即可解答本题.【解答】解:(1)(a+b)(a﹣2b)﹣(a﹣b)2=a2﹣ab﹣2b2﹣a2+2ab﹣b2=ab﹣3b2;(2)=[﹣]÷=×===.【点评】本题考查分式的混合运算、多项式乘以多项式、完全平方公式,解题的关键是明确它们各自的计算方法.11.计算:(1)(2x﹣y)2+2x(2y﹣x)+(x﹣y)(x+y)(2)(﹣)÷.【分析】(1)根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则展开化简即可.(2)先括号内通分,除法转化为乘法,再约分化简即可.【解答】解:(1)原式=4x2﹣4xy+y2+4xy﹣2x2+x2﹣y2=3x2.(2)原式=•=﹣.【点评】本题考查分式的混合运算、乘法公式、整式的混合运算法则等知识解题的关键是正确应用乘法公式,掌握分式混合运算法则,属于中考常考题型.12.化简:(1)(a﹣2b)2﹣(2a+b)(b﹣2a)﹣4a(a﹣b)(2)÷(﹣a﹣b)【分析】(1)原式利用完全平方公式,平方差公式,以及单项式乘以多项式法则计算,去括号合并即可得到结果;(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分即可得到结果.【解答】解:(1)原式=a2﹣4ab+4b2﹣b2+4a2﹣4a2+4ab=a2+3b2;(2)原式=÷=•=.【点评】此题考查了分式的混合运算,以及整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.13.化简下列各式:(1)(a﹣b)2﹣a(a﹣2b)+(2a+b)(2a﹣b)(2).【分析】(1)根据完全平方公式和单项式乘以多项式、平方差公式将原式展开,然后再合并同类项即可解答本题;(2)先化简括号内的式子,再根据分式的除法即可解答本题.【解答】解:(1)(a﹣b)2﹣a(a﹣2b)+(2a+b)(2a﹣b)=a2﹣2ab+b2﹣a2+2ab+4a2﹣b2=4a2;(2)====.【点评】本题考查分式的混合运算、整式的混合运算,解题的关键是明确它们各自的计算方法.14.计算:(1)x(x+2y)﹣(x﹣y)2+y2(2)(﹣x+3)÷.【分析】(1)先去括号,再合并同类项即可解答本题;(2)先化简括号内的式子,再根据分式的除法即可解答本题.【解答】解:(1)x(x+2y)﹣(x﹣y)2+y2=x2+2xy﹣x2+2xy﹣y2+y2=4xy;(2)(﹣x+3)÷====.【点评】本题考查分式的混合运算、单项式乘多项式、完全平方公式,解题的关键是明确它们各自的计算方法.15.)化简:(1)(x+2)2+(x+2)(x﹣2)﹣2(2x+1)(3﹣x)(2).【分析】(1)原式利用完全平方公式,平方差公式,以及多项式乘多项式法则计算,去括号合并即可得到结果;(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分即可得到结果.【解答】解:(1)原式=x2+4x+4+x2﹣4﹣12x+4x2﹣6+2x=6x2﹣6x﹣6;(2)原式=•=•=﹣.【点评】此题考查了分式的混合运算,以及整式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.16.(1)(a+b)(a﹣2b)﹣(a﹣b)2﹣b(a﹣b).(2).【分析】(1)根据完全平方公式、多项式乘多项式法则化简即可.(2)先通分,除法转化为乘法,约分化简即可.【解答】解:(1)原式=a2﹣2ab+ab﹣2b2﹣a2+2ab﹣b2﹣ab+b2=ab﹣2b2.(2)原式=•=•=﹣1.【点评】本题考查分式的混合运算、乘法公式等知识,解题的关键是熟练应用乘法公式,掌握分式混合运算法则,属于中考常考题型.17.化简:(1)(2a+b)2﹣(5a+b)(a﹣b)+2(a﹣b)(a+b)(2)÷(﹣x﹣1)﹣.【分析】(1)先去括号,再合并同类项即可;(2)先算括号里面的,再算除法,最后算减法即可.【解答】解:(1)原式=4a2+b2+4ab﹣(5a2﹣5ab+ab﹣b2)﹣2(a2﹣b2)=4a2+b2+4ab﹣5a2+4ab+b2﹣2a2+2b2=4b2+4ab﹣3a2;(2)原式=÷﹣=•﹣=﹣﹣==﹣.【点评】本题考查的是分式的混合运算,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.18.计算:(1)(x+1)2﹣x(1﹣x)﹣2x2;(2)(1﹣)÷.【分析】(1)根据平方差公式、完全平方公式、多项式乘多项式法则最快化简即可.(2)先通分,除法转化为乘法,约分化简即可.【解答】解:(1)原式=x2+2x+1﹣x+x2﹣2x2=x+1;(2)原式=•=.【点评】本题考查分式的混合运算、乘法公式等知识,解题的关键是熟练应用乘法公式,掌握分式混合运算法则,属于中考常考题型.19.先化简,再求值:(﹣)÷(﹣),其中x=,y=1.【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把x=,y=1代入进行计算即可.【解答】解:原式=[﹣][﹣]=•=•=﹣,当x=,y=1是,原式=﹣=2﹣3.【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.20.先化简,再求值:÷(x﹣2﹣)﹣,其中x为方程5x+1=2(x﹣1)的解.【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再求出x的值,代入原式进行计算即可.【解答】解:原式=÷﹣=•﹣=﹣=﹣,由方程5x+1=2(x﹣1),解得:x=﹣1,∴当x=﹣1时,原式=﹣=.【点评】本题主要考查分式的化简求值及解方程的能力,熟练运用分式的运算法则与分式的性质化简原式是解题的关键.21.先化简,再求值:(a﹣)÷﹣a2,其中a是方程2x2﹣2x﹣9=0的解.【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分后合并得到最简结果,把x=a代入方程【解答】解:原式=•﹣a2=﹣(a2﹣a),把x=a代入已知方程得:2a2﹣2a﹣9=0,即a2﹣a=,则原式=﹣.【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.22.先化简,再求值:(a﹣)÷﹣a2,其中a是方程x2﹣x﹣3=0的解.【分析】先对原式化简,再根据a是方程x2﹣x﹣3=0的解,可以求得出a的值,代入化简后的式子即可解答本题.【解答】解:(a﹣)÷﹣a2==﹣a2=﹣a2=a﹣a2,∵x2﹣x﹣3=0,解得,x==,∵a是方程x2﹣x﹣3=0的解,∴a=,∴当a=时,原式==﹣3,当a=时,原式==﹣3,即原式=﹣3.【点评】本题考查分式的化简求值,解题的关键是明确分式的化简求值的方法.23.先化简,再求值:﹣÷(﹣),其中x满足x2﹣2x+4=0.【分析】原式括号中第两项中括号第二项变形后,利用同分母分式的加法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果,求出x的值代入计算即可求出值.【解答】解:原式=﹣=﹣=,由x2﹣2x+4=0,得到x2﹣2x=﹣4,则原式=﹣.【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.24.先化简,再求值,其中.【分析】先算除法,再算减法,最后把x的值代入进行计算即可.【解答】解:原式=﹣•=﹣==,当x=﹣1时,原式==1.【点评】本题考查的是分式的化简求值,在解答此类题目时要注意把分式化为最简形式,再代入求值.25.化简求值:.【分析】先算括号里面的,再算除法,最后把x、y的值代入进行计算即可.【解答】解:原式=x2••=x2••=﹣.当x=1+,y=1﹣时,原式=﹣3﹣2.【点评】本题考查的是分式的化简求值,分式求值题中比较多的题型主要有三种:转化已知条件后整体代入求值;转化所求问题后将条件整体代入求值;既要转化条件,也要转化问题,然后再代入求值.26.先化简,再求值:÷(1+)﹣,其中x是不等式组的整数解.【分析】先对题目中的分式进行约分化简,然后根据x是不等式组的整数解,求出x的值,代入化简后的式子即可解答本题.【解答】解:÷(1+)﹣====,解不等式组得,1≤x<3,∵x是不等式组的整数解,∴x=1或x=2,∴当x=1时,原式=﹣1;当x=2时,原式无意义.【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.27.先化简,再求值:,其中a=2sin45°﹣tan30°,b=tan45°.【分析】先利用分式混合运算的法则化简,然后求出a、b的值代入即可.【解答】解:原式=÷=•=.∵a=2sin45°﹣tan30°=﹣1,b=tan45°=1∴原式===.【点评】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值,需要熟练掌握分式的混合运算法则,注意运算顺序先括号后乘除最后加减有乘方的先计算乘方,属于中考常考题型.28.先化简,再求值:÷(1﹣x+),其中x为方程(x﹣1)2=3(x﹣1)的解.【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再根据x为方程(x﹣1)2=3(x﹣1)的解求出x的值,代入原式进行计算即可.【解答】解:原式=÷=÷=•=﹣∵x为方程(x﹣1)2=3(x﹣1)的解,∴x1=1,x2=4,∵当x=1时原式无意义,∴当x=4时,原式=﹣.【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.29.先化简,再求值:,其中x是不等式组的整数解.【分析】先把除法转化成乘法,再利用乘法的分配律进行化简,然后解不等式组,求出不等式组的整数解,再把所得的结果代入即可.【解答】解:=×﹣×=1﹣=,∵,由①得:x≤2,由②得:x>﹣,∴原不等式组的解集是:﹣<x≤2∴原不等式组的整数解是:﹣1,0,1,2,又∵(x﹣1)(x+1)x≠0∴x≠±1且x≠0∴x=2,∴原式==.【点评】此题考查了分式的化简求值、一元一次不等式组,在化简时要注意简便方法的运用和结果的符号,注意分式有意义的条件.30.先化简,再求值:,其中x,y满足.【分析】原式括号中通分并利用同分母分式的减法法则计算,利用除法法则变形,约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果,求出方程组的解得到x与y的值,代入计算即可求出值.【解答】解:原式=+÷=+•==,解方程组得:,代入上式得:原式=.【点评】此题考查了分式的化简求值,以及解二元一次方程组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.。

2018年中考数学总复习经典(几何)试题(含答案)

2018年中考数学总复习经典(几何)试题(含答案)

中考数学总复习经典题(几何)(二)几何试题1、 如图,正方形ABCD 的边长为2,点E 在AB 边上.四边形EFGB 也为正方形,设△AFC 的面积为S ,则 ( )A .S=2B .S=2.4C .S=4D .S 与BE 长度有关2、正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图4所示,点G 在线段DK 上,正方形BEFG 的边长为4,则DEK △的面积为: (A)10 (B)12 (C)14 (D)163、如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm ,点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,2EF BE =,则AFC S =△ 2cm .4、 如图,在△ABC 中, ο70=∠CAB . 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△//C AB 的位置, 使得AB CC ///, 则=∠/BAB ( )A. ο30 B. ο35 C. ο40 D. ο50 5、如图,1P 是一块半径为1的半圆形纸板,在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆1的半径)得图形34,,,,n P P P L L ,记纸板n P 的面积为n S , 试计算求出2S = ;3S = ;并猜想得到1n n S S --= ()2n ≥。

6、如图,在四边形ABCD 中,P 是对角线BD 的中点,E F ,分别是AB CD ,的中点,18AD BC PEF =∠=o ,,则PFE ∠的度数是 .(第16题)CFD BE A P (第6题)ADCEF GB 3题图 D ABRP F CGK图4E8题10题 12题7、如图,点G 是ABC △的重心,CG 的延长线交AB 于D ,5cm GA =,4cm GC =,3cm GB =,将ADG △绕点D 旋转180o得到BDE △,则DE = cm ,ABC △的面积= cm 2.8、如图,已知梯形ABCD ,AD BC ∥,4AD DC ==,8BC =,点N 在BC 上,2CN =,E 是AB 中点,在AC 上找一点M 使EM MN +的值最小,此时其最小值一定等于( ) A .6B .8C .4D .439、将一副直角三角板按图示方法放置(直角顶点重合),则AOB DOC ∠+∠= o.10、已知:如图,在正方形ABCD 外取一点E ,连接AE 、BE 、DE .过点A 作AE 的垂线交DE 于点P .若AE=AP =1,PB = 5 .下列结论:①△APD ≌△AEB ;②点B 到直线AE 的距离为 2 ;③EB ⊥ED ;④S △APD +S △APB =1+ 6 ;⑤S 正方形ABCD =4+ 6 .其中正确结论的序号是()A .①③④B .①②⑤C .③④⑤D .①③⑤11、如图,直角梯形ABCD 中,∠BCD =90°,AD ∥BC ,BC =CD ,E 为梯形内一点,且∠BEC =90°,将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合,得到△DCF ,连EF 交CD 于M .已知BC =5,CF =3,则DM:MC 的值为 ( ) A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:412、如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,AD=2,将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ,AE 、DE ,△ADE 的面积为3,则BC 的长为 . 13、如图,四边形OABC 为菱形,点B 、C 在以点O 为为圆心的上,若OA = 3,∠1 = ∠2,则扇形OEF 的面积为_________.14、 如图,点P 是∠AOB 的角平分线上一点,过点P 作PC ∥OA 交OB 于点C.若∠AOB = 60o,OC = 4,则点P 到OA 的距离PD 等于__________. 15、如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=°,3BC =,4AC =,AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ,则CE 的长为( )A .32 B .76 C .256D .2B AC D O P (第14题) AD B EC (第15题) ABE G CD(第7题)C D AO B30°45°A D EM(第11题(第13题)O A B C F 1 2 E E D(第20题)16、如图,⊙P 内含于⊙O ,⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ,且OP AB //.若阴影部分的面积为π9,则弦AB 的长为( )A .3B .4C .6D .917、如图,等腰△ABC 中,底边a BC =,︒=∠36A ,ABC ∠的平分线交AC 于D ,BCD ∠的平分线交BD 于E ,设215-=k ,则=DE ( )A .a k 2B .a k 3C .2k aD .3ka18、如图,在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点,要使四边形EFGH 是菱形,四边形ABCD 还应满足的一个条件是19、如图,把矩形纸条ABCD 沿EF 、GH 同时折叠,B 、C 两点恰好落在AD 边的P 点处,若∠FPH=90°,PF=8,PH=6,则矩形ABCD 的边BC 长为 . 20、.梯形ABCD 中AB ∥CD ,∠ADC +∠BCD =90°,以AD 、AB 、BC 为斜边向形外作等腰直角三角形,其面积分别是S 1、S 2、S 3 ,且S 1 +S 3 =4S 2,则CD =( )A. 2.5ABB. 3ABC. 3.5ABD. 4AB21、如图,在□ABCD 中,AB =3,AD =4,∠ABC =60°,过BC 的中点E 作EF ⊥AB ,垂足为点F ,与DC 的延长线相交于点H ,则△DEF 的面积是 .22、如图,已知a ∥b ,∠1=70°,∠2=40°,则∠3= __________。

2018中考数学专题复习 第十三讲二次函数的应用(共69张PPT)

2018中考数学专题复习 第十三讲二次函数的应用(共69张PPT)

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考点二 利用二次函数解决最优化问题 【示范题2】(2017·济宁中考)某商店经销一种学生 用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场 调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价 x(元)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).设这种双肩 包每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式. (2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利 润最大?最大利润是多少元? (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于 42元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售 利润,销售单价应定为多少元?
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- 1 m2+18m+40000=1 - (m-225)2+42025,
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所以当m=225时,w最大=42025.
答:该酒店将豪华间的价格上涨225元时,豪华间的日总收入
最高,最高日总收入是42025元.
(2017·鄂州中考)鄂州某个体商户购进某种电子产品 的进价是50元/个,根据市场调研发现售价是80元/个 时,每周可卖出160个.若销售单价每降低2元,则每周 可多卖出20个.设销售价格每个降低x元(x为偶数),每 周销售量为y个.
(2)w=-x2+90x-1800=-(x-45)2+225. ∵-1<0,∴当x=45时,w有最大值.w的最大值为225. 答:销售单价定为45元时,每天销售利润最大,最大销售 利润为225元.
(3)当w=200时,可得方程-(x-45)2+225=200, 解得x1=40,x2=50. ∵50>42,∴x2=50不符合题意,应舍去. 答:该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利 润,销售单价应定为40元.

