弹性力学第3章(徐芝纶第五版)
（完整版）徐芝纶弹性力学主要内容及知识点
（完整版）徐芝纶弹性力学主要内容及知识点1.弹性力学是研究弹性体由于受到外力作用、边界约束或温度改变等原因而引起的应力、形变和位移。
2外力分为体积力和面积力。
体力是分布在物体体积内的力，重力和惯性力。
体积分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
面力是分布在物体表面上的力，面力分量以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
3内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。
3弹性力学中的基本假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性，小变形假定。
凡是符合连续性、完全弹性、均匀性、各向同性等假定的物体称之为理想弹性体。
连续性，假定整个物体的体积被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
完全弹性，指的是物体能完全恢复原形而没有任何剩余形变。
均匀性，整个物体时统一材料组成。
各向同性，物体的弹性在所有各个方向都相同。
4求解弹性力学问题，即在边界条件上，根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。
弹性力学、材料力学、结构力学的研究对象分别是弹性体，杆状构件和杆件系统。
解释在物体内同一点，不同截面上的应力是不同的。
应力的符号不同：在弹性力学和材料力学中，正应力规定一样，拉为正，压为负。
切应力：弹性力学中，正面沿坐标轴正方向为正，沿负方向为负。
负面上沿坐标轴负方向为正，沿正方向为负。
材料力学中，所在的研究对象上任一点弯矩转向顺时针为正，逆时针为负。
5.形变：所谓形变，就是形状的改变。
包括线应变（各各线段每单位长度的伸缩，即单位伸缩和相对伸缩，伸长时为正，收缩时为负）；切应变（各线段直接直角的改变，用弧度表示，以直角变小时为正，变大为负）6试述弹性力学平面应力问题与平面应变问题的主要特征及区别：平面应力问题：几何形状，等厚度薄板。
外力约束，平行于板面且不沿厚度变化。
平面应变问题：几何形状，横断面不沿长度变化，均匀分布。
外力约束，平行于横截面并不沿长度变化。
7.主应力：设经过P点的某一斜面上的切应力等于0，则该斜面上的正应力称为P点的一个主应力；应力主向：该斜面的法线方向称为该斜面的一个应力主向。
弹性力学简明教程简介与目录
高等教育出版社
《弹性力学简明教程》 编著 徐芝纶教授
此教程是国内较广泛使用的一本工科院 校弹性力学教科书，是教育部“十五”国 家级规划教材。全书按照由浅入深的原 则，安排了平面问题的理论及解答、空间 问题的理论及解答和薄板弯曲理论，并着 重介绍了弹性力学的近似解法，即差分 法、变分法和有限元法。
作者简介
参考eory of elasticity》 Timoshenco S P, Goodier J N (有中译本) 三、《Applied Elasticity》 徐芝纶编
弹性力学__徐芝纶版第三章
4 f
y4
0
4 f 0
一、逆解法和半逆解法 （一）逆解法的基本步骤：
取满足相容方程的 f
求出应力分量 x , y , xy
根据边界条件求出面力
考察能解决什么问题
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（二）半逆解法的基本步骤：
根据问题的特 点设出部分应 力分量
是 结束
否
求出应力函数 f
x
§3-3 位移分量的求出
0 u0 v0 0
y
z
u P x Eh
P x
v P y
Eh
习题
[1]写出边界条件。 解：
x x0,xb g( y h1)
0 xy x0,xb y y0 gh1, xy y0 0
y
P
hE
xy 0
u P x Eh
v P
y Eh
u v 0 y x
u
P Eh
x
f1y
v
P
Eh
y
f2 x
代入第三式得： df1 y df2 x 0
dy
dx
移项得： df1 y df2 x
u yh2 0
v yh2 0
hx1
g
b
h2
bb
y 22
FN gbh1
b
下边的等效应力边界条件： 0 y yh2 dx gbh1
b
0
xy
dx 0
y h2
b 0
y
y h2
弹性力学第03章精品PPT课件
在主要边界上： y h ,
2
s y 0,
t xy 0
因此，在y=±h/2的边界面上，无任何面力作用，即
fx 0, f y 0
在x=0,l的次要边界上：
x 0,
f x (s x ) x0 0,
fy
(t xy )
x0
3F 2h
(1 4
y2 h2
)
x l,
fx
(s x )
