动态几何问题探究

1. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(4，3)，点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)．(1)求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？(2)设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？(3)连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．１２2. 已知在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为()3A 0，、()04C ，，点D 的坐标为()D 5-0，，点P 是直线AC 上的一动点，直线DP 与y 轴交于点M ．问：（1）当点P 运动到何位置时，直线DP 平分矩形OABC 的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP 的函数解析式；（2）当点P 沿直线AC 移动时，是否存在使DOM △与ABC △相似的点M ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P 沿直线AC 移动时，以点P 为圆心、半径长为R （R ＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P ．若设动圆P 的直径长为AC ，过点D 作动圆P 的两条切线，切点分别为点E 、F ．请探求是否存在四边形DEPF 的最小面积S ，若存在，请求出S 的值；若不存在，请说明理由． 注：第（3）问请用备用图解答．备用3. 阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个．．符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画．图．并直接写出结果）．图1 图2 图3 A DGCB E QHFMNP图4３4. 在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为(11)，的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O F，重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．４５5. 问题探究（1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使90APB ∠=°的一个．．点P ，并说明理由． （2）请在图②的正方形ABCD 内（含边），画出使60APB ∠=°的所有．．的点P ，并说明理由． 问题解决（3）如图③，现在一块矩形钢板43ABCD AB BC ==，，．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的APB △和CP D '△钢板，且60APB CP D '∠=∠=°．请你在图③中画出符合要求的点P 和P '，并求出APB △的面积（结果保留根号）．D C B A ① D C BA ③ D CB A ②６6. 问题探究（1）请你在图①中作一条．．直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分； （2）如图②，点M 是矩形ABCD 内一定点.请你在图②中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分. 问题解决（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中644DC OB OB BC CD ===∥，，，.开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点(42)P ，处.为了方便驻区单位，准备过点P 修一条笔直的道路（路的宽度不计），并且使这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分.你认为直线l 是否存在？若存在，求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由.7. 将两块大小一样含30角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB 重合，直角边不重合，已知8AB =，７4BC AD ==，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ．（1）填空：如图1，AC = ，BD = ；四边形ABCD 是 梯形．（2）请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形）．（3）如图2，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图2的平面直角坐标系，保持ABD △不动，将ABC △向x 轴的正方向平移到FGH △的位置，FH 与BD 相交于点P ，设A F t =，FBP △面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围．8. 如图，正方形ABCD 的边长为3a ，两动点E F ，分别从顶点B C ，同时开始以相同速度沿BC CD ，运动，与BCF △相应的EGH △在运动过程中始终保持EGH BCF △≌△，对应边EG BC =，B E C G ，，，在一图1 A BD CE 图2８直线上．（1）若BE a ，求DH 的长；（2）当E 点在BC 边上的什么位置时，DHE △的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值．9. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点BAB EC GH F D 3a 3aB匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q 同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．10. 小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，8AB=cm．