2018 初三中考数学复习 平行线的证明 专题复习练习 含答案

2018 初三中考数学复习  平行线的证明   专题复习练习 含答案

2018 初三中考数学复习平行线的证明专题复习练习1. 下列说法正确的是( D )A.经验、观察或试验完全可以判断一个数学结论的正确与否B.推理是科学家的事,与我们没有多大的关系C.对于自然数n,n2+n+37一定是质数D.有10个苹果,将它放进9个筐中,则至少有一个筐中的苹果不少于2个2. “两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等”这句话是( C )A.定义 B.假命题 C.公理 D.定理3. 下列语句中,是命题的是( C )A.直线AB和CD垂直吗B.过线段AB的中点C画AB的垂线C.同旁内角不互补,两直线不平行D.连接A,B两点4.如图,AB∥CD,CB⊥DB,∠D=65°,则∠ABC的大小是( A ) A.25°B.35°C.50°D.65°5.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2等于( B )A.90°B.100°C.130°D.180°6.如图,已知△ABC中,点D在AC上,延长BC至E,连接DE,则下列结论不成立的是( A )A .∠DCE>∠ADB B .∠ADB>∠DBCC .∠ADB>∠ACBD .∠ADB>∠DEC7.如图,AB ∥CD ,直线EF 交AB 于点E ,交CD 于点F ,EG 平分∠BEF ,交CD 于点G ,∠1=50°,则∠2等于( C )A .50°B .60°C .65°D .90°8.如图,已知直线AB ∥CD ,BE 平分∠ABC ,且BE 交CD 于点D ,∠CDE =150°,则∠C 的度数为( C )A .150°B .130°C .120°D .100°9.如图,直线a ∥b ,∠A =38°,∠1=46°,则∠ACB 的度数是( C )A .84°B .106°C .96°D .104°10.适合条件∠A =12∠B =13∠C 的三角形ABC 是( B )A .锐角三角形 B. 直角三角形 C .钝角三角形 D .都有可能11.如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC 纸片,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,将△ABC 沿着DE 折叠压平,A 与A ′重合.若∠A =75°,则∠1+∠2等于( A )A.150° B. 210°C.105°D.75°12.已知直线l1∥l2,一块含30°角的直角三角板如图所示放置,∠1=25°,则∠2等于( B )A.30° B. 35°C.40°D.45°13.如图,DAE是一条直线,DE∥BC,则x=__64°__.14.如图,已知AB∥CD,∠DEF=50°,∠D=80°,∠B的度数是__50°__.15.如图,已知∠A=∠F=40°,∠C=∠D=70°,则∠ABD=__70°__,∠CED=__110°__.16.已知如图,在△ABC中,D为BC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠DAC =100°,则∠BAC=__120°__.17.用等腰直角三角板画∠AOB=45°,并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°,则三角板的斜边与射线OA的夹角α为__22°__.18.已知等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰三角形的顶角为__50°或130°__.19.如图所示,AB=BC=CD=DE=EF=FG,∠1=130°,则∠A=__10__度.20.如图,∠C=∠1,∠2和∠D互余,BE⊥FD,求证:AB∥CD.解:∵∠C=∠1,∴CF∥BE,又BE⊥FD,∴CF⊥FD,∴∠CFD=90°,则∠2+∠BFD=90°,又∠2+∠D=90°,∴∠D=∠BFD,则AB∥CD21.一天,爸爸带着小刚到建筑工地去玩,看见有如图所示的人字架,爸爸说:“小刚,我考考你,这个人字架的夹角∠1等于130°,你能求出∠3比∠2大多少吗?”小刚马上得到了正确答案,他的答案是多少?请说明理由.解:50°,因为∠1=130°,所以与∠1相邻的内角为50°,所以∠3-∠2=50°22.如图,点A,C,B,D在同一条直线上,BE∥DF,∠A=∠F,AB=FD,求证:AE=FC.解:∵BE∥DF,∴∠ABE=∠D,又AB=FD,∠A=∠F,∴△ABE≌△FDC(ASA),∴AE=FC23.如图,△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=∠ACB,又∠BDC=∠BCD,且∠1=∠2,求∠3的度数.解:由∠BAC=90°,∠ABC=∠ACB易求∠ACB=45°,设∠1=x,可得∠BCD=∠2+45°=x+45°=∠3,∴x+(x+45°)+(x+45°)=180°,x=30,则∠3=x+45°=75°24.如图,△ABC中,D,E,F分别为三边BC,BA,AC上的点,∠B=∠DEB,∠C=∠DFC.若∠A=70°,求∠EDF的度数.解:∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B+∠C=110°,∵∠B=∠DEB,∠C=∠DFC ,∴∠B +∠DEB +∠C +∠DFC =220°,∵∠B +∠DEB +∠C +∠DFC +∠EDB +∠FDC =360°,∴∠EDB +∠FDC =140°,即∠EDF =180°-140°=40°25.如图,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B ,试判断∠AED 与∠C 的大小关系,并对结论进行证明.解:∠AED =∠C.∵∠1+∠2=180°,∠1+∠EFD =180°,∴∠2=∠EFD ,∴AB ∥EF ,∴∠3=∠ADE ,又∵∠3=∠B ,∴∠ADE =∠B ,∴DE ∥BC ,∴∠AED =∠C26.【问题】如图①,在△ABC 中,BE 平分∠ABC ,CE 平分∠ACB ,若∠A =80°,则∠BEC =__130°__;若∠A =n °,则∠BEC =__90°+12n °__.【探究】(1)如图②,在△ABC 中,BD ,BE 三等分∠ABC ,CD ,CE 三等分∠ACB.若∠A =n °,则∠BEC =__60°+23n °__;(2)如图③,O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点,试分析∠BOC和∠A 有怎样的关系?请说明理由;(3)如图④,O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线BO 和CO 的交点,则∠BOC 与∠A 有怎样的关系?(只写结论,不需证明)解:(2)∠BOC =12∠A.理由:∠BOC =∠2-∠1=12∠ACD -12∠ABC =12(∠ACD-∠ABC)=12∠A(3)∠BOC =90°-12∠A。

2018年全国中考数学真题江苏徐州中考数学(解析版-精品文档)

2018年全国中考数学真题江苏徐州中考数学(解析版-精品文档)

2018年江苏省徐州市初中毕业、升学考试数学学科满分:140分一、选择题(本大题共有8小题,每小题3分,共24分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置)1.(2018江苏徐州,1,3分)4的相反数是A.14 B.14- C.4 D.-4【答案】D2.(2018江苏徐州,2,3分)下列计算正确的是A.2221a a-=B.22()ab ab=C.235a a a+=D.236()a a=3.(2018江苏徐州,3,3分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是A.B.C.D.【答案】A4.(2018江苏徐州,4,3分)右图是由5个相同的正方体搭成的几何体,其左视图是A.B.C.D.【答案】D5.(2018江苏徐州,5,3分)抛掷一枚质地均匀的硬币,若前3次都是正面朝上,则第4次正面朝上的概率A.小于12B.等于12C.大于12D.无法确定【答案】A6.(2018江苏徐州,6,3分)某市从不同学校随机抽取100名初中生,对“学校统一使用数学教辅用书的册数”进行调查,统计结果如下:册数0 1 2 3人数13352923关于这组数据,下列说法正确的是A.众数是2册B.中位数是2册C.极差是2册D.平均数是2册【答案】B7.(2018江苏徐州,7,3分)如图,在平面直角坐标系中,函数y kx=与2yx=-的图象交于A、B两点,过A作y轴的垂线,交函数4yx=的图象于点C.连接BC,则△ABC的面积为A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C8.(2018江苏徐州,8,3分)若函数y kx b=+的图象如图所示,则关于x的不等式20kx b+<的解集为A.3x<B.3x>C.6x<D.6x>【答案】D二、填空题9.(2018江苏徐州,9,3分)五边形的内角和为 .【答案】540°10.(2018江苏徐州,10,3分)我国自主研发的某型号手机处理器采用10nm工艺,已知1nm=0.000 000 001m,则10nm用科学计数法可表示为 .【答案】1×10-8nm11.(2018江苏徐州,11,3分)化简:32-= .【答案】2-312.(2018江苏徐州,12,3分)若2x-在实数范围内有意义,则x的取值范围是 .【答案】x≥213.(2018江苏徐州,13,3分)若2m+n=4,则代数式6-2m-n的值为 .【答案】214.(2018江苏徐州,14,3分)若菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm,则其面积为cm2. 【答案】2415.(2018江苏徐州,15,3分)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,若∠C=55°,则∠ABD= .【答案】35°16.(2018江苏徐州,16,3分)如图,扇形的半径为6,圆心角θ为120°,用这个扇形围成一个圆锥的侧面,所得圆锥的底面半径为 .【答案】217.(2018江苏徐州,17,3分)如图,每个图案均有边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成,照此规律,第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个(用含n的代数式表示).【答案】4n+318.(2018江苏徐州,18,3分)如图,AB为⊙O的直径,AB=4,C为半圆AB的中点.P为AC上一动点,延长BP至点Q,使BP•BQ=AB2.若点P由A运动到C,则点Q的运动路径长为 .【答案】419.(2018•徐州,19①,5)计算:(1)2013112018()82--+-+;(2)2222a b a ba b a b-+÷--.【解答过程】原式=-1+1-2+2=019.(2018•徐州,19②,5)计算:(2)2222a b a ba b a b-+÷--.【解答过程】原式=()()22a b a b a ba b a b+--⨯-+=22a b-20.(2018•徐州,20①,5)解方程:2210x x-+=;【解答过程】解:把方程左边因式分解得:(2x+1)(x-1)=0,∴x1=12-,x2=1.20.(2018•徐州,20①,5)解不等式组:4281136x xx x>-⎧⎪-+⎨≤⎪⎩.【解答过程】解不等式4x>2x-8,可得x>-4,解不等式1136x x-+≤,得3x≤,所以不等式组的解集为:43x-<≤.21.(2018•徐州,21,7分)不透明的袋中装有1上红球与2个白球,这些球除颜色外都相同,将其搅匀.(1)从中摸出1个球,恰为红球的概率等于;(2)从中同时摸出2个球,摸到红球的概率是多少?(用树状图或列表的方法写出分析过程)【解答过程】(1)13;(2)列表如下:红球白球1 白球2红球白球1 +红球白球2+红球白球1 红球+白球1 白球2+白球1 白球2 红球+白球2 白球1 +白球2一共有6种等可能事件,摸到红球的情况有4种,所以(42 63P==摸到红球).22.(2018•徐州,22,7分)在”书香校园“活动中,某校为了解学生家庭藏书情况,随机抽取本校部分学生进行调查,并绘制成部分统计图表如下:家庭藏书情况统计表类别家庭藏书情况统计表学生人数A 0≤m≤25 20B 26≤m≤100 aC 101≤m≤200 50D m≥201 66根据以下信息,解答下列问题:(1)该样本容量为,a=;(2)在扇形统计图中,“A”对应的扇形的圆心角为;(3)若该校有2000名学生,请估计全校学生中家庭藏书200本以上的人数.【解答过程】(1)200,64;(2)36(3)662000200⨯=660(名)答:家庭藏书200本以上的人数为660名.23.(2018•徐州,23,8分)如图,在矩形ABCD中,AD=4,点E在边AD上,连接CE,以CE为边向右上方作正方形CEFG,作FH⊥AD,垂足为H,连接AF.(1)求证:FH=ED;(2)当AE为何值时,△AEF的面积最大?【解答过程】(1)∵四边形CGFE 是正方形, ∴EF =CE ,∠EFC =90°, ∴∠FEH +∠CED =90°, ∵FH ⊥AD∴∠FEH +∠EFH =90°, ∴∠EFH =∠CED , 在△FEH 和△ECD 中,EFH CED FHE EDC EF EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△FEH ≌△ECD , ∴FH =ED .(2)设AE =x ,由(1)可得:FH =DE =(4-x ), ∴2111(4)2222AEF S AE FH x x x x ∆=⨯=-=-+, ∵ 102-<,∴当x =212()2-⨯-=2时, △AEF 的面积最大.24.(2018•徐州,24,8分)徐州至北京的高铁里程约为700km ,甲、乙两人从徐州出发,分别乘坐“徐州号”高铁与“复兴号”高铁B 前往北京.已知A 车的平均速度比B 车的平均速度慢80km /n ,A 车的行驶时间比B 车的行驶时间多40%,两车的行驶时间分别为多少?【解答过程】设B 车行驶的时间为x 小时间,则A 车行驶的时间为(1+40%)x 小时, 根据题意:70070080(140%)x x+=+,解得:x =2.5,经检验x =2.5是分式方程的解. (1+40%)x =3.5小时.答两车行驶时间分别为3.5小时和2.5小时.25.(2018•徐州,25,8分)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O外,∠ABC的平分线与⊙O交于点D,∠C=90°.(1)CD与⊙O有怎么的位置关系?请说明理由;(2)若∠CDB=60°,AB=6,求AD的长.【解答过程】解:(1)连接OD,则OD=OB,∴∠2=∠3,∵BD平分∠ABC,∴∠2=∠1,∴∠1=∠3,∴OD∥BC,321CDOA∵∠C=90°,∴BC⊥CD,∴OD⊥CD,∴CD是⊙O的切线.(2)∵∠CDB=60°,∠C=90°,∴∠2=∠1=∠3=30°,∴∠AOD=∠2+∠3=30°+30°=60°,∵AB=6,∴OA=3,∴603180ADππ=⨯⨯=.26.(2018•徐州,26,8分)如图,1号数在2号楼的南侧,两楼的高度均为90m,楼间距为AB.冬至日正午,太阳光线与水平面所成的角为32.3°,1号数在2号楼墙面上的影高为CA;春分日正午,太阳光线与水平面所成的角为55.7°,1号数在2号楼墙面上的影高为DA.已知CD=42m.(1)求楼间距AB;(2)若2号楼共有30层,层高均为3m,则点C位于第几层?(参考数据:sin32.3°≈0.53,cos32.3°≈0.85,tan32.3°≈0.63,sin55.7°≈0.83,cos55.7°≈0.56,tan55.7°≈1.47).【解答过程】解:(1)过点C,D分别作CE⊥PB,DF⊥PB,垂足分别为E,F.则有AB=CE=DF,EF=CD=42.2号楼1号楼FEDCP由题意可知:∠PCE=32.3°,∠PDF=55.7°,在Rt△PCE中,PE=CE⨯tan32.3°=0.63CE;在Rt△PDF中,PF=CE⨯tan55.7°=1.47CE;∵PF-PE=EF,∴1.47CE-0.63CE=42,∴AB=CE=50(m)答:楼间距为50m.(2)由(1)得:PE=0.63CE=31.5(m),∴AC=BP-PE=90-31.5=58.5(m),58.53÷=19.5,∴点C位于第20层答:点C位于第20层.27.(2018江苏徐州,27,10分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+6x-5的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其顶点为P,连接PA、AC、CP,过点C作y轴的垂线l,(1)求点P、C的坐标;(2)直线l上是否存在点Q,使△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由。