xl
12Fl h3
➢注意事项：由于全部基本方程和边界条件是由变形
前的坐标描述的，因此只有在小变形的条件下才可以 使用叠加原理。即变形对外力作用点位置的改变可以 忽略不计。
圣维南原理及应用
➢对于工程实际问题，构件表面面力或者位移很难满足
严格的边界条件。这使得弹性力学解的应用将受到极大 的限制。为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限 制，圣维南提出了局部影响原理。
➢圣维南原理主要内容：物体表面某一小面积上作用的
外力力系，如果被一个静力等效的力系所替带，那么物 体内部只能导致局部应力的改变。而在距离力的作用点 较远处，其影响可以忽略不计。
圣维南原理及应用
➢根据圣维南局部影响原理，假如我们用一静力等效力系取
代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力的作用区域附近。 离此区域较远处，几乎不受影响。
s
x
2f ( x,
y 2
y)
fx x,
s
y
2f ( x,
x 2
y)
fy y,
t xy
2f(x, y)
xy
逆解法与半逆解法
(3)在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和 形状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件(2-15) 或次要边界上的积分边界条件, 分析这些应力分量对应 于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可 以解决什么样的问题。（或者根据已知面力确定应力函 数或应力分量表达式中的待定系数）
河海大学弹性力学徐芝纶版 第三章PPT课件
( ) 0 . x yy h / 2
( b )
从式(a)可见，边界条件(b)均满足。 次要边界 x=0, l,
( xy)x0,l 0 ,
满足。
(c)
次要边界
主要边界
次要边界 x=0, l,
σ x 的边界条件无法 精确满足。
M
o l
h/2 M h/2
x
y
用两个积分的条件代替
h/2 h/2 ( σ ) y d y 1 M 。 x x 0, l h/2
次要边界
次要边界 x l ,
(x )xl 0
不满足
q
应用圣维南原理，列出三个积分条件，
h/2
h /2 h/2 h /2 h/2 h /2
思考题
如果区域内的平衡微分方程已经满足，且 除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件 也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个 小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢 量、主矩的条件）必然是满足的，因此可以不 必进行校核。试对此结论加以说明。
问题提出
§3-3 位移分量的求出
在按应力求解中，若已得出应力，如何求 出位移？
半逆解法
解出:
3 2 f1 Ey Fy Gy, 5 4 3 2 A B f 2 y y Hy Ky . 10 6 f Ay3 By2 cy D,
(b)
式(b)中已略去对于Φ 的一次式。 将式(b)代入式(a)，即得 Φ 。
半逆解法
⑷由 Φ 求应力。 在无体力下，应力公式如书中式( f ), (g),(h)所示。 对称性条件─由于结构和荷载对称于 y 轴，故 Φ , σ应为 为 x x , σ y 的偶函数，
弹性力学-第二章 平面问题基本理论 (徐芝纶第五版)
平面应力问题
平面应变问题
3
1.平面应力问题
支承板
z x
y
(2) 受力特性
外力(体力、面力)和约束，仅平行于 板面作用，沿z方向不变化。
(1) 几何特性
一个方向的尺寸比另两个 方向的尺寸小得多。
——平板
4
1.平面应力问题
(3) 应力特征
由于板面上不受力，有
sx =sx(x,y)
sy =sy(x,y)
53
54
55
56
习题
57
第二章 教学参考资料 （一）本章学习要求及重点
本章系统地介绍了平面问题的基本理论： 基本方程和边界条件，及两种基本解法。这 些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。 因此，学好平面问题的基本理论，就可以方 便地学习其他各章。为此，我们要求学生深 入地理解本章的内容，掌握好以下几点：
)
f
y
0.
68
（2）用位移表示的应力边界条件
E
1
2
[l
(
u x
v
y
)m12
(
u y
v x
)]s
fx,
E
1
2
[m(
v y
u
x
)l12
(
u y
v x
)]s
fy.
（在s 上ss）
69
（3）位移边界条件
(u)s u , (v)s v.