现有一动点P按下列方式在矩形内AD=cm，6运动：它从A点出发，沿着与AB边夹角为45︒的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，９１０沿着与这条边夹角为45︒的方向作直线运动，并且它一直按照这种 方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着与BC 边夹角 为45︒的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45︒的方向作直线运动，…，如图1所示．问P 点 第一次与D 点重合前．．．与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合．． 时．所经过的路径的总长是多少． 小贝的思考是这样开始的 : 如图2，将矩形A B 沿直线CD 折叠，得到矩形11A B CD ．由轴对称的知识，发现232P P P E =，11P A PE =. 请你参考小贝的思路解决下列问题：（1）P 点第一次与D 点重合前．．．与边相碰 次；P 点从A 点出发到第一次与D 点重合时．．．所经过的路径的总长是 cm ；（2） 进一步探究：改变矩形ABCD 中AD 、AB 的长，且满足AD AB >．动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形A B C D 相邻的两边上. 若P 点第一次与B 点重合前．．．与边相碰7次，则:AB AD 的值为 .1. 解：（1）过点B 作BD OA ⊥于点D ，则四边形CODB 是矩形，图1图24BD CO ==，3OD CB ==，3DA =．在Rt ABD △中，5AB ==． 当MN OC ∥时，MN BD ∥，AMN ADB ∴△∽△，AN AMAB AD=． ∵AN OM t ==，63AM t AD =-=，， ∴653t t -=， 即154t =（秒）．（2）过点N 作NE x ⊥轴于点E ，交CB 的延长线于点F ， ∵NE BD ∥，∴AEN ADB △∽△，EN ANDB AB=． 即45EN t =，45EN t =．4EF CO == ，445FN t ∴=-．COM MNA CBN OABC S S S S S =--- △△△梯形，∴1111()2222S CO OA CB CO OM AM EN CB FN =+--- 1114144(63)4(6)34222525t t t t ⎛⎫=⨯⨯+-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- ⎪⎝⎭ ． 即22161255S t t =-+（05t ≤≤）． 由22161255S t t =-+，得2228(4)55S t =-+．∴当4t =时，S 有最小值，且285S =最小． 解：（1）连结BO 与AC 交于点H ，则当点P 运动到点H 时，2.直线DP 平分矩形OABC 的面积．理由如下：∵矩形是中心对称图形，且点H 为矩形的对称中心．又据经过中心对称 图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，因为直线DP 过矩形OABC 的对称中心点H ，所以直线DP 平分矩形OABC 的面积．由已知可得此时点P 的坐标为3(2)2P ，．设直线DP 的函数解析式为y kx b =+．则有503 2.2k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得413k =，2013b =．所以，直线DP 的函数解析式为：4201313y x =+． （2）存在点M 使得DOM △与ABC △相似．如图，不妨设直线DP 与y 轴的正半轴交于点(0)m M y ，． 因为DOM ABC ∠=∠，若△DOM 与△ABC 相似，则有OM BC OD AB =或OM ABOD BC=． 当OM BCOD AB=时，即354m y =，解得154m y =．所以点115(0)4M ，满足条件． 当OM ABOD BC=时，即453m y =，解得203m y =．所以点220(0)3M ，满足条件． 由对称性知，点315(0)4M -，也满足条件． 综上所述，满足使DOM △与ABC △相似的点M 有3个，分别为115(0)4M ，、220(0)3M ，、315(0)4M -，．（3）如图 ，过D 作DP ⊥AC 于点P ，以P 为圆心，半径长为52画圆，过点D 分别作P 的切线DE 、DF ，点E 、F 是切点．除P 点外在直线AC 上任取一点P 1，半径长为52画圆，过点D 分别作P 的切线DE 1、DF 1，点E 1、F 1是切点．在△DEP 和△DFP 中，∠PED ＝∠PFD ，PF ＝PE ，PD ＝PD ，∴△DPE ≌△DPF ． ∴Ｓ四边形DEPF ＝2Ｓ△DPE ＝2×1522DE PE DE PE DE ⨯⋅=⋅=．∴当DE 取最小值时，Ｓ四边形DEPF 的值最小．∵222DE DP PE =-，2221111DE DP PE =-，∴222211DE DE DP DP -=-．∵1DP DP >，∴2210DE DE ->．∴1DE DE >．由1P 点的任意性知：DE 是D 点与切点所连线段长的最小值．在△ADP 与△AOC 中，∠DP A ＝∠AOC ， ∠DAP ＝∠CAO ， ∴△ADP ∽△AOC ． ∴DP CO DA CA =，即485DP =．∴325DP =．∴DE ==x∴Ｓ四边形ＤＥＰＦ（注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，请参照标准给分．）3. 解：（1（2）正确画出图形（如图4）平行四边形MNPQ 的面积为25．4. 解：（1）12；（2）直角顶点的坐标为22⎛⎫⎪⎪⎝⎭，或1122⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭． 此时的图形如右图．5. 解：（1）如图①，连接AC BD 、交于点P ，则90APB ∠=°． ∴点P 为所求．（2）如图②，画法如下：1）以AB 为边在正方形内作等边ABP △；2）作ABP △的外接圆O ⊙，分别与AD BC 、交于点E F 、．在O ⊙中，弦AB 所对的APB 上的圆周角均为60°， EF∴上的所有点均为所求的点P ． （3）如图③，画法如下：1）连接AC ；2）以AB 为边作等边ABE △；3）作等边ABE △的外接圆O ⊙，交AC 于点P ； 4）在AC 上截取AP CP '=． 则点P P '、为所求．（评卷时，作图准确，无画法的不扣分） 过点B 作BG AC ⊥，交AC 于点G ．图3CA DGC BEQH F M N P 图4B A P②在Rt ABC △中，43AB BC ==，．5AC ∴==．125AB BC BG AC ∴== ． 