2018年中考数学专题复习卷:有理数(含解析)

2018年中考数学专题复习卷:有理数(含解析)

有理数一、选择题1.在-4,0,-1,3这四个数中,既不是正数又不是负数的数是( )A. -4 B. 0C. -1 D. 32.计算:的结果是()A. -3B. 0C. -1D. 33.下列各式不正确的是()A. |﹣2|=2B. ﹣2=﹣|﹣2| C. ﹣(﹣2)=|﹣2| D. ﹣|2|=|﹣2|4.零上13℃记作+13℃,零下2℃可记作()A. 2B. -2 C. -2℃ D. 2℃5.据有关部门统计,2018年“五一小长假”期间,广东各大景点共接待游客约14420000人次,将数14420000用科学记数法表示为()A. 1.442×107B. 0.1442×107C. 1.442×108D. 0.144 2×1086.比-1小2的数是()A. 3B. 1C. -2D. -37.-2018的相反数是()A. 2018B. -2018C.D.8.舌尖上的浪费让人触目惊心,据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克,这个数用科学记数法(精确到十亿位),应表示为()A. 4.995×1010B. 4.995×1011C. 5.0×1010D. 4.9×10109.的绝对值是( ).A. B.C.D.10.-的倒数是()A. B. -C.D. -11.下列各数中,绝对值最小的数是()A.πB.C.-2D.-12.一个数的相反数小于它本身,这个数是()A. 正数B. 负数 C. 非正数 D. 非负数二、填空题13.计算: =________.14.根据如图所示的车票信息,车票的价格为________元.15.数轴上的两个数﹣3与a,并且a>﹣3,它们之间的距离可以表示为________.16.计算:(﹣2)2=________.17.实数16 800 000用科学计数法表示为________.18.在有理数中,既不是正数也不是负数的数是________.19.计算:20180-=________.20.已知,则a+b=________21.若△ABC的三边长分别为a,b,c,则|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|=________.22.观察规律并填空.⑴⑵⑶________(用含n的代数式表示,n 是正整数,且 n ≥ 2)三、解答题23.计算:(1)﹣15+(﹣8)﹣(﹣11)﹣12(2)(3)(4)﹣23+[(﹣4)2﹣(1﹣32)×3].24. 计算:(1)(2)[(2x﹣y)2﹣(2x+y)(2x﹣y)+4xy]÷2y.25.已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,|m|=3,求的值.答案解析一、选择题1.【答案】B【解析】:∵0既不是正数也不是负数,∴答案为:B【分析】根据0既不是正数也不是负数,可得出答案。

2018届中考数学复习 专题31 圆的基本性质试题(a卷,含解析)

2018届中考数学复习 专题31 圆的基本性质试题(a卷,含解析)

专题31 圆的基本性质一、选择题1. ( 山东聊城,9,3分)如图所示,四边形ABCD 内接于⊙O ,F 是弧CD 上一点,且»»DFBC =,连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ,连接AC ,若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E 的度数为A 、45°B 、50°C 、55°D 、60° 【答案】B 【逐步提示】第一步先利用圆的内接四边形对角互补的性质求出∠ACD 的度数,第二步利用等弧所对的圆周角相等求出∠DCE ,第三步利用三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和求出∠E 的度数.【详细解答】解:因为,四边形ABCD 内接于⊙O ,所以∠ADC=180°-∠ABC=180°-105°=75°,又因为»»DFBC =,所以∠DCE=∠BAC=25°,又因为∠ADC=∠DCE+∠E ,所以∠E=∠ADC-∠DCE=75°-25°=50°,故选择B .【解后反思】本题考查了圆内接四边形及性质,解题的关键是掌握圆内接四边形的性质,并结合三角形内外角关系解决问题.等弧所对的圆周角相等;圆内接四边形对角互补;三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和. 【关键词】圆内接四边形及性质 ;圆心角、圆周角定理;与三角形有关的线段、角;;2.( 山东泰安,10,3分)如图,点A 、B 、C 是圆O 上的三点,且四边形ABCO 是平行四边形,OF ⊥OC 交圆O于点F ,则∠BAF 等于( )A .12.5°B .15°C .20°D .22.5° 【答案】B 【逐步提示】本题考查了垂径定理及等边三角形的判定及性质,解题的关键是利用圆的有关性质及平行四边形的AOC B F 第10题图性质判定三角形的形状.连接OB ,由四边形ABCO 是平行四边形,可知AB OC ∥,再由半径相等可得△ABO 为等边三角形,由OF ⊥OC 可得OF ⊥AB ,从而知道∠BOF 的度数,利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,可以计算出∠BAF 的度数.【详细解答】解:连接OB ,∵四边形ABCO 是平行四边形,∴AB OC ∥,∵OA =OB =OC ,∴AB =OB =OA ,∴△ABO 为等边三角形,∴∠AOB =60°.又∵OF ⊥OC ,∴OF ⊥AB ,∴∠BOF =12∠AOB =30°,∴∠BAF =12∠BOF =15°.故选择B .【解后反思】(1)圆周角定理能有效地把圆心角与圆周角联系起来即在同圆或等圆中圆周角的度数等于同弧或等弧所对的圆心角的一半;(2)圆中任意两条半径和弦组成的三角形都是等腰三角形.此题利用平行四边形对边平行且相等的性质,并结合圆中半径都相等,得到一个等边三角形,从而求得一个60°的角,这是解决问题的关键所在.【关键词】平行四边形的性质;等边三角形;圆心角、圆周角定理.3. ( 山东泰安,17,3分)如图,△ABC 内接于⊙O ,AB 是⊙O 的直径,∠B =30°,CE 平分∠ACB 交⊙O 于E ,交AB 于点D ,连接AE ,则ADE CDB S S ∆∆:的值等于( )A .1.1.1:2 D .2:3【答案】D 【逐步提示】本题考查了圆的有关性质及相似三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握有关的性质及图形之间的联系.因为可以知道△ADE ∽△CDB ,面积比就等于相似比的平方.所以求出相似比AEBC即可.因为AB 是⊙O AOCB F 第10题图AB第17题图的直径,∠B =30°,可知BC =AB cos30°,再找出AE 与AB 的关系就可以了.因为CE 平分∠ACB ,连接BE 可知△AEB 为等腰直角三角形,AE =AB cos45°.这样就知道了AEBC,问题解决.【详细解答】解:连接BE ,∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB =∠AEB =90°,在Rt △ABC 中,∠B =30°,∴BC =AB cos30°AB .∵ CE 平分∠ACB ,∴∠ACE =∠BCE =45°,∵∠BCE =∠BAE ,∴∠BAE =45°,∴AE =AB cos45°=AB,∴AB AE BC,∵∠BCE =∠BAE ,∠ADE =∠CDB ,∴△ADE ∽△CDB ,∴ADE CDB S S ∆∆=223= 故答案为D .【解后反思】求两个三角形的面积关系首先判断两个三角形是否相似,如果相似可以用相似三角形的性质:两个相似三角形面积比等于相似比的平方去解决.此题解题的关键是利用直径所对的圆周角是直角得到两个直角三角形,然后通过特殊角的三角形函数值找到线段AE 与BC 的等量关系.【关键词】圆周角定理 ;特殊角的三角函数值;相似三角形的判定;相似三角形的性质4. ( 山东潍坊,9,3分)如图,在平面直角坐标系中,⊙M 与x 轴相切于点A (8,0).与y 轴分别交于点B (0,4)与点C (0,16).则圆心M 到坐标原点O 的距离是( ) A .10 B...【答案】D【逐步提示】本题考查了垂径定理及图形与坐标,解题的关键是作出辅助线,利用勾股定理进行解答.过点M 作MN ⊥BC ,交BC 于点N ,连接OM 、BM ,先利用垂径定理求出BN 的长度,再利用勾股定理求出⊙M 的半径,然后利用勾股定理求OM 的长度.【详细解答】解:过点M 作MN ⊥BC ,交BC 于点N ,连接OM 、BM ,AB第17题图由A(8,0)、B(0,4)、C(0,16)可得:OA=8,BC=16-4=12.∴MN=OA=8,BN=12BC=6∴在Rt△MNB中,BM10==,即⊙M的半径为10.∴ON=10.在Rt△OMN中,OM===故选择D .【解后反思】垂径定理与勾股定理联系密切,解此类题时需注意构造直角三角形,利用勾股定理进行解答.【关键词】垂径定理;勾股定理;平面直角坐标系;5.(山东省烟台市,10,3分)如图,Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,B点与0刻度线的一端重合,∠ABC=40°,射线CD绕点C转动,与量角器外沿交于点D.若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形,则点D在量角器上对应的度数是()【答案】D【逐步提示】由于不明确等腰三角形的边和腰,所以要分两种情况进行讨论:当BC为底边时,当BC为腰时,分别求出∠BCD的度数,即可求解.在求解过程中要注意:点C在以AB为直径的圆上,所以点D在量角器上对应的度数等于2∠BCD的度数.【详细解答】解:∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上.分两种情况进行讨论:当BC为底边时,∠BCD=∠ABC=40°,∴点D在量角器上对应的度数是40°⨯2=80°,当BC为腰时,∠BCD=240180︒-︒=70°,∴点D在量角器上对应的度数是70°⨯2=140°,故选择D .【解后反思】解此题的关键是掌握圆心角、圆周角定理和等腰三角形的定义和性质.1.圆周角定理的推论:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.2.已知顶角求底角的方法:底角=1802-顶角.3.解决与圆有关的角度的相关计算时,一般先判断角是圆周角还是圆心角,再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,然后利用圆周角定理以及推论求解,特别地,当有直径这一条件时,往往要用到直径所对的圆周角是直角这一性质;或是当有直角时,往往要用到90°的圆周角所对的斜边是直径..4.没有明确等腰三角形的底或腰时,一定要注意分类讨论.分类讨论是一种重数学思想,在研究数学问题时,常常需要通过分类讨论解决问题.分类要依据一个标准,且要做到不重不漏. 【关键词】等腰三角形;圆周角;弧;分类讨论思想;6.(浙江杭州,8,3分)如图,已知AC 是⊙O 的直径,点B 在圆周上(不与A .C 重合),点D 在AC 的延长线上,连结BD 交⊙O 于点E .若∠AOB =3∠ADB ,则( )A .DE =EB B .2DE =EBC .3DE =DOD .DE =OB【答案】D .【逐步提示】本题考查了圆的性质和等腰三角形的性质与判断,解题的关键是充分利用半径相等、等腰三角形的两底角相等及等角对等边等有关性质.由四个选项中都是线段DE 与相关线段的大小比较,且题目中条件为角之间的倍数关系,这样就联想到通过三角形之间的边角关系来探索相关线段的数量关系了:不妨连接OE ,首先由OB =OE ,得到∠B =∠OEB ;再由三角形的外角性质,得到∠AOB =∠B +∠D ,∠OEB =∠EOD +∠D ,加上已知条件∠AOB =3∠ADB ,就不难推导出∠DOE =∠D ,最后由等角对等边,得到DE =EO =OB . 【解析】连接OE ,如下图. ∵OB =OE , ∴∠B =∠OEB .∵∠AOB =∠B +∠D ,∠OEB =∠EOD +∠D ,∠AOB =3∠ADB , ∴∠B =∠OEB =2∠D . ∴∠DOE =∠D . ∴DE =EO =OB . 故选择D .【解后反思】本题是一道探究题,由两个角之间的3倍关系去探索线段DE 与图中相关线段的数量关系.如何充分利用已知条件与图形中隐含的条件,是解题的关键.连接OE 后,就容易利用圆的半径相等,加上等腰三角形的性质与判定定理及三角形的外角性质,得到图中两组相等的角及这两组角的对边也相等的结论,从而就探究出DE 与圆的半径相等的正确结论了.【关键词】圆的性质;等腰三角形的性质和判定;三角形的外角性质第8题图第7题图7.(浙江金华,9,3分)足球射门,不考虑其他因素,仅考虑射点到球门AB 的张角大小时,张角越大,射门越好.如图的正方形网格中,点A,B,C,D,E 均在格点上,球员带球沿CD 方向进攻,最好的射点在( )A.点CB.点D 或点EC.线段DE (异于端点) 上一点D.线段CD (异于端点) 上一点【答案】C【逐步提示】认真审题确定解题思路,过A . B .D 三点作圆,可以根据圆内角、圆周角及圆外角的性质确定各射点到球门AB 的张角,比较各张角的大小,确定答案.【解析】连接EB .AD .DB .AC .CB ,作过点A .B .D 的圆,可以确定点E 在圆上,点C 在圆外,根据圆周角及圆外角的性质可以确定∠AEB=∠ADB>∠ACB ,所以最好的射点是线段DE (异于端点) 上一点,故选择C.【解后反思】解题的关键在于构造圆,然后根据圆周角、圆内角及圆外角的性质确定各张角的大小,进而得出结论.【关键词】圆周角;“网格”数学题型8.(淅江丽水,10,3分)如图,已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆,点D 是AC 上一点,BD 交AC 于点E ,若BC=4,AD=45,则AE 的长是A.3B.2C.1D.1.2 【答案】【逐步提示】确定AC=BC ,△CBE ∽△DAE ,根据相似比判断各选项中的数据是否正确.(第9题图)【解析】由题意得AC=BC=4,BD=285,△CBE∽△DAE,所以AE:BE=DE:CE=AD:CB=45:4=15,所以BE˙DE=AE˙CE,若AE=3,则BE=15>285,错误;若AE=2,则BE=10>285,错误;若AE=1,则BE=5,DE=35,CE=4-1=3,此时满足BE˙DE=AE˙CE,故AE=1;若AE=1.2,则BE=6>285,错误,故选择C.【解后反思】根据题意确定图形中各线段间的关系,然后根据已知条件对所给选项进行验证得出正确的结论.【关键词】圆;相似三角形的性质;验证法;;9.(四川达州,7,3分)如图,半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点,则tan∠OBC 为第7题图A.13B.2 2C.24D.223【答案】C【逐步提示】本题主要考查了圆中有关计算.解题的关键是把∠OBC的正切值转化到直角三角形中求解.解题是:如图,连接CD,则CD是⊙A的直径,且∠OBC=∠ODC,在Rt△OCD中可求得tan∠ODC.【详细解答】解:连接CD,∵∠COD=90°,∴CD是⊙A的直径,∠OBC=∠ODC,在Rt△OCD中,OD=62-22=42,∴tan∠ODC=242=24故选择C.【解后反思】解答这类问题时,往往将坐标系内的点坐标转化为线段的长度,进而化归到直角三角形中,应用三角函数定义求得三角函数值.求锐角三角函数的方法:(1)直接定义法;(2)构造直角三角形;(3)借助三角函数关系求值.【关键词】圆周角定理及推论;三角函数10.(四川乐山,7,3分)如图4,C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点,若CA=CD,且∠ACD=40°,则∠CAB= ( ).A.10°B.20°C.30°D.40°图4【答案】B.【逐步提示】欲求∠CAB,在Rt△ABC中,由AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°,所以只需知道∠ABC的度数,在⊙O中,∠ABC=∠ADC,这样在等腰三角形ACD中,由∠ACD=40°可得解.【详细解答】解:∵CA=CD,并且∠ACD=40°,∴∠ADC=70°.在⊙O中,∵AB为直径,∠ACB=90°,∵∠ABC 与∠ADC是⊙O中»AC的圆周角,∴∠ABC=∠ADC=70°,∴∠CAB=∠AC B-∠ABC= 90°-70=20°,故选择B.【解后反思】对于圆的有关性质的考查,一般会将圆周角、圆心角,弧、弦、弦心距等量之间的关系合并考查,解题的关键是明确相关性质.本题涉及到的有:①在同圆(或等圆)中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等;②直径其所对的圆周角是90°.【关键词】等腰三角形性质;圆周角定理11.(四川省自贡市,5,4分)如图,⊙O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,∠AMD=75°,则∠B的度数是A.15° B.25° C.30° D.75°【答案】C【逐步提示】∠B为圆周角,可以考虑将其转移,再利用三角形的内外角关系求解即可.【详细解答】解:∵∠A=45°,∠AMD=75°,∴∠C=30°,∴∠B=30°,故选择C.【解后反思】求角度数问题,通常手段就是转移和分解,本题在第一步是将角分解求出∠C,再利用转移的方法求出∠B.【关键词】三角形的内角和;圆心角、圆周角定理二、填空题1. .(山东青岛,11,3分)如图,AB是⊙O的直径,C , D是⊙O上的两点,若∠BCD = 28° ,则∠ABD= °.【答案】62【逐步提示】∠ABD 和∠ACD 都是弧AD 所对的圆周角,故只要求出∠ACD 的度数即可;根据“直径所对的圆周角是直角”可知∠ACB =90°,进而由∠BCD 的度数可求得∠ACD 的度数,问题得解. 【详细解答】解:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°.∵∠BCD =28°,∴∠ACD =90°-28°=62°,∴∠ABD =62°,故答案为62.【解后反思】与圆周角有关的知识点有:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是圆的直径;同弧(或等弧)所对的圆周角等于圆心角的一半. 【关键词】 圆周角;圆周角定理2. ( 山东省枣庄市,15,4分)如图,在半径为3的⊙O 中,直径AB 与弦CD 相交于点E ,连接AC ,BD ,若AC =2,【答案】【逐步提示】本题考查了有关圆周角的性质,解题的关键是运用直径所对圆周角为直角及同弧所对圆周角相等把∠D 与直角三角形联系起来.连接BC ,利用直径所对圆周角为直角,解Rt △ABC ,然后利用同弧或等弧所对的圆周角相等,即可求得tan D 的值.【详细解答】解:连接BC ,∵AB 为⊙O 直径,∠ACB =90°,又∵AB =2r =6,∴BC =∵BC =BC ,∴∠D =∠A ,∴tan D =tan A =BCAC=,故答案为【解后反思】在圆中解决与角有关的问题时,常用的是弧、弦、圆心角的对应关系和圆周角定理,从而实现圆心角与圆周角、圆周角与圆周角的互换.若如涉及到三角函数,通常利用直径所对圆周角为直角,或构造垂径定理三角形求解.【关键词】 圆心角、圆周角定理;锐角三角函数值的求法DBD3.(重庆A,15,4分)如图,OA,OB是⊙O的半径,点C在⊙O上,连接AC,BC. 若∠AOB=120°,则∠ACB=_______度.【答案】60【逐步提示】∠AOB与∠ACB是同弧(AB)所对的圆心角和圆周角,则∠ACB=12∠AOB.【解析】∵∠AOB=120°,∠AOB所对的弧为AB,AB所对的圆周角为∠ACB,∴∠ACB=12∠AOB=12×120°=60°.故答案为60.【解后反思】在圆中,同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半.【关键词】圆心角、圆周角定理4.(重庆B,15,4分)如图,CD是⊙O的直径,若AB⊥CD,垂足为B,∠OAB=40°,则∠C等于度.【答案】25【逐步提示】利用直角三角形的两个锐角互余,由∠OAB的度数可求得∠AOB的度数,再根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系求解.【解析】∵AB⊥CD,∠OAB=40°,∴∠AOB=50°. ∵∠C与∠AOB分别为AD所对的圆周角和圆心角,∴∠C=12∠AOB=25°. 故答案为25.【解后反思】在圆中,求角的度数时,首先要考虑要求的角是圆周角还是圆心角,再根据圆心角、圆周角的性质定理求解. 在同圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.【关键词】三角形的内角和;圆心角、圆周角定理5.(四川省巴中市,16,3分)如图,∠A是⊙O的圆周角,∠OBC=550,则∠A= .【答案】350.【逐步提示】本题考查了圆心角、圆周角定理及其推论,解题的关键是理解并能熟练运用圆心角、圆周角定理及其推论,在⊙O中,弧BC所对的圆心角和圆周角分别是∠BOC和∠BAC,在△BOC中,OB=OC,由∠OBC=550,可以求得圆心角∠BOC的度数,从而求得圆周角∠A的度数.【详细解答】解:∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=550,∴∠BOC=700,∴∠A=12∠BOC=350,故答案为350. 【解后反思】解决与圆有关的角度的相关计算时,一般先判断角是圆周角还是圆心角,再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解 【关键词】圆心角、圆周角定理;6. ( 四川省成都市,23,4分)如图,△ABC 内接于⊙O ,AH ⊥BC 于点H ,若AC =24,AH =18,⊙O 的半径OC=13,则AB = .【答案】392. 【逐步提示】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定及性质等相关知识,解题的关键是利用直径所对圆周角为直角及同弧所对圆周角相等,构造相似三角形.延长CO 交⊙O 于点E ,连接AM ,证明△AMC ∽△HBA ,然后利用相似三角形的性质即可求出AB 的值.【详细解答】解:延长CO 交⊙O 于点M ,连接AM .∵CM 是⊙O 的直径,∴∠MAC =90°,∵AH ⊥BC ,∴∠MAC =∠AHB = 90°,又∵∠M =∠B ,∴△AMC ∽△HBA ,∴AC AH =CM AB ,∵CM =2OC =26,即2418=26AB ,∴AB =182624⨯=392. 【解后反思】在有关圆的问题中,有直径通常作直径所对的圆周角,构造直角三角形;有弧、弦中点,通常连弧、弦中点与圆心,应用垂径定理;有切线,连过切点的半径.【关键词】圆心角、圆周角定理 ;相似三角形的判定;相似三角形的性质7. ( 四川南充,15,3分)如图是由两个长方形组成的工件平面图(单位,mm ),直线l 是它的对称轴,能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm .【答案】50 【逐步提示】本题考查的圆内接四边形,是垂径定理,解题的关键是根据题意画出图形,利用数形结合进行解答. 根据已知条件得到CM=30,AN=40,根据勾股定理列方程得到OM=40,由勾股定理得到结论. 【详细解答】解:设圆心为O,由题意知,点O 在l 上。