(在Su上)
70
4、按应力求解平面问题（平面应力问题），
应力分量 σ x , σ y ,t x必y 须满足下列全部条件：
sx =sx(x,y) sy =sy(x,y) txy =txy(x,y) sz =sz (x,y) txz =tyz =0
弹性力学-绪论(徐芝纶第五版)
弹力基本假定，确定了弹力的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
16
弹性力学未知量
已知——几何参数和载荷； 坐标——x、y、z； 6个应力分量 6个应变分量 3个位移分量
——15个未知量
基本方程是三维的。
x3 33
x1
e2
11
e3
31 13
3223
22
12 21 x2
e1
A BC
.
A: (x, y, z)
1
教材及参考书
教材：
-《弹性力学》(上)，徐芝纶编，高等教育出版社。
参考书：
-《弹性理论》，王龙甫，科学出版社。
习题册：
-《弹性力学学习方法解题指导》，王俊民，同济大 学出版社
2
弹性力学第一章、绪论
一、力学相关课程简介 二、力学的研究方法 三、弹性力学基本概念 四、弹性力学的一些普遍原理
3
弃材力中大部分假定。
7
弹性力学研究方法
弹力研究方法：
在区域V内严格考虑静力学、几何学和物 理学三方面条件，建立三套方程; 在边界s上考虑受力或约束条件，并在边 界条件下求解上述方程，得出较精确的 解答。
8
二、力学的研究方法
z x y
σx σy
ρ gy, 2
( ρ g cot 1
α
2ρ 2
g
小变形假定。
4、弹性力学问题的研究方法
已知：物体的边界形状，材料性质，体力,
边界上的面力或约束。
求解：应力、形变和位移。
19
解法：在弹性体区域V 内，
根据微分体上力的平衡条件，建立平衡 微分方程；根据微分线段上应变和位移的 几何条件，建立几何方程；根据应力和应 变之间的物理条件，建立物理方程。
弹性力学徐芝纶课后习题及答案
弹性力学徐芝纶课后习题及答案弹性力学是固体力学的重要分支，对于工程技术领域有着广泛的应用。
徐芝纶先生所著的弹性力学教材备受推崇，其中的课后习题更是帮助学习者巩固知识、深化理解的重要途径。
接下来，让我们一起深入探讨一下其中的一些典型习题及答案。
首先，我们来看一道关于平面应力问题的习题。
题目给出了一个矩形薄板，在其边界上受到特定的载荷分布，要求求解板内的应力分布。
对于这类问题，我们首先需要根据已知条件，确定边界条件。
在这个例子中，矩形板的四条边上可能分别有均布力、集中力或者固定约束等。
然后，我们运用弹性力学中的平衡方程、几何方程和物理方程来建立求解方程。
平衡方程描述了物体内部的力的平衡关系；几何方程则将位移与应变联系起来；物理方程则反映了应力与应变之间的关系。
通过联立这些方程，并结合边界条件，我们可以使用数学方法（如傅里叶级数展开、分离变量法等）进行求解。
经过一系列的计算和推导，我们得到板内的应力表达式。
需要注意的是，在计算过程中，要仔细处理各项的系数和积分，确保计算的准确性。
再来看一道关于应变能的习题。
已知物体的应力状态，要求计算其应变能密度。
应变能密度的计算需要先根据应力求出应变，然后利用应力应变的关系计算应变能密度。
这道题主要考察对基本概念和公式的熟练掌握程度。
在求解过程中，要清晰地记住各种应力和应变的分量关系，以及它们在不同坐标系下的转换。
同时，对于复杂的应力状态，要善于运用矩阵运算来简化计算。
还有一道关于厚壁圆筒的习题。
题目给出了圆筒的内外半径、材料属性和承受的内压外压，要求求解圆筒内的应力分布。
对于这种轴对称问题，我们可以利用拉梅方程来求解。
首先确定圆筒的边界条件，即内表面和外表面的压力。
然后代入拉梅方程进行求解。
在计算中，要注意公式中各项的物理意义和单位的统一。
并且要理解厚壁圆筒在不同半径处应力的变化规律。
下面我们来探讨一下答案的重要性以及如何正确使用答案。
答案是对习题的一种验证和参考，但不能完全依赖答案。
弹性力学徐芝纶课后习题答案
3、边界条件定常数： ( xy ) x 0 0
( xy ) x b q
q A 2 (3 Ab2 2 Bb) q b b q 上端面 0 ( xy ) dx 0 Ab3 Bb2 0 即Ab B 0 y 0 B b
U 2 Fxy 3 3Fxy h3 2h
(1)
U
qx 2 4
4 y 3 3 y qy 2 2 y 3 y 1 3 3 (2) h h h 10 h
应力分 量
x xy
12 Fxy , y 0 h3 2 6 Fy 3F 3 h 2h
2 2 f x 0 x y 2 y 2 f ( x) y 4 0 x 2 y 2 yf ( x ) f1 ( x ) 4 0 y 4
4 d 4 f ( x ) d 4 f1 ( x ) y x 4 dx 4 dx 4
4 0 即 y
d 4 f ( x) 0 dx 4 d 4 f1 ( x ) 0 dx 4
d 4 f ( x ) d 4 f1 ( x ) 0 对 y 的任意值均成立则有： dx 4 dx 4