在Rt ABG △中，4AB =，165AG ∴==．在Rt BPG △中，60BPA ∠=°，12tan 605BG PG ∴===°∴1655AP AG PG =+=+．111612962255525APB S AP BG ⎛⎫+∴==⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ △．6. 解：（1）如图①，作直线DB ，直线DB 即为所求.（所求直线不唯一，只要过矩形 对称中心的直线均可） ··························································································· （2分） （2）如图②，连接AC 、DB 交于点P ，则点P 为矩形ABCD 的对称中心.作直线MP ， 直线MP 即为所求. ································································································ （5分） （3）如图③，存在符合条件的直线l . ································································· （6分） 过点D 作DA OB ⊥于点A ，则点(42)P ，为矩形ABCD 的对称中心. ······························································· （6分） ∴过点P 的直线只要平分DOA △的面积即可.易知，在OD 边上必存在点H ，使得直线PH 将DOA △面积平分. 从而，直线PH 平分梯形OBCD 的面积. 即直线PH 为所求直线l . ························································································ （9分）设直线PH 的表达式为y kx b =+，且点(42)P ，， 24k b ∴=+．即2424b k y kx k =-∴=+-．． 直线OD 的表达式为2y x =．∴242y kx k y x =+-⎧⎨=⎩，．解之，得242482k x kk y k -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，．③∴点H 的坐标为244822k k k --⎛⎫⎪--⎝⎭，．PH 与线段AD 的交点F 的坐标为(222)k -，， 02241k k ∴<-<∴-<<．．2411224222k k -⎛⎫-=⨯⨯⨯ ⎪-⎝⎭．解之，得k k ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭83b ∴= ∴直线l的表达式为8y x =+- （12分）7. ．解：（1）1分等腰； 2分 （2）共有9对相似三角形．（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）①△DCE 、△ABE 与△ACD 或△BDC 两两相似，分别是：△DCE ∽△ABE ，△DCE ∽△ACD ，△DCE ∽△BDC ，△ABE ∽△ACD ，△ABE ∽△BDC ；(有5对)②△ABD ∽△EAD ，△ABD ∽△EBC ；(有2对) ③△BAC ∽△EAD ，△BAC ∽△EBC ；(有2对) 所以，一共有9对相似三角形． 5分（3）由题意知，FP ∥AE ，∴ ∠1＝∠PFB ， 又∵ ∠1＝∠2＝30°， ∴ ∠PFB ＝∠2＝30°， ∴ FP ＝BP过点P 作PK ⊥FB 于点K ，则12FK BK FB ==．∵ AF ＝t ，AB ＝8，∴ FB ＝8－t ，1(8)2BK t =-．在Rt △BPK 中，1tan 2(8)tan 30)2PK BK t t =⋅∠=-︒=-． 7分∴ △FBP 的面积11(8))22S FB PK t t =⋅⋅=⋅--， ∴ S 与t 之间的函数关系式为：2(8)12S t =-，或24123S t =-+ 8分 t 的取值范围为：08t ≤<．9分8. 解：（1）连接FH ，则FH BE ∥且FH BE =， 1分在Rt DFH △中，32DF a a a =-=，FH a =，90DFH ∠= ，2分所以，DH ==．3分 （2）设BE x =，DHE △的面积为y ， 4分 依题意，CDE EGH CDHG y S S S =+-△△梯形，5分1113(3)(3)3222a a x a x x a x =⨯⨯-+⨯+⨯-⨯⨯ 6分 22139222x ax a =-+ 7分22221391327222228y x ax a x a a ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．当32x a =，即12BE BC =， E 是BC 的中点时，y 取最小值． 8分DHE △的面积y 的最小值为2278a ． 9分9. 解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABC，4BC =， 得45QF t =．∴45QF t =． ∴14(3)25S t t =-⋅， 即22655S t t =-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°．ABE CGH FDP图4由△APQ ∽△ABC ，得AQ APAC AB=， 即335t t -=． 解得98t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得AQ APAB AC=， 即353t t -=． 解得158t =．（4）52t =或4514t =． 【注：①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．方法一、连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6． PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．方法二、由CQ CP AQ ==，得QAC QCA ∠=∠，进而可得 B BCQ ∠=∠，得CQ BQ =，∴52AQ BQ ==．∴52t =．②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7． 22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】10. 解：（1）5，； 3分 （2）4:5． 5分解题思路示意图：P图5。