2018年中考数学专题复习第七讲几何最值问题解题策略

2018年中考数学专题复习第七讲几何最值问题解题策略

中考数学专题复习第七讲几何最值问题解题策略【专题分析】最值问题是初中数学的重要内容,无论是代数问题还是几何问题都有最值问题,在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题.【知识归纳】1.在求几何图形中的周长或线段长度最值时,解决此类问题的方法一般是先将要求线段(要求的量)用未知数x表示出来,建立函数模型(一般所表示的式子为一次函数解析式或二次函数解析式),常用勾股定理或三角形相似求得函数关系式,再用函数的增减性或最值来求解即可.2.利用对称的性质求两条线段之和最小值的问题,解决此类问题的方法为:如图,要求直线l上一动点P到点A,B距离之和的最小值,先作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,则A'B与直线l的交点即为P点,根据对称性可知此时A'B的长即为PA+PB的最小值,求出A'B的值即可.【题型解析】题型1: 三角形中最值问题例题:(2017山东枣庄)如图,直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分别为线段AB、OB的中点,点P为OA上一动点,PC+PD值最小时点P 的坐标为()A.(﹣3,0)B.(﹣6,0)C.(﹣,0) D.(﹣,0)【考点】F8:一次函数图象上点的坐标特征;PA:轴对称﹣最短路线问题.【分析】(方法一)根据一次函数解析式求出点A、B的坐标,再由中点坐标公式求出点C、D的坐标,根据对称的性质找出点D′的坐标,结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式,令y=0即可求出x的值,从而得出点P的坐标.(方法二)根据一次函数解析式求出点A、B的坐标,再由中点坐标公式求出点C、D的坐标,根据对称的性质找出点D′的坐标,根据三角形中位线定理即可得出点P为线段CD′的中点,由此即可得出点P的坐标.【解答】解:(方法一)作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴于点P,此时PC+PD值最小,如图所示.令y=x+4中x=0,则y=4,∴点B的坐标为(0,4);令y=x+4中y=0,则x+4=0,解得:x=﹣6,∴点A的坐标为(﹣6,0).∵点C、D分别为线段AB、OB的中点,∴点C(﹣3,2),点D(0,2).∵点D′和点D关于x轴对称,∴点D′的坐标为(0,﹣2).设直线CD′的解析式为y=kx+b,∵直线CD′过点C(﹣3,2),D′(0,﹣2),∴有,解得:,∴直线CD′的解析式为y=﹣x﹣2.令y=﹣x﹣2中y=0,则0=﹣x﹣2,解得:x=﹣,∴点P的坐标为(﹣,0).故选C.(方法二)连接CD,作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴于点P,此时PC+PD值最小,如图所示.令y=x+4中x=0,则y=4,∴点B的坐标为(0,4);令y=x+4中y=0,则x+4=0,解得:x=﹣6,∴点A的坐标为(﹣6,0).∵点C、D分别为线段AB、OB的中点,∴点C(﹣3,2),点D(0,2),CD∥x轴,∵点D′和点D关于x轴对称,∴点D′的坐标为(0,﹣2),点O为线段DD′的中点.又∵OP∥CD,∴点P为线段CD′的中点,∴点P的坐标为(﹣,0).故选C.方法指导:出现最值问题,可转化为轴对称知识所涉及的最短路径问题是我们解答此类问题的常见方法.题型2: 四边形中最值问题例题:(2017贵州安顺)如图所示,正方形ABCD的边长为6,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为 6 .【考点】PA:轴对称﹣最短路线问题;KK:等边三角形的性质;LE:正方形的性质.【分析】由于点B与D关于AC对称,所以连接BD,与AC的交点即为P点.此时PD+PE=BE最小,而BE是等边△ABE的边,BE=AB,由正方形ABCD的边长为6,可求出AB的长,从而得出结果.【解答】解:设BE与AC交于点P,连接BD,∵点B与D关于AC对称,∴PD=PB,最小.∴PD+PE=PB+PE=BE即P在AC与BE的交点上时,PD+PE最小,为BE的长度;∵正方形ABCD的边长为6,∴AB=6.又∵△ABE是等边三角形,∴BE=AB=6.故所求最小值为6.故答案为:6.方法指导:本题借助不等式“a2+b2≥2ab”通过代换转化来求平行四边形面积的最值,体现了转化思想和整体思想的运用.题型3:圆中最值问题例题:(2017浙江衢州)如图,在直角坐标系中,⊙A的圆心A的坐标为(﹣1,0),半径为1,点P为直线y=﹣x+3上的动点,过点P作⊙A的切线,切点为Q,则切线长PQ的最小值是2.【考点】MC:切线的性质;F5:一次函数的性质.【分析】连接AP,PQ,当AP最小时,PQ最小,当AP⊥直线y=﹣x+3时,PQ 最小,根据两点间的距离公式得到AP=3,根据勾股定理即可得到结论.【解答】解:连接AP,PQ,当AP最小时,PQ最小,∴当AP⊥直线y=﹣x+3时,PQ最小,∵A的坐标为(﹣1,0),y=﹣x+3可化为3x+4y﹣12=0,∴AP==3,∴PQ==2.方法指导: 此题综合性强,解题方法很多,考查范围较广,与初中数学很多内容有关,如勾股定理、圆周角定理及推论、垂径定理、相似、三角函数、二次函数、垂线段的性质、二次根式的计算与化简等.考查了多种数学思想,如建模思想、化归思想等.此题难度中等,有一定的灵活性,考生不易拿满分.【提升训练】1. (2017江苏盐城)如图,在边长为1的小正方形网格中,将△ABC绕某点旋转到△A'B'C'的位置,则点B运动的最短路径长为π.【考点】O4:轨迹;R2:旋转的性质.【分析】如图作线段AA′、CC′的垂直平分线相交于点P,点P即为旋转中心,观察图象可知,旋转角为90°(逆时针旋转)时B运动的路径长最短【解答】解:如图作线段AA′、CC′的垂直平分线相交于点P,点P即为旋转中心,观察图象可知,旋转角为90°(逆时针旋转)时B运动的路径长最短,PB==,∴B运动的最短路径长为==π,故答案为π.2. (2017?新疆)如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发,均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动,当点E 到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为 3 s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是18 cm2.【考点】H7:二次函数的最值;LE:正方形的性质.【分析】设运动时间为t(0≤t≤6),则AE=t,AH=6﹣t,由四边形EFGH的面积=正方形ABCD的面积﹣4个△AEH的面积,即可得出S四边形EFGH关于t的函数关系式,配方后即可得出结论.【解答】解:设运动时间为t(0≤t≤6),则AE=t,AH=6﹣t,根据题意得:S四边形EFGH=S正方形ABCD﹣4S△AEH=6×6﹣4×t(6﹣t)=2t2﹣12t+36=2(t ﹣3)2+18,∴当t=3时,四边形EFGH的面积取最小值,最小值为18.故答案为:3;18【点评】本题考查了二次函数的最值、三角形以及正方形的面积,通过分割图形求面积法找出S四边形EFGH关于t的函数关系式是解题的关键.3. (2017湖北宜昌)正方形ABCD的边长为1,点O是BC边上的一个动点(与B,C不重合),以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°.(1)当OM经过点A时,①请直接填空:ON 不可能(可能,不可能)过D点;(图1仅供分析)②如图2,在ON上截取OE=OA,过E点作EF垂直于直线BC,垂足为点F,作EH ⊥CD于H,求证:四边形EFCH为正方形.(2)当OM不过点A时,设OM交边AB于G,且OG=1.在ON上存在点P,过P 点作PK垂直于直线BC,垂足为点K,使得S△PKO=4S△OBG,连接GP,求四边形PKBG 的最大面积.【考点】LO:四边形综合题.【分析】(1)①若ON过点D时,则在△OAD中不满足勾股定理,可知不可能过D 点;②由条件可先判业四边形EFCH为矩形,再证明△OFE≌△ABO,可证得结论;(2)由条件可证明△PKO∽△OBG,利用相似三角形的性质可求得OP=2,可求得△POG面积为定值及△PKO和△OBG的关系,只要△CGB的面积有最大值时,则四边形PKBG的面积就最大,设OB=a,BG=b,由勾股定理可用b表示出a,则可用a表示出△CBG的面积,利用二次函数的性质可求得其最大值,则可求得四边形PKBG面积的最大值.【解答】解:(1)①若ON过点D,则OA>AB,OD>CD,∴OA2>AD2,OD2>AD2,∴OA2+OD2>2AD2≠AD2,∴∠AOD≠90°,这与∠MON=90°矛盾,∴ON不可能过D点,故答案为:不可能;②∵EH⊥CD,EF⊥BC,∴∠EHC=∠EFC=90°,且∠HCF=90°,∴四边形EFCH为矩形,∵∠MON=90°,∴∠EOF=90°﹣∠AOB,在正方形ABCD中,∠BAO=90°﹣∠AOB,∴∠EOF=∠BAO,在△OFE和△ABO中∴△OFE≌△ABO(AAS),∴EF=OB,OF=AB,,又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC∴CF=EF,∴四边形EFCH为正方形;(2)∵∠POK=∠OGB,∠PKO=∠OBG,∴△PKO∽△OBG,∵S△PKO=4S△OBG,∴=()2=4,∴OP=2,∴S△POG=OG?OP=×1×2=1,设OB=a,BG=b,则a2+b2=OG2=1,∴b=,∴S△OBG=ab=a==,∴当a2=时,△OBG有最大值,此时S△PKO=4S△OBG=1,∴四边形PKBG的最大面积为1+1+=.4. (2017甘肃张掖)如图,已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B(﹣2,0),点C(8,0),与y轴交于点A.(1)求二次函数y=ax2+bx+4的表达式;(2)连接AC,AB,若点N在线段BC上运动(不与点B,C重合),过点N作NM ∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求N点的坐标;(3)连接OM,在(2)的结论下,求OM与AC的数量关系.【考点】HF:二次函数综合题.【分析】(1)由B、C的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)可设N(n,0),则可用n表示出△ABN的面积,由NM∥AC,可求得,则可用n表示出△AMN的面积,再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值,即可求得N点的坐标;(3)由N点坐标可求得M点为AB的中点,由直角三角形的性质可得OM=AB,在Rt△AOB和Rt△AOC中,可分别求得AB和AC的长,可求得AB与AC的关系,从而可得到OM和AC的数量关系.【解答】解:(1)将点B,点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得,解得,∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+4;(2)设点N的坐标为(n,0)(﹣2<n<8),则BN=n+2,CN=8﹣n.∵B(﹣2,0),C(8,0),∴BC=10,在y=﹣x2+x+4中令x=0,可解得y=4,∴点A(0,4),OA=4,∴S△ABN=BN?OA=(n+2)×4=2(n+2),∵MN∥AC,∴,∴==,∴,∵﹣<0,∴当n=3时,即N(3,0)时,△AMN的面积最大;(3)当N(3,0)时,N为BC边中点,∵MN∥AC,∴M为AB边中点,∴OM=AB,∵AB===2,AC===4,∴AB=AC,∴OM=AC.5. (2017江苏盐城)【探索发现】如图①,是一张直角三角形纸片,∠B=60°,小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形,经过多次操作发现,当沿着中位线DE、EF剪下时,所得的矩形的面积最大,随后,他通过证明验证了其正确性,并得出:矩形的最大面积与原三角形面积的比值为.【拓展应用】如图②,在△ABC中,BC=a,BC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上,顶点Q、M在边BC上,则矩形PQMN面积的最大值为.(用含a,h的代数式表示)【灵活应用】如图③,有一块“缺角矩形”ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角),求该矩形的面积.【实际应用】如图④,现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且tanB=tanC=,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN,求该矩形的面积.【考点】LO:四边形综合题.【分析】【探索发现】:由中位线知EF=BC、ED=AB、由=可得;【拓展应用】:由△APN∽△ABC知=,可得PN=a﹣PQ,设PQ=x,由S矩形2+,据此可得;PQMN=PQ?PN═﹣(x﹣)【灵活应用】:添加如图1辅助线,取BF中点I,FG的中点K,由矩形性质知AE=EH20、CD=DH=16,分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20,从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上,利用【探索发现】结论解答即可;【实际应用】:延长BA、CD交于点E,过点E作EH⊥BC于点H,由tanB=tanC 知EB=EC、BH=CH=54,EH=BH=72,继而求得BE=CE=90,可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上,利用【拓展应用】结论解答可得.【解答】解:【探索发现】∵EF、ED为△ABC中位线,∴ED∥AB,EF∥BC,EF=BC,ED=AB,又∠B=90°,∴四边形FEDB是矩形,则===,故答案为:;【拓展应用】∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC,∴=,即=,∴PN=a﹣PQ,设PQ=x,则S矩形PQMN=PQ?PN=x(a﹣x)=﹣x2+ax=﹣(x﹣)2+,∴当PQ=时,S矩形PQMN最大值为,故答案为:;【灵活应用】如图1,延长BA、DE交于点F,延长BC、ED交于点G,延长AE、CD交于点H,取BF中点I,FG的中点K,由题意知四边形ABCH是矩形,∵AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,∴EH=20、DH=16,∴AE=EH、CD=DH,在△AEF和△HED中,∵,∴△AEF≌△HED(ASA),∴AF=DH=16,同理△CDG≌△HDE,∴CG=HE=20,∴BI==24,∵BI=24<32,∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上,过点K作KL⊥BC于点L,由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG?BF=×(40+20)×(32+16)=720,答:该矩形的面积为720;【实际应用】如图2,延长BA、CD交于点E,过点E作EH⊥BC于点H,∵tanB=tanC=,∴∠B=∠C,∴EB=EC,∵BC=108cm,且EH⊥BC,∴BH=CH=BC=54cm,∵tanB==,∴EH=BH=×54=72cm,在Rt△BHE中,BE==90cm,∵AB=50cm,∴AE=40cm,∴BE的中点Q在线段AB上,∵CD=60cm,∴ED=30cm,∴CE的中点P在线段CD上,∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上,由【拓展应用】知,矩形PQMN的最大面积为BC?EH=1944cm2,答:该矩形的面积为1944cm2.。

2018-2019学年初三数学中考专题复习 因式分解(含答案)

2018-2019学年初三数学中考专题复习 因式分解(含答案)

2018-2019学年初三数学专题复习因式分解一、单选题1.多项式﹣6x3y2﹣3x2y+12x2y2分解因式时,应先提的公因式是()A. 3xyB. ﹣3x2yC. 3xy2D. ﹣3x2y22.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A. a2+(-b)2B. 5m2-20mnC. -x2-y2D. -x2+93.多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式为()A. 3xyB. ﹣3x2yC. 3xy2D. 3x2y24.下列四个多项式,哪一个是2X2+5X-3的因式?()A. 2x-1B. 2x-3C. x-1D. x-35.下列各式从左到右的变形,是因式分解的是()A. x2-9+6x=(x+3)(x-3)+6xB. (x+5)(x-2)=x2+3x-10C. x2-8x+16=(x-4)2D. 6ab=2a.3b6.观察下面算962×95+962×5的解题过程,其中最简单的方法是( )A. 962×95+962×5=962×(95+5)=962×100=96200B. 962×95+962×5=962×5×(19+1)=962×(5×20) =96200C. 962×95+962×5=5×(962×19+962)=5×(18278+962)=96200D. 962×95+962×5=91390+4810=962007.把代数式xy2﹣9x分解因式,结果正确的是()A. x(y2﹣9)B. x(y+3)2C. x(y+3)(y﹣3)D. x(y+9)(y﹣9)8.计算(﹣2)2002+(﹣2)2001所得的正确结果是()A. 22001B. ﹣22001C. 1D. 29.下列分解因式错误的是()A. 15a2+5a=5a(3a+1)B. ﹣x2+y2=(y+x)(y﹣x)C. ax+x+ay+y=(a+1)(x+y)D. ﹣a2﹣4ax+4x2=﹣a(a+4x)+4x210.下列多项式中,能用提取公因式法分解因式的是()A. x2﹣yB. x2+2xC. x2+y2D. x2﹣xy+y211.下列由左边到右边的变形,属于分解因式的变形是()A. ab+ac+d=a(b+c)+dB. a2﹣1=(a+1)(a﹣1)C. 12ab2c=3ab•4bcD. (a+1)(a﹣1)=a2﹣112.分解因式(a2+1)2﹣4a2,结果正确的是()A. (a2+1+2a)(a2+1﹣2a)B. (a2﹣2a+1)2C. (a﹣1)4D. (a+1)2(a﹣1)213.把x2﹣xy2分解因式,结果正确的是()A. (x+xy)(x﹣xy)B. x(x2﹣y2)C. x(x﹣y2)D. x(x﹣y)(x+y)14.下列各式中,从左到右的变形是分解因式的是()A. x2﹣2=(x+1)(x﹣1)﹣1B. (x﹣3)(x+2)=x2﹣x+6C. a2﹣4=(a+2)(a﹣2)D. ma+mb+mc=m(a+b)+mc15.下列多项式中能用提公因式法分解的是()A. x2+y2B. x2-y2C. x2+2x+1D. x2+2x16.若a ,b ,c是三角形的三边之长,则代数式a-2ac+c-b的值()A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 以上三种情况均有可能二、填空题17.分解因式:a2+ab=________.18.分解因式:a2﹣9=________.19.将多项式x2y-2xy2+y3分解因式的结果是________.20.因式分解:2x2﹣18=________.21.已知m2+m﹣1=0,则m3+2m2+2017=________.三、计算题22.因式分解:(1);(2)23.先将代数式因式分解,再求值:2x(a﹣2)﹣y(2﹣a),其中a=0.5,x=1.5,y=﹣2.24.因式分解:3ab2+6ab+3a.25.把下列各式分解因式(1)3ax2+6axy+3ay2(2)a2(x﹣y)﹣b2(x﹣y)26.把下列各式分解因式:(1);(2).四、解答题27.仔细阅读下面例题,解答问题:例题:已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是(x+3),求另一个因式以及m的值.解:设另一个因式为(x+n),得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n∴.解得:n=﹣7,m=﹣21∴另一个因式为(x﹣7),m的值为﹣21问题:仿照以上方法解答下面问题:已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是(2x﹣5),求另一个因式以及k的值.28.﹣x2+7x﹣10.五、综合题29.把下列各式因式分解(1)﹣36aby+12abx﹣6ab(2)9x2﹣12x+4;(3)4x2﹣9y2(4)3x3﹣12x2y+12xy2.30.因式分解:(1)5mx2﹣10mxy+5my2(2)x2(a﹣1)+y2(1﹣a)答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解:﹣6x3y2﹣3x2y+12x2y2=﹣3x2y(2xy+1﹣4y)故选:B.【分析】根据公因式的确定方法:①系数取最大公约数,②字母取公共的字母③指数取最小的,可得到答案;2.【答案】D【解析】【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是:两项平方项,符号相反.【解答】A、a2+(-b)2符号相同,不能用平方差公式分解因式,故错误;B、5m2-20mn两项不都是平方项,不能用平方差公式分解因式,故错误;C、-x2-y2符号相同,不能用平方差公式分解因式,故错误;D、-x2+9能用平方差公式分解因式,故正确.故选D.【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点,两平方项的符号相反.3.【答案】D【解析】【解答】解:6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式为3x2y2.故选:D.【分析】分别找出系数的最大公约数,相同字母的最低指数次幂,然后即可找出公因式.4.【答案】A【解析】【分析】利用十字相乘法将2x2+5x-3分解为(2x-1)(x+3),即可得出符合要求的答案.【解答】∵2x2+5x-3=(2x-1)(x+3),2x-1与x+3是多项式的因式,故选:A.【点评】此题主要考查了因式分解的应用,正确的将多项式因式分解是解决问题的关键.5.【答案】C【解析】【解答】解:A. 的右边不是积的形式,不是因式分解;故选项错误;B. 是多项式乘法,不是因式分解;故选项错误;C. 运用平方差公式因式分解,故选项正确;D. 不是把多项式化成整式积的形式,故选项错误.故选C.6.【答案】A【解析】【解答】解:计算962×95+962×5的值,最简单的方法先提取公因式962,即962×95+962×5=962×(95+5)=962×100=96200,故答案为:A.【分析】通过观察式子,两个加数项中分别存在一个962,所以采取的简便方法为提取公因式法,将962提出公因式,进行接下来的计算即可。