f ( x ) Ax 3 Bx 2 Cx (略去了与应力无关的常数项 ) f1 ( x ) Ex 3 Fx 2 (略去了与应力无关的常数项及次项 )
0 ( y ) y 0 dy 0 0 ( y ) y 0 xdx 0
则 x 0 y
b
b
3Eb 2 F 0 E F 0 2 Eb F 0
习
题
2-1 如果某一问题中， z zx xy 0 ，只存在平面应力分量 x ， y ， xy ，且它们不沿 z 方向变化，仅为 x，y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应力 问题？(是) 2-2 如果某一问题中， z zx zy 0 ，只存在平面应变分量 x ， y ， xy ，且它们不沿 z 方向变化，仅为 x，y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应变问题？ (是) 2-3 试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，图 2-11，其应力状态接 近于平面应力的情况。(自由表面薄层中： z 0 yz xz 0 x y xy 0 近于平面应力问 题)
弹性力学讲义(徐芝纶版)-PPT
换，
E
1
E
2
,
。 1
边界条件
边界条件--应用极坐标时，弹性体的 边界面通常均为坐标面，即：
常数，或 常数,
故边界条件形式简单。
平面应力问题在极坐标下的基本方程
1
f
0
1
2
f
0
4 1
u
,
1
u
u
,
u
1
u
u
。
1 E
(
),
1 E
(
),
x ρ x φ x
Φ y
Φ ρ
ρ y
Φ φ
φy .
一阶导数
而
cos,
x
sin , x
sin;
y
y
cos 。
代入，即得一阶导数的变换公式,
Φ cosφ Φ sin Φ (cosφ sinφ )Φ
x
ρ ρ φ
ρ ρ φ
，
(e)
Φ sinφ Φ cos Φ (sinφ cosφ )Φ。
σ x σ ρ cos2 φσφsin2 φ2τ ρφ cosφsinφ,
而
σ
x
2Φ y 2
2Φ ρ2
sin
2
φ(
1 ρ
Φ ρ
1 ρ2
2Φ ρ2
)cos2
φ
2[ ( 1 Φ )]cosφsinφ, ρ ρ
比较两式的 cos2 φ,sin2 φ,cosφsinφ 的系数，便 得出 σ ρ,σφ,τ ρφ 的公式。
2(1 E
)
。
4 2
物理方程
物理方程
对于平面应变问题，只须将物理方程作如下 的变换即可。
弹性力学(徐芝纶)第三章习题答案
第三章1、解：由题意可知：简支梁所受体力为F g ρ=，所以0,x y f f g ρ==应力函数为：232325432()()2106x A BAy By Cy D x Ey Fy Gy y y Hy Ky Φ=++++++--++从而得应力分量：()2232223222262(62)22622(32)(32)x x y y xy x f x Ay B x Ey F Ay By Hy Ky f y Ay By Cy D gyxx Ay By C Ey Fy G σσρτ∂Φ=-=+++--++∂∂Φ=-=+++-∂=-++-++ （a ）考虑对称性，,x y σσ为x 的偶函数，xy τ为x 的奇函数。
于是得：0E F G ===。
下面考虑上下两边的边界条件：22()0,()0y hxy h y y στ=±=±==，代入（a ），得： 3208422h h h hA B C D g ρ+++-= 3208422h h h hA B C D g ρ-+-++= 23()04h x A hB C -++=即2304h A hB C ++=23()04h x A hB C --+=即2304h A hB C -+=以上四式联立得：223,0,,22g g gA B C D h h ρρρ=-===- 代入（a ），并注意0E F G ===得：2322322264+6223226+2x y xy g g x y y Hy K h h g g gy y gy h h g g xy xh ρρσρρρσρρρτ=-++=-+--= （b ）现在考虑左右两个边的边界条件，由于对称性，只需考虑一边，例如右边，也就是x l =，用多项式求解，只能要求x σ在这部分边界上合成为平衡力系，也就是要求：2-2()0,h h x x l dy σ==⎰2-2()0h h x x l ydy σ==⎰。
_简明弹性力学教程_徐芝纶_复习 2
按应力求解平面问题
（1）平衡方程 （2）相容方程（形变协调方程）
x xy fx 0 x y （平面应力情形） yx y 2 2 1 f x f y fy 0 2 2 ( x y ) x y x y 1 x y
11
2 xy 0 xy
若体力：fx = fy=0，则有： x
y xy 0
多项式解答 2. 二次多项式
（ 1）
ax 2 bxy cy 2
