弹性力学第3章(徐芝纶第五版)

⑶ 在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力，
f x (lσ x mτ xy )s,
(e)
f y (mσ y lτ xy )s.
逆解法
从而得出，在面力(e)作用下的解答，
就是上述 和应Φ力。
逆解法没有针对性，但可以积累基本 解答。
逆解法
例1 一次式 Φ=ax+by+c,对应于无体力， 无面力，无应力状态。 故应力函数中加减一次式，不影响应力。 例2 二次式 Φ ax2 b，xy分c别y2表示常量
2
函数 Φ Ax3 Bx2 , 求解图示问题的应力及
位移，设在A点的位移和转角均为零。
F
Fb/2
O
x
bb h
A y (h b, 1)
例题4
图中矩形截面的简支梁上，作用有三 角形分布荷载。试用下列应力函数
Φ Ax3 y3 Bxy5 Cx3 y Dxy3 Ex3 Fxy,
求解应力分量。
3 简支梁受均布荷载
问题
简支梁 2l h 1 ，受均布荷载q 及两端
。 支撑反力 ql 。
q
ql
o
h/2
x
h/2 ql
l yl
半逆解法
按半逆解法求解。 ⑴ 假设应力分量。 ⑵ 由应力分量推出应力函数的形式。
⑶ 将 Φ代入相容方程，求解 :Φ ⑷ 由 Φ求应力。
对称性条件─由于结构和荷载对称于
y轴，∴ Φ, σ应x ,为σ y 的偶x函数， 为 xy
4 楔形体受重力和液体压力 问题
设有楔形体， 左面垂直，顶角为α， 下端无限长，受重 力及齐顶液体压力,
fx 0, f y 1g.
o
α 2g
y
x
n
α
2
1g
用半逆解法求解。
（1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~Φ关系式，Φ应为x,y的三次式，
（3）Φ 满足相容方程 4Φ 0.
（4）由 Φ求应力， （5）考察边界条件——本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件:
y h
)(1
2y h
)2
.
应力的量级
关于应力的量级:
当 l h 时, x ~l 同阶，y ~ h 同阶.
第一项~ q( l )2同阶,（与材力解同）;
σx
h
第二项 ~ q 同阶,（弹力的修正项）.
xy
~
q(
l h
)
同阶,（与材力解同）.
σ y ~ q 同阶, （材力中不计）.
应力比较
应力与材力解比较:
x的奇函数，故 E F 。G 0
⑸ 考察边界条件。
主要边界 y h / 2,
次要边界 x=l 上,
主要边界
应力
最后应力解答为：
σx
6q h3
(l 2
x2)y
q
y h
(4
y2 h2
3) 5
M I
y
q
y h
(
4
y h
2 2
3 5
),
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xy
6q h3
x(
h2 4
y
2
)
FS S bI
,
σ
y
q 2
(1
ql
6o
y
qx l
ql
h/2
3
h/2
x
l
(h l, 1)
例题5
矩形截面的柱体受到 顶部的集中力 2F 和 力矩M的作用，不计 体力，试用应力函数
M
2F
45
y
o
b/2 b/2
hq
q
Φ Ay 2 Bxy Cxy3 Dy3
求解其应力分量。
(h b, 1) x
例题6
挡水墙的密
度为 1 ，厚度
2 位移分量的求出
问题提出
在按应力求解中，若已得出应力，如何求 出位移？
以纯弯曲问题为例，已知
σ
x
M I
y,
σ y xy 0,
试求解其位移。
归纳：从应力求位移的步骤： 1. 由物理方程求出形变；
2.代入几何方程，积分求 u, v；
3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量
u0 , v0 , 。
纯弯曲问题的讨论：
材力在许多方面都作了近似处理,所以 得出的是近似解答。
例如：在材力中
几何条件中引用平截面假定 u, ε, σ x
沿 y为直线分布；
平衡条件中，略去 σ y作用，没有考虑微分 体的平衡，只考虑 h d x b 的内力平衡；
边界条件也没有严格考虑； 材力解往往不满足相容条件。
对于杆件，材力解法及解答具有足够 的精度; 对于非杆件，不能用材力解法求 解，应采用弹力解法求解。
例题2
设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力 和力矩的作用，体力可以不计，l h 如图，
试用应力函数 Φ Axy By2 Cy3 Dxy3求解
应力分量。
Fs
M
o
FN
σ xτ xy
y dy
y
Φ Axy By2 Cy3 Dxy3
h/2
h/2
x
图l 3-5
(l h, 1)
例题3
图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有 集中力F 和力矩 M Fb 的作用，试用应力
⑶ 多连体中的位移单值条件。 (c)
对于单连体，(c)通常是自然满足的。 只须满足(a),(b)。
由 Φ求应力的公式是
σ
x
2Φ y 2
f
x
x,
σ
y
2Φ x2
f
y
y,
(d)
τ
xy
2Φ xy
.