2018年中考数学总复习重难题型补充题库-最值问题(PDF版)

2018年中考数学总复习重难题型补充题库-最值问题(PDF版)

y x 2Leabharlann bx c ,得 b 4 , 解得 , 25 5b c 0 c 5
1 b c 0
∴抛物线的解析式为 y x 2 4x 5. (2) y x 2 4x 5 x 2 9,
3 ∴点 G 的坐标为 2, ; 2 1 2 1 2 3 2
1 2
1 2
第 2 题解图①
(3) 存在.如解图②, 连接 PE′, 设 P 的坐标为 x, x 2 4 x 5
(-1<x<5) ,则 E 的坐标为 x, x 3 , 3 4
(a 2)2
∴当 a 2 时, S四边形CDBF 有最大值为
2. 如图,抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于点 A(-1,0) 、 B(5,0) ,直线 y x 3 与 y 轴交于点 C,与 x 轴交于 点 D, 点 P 是 x 轴上方抛物线上一个动点, 过 P 作 PE⊥x 轴交直线 CD 于点 E.设点 P 的横坐标为 m.
19 3 PE x 2 4 x 5 x 3 x 2 x 2 , 4 4
当 x=0 时, y x 3 3 ,则 C 的坐标为(0,3).
3 4
3 5 CE x 3 x 3 x , 4 4
9 11 、A(-1,0)代入 y kx n 得 2 4
1 11 k 9 k n 2 , 4 , 解得 2 1 n k n 0 2
∴直线 PA 的解析式为 y x , ∵当 x=2 时, y x ,
m =2 m =2 ∴ ,解得 1, k 4k m 0 2

湖南省2018年中考数学专题复习课件专题一 选择题、填空题

湖南省2018年中考数学专题复习课件专题一 选择题、填空题

[解析] 观察发现,前 5 行中最大的数分别为 1,4,9,16,25, 即为 12,22,32,42,52,于是可知第 n 行中最大的数是 n2.当 n=44 时,n2=1 936;当 n=45 时,n2=2 025.因为 1 936<2 017<2 025,所 以 2 017 在第 45 行.
专题一┃选择题、填空题专题突破
9×10+2+3+4+…+9+10=144. 故图⑨共有______________________________________ 颗.
专题一┃选择题、填空题专题突破
[变式训练]
图 Z1-4 1.[2017·十堰]如图 Z1-4,10 个不同的正偶数按图排列,箭头上 方的每个数都等于其下方两数的和,如 值为( D ) A.32 B.36 C.38 D.40 表示 a1=a2+a3,则 a1 的最小
图 Z1-1 则 2 017 在第________ 45 行.
专题一┃选择题、填空题专题突破
思维分析
2 (2 n ) (1)偶数行的最后一个数为________;
2 (2)奇数行的第一个数为________ (2n-1);
2 45 442<2017<45 (3)因为____________ ,所以 2 017 位于第________ 行.
湖南省2018年中考数学专题复习课件
专题一
选择题、填空题专题突破
专题一┃选择题、填空题专题突破
湖南各地中考中,选择题、填空题的难度不大,一般以基础题 为主,个别难题主要呈现在选择题或填空题最后一题,整个选择 题,填空题的得分率较高.就湖南省而言,各地中考题数不同,所 占分值也存在很大的差别,只要认真,基本能得80%的分数.
图 Z1-3
专题一┃选择题、填空题专题突破