其中： a、b、c 为待定系数。
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
4 4 4 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y
平面应力→平面应变： E E 2 , . 1 1
u s u , vs v
（2-14）
E 2 1 E 1 2
u v 1 u v l m f x (s) y s 2 y x s （2-19） x v u 1 v u m l f y (s) x s 2 x y s y
y 12ax 19
多项式解答总结
多项式应力函数 的性质 （1） 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足
4 0 。 4 0 。
多项式次数 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。
3
h y : 2
M min 3ah
h 2
M x
1
max 3ah
弹性力学徐芝纶版
应变张量是一个二阶对称张量，用于描述物体在应力作用下的形变状态，包括大 小和方向的变化。
几何方程与应变协调方程
几何方程
几何方程描述了应变与位移之间的关 系，是弹性力学的基本方程之一。
应变协调方程
应变协调方程是一组方程，用于保证 应变张量的连续性和无间断性，是解 决弹性力学问题的重要工具之一。
03
应变分析
应变的定义与分类
应变的定义
应变是描述物体形状改变的物理量， 表示物体在应力作用下的形变程度。
应变的分类
根据不同的分类标准，应变可以分为 多种类型，如线应变和角应变、单值 应变和非单值应变等。
主应变与应变张量
主应变
在应变张量中，有三个相互垂直的主轴，对应三个主应变，表示物体在三个方向 上的形变程度。
弹性力学徐芝纶版
• 绪论 • 应力分析 • 应变分析 • 弹性本构关系 • 弹性力学问题的解法 • 弹性力学的应用实例
01
绪论
弹性力学简介
弹性力学
一门研究弹性物体在外力作用 下变形和内力的学科。
弹性力学的基本概念
物体在外力作用下发生变形， 变形与外力成正比，且在去掉 外力后恢复原状。
弹性力学的研究对象
研究物体在动态过程中受到的力，主要考察物体 的振动和波传播。
稳定性问题
研究物体在受到外力作用下的稳定性，主要考察 物体的失稳和屈曲。
求解方法概述
解析法
通过数学公式和定理求解弹性力学问题，得到精确解。适用于简单 问题和理论分析。
近似法
利用近似公式和数值计算方法求解弹性力学问题，得到近似解。适 用于复杂问题和实际工程。
通过实验测定材料的弹性模量和泊松比，结 合广义胡克定律，可以推导出各向同性材料 的弹性本构关系。这些关系式是弹性力学中 求解问题的基本方程，可用于分析各种弹性 力学问题。
弹性力学(徐芝纶)习题答案
第一章第二章习题答案2-1解：已知 0,0,===-==y x xy y x f f q τσσ1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂y xy y x yxx f x yf yx τστσ23()()⎩⎨⎧=+=+s xy y s yx x l m m l σστστσ 有：t lq t x -=;代入（*4理、几何方程得：(E x u x ==∂∂ε1(1E y v y ==∂∂ε0==∂∂+∂∂xy yux v γ ()()⇒=+∴0dyy df dx x dg 类似于教材题2-3，可求出 ()()wx v x g wy u y f +=-=00,001;1v wx qy Ev u wy qx Eu ++--=+---=∴υυ从v u ,表达式可见，位移分量是坐标的单值函数，满足位移单值条件。
综合1）～4），。
q xy y x 为问题的正确解答0,=-==τσσ2-2x =σxy τ注意：y x ，代入均满足。
2）验证相容方程：0)(2=+∇y x σσ 亦满足。
3）验证应力边界条件： i) 主要边界：()0,2=±=hy yxy τσ 满足ii) 次要边界：()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰-=-=-=222222320)1(0h h lx xy h h l x x h h l x x Pdy ydy dy τσσ （1）、（2）满足，（3）式左=⎰-===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-223332212*41*618218hh P h I P h h I P dy y h I P 右 结论：所列xy y x τσσ,,满足平衡方程、相容方程；在主要边界上严格满足应力边界条件，次要边界近似满足应力边界条件，又为单连体，故在圣维南原理的前提下为问题的正确解。