逆解法
2 .逆解法 ── 先满足(a),再满足(b)。 步骤:
⑴ 先找出满足 4Φ的解0 Φ;
⑵ 代入(d), 求出 σ x , σ y , xy;
第三章 平面问题的直角坐标解答
多项式解答 位移分量的求出 简支梁受均布荷载 楔形体受重力和液体压力
1 多项式解答
按Φ 求解
1. 当体力为常量，按应力函数Φ求解平面应 力问题时， 应Φ满足
⑴ A内相容方程 4Φ 0.
(a)
⑵ S = S上应力边界条件,
l x m yx s f x , m y l xy s f y . (b)
的应力和边界面力。如图示。
2a
o
2a y
b
xo
b
x
o
x
b
y b 2c y 2c
逆解法
例3
设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考
察应力函数 Φ
F 2h3
xy(3h2
4y2 )能解决什么
样的受力问题？
o
h/2
h/2
x
l y
( l >>h)
xy
(b)
F
(c)
x
F
M＝Fl
例4
问题提出
梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/ 单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲 问题。
为b,如图,水的密
度为 2 ，试求
应力分量。
y
o
bb 22
2g
1g
x
第三章 重点归纳
本章学习重点及要求
本章是按应力求解平面问题的实际 应用。其中采用应力函数Φ 作为基本未 知数进行求解，并以直角坐标来表示问 题的解答。在学习本章时，应重点掌握：
1. 按应力函数 Φ求 解时，Φ 必须满足的条件。
2. 逆解法和半逆解法。
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
半逆解法
3.半逆解法 步骤：
⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情况， 边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测 的Φ 函数形式；
⑶ 代入 4Φ，解0 出 ； Φ
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）. 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。
3. 由应力求位移的方法。
4. 从简支梁受均布荷载的问题中，比较弹力 学和材料力学解法的异同。
在早期应用逆解法和半逆解法，曾经 得出许多平面问题的解答。但是对于有复 杂荷载和边界条件的工程实际问题，是
难以用这些方法找出函数式解答的。我们 可以采用弹性力学的近似解法来求解工程 实际问题。因此，我们不要求读者去求解 新的问题的解答，而是要求读者了解弹性 力学问题是如何求解的，如何满足有关的 方程和边界条件的。从而使读者能阅读和 理解弹性力学已有的解答，并应用到工程 实践中去。
1. 弯应力 σ x与材力相同。
2. 铅直线的转角 u M x 故在任一
y EI 截面x 处，平面截面假设成立。
3.纵向纤维的曲率
1
2v x 2
(常 E曲MI 率)，
同材力。
故在纯弯曲情况下，弹力解与材力解相同。
思考题
弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材 料力学的解答在应力、形变等方面完全 一致。由此是否可以说在纯弯曲情况下 材料力学中的平截面假设成立？
最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
水平截面上的应力分布如图所示。 σx σy
yx
楔形体解答的应用: 作为重力坝的参考解答, 分缝重力坝接近于平面应力问题， 在坝体中部的应力，接近于楔形体的解答。 重力坝规范规定的解法
——材料力学解法（重力法）。 重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。
例题1 已知
(a) Φ Ay 2 (a2 x2 ) BxyC(x2 y2 ); (b) Φ Ax 4 Bx3 yCx2 y2 Dxy2 Ey4 , 试问它们能否作为平面问题的应力函数？