2018年中考数学专题训练反比例函数与一次函数的综合

2018年中考数学专题训练反比例函数与一次函数的综合

2018级中考数学专题复习—反比例函数与一次函数的综合1.在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a≠0)的图形与反比例函数y=(k≠0)的图象交于第二、四象限内的A、B两点,与y轴交于C点,过点A作AH⊥y轴,垂足为H,OH=3,tan∠AOH=,点B的坐标为(m,﹣2).(1)求△AHO的周长;(2)求该反比例函数和一次函数的解析式.2.如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A,B两点,与x轴交于点C,与y轴交于点D,点B的坐标是(m,﹣4),连接AO,AO=5,sin∠AOC=.(1)求反比例函数的解析式;(2)连接OB,求△AOB的面积.3.如图,直线y=x+2与双曲线相交于点A(m,3),与x轴交于点C.(1)求双曲线解析式;(2)点P在x轴上,如果△ACP的面积为3,求点P的坐标.4.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(﹣,0),且与反比例函数y=(m≠0)的图象相交于点A(﹣2,1)和点B.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)求点B的坐标,并根据图象回答:当x在什么范围内取值时,一次函数的函数值小于反比例函数的函数值?5.如图,已知反比例函数与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A(1,﹣k+4).(1)试确定这两个函数的表达式;(2)求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标,并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.6.如图,已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于两点A(﹣2,1)、B(a,﹣2).(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)若一次函数y2=kx+b的图象交y轴于点C,求△AOC的面积(O为坐标原点);(3)求使y1>y2时x的取值范围.7.已知:如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A(1,3),B(n,﹣1)两点.(1)求反比例函数与一次函数的解析式;(2)根据图象回答:当x取何值时,反比例函数的值大于一次函数的值.8.如图,已知A(﹣4,n),B(2,﹣4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及三角形AOB的面积.9.如图,已知点A(﹣4,2)、B( n,﹣4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数图象的两个交点:(1)求点B的坐标和一次函数的解析式;(2)求△AOB的面积;(3)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围.10.如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点,与x轴交于点C,与y轴交于点D.已知OA=,tan∠AOC=,点B的坐标为(,m).(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)求△AOB的面积.11.如图,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A,B两点,且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2,求:(1)一次函数的解析式;(3)直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围.12.已知:如图所示,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点,与x交于点C,与y轴交于点D,OC=1,BC=5,.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)连接BO,AO,求△AOB的面积.(3)观察图象,直接写出不等式的解集.13.如图,已知一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=﹣的图象交于A、B两点,与坐标轴交于M、N两点.且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2.(1)求一次函数的解析式;(3)观察图象,直接写出y1>y2时x的取值范围.14.如图,一次函数y=kx+b与反比例函数的图象相交于A(2,3),B(﹣3,n)两点.(1)求一次函数与反比例函数的解析式.(2)根据所给条件,请直接写出不等式kx+b>的解集.(3)连接OA、OB,求S△ABO.15.如图,已知一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A(﹣2,m)和点B(4,﹣2),与x轴交于点C(1)求一次函数与反比例函数的解析式;16.如图,一次函数y=mx+n(m≠0)与反比例函数y=(k≠0)的图象相交于A(﹣1,2),B(2,b)两点,与y轴相交于点C(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)若点D与点C关于x轴对称,求△ABD的面积.17.如图,一次函数y1=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y2=(k≠0)的图象交于A、B两点,与x轴、y轴分别交于C、D两点.已知:OA=,tanAOC=,点B的坐标为(,m)(1)求该反比例函数的解析式和点D的坐标;(2)点M在射线CA上,且MA=2AC,求△MOB的面积.18.已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点,与反比例函数交于一象限内的P(,n),Q(4,m)两点,且tan∠BOP=:(1)求反比例函数和直线的函数表达式;(2)求△OPQ的面积.19.如图,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数的图象交于A、B两点,与x轴、y轴交于点C、D两点,点B的横坐标为1,OC=OD,点P在反比例函数图象上且到x轴、y轴距离相等.(1)求一次函数的解析式;(2)求△APB的面积.20.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点,与反比例函数的图象交于点C,连接CO,过C作CD⊥x轴于D,已知tan∠ABO=,OB=4,OD=2.(1)求直线AB和反比例函数的解析式;(2)在x轴上有一点E,使△CDE与△COB的面积相等,求点E的坐标.21.如图,在平面直角坐标系中,点A是反比例函数y=(k≠0)图象上一点,AB⊥x轴于B点,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象交y轴于D(0,﹣2),交x轴于C点,并与反比例函数的图象交于A,E两点,连接OA,若△AOD的面积为4,且点C为OB中点.(1)分别求双曲线及直线AE的解析式;(2)若点Q在双曲线上,且S△QAB=4S△BAC,求点Q的坐标.22.如图,已知一次函数y=k1x+b的图象分别x轴,y轴交于A、B两点,且与反比例函数y=交于C、E 两点,点C在第二象限,过点C作CD⊥x轴于点D,OD=1,OE=,cos∠AOE=(1)求反比例函数与一次函数的解析式;(2)求△OCE的面积.23.如图,一次函数y=x+2的图象与x轴交于点B,与反比例函数y=(k≠0)的图象的一个交点为A(2,m).(1)求反比例函数的表达式;(2)过点A作AC⊥x轴,垂足为点C,设点D在反比例函数图象上,且△DBC的面积等于6,请求出点D的坐标;(3)请直接写出不等式x+2<成立的x取值范围.24.如图,已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=k2x+b的图象交于A、B两点,A(2,n),B(﹣1,﹣4).(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)求△AOB的面积;(3)观察图象,直接写出不等式y1>y2的解集.25.如图,已知反比例函数y=(k<0)的图象经过点A(﹣2,m),过点A作AB⊥x轴于点B,且△AOB的面积为2.(1)求k和m的值;(2)若一次函数y=ax+1的图象经过点A,并且与x轴的交点为点C,试求出△ABC的面积.26.如图,已知一次函数y=k1x+b的图象分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点,且与反比例函数y=交于C、E两点,点C在第二象限,过点C作CD⊥x轴于点D,OA=OB=2,OD=1.(1)求反比例函数与一次函数的解析式;(2)求△OCE的面积.27.如图,已知直线y=mx+b(m≠0)与双曲线y=(k≠0)交于A(﹣3,﹣1)与B(n,6)两点,连接OA、OB.(1)求直线与双曲线的表达式;(2)求△AOB的面积.28.如图,直线y=﹣2和双曲线y=相交于A(b,1),点P在直线y=x﹣2上,且P点的纵坐标为﹣1,过P作PQ∥y轴交双曲线于点Q.(1)求Q点的坐标;(2)求△APQ的面积.29.如图,在一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A(﹣4,﹣2),B(m,4),与y轴相交于点C.(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)求△AOB的面积.30.已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点,与反比例函数y=交于一象限内的P(,n),Q (4,m)两点,且tan∠BOP=.(1)求双曲线和直线AB的函数表达式;(2)求△OPQ的面积;(3)当kx+b>时,请根据图象直接写出x的取值范围.2018级中考数学专题复习-反比例函数与一次函数的交点参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1.(2016•重庆)在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a≠0)的图形与反比例函数y=(k≠0)的图象交于第二、四象限内的A、B两点,与y轴交于C点,过点A作AH⊥y轴,垂足为H,OH=3,tan∠AOH=,点B的坐标为(m,﹣2).(1)求△AHO的周长;(2)求该反比例函数和一次函数的解析式.【分析】(1)根据正切函数,可得AH的长,根据勾股定理,可得AO的长,根据三角形的周长,可得答案;(2)根据待定系数法,可得函数解析式.【解答】解:(1)由OH=3,tan∠AOH=,得AH=4.即A(﹣4,3).由勾股定理,得AO==5,△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12;(2)将A点坐标代入y=(k≠0),得k=﹣4×3=﹣12,反比例函数的解析式为y=;当y=﹣2时,﹣2=,解得x=6,即B(6,﹣2).将A、B点坐标代入y=ax+b,得,解得,一次函数的解析式为y=﹣x+1.【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,利用待定系数法是解题关键.2.(2016•重庆)如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A,B两点,与x轴交于点C,与y轴交于点D,点B的坐标是(m,﹣4),连接AO,AO=5,sin∠AOC=.(1)求反比例函数的解析式;(2)连接OB,求△AOB的面积.【分析】(1)过点A作AE⊥x轴于点E,设反比例函数解析式为y=.通过解直角三角形求出线段AE、OE的长度,即求出点A的坐标,再由点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式即可;(2)由点B在反比例函数图象上可求出点B的坐标,设直线AB的解析式为y=ax+b,由点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式,令该解析式中y=0即可求出点C的坐标,再利用三角形的面积公式即可得出结论.【解答】解:(1)过点A作AE⊥x轴于点E,如图所示.设反比例函数解析式为y=.∵AE⊥x轴,∴∠AEO=90°.在Rt△AEO中,AO=5,sin∠AOC=,∠AEO=90°,∴AE=AO•sin∠AOC=3,OE==4,∴点A的坐标为(﹣4,3).∵点A(﹣4,3)在反比例函数y=的图象上,∴3=,解得:k=﹣12.∴反比例函数解析式为y=﹣.(2)∵点B(m,﹣4)在反比例函数y=﹣的图象上,∴﹣4=﹣,解得:m=3,∴点B的坐标为(3,﹣4).设直线AB的解析式为y=ax+b,将点A(﹣4,3)、点B(3,﹣4)代入y=ax+b中得:,解得:,∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1.令一次函数y=﹣x﹣1中y=0,则0=﹣x﹣1,解得:x=﹣1,即点C的坐标为(﹣1,0).S△AOB=OC•(y A﹣y B)=×1×[3﹣(﹣4)]=.【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式,解题的关键是:(1)求出点A的坐标;(2)求出直线AB的解析式.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键.3.(2016•南充)如图,直线y=x+2与双曲线相交于点A(m,3),与x轴交于点C.(1)求双曲线解析式;(2)点P在x轴上,如果△ACP的面积为3,求点P的坐标.【分析】(1)把A坐标代入直线解析式求出m的值,确定出A坐标,即可确定出双曲线解析式;(2)设P(x,0),表示出PC的长,高为A纵坐标,根据三角形ACP面积求出x的值,确定出P坐标即可.【解答】解:(1)把A(m,3)代入直线解析式得:3=m+2,即m=2,∴A(2,3),把A坐标代入y=,得k=6,则双曲线解析式为y=;(2)对于直线y=x+2,令y=0,得到x=﹣4,即C(﹣4,0),设P(x,0),可得PC=|x+4|,∵△ACP面积为3,∴|x+4|•3=3,即|x+4|=2,解得:x=﹣2或x=﹣6,则P坐标为(﹣2,0)或(﹣6,0).【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,涉及的知识有:待定系数法确定函数解析式,坐标与图形性质,以及三角形面积求法,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.4.(2014•资阳)如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(﹣,0),且与反比例函数y=(m≠0)的图象相交于点A(﹣2,1)和点B.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)求点B的坐标,并根据图象回答:当x在什么范围内取值时,一次函数的函数值小于反比例函数的函数值?【分析】(1)根据待定系数法,可得函数解析式;(2)根据二元一次方程组,可得函数图象的交点,根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方,可得答案.【解答】解:(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(﹣,0)和A(﹣2,1),∴,解得,∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3,反比例函数y=(m≠0)的图象过点A(﹣2,1),∴,解得m=﹣2,∴反比例函数的解析式为y=﹣;(2),解得,或,∴B(,﹣4)由图象可知,当﹣2<x<0或x>时,一次函数的函数值小于反比例函数的函数值.【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法是求函数解析式的关键.5.(2010•成都)如图,已知反比例函数与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A(1,﹣k+4).(1)试确定这两个函数的表达式;(2)求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标,并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.【分析】(1)把A(1,﹣k+4)代入解析式y=,即可求出k的值;把求出的A点坐标代入一次函数y=x+b的解析式,即可求出b的值;从而求出这两个函数的表达式;(2)将两个函数的解析式组成方程组,其解即为另一点的坐标.当一次函数的值小于反比例函数的值时,直线在双曲线的下方,直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围.【解答】解:(1)∵已知反比例函数经过点A(1,﹣k+4),∴,即﹣k+4=k,∴k=2,∴A(1,2),∵一次函数y=x+b的图象经过点A(1,2),∴2=1+b,∴b=1,∴反比例函数的表达式为.一次函数的表达式为y=x+1.(2)由,消去y,得x2+x﹣2=0.即(x+2)(x﹣1)=0,∴x=﹣2或x=1.∴y=﹣1或y=2.∴或.∵点B在第三象限,∴点B的坐标为(﹣2,﹣1),由图象可知,当反比例函数的值大于一次函数的值时,x的取值范围是x<﹣2或0<x<1.