2-3、证明：1）由,,yVf xV fy x∂∂-=∂∂-=则平衡微分方程为： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂τ∂+∂-σ∂=∂τ∂+∂-σ∂⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂τ∂+∂σ∂=∂∂-∂τ∂+∂σ∂0x y V 0yx V 0y V x y 0x V y x yx y xyx yx y xy x （*） 类似于题2-10的推证过程，（*）式的通解为：y x x V yV 2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ∂ϕ∂=-σ∂ϕ∂=-σ;;即： yx V xV y2xy 22y 22x ∂∂ϕ∂-=τ+∂ϕ∂=σ+∂ϕ∂=σ;;2） 对于平面应力问题，相容方程为：()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+-=+∇y f x f y x y x υσσ12即：2222 2-4、x, y n l σσ2==2l应力主向成∴l()2121σσσ+=n 得证。
弹性力学徐芝纶第三章详解
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y，
z的单值连续函数
y
x
位移函数具有三阶连续导数
二、应变
对于微分单元体的变形，将分 为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短 正应变 二是棱边之间夹角的变化 （剪）切应变
符号规定： 伸长为正，缩短为负 直角变小为正，直角变大为负
正应力 剪应力
正应变 剪应变
v x
u y
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
上式为剪应变的几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
这六式为几何方程（柯西方程）
四、转角方程
x
w y
v z
y
u z
w x
z
v x
u y
3－3 一点应变状态、应变张量
一、应变张量
与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量
则，a点的位移为：
u u dx x
v v dx x
b点的位移为：
u u dy y
v v dy y
x
M
' a' 'Ma Ma
(dx
u dx) x
dx
dx
u x
(dy v dy) dy
y
M 'b''Mb Mb
y dy
v y
同理：
x
u x
y
v y
z
w z
弹性力学徐芝纶课后习题及答案
弹性力学徐芝纶课后习题及答案弹性力学是固体力学的重要分支，对于工程技术领域有着广泛的应用。
徐芝纶先生所著的弹性力学教材备受推崇，而课后习题则是巩固知识、加深理解的重要环节。
下面我们将对部分典型的课后习题及其答案进行详细的探讨。
首先，来看一道关于平面应力问题的习题。
题目给出了一个矩形薄板，在其边界上受到特定的力和约束条件，要求计算板内的应力分布。
对于这道题，我们首先需要根据已知条件确定边界条件。
假设矩形薄板的长为 a，宽为 b，在 x 方向上受到均匀分布的拉力 T，在 y 方向上受到均匀分布的压力 P，并且在四个边上有相应的位移约束。
根据弹性力学的基本方程，我们可以列出平衡方程、几何方程和物理方程。
通过联立这些方程，并结合边界条件，采用适当的求解方法，如应力函数法，逐步推导出应力的表达式。
经过一系列的计算和推导，最终得到板内的应力分布为：在 x 方向上的应力σx ＝ T ／ b P y ／ b，在 y 方向上的应力σy ＝ P，剪应力τxy ＝ 0。
接下来，再看一道关于应变能的习题。
题目要求计算一个受扭转的圆柱体的应变能。
对于这道题，我们首先要了解圆柱体扭转时的应力和应变分布情况。
根据弹性力学的理论，圆柱体扭转时，横截面上只有剪应力存在，且剪应力沿半径方向呈线性分布。
然后，通过积分计算出单位体积的应变能，再乘以圆柱体的体积，即可得到整个圆柱体的应变能。
经过计算，圆柱体的应变能表达式为：U ＝π G L （R^4 r^4) ／ 8，其中 G 为剪切模量，L 为圆柱体的长度，R 为圆柱体的外半径，r 为圆柱体的内半径。
下面是一道关于应力集中的习题。
题目给出了一个带有圆孔的平板，在板的边缘受到拉伸载荷，要求分析孔边的应力集中现象。
对于这类问题，我们需要运用圣维南原理和应力集中系数的概念。
首先，根据平板的受力情况，计算出无孔时的均匀应力。
然后，通过弹性力学的理论分析，得出孔边的应力分布表达式。
经过计算，发现孔边的应力显著增大，最大应力出现在孔边的某些位置。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
4 楔形体受重力和液体压力 问题
设有楔形体， 左面垂直，顶角为α， 下端无限长，受重 力及齐顶液体压力,
fx 0, f y 1g.
o
α 2g
y
x
n
α
2
1g
用半逆解法求解。
（1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~Φ关系式，Φ应为x,y的三次式，
（3）Φ 满足相容方程 4Φ 0.
（4）由 Φ求应力， （5）考察边界条件——本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件:
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
半逆解法
3.半逆解法 步骤：
⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情况， 边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测 的Φ 函数形式；
⑶ 代入 4Φ，解0 出 ； Φ
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）. 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。
为b,如图,水的密
度为 2 ，试求
应力分量。
y
o
bb 22
2g
1g
x
第三章 重点归纳
本章学习重点及要求
本章是按应力求解平面问题的实际 应用。其中采用应力函数Φ 作为基本未 知数进行求解，并以直角坐标来表示问 题的解答。在学习本章时，应重点掌握：
1. 按应力函数 Φ求 解时，Φ 必须满足的条件。
2. 逆解法和半逆解法。
⑶ 多连体中的位移单值条件。 (c)
对于单连体，(c)通常是自然满足的。 只须满足(a),(b)。
由 Φ求应力的公式是
σ
x
2Φ y 2
f
x
x,
σ
y
2Φ x2
f
y
y,
(d)
τ
xy
2Φ xy
.
逆解法
2 .逆解法 ── 先满足(a),再满足(b)。 步骤:
⑴ 先找出满足 4Φ的解0 Φ;
⑵ 代入(d), 求出 σ x , σ y , xy;
x的奇函数，故 E F 。G 0
⑸ 考察边界条件。
主要边界 y h / 2,
次要边界 x=l 上,
主要边界
应力
最后应力解答为：
σx
6q h3
(l 2
x2)y
q
y h
(4
y2 h2
3) 5
M I
y
q
y h
(
4
y h
2 2
3 5
),
xy
6q h3
x(
h2 4
y
2
)
FS S bI
,
σ
y
q 2
(1
2
函数 Φ Ax3 Bx2 , 求解图示问题的应力及
位移，设在A点的位移和转角均为零。
F
Fb/2
O
x
bb h
A y (h b, 1)
例题4
图中矩形截面的简支梁上，作用有三 角形分布荷载。试用下列应力函数
Φ Ax3 y3 Bxy5 Cx3 y Dxy3 Ex3 Fxy,
求解应力分量。
3. 由应力求位移的方法。
4. 从简支梁受均布荷载的问题中，比较弹力 学和材料力学解法的异同。
在早期应用逆解法和半逆解法，曾经 得出许多平面问题的解答。但是对于有复 杂荷载和边界条件的工程实际问题，是
难以用这些方法找出函数式解答的。我们 可以采用弹性力学的近似解法来求解工程 实际问题。因此，我们不要求读者去求解 新的问题的解答，而是要求读者了解弹性 力学问题是如何求解的，如何满足有关的 方程和边界条件的。从而使读者能阅读和 理解弹性力学已有的解答，并应用到工程 实践中去。
例题2
设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力 和力矩的作用，体力可以不计，l h 如图，
试用应力函数 Φ Axy By2 Cy3 Dxy3求解
应力分量。
Fs
M
o
FN
σ xτ xy
y dy
y
Φ Axy By2 Cy3 Dxy3
h/2
h/2
x
图l 3-5
(l h, 1)
例题3
图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有 集中力F 和力矩 M Fb 的作用，试用应力
的应力和边
xo
b
x
o
x
b
y b 2c y 2c
逆解法
例3
设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考
察应力函数 Φ
F 2h3
xy(3h2
4y2 )能解决什么
样的受力问题？
o
h/2
h/2
x
l y
( l >>h)
xy
(b)
F
(c)
x
F
M＝Fl
例4
问题提出
梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/ 单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲 问题。
第三章 平面问题的直角坐标解答
多项式解答 位移分量的求出 简支梁受均布荷载 楔形体受重力和液体压力
1 多项式解答
按Φ 求解
1. 当体力为常量，按应力函数Φ求解平面应 力问题时， 应Φ满足
⑴ A内相容方程 4Φ 0.