【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义.这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.6.(2010•泸州)如图,已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于两点A(﹣2,1)、B(a,﹣2).(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)若一次函数y2=kx+b的图象交y轴于点C,求△AOC的面积(O为坐标原点);(3)求使y1>y2时x的取值范围.【分析】(1)先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为y1=﹣,再求出B的坐标是(1,﹣2),利用待定系数法求一次函数的解析式;(2)在一次函数的解析式中,令x=0,得出对应的y2的值,即得出直线y2=﹣x﹣1与y轴交点C的坐标,从而求出△AOC的面积;(3)当一次函数的值小于反比例函数的值时,直线在双曲线的下方,直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围﹣2<x<0或x>1.【解答】解:(1)∵函数y1=的图象过点A(﹣2,1),即1=;∴m=﹣2,即y1=﹣,又∵点B(a,﹣2)在y1=﹣上,∴a=1,∴B(1,﹣2).又∵一次函数y2=kx+b过A、B两点,即.解之得.∴y2=﹣x﹣1.(2)∵x=0,∴y2=﹣x﹣1=﹣1,即y2=﹣x﹣1与y轴交点C(0,﹣1).设点A的横坐标为x A,∴△AOC的面积S△OAC==×1×2=1.(3)要使y1>y2,即函数y1的图象总在函数y2的图象上方.∴﹣2<x<0,或x>1.【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式.这里体现了数形结合的思想.7.(2008•甘南州)已知:如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A(1,3),B(n,﹣1)两点.(1)求反比例函数与一次函数的解析式;(2)根据图象回答:当x取何值时,反比例函数的值大于一次函数的值.【分析】(1)反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A(1,3),B(n,﹣1)两点,把A点坐标代入反比例函数解析式,即可求出k,得到反比例函数的解析式.将B(n,﹣1)代入反比例函数的解析式求得B点坐标,然后再把A、B点的坐标代入一次函数的解析式,利用待定系数法求出一次函数的解析式;(2)根据图象,分别在第一、三象限求出反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围.【解答】解:(1)∵A(1,3)在y=的图象上,∴k=3,∴y=.又∵B(n,﹣1)在y=的图象上,∴n=﹣3,即B(﹣3,﹣1)∴解得:m=1,b=2,∴反比例函数的解析式为y=,一次函数的解析式为y=x+2.(2)从图象上可知,当x<﹣3或0<x<1时,反比例函数的值大于一次函数的值.【点评】本类题目的解决需把点的坐标代入函数解析式,灵活利用方程组求出所需字母的值,从而求出函数解析式,另外要学会利用图象,确定x的取值范围.8.(2008•南充)如图,已知A(﹣4,n),B(2,﹣4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及三角形AOB的面积.【分析】(1)把A(﹣4,n),B(2,﹣4)分别代入一次函数y=kx+b和反比例函数y=,运用待定系数法分别求其解析式;(2)把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算.【解答】解:(1)∵B(2,﹣4)在y=上,∴m=﹣8.∴反比例函数的解析式为y=﹣.∵点A(﹣4,n)在y=﹣上,∴n=2.∴A(﹣4,2).∵y=kx+b经过A(﹣4,2),B(2,﹣4),∴.解之得.∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2.(2)∵C是直线AB与x轴的交点,∴当y=0时,x=﹣2.∴点C(﹣2,0).∴OC=2.∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×2+×2×4=6.【点评】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k,求出函数解析式;要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积.9.(2007•资阳)如图,已知点A(﹣4,2)、B( n,﹣4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数图象的两个交点:(1)求点B的坐标和一次函数的解析式;(2)求△AOB的面积;(3)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围.【分析】(1)由A和B都在反比例函数图象上,故把两点坐标代入到反比例解析式中,列出关于m与n的方程组,求出方程组的解得到m与n的值,确定出A的坐标及反比例函数解析式,把确定出的A坐标及B的坐标代入到一次函数解析式中,得到关于k与b的方程组,求出方程组的解得到k与b的值,确定出一次函数解析式;(2)令一次函数解析式中x为0,求出此时y的值,即可得到一次函数与y轴交点C的坐标,得到OC的长,三角形AOB的面积分为三角形AOC及三角形BOC面积之和,且这两三角形底都为OC,高分别为A和B的横坐标的绝对值,利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积;(3)根据图象和交点坐标即可得出结果.【解答】解:(1)∵m=﹣8,∴n=2,则y=kx+b过A(﹣4,2),B(n,﹣4)两点,∴解得k=﹣1,b=﹣2.故B(2,﹣4),一次函数的解析式为y=﹣x﹣2;(2)由(1)得一次函数y=﹣x﹣2,令x=0,解得y=﹣2,∴一次函数与y轴交点为C(0,﹣2),∴OC=2,∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=OC•|y点A横坐标|+OC•|y点B横坐标|=×2×4+×2×2=6.S△AOB=6;(3)一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围:﹣4<x<0或x>2.【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,涉及的知识有利用待定系数法求函数解析式,两函数交点坐标的意义,一次函数与坐标轴交点的求法,以及三角形的面积公式,利用了数形结合的思想.第一问利用的方法为待定系数法,即根据题意把两交点坐标分别代入两函数解析式中,得到方程组,求出方程组的解确定出函数解析式中的字母常数,从而确定出函数解析式,第二问要求学生借助图形,找出点坐标与三角形边长及边上高的关系,进而把所求三角形分为两三角形来求面积.10.(2005•四川)如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点,与x轴交于点C,与y轴交于点D.已知OA=,tan∠AOC=,点B的坐标为(,m).(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)求△AOB的面积.【分析】(1)根据tan∠AOC=,且OA=,结合勾股定理可以求得点A的坐标,进一步代入y=中,得到反比例函数的解析式;然后根据反比例函数的解析式得到点B的坐标,再根据待定系数法求一次函数解析式;(2)三角形AOB的面积可利用,求和的方法即等于S△AOC+S△COB来求.【解答】解:(1)过点A作AH⊥x于点H.在RT△AHO中,tan∠AOH==,所以OH=2AH.又AH2+HO2=OA2,且OA=,所以AH=1,OH=2,即点A(﹣2,1).代入y=得k=﹣2.∴反比例函数的解析式为y=﹣.又因为点B的坐标为(,m),代入解得m=﹣4.∴B(,﹣4).把A(﹣2,1)B(,﹣4)代入y=ax+b,得,∴a=﹣2,b=﹣3.∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3.(2)在y=﹣2x﹣3中,当y=0时,x=﹣.即C(,0).∴S△AOB=S△AOC+S△COB=(1+4)×=.【点评】此题综合考查了解直角三角形、待定系数法、和函数的基本知识,难易程度适中.11.(2016•乐至县一模)如图,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A,B两点,且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2,求:(1)一次函数的解析式;(2)△AOB的面积;(3)直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围.【分析】(1)把点A(﹣2,4),B(4,﹣2)代入一次函数y=kx+b即可求出k及b的值;(2)先求出C点的坐标,根据S△AOB=S△AOC+S△BOC即可求解;(3)由图象即可得出答案;【解答】解:(1)由题意A(﹣2,4),B(4,﹣2),∵一次函数过A、B两点,∴,解得,∴一次函数的解析式为y=﹣x+2;(2)设直线AB与y轴交于C,则C(0,2),∵S△AOC=×OC×|A x|,S△BOC=×OC×|B x|∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=•OC•|A x|+•OC•|B x|==6;(3)由图象可知:一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围是x<﹣2或0<x<4.【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,属于基础题,关键是掌握用待定系数法求解函数解析式.12.(2016•重庆校级模拟)已知:如图所示,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点,与x交于点C,与y轴交于点D,OC=1,BC=5,.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)连接BO,AO,求△AOB的面积.(3)观察图象,直接写出不等式的解集.【分析】(1)先根据解直角三角形求得点D和点B的坐标,再利用C、D两点的坐标求得一次函数解析式,利用点B的坐标求得反比例函数解析式;(2)先根据解方程组求得两个函数图象的交点A的坐标,再将x轴作为分割线,求得△AOB的面积;(3)根据函数图象进行观察,写出一次函数图象在反比例函数图象下方时所有点的横坐标的集合即可.【解答】解:(1)∵∴直角三角形OCD中,=,即CD=OD又∵OC=1∴12+OD2=(OD)2解得OD=,即D(0,﹣)将C(1,0)和D(0,﹣)代入一次函数y=ax+b,可得,解得∴一次函数的解析式为y=x﹣过B作BE⊥x轴,垂足为E∵直角三角形BCE中,BC=5,∴BE=3,CE==4∴OE=4﹣1=3,即B(﹣3,﹣3)将B(﹣3,﹣3)代入反比例函数,可得k=9∴反比例函数的解析式为y=;(2)解方程组,可得,∴A(4,)∴S△AOB=S△AOC+S△COB=×1×+×1×3=+=;(3)根据图象可得,不等式的解集为:x<﹣3或0<x<4.【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,需要掌握待定系数法求函数解析式的方法,以及根据两个函数图象的交点坐标求有关不等式解集的方法.解答此类试题的依据是:①函数图象上点的坐标满足函数解析式;②不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合.13.(2016•重庆校级一模)如图,已知一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=﹣的图象交于A、B两点,与坐标轴交于M、N两点.且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2.(1)求一次函数的解析式;(2)求△AOB的面积;(3)观察图象,直接写出y1>y2时x的取值范围.【分析】(1)先根据反比例函数解析式求得两个交点坐标,再根据待定系数法求得一次函数解析式;(2)将两条坐标轴作为△AOB的分割线,求得△AOB的面积;(3)根据两个函数图象交点的坐标,写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可.【解答】解:(1)设点A坐标为(﹣2,m),点B坐标为(n,﹣2)∵一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=﹣的图象交于A、B两点∴将A(﹣2,m)B(n,﹣2)代入反比例函数y2=﹣可得,m=4,n=4∴将A(﹣2,4)、B(4,﹣2)代入一次函数y1=kx+b,可得,解得∴一次函数的解析式为y1=﹣x+2;(2)在一次函数y1=﹣x+2中,当x=0时,y=2,即N(0,2);当y=0时,x=2,即M(2,0)∴S△AOB=S△AON+S△MON+S△MOB=×2×2+×2×2+×2×2=2+2+2=6;(3)根据图象可得,当y1>y2时,x的取值范围为:x<﹣2或0<x<4【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解决问题的关键是掌握根据函数图象的交点坐标求一次函数解析式和有关不等式解集的方法.解答此类试题的依据是:①函数图象的交点坐标满足两个函数解析式;②不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合.14.(2016•重庆校级模拟)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数的图象相交于A(2,3),B(﹣3,n)两点.(1)求一次函数与反比例函数的解析式.(2)根据所给条件,请直接写出不等式kx+b>的解集.(3)连接OA、OB,求S△ABO.【分析】(1)根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m和n,利用待定系数法求出一次函数的解析式;(2)根据函数图象得到答案;(3)求出直线与x轴的交点坐标,根据三角形的面积公式计算即可.【解答】解:(1)∵反比例函数的图象经过A(2,3),∴m=2×3=6,∴反比例函数的解析式为:y=,∵反比例函数的图象经过于B(﹣3,n),∴n==﹣2,∴点B的坐标(﹣3,﹣2),由题意得,,解得,,∴一次函数的解析式为:y=x+1;(2)由图象可知,不等式kx+b>的解集为:﹣3<x<0或x>2;(3)直线y=x+1与x轴的交点C的坐标为(﹣1,0),则OC=1,则S△ABO=S△OBC+S△ACO=×1×2+×1×3=.【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题,掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键,注意数形结合思想的运用.15.(2016•成华区模拟)如图,已知一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A(﹣2,m)和点B(4,﹣2),与x轴交于点C(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)求△AOB的面积.【分析】(1)由B点的坐标根据待定系数法即可求得在反比例函数的解析式,代入A(﹣2,m)即可求得m,再由待定系数法求出一次函数解析式;(2)由直线解析式求得C点的坐标,从而求出△AOB的面积.【解答】解:(1)∵B(4,﹣2)在反比例函数y=的图象上,∴k=4×(﹣2)=﹣8,又∵A(﹣2,M)在反比例函数y=的图象上,∴﹣2m=﹣8,∴m=4,∴A(﹣2,4),又∵AB是一次函数y=ax+b的上的点,∴解得,a=﹣1,b=2,∴一次函数的解析式为y=﹣x+2,反比例函数的解析式y=﹣;(2)由直线y=﹣x+2可知C(2,0),所以△AOB的面积=×2×4+×2×2=6.【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题,以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式,是基础知识要熟练掌握.16.(2016•重庆校级一模)如图,一次函数y=mx+n(m≠0)与反比例函数y=(k≠0)的图象相交于A(﹣1,2),B(2,b)两点,与y轴相交于点C(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)若点D与点C关于x轴对称,求△ABD的面积.【分析】(1)把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k,再把B点坐标代入可求得b,再利用待定系数法可求得一次函数解析式;(2)可先求得D点坐标,再利用三角形的面积计算即可.【解答】解:(1)∵反比例函数y=(k≠0)的图象过A(﹣1,2),∴k=﹣1×2=﹣2,∴反比例函数解析式为y=﹣,当x=2时,y=﹣1,即B点坐标为(2,﹣1),∵一次函数y=mx+n(m≠0)过A、B两点,∴把A、B两点坐标代入可得,解得,∴一次函数解析式为y=﹣x+1;(2)在y=﹣x+1中,当x=0时,y=1,∴C点坐标为(0,1),∵点D与点C关于x轴对称,∴D点坐标为(0,﹣1),∴CD=2,∴S△ABD=S△ACD+S△BCD=×2×1+×2×2=3.【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数的交点,掌握两函数图象的交点坐标满足每一个函数解析式是解题的关键.。