(a)
⑵ S = S上应力边界条件,
l x m yx s f x , m y l xy s f y . (b)
材力在许多方面都作了近似处理,所以 得出的是近似解答。
例如：在材力中
几何条件中引用平截面假定 u, ε, σ x
沿 y为直线分布；
平衡条件中，略去 σ y作用，没有考虑微分 体的平衡，只考虑 h d x b 的内力平衡；
边界条件也没有严格考虑； 材力解往往不满足相容条件。
对于杆件，材力解法及解答具有足够 的精度; 对于非杆件，不能用材力解法求 解，应采用弹力解法求解。
⑶ 在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力，
f x (lσ x mτ xy )s,
(e)
f y (mσ y lτ xy )s.
逆解法
从而得出，在面力(e)作用下的解答，
就是上述 和应Φ力。
逆解法没有针对性，但可以积累基本 解答。
逆解法
例1 一次式 Φ=ax+by+c,对应于无体力， 无面力，无应力状态。 故应力函数中加减一次式，不影响应力。 例2 二次式 Φ ax2 b，xy分c别y2表示常量
1. 弯应力 σ x与材力相同。
2. 铅直线的转角 u M x 故在任一
y EI 截面x 处，平面截面假设成立。
3.纵向纤维的曲率
1
2v x 2
(常 E曲MI 率)，
同材力。
故在纯弯曲情况下，弹力解与材力解相同。
思考题
弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材 料力学的解答在应力、形变等方面完全 一致。由此是否可以说在纯弯曲情况下 材料力学中的平截面假设成立？
水平截面上的应力分布如图所示。 σx σy
yx
楔形体解答的应用: 作为重力坝的参考解答, 分缝重力坝接近于平面应力问题， 在坝体中部的应力，接近于楔形体的解答。 重力坝规范规定的解法
——材料力学解法（重力法）。 重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。
例题1 已知
(a) Φ Ay 2 (a2 x2 ) BxyC(x2 y2 ); (b) Φ Ax 4 Bx3 yCx2 y2 Dxy2 Ey4 , 试问它们能否作为平面问题的应力函数？
3 简支梁受均布荷载
问题
简支梁 2l h 1 ，受均布荷载q 及两端
。 支撑反力 ql 。
q
ql
o
h/2
x
h/2 ql
l yl
半逆解法
按半逆解法求解。 ⑴ 假设应力分量。 ⑵ 由应力分量推出应力函数的形式。
⑶ 将 Φ代入相容方程，求解 :Φ ⑷ 由 Φ求应力。
对称性条件─由于结构和荷载对称于
y轴，∴ Φ, σ应x ,为σ y 的偶x函数， 为 xy
2 位移分量的求出
问题提出
在按应力求解中，若已得出应力，如何求 出位移？
以纯弯曲问题为例，已知
σ
x
M I
y,
σ y xy 0,
试求解其位移。
归纳：从应力求位移的步骤： 1. 由物理方程求出形变；
2.代入几何方程，积分求 u, v；
3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量
u0 , v0 , 。
纯弯曲问题的讨论：
ql
6o
y
qx l
ql
h/2
3
h/2
x
l
(h l, 1)
例题5
矩形截面的柱体受到 顶部的集中力 2F 和 力矩M的作用，不计 体力，试用应力函数
M
2F
45
y
o
b/2 b/2
hq
q
Φ Ay 2 Bxy Cxy3 Dy3
求解其应力分量。
(h b, 1) x
例题6
挡水墙的密
度为 1 ，厚度