2018中考数学专题复习——探索规律

2018中考数学专题复习——探索规律

动到( 0,1),然后接着按图中箭头所示方向运动 [ 即( 0,0)→( 0,1)→( 1,1)→( 1,
0)→… ] ,且每秒移动一个单位,那么第 35 秒时质点所在位置的坐标是(

A. ( 4, 0) B. ( 5, 0) C. (0, 5) D. ( 5, 5)
14. ( 2018 贵州贵阳 ) 根据如图 2 所示的( 1),( 2),( 3)三个图所表示的规律,依次下
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
6.(2018 河北 ) 有一个四等分转盘,在它的上、右、下、左的位置分别挂着“众”、
“志”、
“成”、“城”四个字牌,如图 1.若将位于上下位置的两个字牌对调,同时将位于左右位
置的两个字牌对调,再将转盘顺时针旋转 90 ,则完成一次变换.图 2,图 3 分别表示第 1
将纸片展开,得到的图形是
A.
B.
C.
D.
8.(2018 山东德州 ) 只用下列图形不能镶嵌的是 ( )
A.三角形
B.四边形
C .正五边形
D.正六边形
9.(2018 黑龙江黑河 ) 为紧急安置 100 名地震灾民,需要同时搭建可容纳 6 人和 4 人的两种
帐篷,则搭建方案共有(

A. 8 种
B. 9 种
方式串起来搭建,则串 7 顶这样的帐篷需要
D. 3
17 根钢管,这样的帐篷按图②,图③的 根钢管.
2.( 2018 年江苏省连云港市)如图所示,①中多边形(边数为
12 )是由正三角形“扩展”
而来的,②图中1多边形是由正方形“图扩展2 ”而来的,
,依此类推图,3则由正 n 边形“扩展”
而来的多边形的边数为 .
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第一章 数与式 第一讲 实数【基础知识回顾】一、实数的分类: 1、按实数的定义分类: 实数 有限小数或无限循环数2、按实数的正负分类: 实数解实数的分类。

如:2π是 数,不是数,【名师提醒:1、正确理722是 数,不是 数。

2、0既不是 数,也不是 数,但它是自然数】 二、实数的基本概念和性质1、数轴:规定了 、 、 的直线叫做数轴, 和数轴上的点是一一对应的,数轴的作用有 、 、 等。

2、相反数:只有 不同的两个数叫做互为相反数,a 的相反数是 ,0的相反数是 ,a 、b 互为相反数⇔3、倒数:实数a 的倒数是 , 没有倒数,a 、b 互为倒数⇔4、绝对值:在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。

a =因为绝对值表示的是距离,所以一个数的绝对值是 数,我们学过的非负数有三个: 、 、 。

【名师提醒:a+b 的相反数是 ,a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数,相反数等于本身的数是 ,倒数等于本身的数是 ,绝对值等于本身的数是 】 三、科学记数法、近似数和有效数字。

1、科学记数法:把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。

其中a 的取值范围是 。

2、近似数和有效数字:一般的,将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数,这时,从 数字起到近似数的最后一位止,中间所有的数字都叫这个数的有效数字。

【名师提醒:1、科学记数法不仅可以表示较大的数,也可以表示较小的数,其中a 的取值范围一样,n 的取值不同,当表示较大数时,n 的值是原整数数位减一,表示较小的数时,n 是负整数,它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数数位上的零)。

2、近似数3.05万是精确到 位,而不是百分位】四、数的开方。

1、若x 2=a(a 0),则x 叫做a 的 ,记做±a ,其中正数a 的 平方根叫做a 的算术平方根,记做 ,正数有 个平方根,它们互为 ,0的平方根是 ,负数 平方根。

2、若x 3=a,则x 叫做a 的 ,记做3a ,正数有一个 的立方根,0的立方根是 ,负数 立方根。

【名师提醒:平方根等于本身的数有 个,算术平方根等于本身的数有 ,立方根等于本身的数有 。

】【重点考点例析】A .πB .5C .0D .-1.对应训练⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ⎧⎨⎩⎧⎨⎩正数正无理数零 负有理数负数 (a >0) (a <0) 0 (a=0)1.(安顺)下列各数中,3.14159,38-,0.131131113…,-π,25,17-,无理数的个数有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 考点二、实数的有关概念。

例2 (遵义)如果+30m 表示向东走30m ,那么向西走40m 表示为( ) A .+40m B .-40m C .+30m D .-30m 例3 (资阳)16的平方根是( ) A .4 B .±4 C .8 D .±8 例4 (铁岭)-2的绝对值是( ) A .2B .-2C .22D .-222.(盐城)如果收入50元,记作+50元,那么支出30元记作( ) A .+30 B .-30 C .+80 D .-80 3.(珠海)实数4的算术平方根是( ) A .-2 B .2 C .±2 D .±4 4.(绵阳)2的相反数是( ) A .2B .22C .-2D .-225.(南京)-3的相反数是 ;-3的倒数是 。

6.(湘西州)-2013的绝对值是 . 7.(宁波)实数-8的立方根是 . 考点三:实数与数轴。

例5 (广州)实数a 在数轴上的位置如图所示,则|a-2.5|=( )A .a-2.5B .2.5-aC .a+2.5D .-a-2.5 对应训练8.(连云港)如图,数轴上的点A 、B 分别对应实数a 、b ,下列结论中正确的是( ) A .a >b B .|a|>|b| C .-a <b D .a+b <0考点四:科学记数法。

例6 (威海)花粉的质量很小,一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克,已知1克=1000毫克,那么0.000037毫克可用科学记数法表示为( ) A .3.7×10-5克 B .3.7×10-6克 C .37×10-7克 D .3.7×10-8克 对应训练9.(潍坊)2015年,我国财政性教育经费支出实现了占国内生产总值比例达4%的目标,其中在促进义务教育均衡方面,安排农村义务教育经费保障机制改革资金达865.4亿元,数据“865.4亿元”用科学记数法可表示为( )元. A .865×108 B .8.65×109 C .8.65×1010 D .0.865×101110.(绵阳)2013年,我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感,H7N9是一种新型禽流感,其病毒颗粒呈多形性,其中球形病毒的最大直径为0.00000012米,这一直径用科学记数法表示为( ) A .1.2×10-9米 B .1.2×10-8米 C .12×10-8米 D .1.2×10-7米 例7 (新疆)若a ,b 为实数,且|a+1|+1b -=0,则(ab )2013的值是( ) 11.(攀枝花)已知实数x ,y ,m 满足2x ++|3x+y+m|=0,且y 为负数,则m 的取值范围是( ) 【聚焦山东中考】1.(济宁)一运动员某次跳水的最高点离跳台2m ,记作+2m ,则水面离跳台10m 可以记作( ) A .-10m B .-12m C .+10m D .+12m 2.(临沂)-2的绝对值是( ) A .2B .-2C .12D .-123.(烟台)-6的倒数是( )A .16B .-16C .6D .-64.(潍坊)实数0.5的算术平方根等于( ) A .2B .2C .22D .125.(威海)下列各式化简结果为无理数的是( ) A .327-B .(21-)0C .8D .2(2)-6.(烟台)“厉行勤俭节约,反对铺张浪费”势在必行,最新统计数据显示,中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮.将210000000用科学记数法表示为( ) A .2.1×10 B .0.21×10 C .2.1×10 D .21×107.(泰安)2016年我国国民生产总值约52万亿元人民币,用科学记数法表示2016年我国国民生总值为( ) A .5.2×1012 B .52×1012元 C .0.52×1014 D .5.2×1013元8.(临沂)拒绝“餐桌浪费”,刻不容缓.据统计全国每年浪费食物总量约50 000 000 000千克,这个数据用科学记数法表示为( ) A .0.5×1011千克 B .50×109千克 C .5×109千 D .5×1010千克9.(德州)森林是地球之肺,每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物.28.3亿吨用科学记数法表示为( ) A .28.3×107 B .2.83×108 C .0.283×1010 D .2.83×10910.(菏泽)明明同学在“百度”搜索引擎输入“钓鱼岛最新消息”,能搜索到与之相关的结果个数约为,这个数用科学记数法表示为 .11.(菏泽)如图,数轴上的A 、B 、C 三点所表示的数分别是a 、b 、c ,其中AB=BC ,如果|a|>|b|>|c|,那么该数轴的原点O 的位置应该在( ) A .点A 的左边 B .点A 与点B 之间C .点B 与点C 之间D .点B 与点C 之间或点C 的右边【备考真题过关】 一、选择题1.(咸宁)如果温泉河的水位升高0.8m 时水位变化记作+0.8m ,那么水位下降0.5m 时水位变化记作( ) A .0m B .0.5m C .-0.8m D .-0.5m 2.(丽水)在数0,2,-3,-1.2中,属于负整数的是( ) A .0 B .2 C .-3 D .-1.2 3.(连云港)下列各数中是正数的为( ) A .3B .-12C .2D .04.(玉林)2的相反数是( ) A .2B .-2C .12 D .-12 5.(张家界)-2013的绝对值是( ) A .-2013B .2013C .12013D .-120136.(乌鲁木齐)|-2|的相反数是( ) A .-2B .-12C .12D .27.(随州)与-3互为倒数的是( ) A .-13B .-3C .13D .38.(钦州)在下列实数中,无理数是( ) A .0B .14C 5D .69.(宜宾)据宜宾市旅游局公布的数据,今年“五一”小长假期间,全市实现旅游总收入330000000元.将330000000用科学记数法表示为( ) A .3.3×108 B .3.3×109 C .3.3×107 D .0.33×1010 10.(包头)若|a|=-a ,则实数a 在数轴上的对应点一定在( )A .原点左侧B .原点或原点左侧C .原点右侧D .原点或原点右侧11.(遵义)如图,A 、B 两点在数轴上表示的数分别是a 、b ,则下列式子中成立的是( ) A .a+b <0 B .-a <-b C .1-2a >1-2b D .|a|-|b|>012.(乐山)如果规定向东为正,那么向西即为负.汽车向东行驶3千米记作3千米,向西行驶2千米应记作 千米.13.(重庆)实数6的相反数是 . 14.(上海模拟)求值:38-= . 15.(黔西南州)81的平方根是 .16.(黔西南州)已知1a -+|a+b+1|=0,则a b = . 第二讲 实数的运算【重点考点例析】例1 (淮安)如图,数轴上A 、B 两点表示的数分别为2和5.1,则A 、B 两点之间表示整数的点共有( )1.(内江)下列四个实数中,绝对值最小的数是( ) A .-5 B .-2 C .1D .4例2 (毕节地区)估计11的值在( )之间. 2.(吴江市模拟)3+3的整数部分是a ,3- 3的小数部分是b ,则a+b 等于 . 例3 (咸宁)在数轴上,点A (表示整数a )在原点的左侧,点B (表示整数b )在原点的右侧.若|a-b|=2013,且AO=2BO ,则a+b 的值为 . 3.(永州)已知0||||a b a b +=,则 ||ab ab 的值为 . 例4 (自贡)计算:20130+(12)-1-2sin60°-|3-2|= . 4.(玉林)计算:38+2cos60°-(π-2-1)0.例5 (永州)我们知道,一元二次方程x 2=-1没有实数根,即不存在一个实数的平方等于-1.若我们规定一个新数“i ”,使其满足i 2=-1(即方程x 2=-1有一个根为i ).并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则运算,且原有运算律和运算法则仍然成立,于是有i 1=i ,i 2=-1,i 3=i 2•i=(-1)•i=-i ,i 4=(i 2)2=(-1)2=1,从而对于任意正整数n ,我们可以得到i 4n+1=i 4n •i=(i 4)n •i=i ,同理可得i 4n+2=-1,i 4n+3=-i ,i 4n =1.那么i+i 2+i 3+i 4+…+i 2012+i 2013的值为( ) A .0 B .1 C .-1 D .i 5.(台州)任何实数a ,可用[a]表示不超过a 的最大整数,如[4]=4,[3]=1.现对72进行如下操作:72[72]8[8]2[2]1===第一次第二次第三次,这样对72只需进行3次操作后变为1,类似的,①对81只需进行几次操作后变为1:②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的是几?A.- B.- C.-2 D.-1A.5B.-5C.6D.-63.(日照)计算-22+3的结果是()A.7 B.5 C.-1 D.-5 4.(聊城)(-2)3的相反数是()A.-6 B.8 C.- 16D.165.(菏泽)如果a的倒数是-1,那么a2013等于()A.1 B.-1 C.2013 D.-2013 【备考真题过关】一、选择题1.(广州)比0大的数是()A.-1 B.-12C.0 D.12.(重庆)在-2,0,1,-4这四个数中,最大的数是()A.-4 B.-2 C.0 D.1 3.(天津)计算(-3)+(-9)的结果等于()A.12 B.-12 C.6 D.-6 4.(河北)气温由-1℃上升2℃后是()A.-1℃B.1℃C.2℃D.3℃5.(自贡)与-3的差为0的数是()A.3 B.-3 C.13D.-136.(温州)计算:(-2)×3的结果是()A.-6 B.-1 C.1 D.6 7.(厦门)下列计算正确的是()A.-1+2=1 B.-1-1=0 C.(-1)2=-1 D.-12=1 8.(南京)计算:12-7×(-4)+8÷(-2)的结果是()第三讲整式【基础知识回顾】一、整式的有关概念::由数与字母的积组成的代数式1、整式:多项式:。

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