弹性力学讲义(徐芝纶版)

展开即得：
二阶导数
(f)
拉普拉斯算子的变换：由式（f）得
2 2 2 1 1 2 2 2 2 ( 2 2 )。 (g ) 2 x y
相容方程应力公式
2.极坐标中的相容方程
Φ Φ 0
4 2 2
Φ cos Φ cosυ Φ sinυ (sinυ )Φ。 y ρ ρ υ ρ ρ υ
(e)
二阶导数
二阶导数的变换公式，可以从式(e) 导 出。例如
2 Φ ( Φ ) x x x 2 sinυ )(cosυ Φ sinυ Φ ). (cosυ ρ ρ υ ρ ρ υ
(c)
(d)
坐标变换
导数的变换： 将对 x, y的导数，变换为对 ρ,υ 的导数：
Φ( x, y) 可看成是 Φ Φ(ρ,υ) ，而 ρ,υ 又
是 x, y的函数，即 Φ是通过中间变量 ρ,υ， 为 x, y 的复合函数。 有:
Φ Φ ρ Φ υ , x ρ x υ x
u 注意： u cos u sin
可求得
u u u 1 u u u u 2 2 1 x cos sin sin cos x
( ( (
d d d )d cos d cos f d d 0, 2 2
整理，略去三阶微量，得 1 f 0。 (a)
同理，由 Fυ 0 通过形心C的 υ向合力为0 可得：
0,
F

0,
M
c
0。
注意：
d cos 1, 2
d d sin . 2 2
M
C
0 --通过形心C的力矩为0，当
考虑到二阶微量时，得

F
ρ
0 --通过形心C的 ρ 向合力为0，
)( d )d d d )d d d sin d sin 2 2
直角坐标(x,y)与极坐标 ( , ) 比较：
相同:两者都是正交坐标系。
区别:直角坐标中, x和y坐标线都是直线,有 固定的方向, x 和y 的量纲均为L。 极坐标中, 坐标线（ =常数）和 坐标线（ =常数）在不同点有不同的方向;
应用
坐标线为直线, 坐标线为圆弧曲线;
根据张量的坐标变换公式
' ij kmlki lmj ,
T T T ,
T T T
1 xy 2 1 xz 2 1 yz 2 z
x ij yx zx
xy y zy
x xz 1 yz yx 2 z 1 2 zx
Φ Φ ρ Φ υ. y ρ y υ y
一阶导数
而
cos , x
sin , x
sin ; y
cos 。 y
代入，即得一阶导数的变换公式,
Φ sin Φ sinυ Φ cosυ (cosυ )Φ ， x ρ ρ υ ρ ρ υ
1 cos 2 sin
几何方程
由此可得 x cos 2 sin 2 sin cos
比较可知
, u 1 u , u u 1 u 。 u
1 Φ 2[ ( )]cosυsin υ, ρ ρ
比较两式的 cos2 υ,sin2 υ,cosυsinυ 的系数，便 得出 σ ρ ,σ υ ,τ ρυ 的公式。
应力公式
当不计体力时应力用应力函数表示的公式
2 1 1 2 σ x 0 2 y 0 2 2 σ y 0 2 x 2 0 2 1 xy 0 xy 0 2 2 (4 5)
为 d ρ 的两环向线围成。
注意：
两 面不平行，夹角为 d υ ； 两 面面积不等，分别为ρd υ ， d ρ dυ 。 ρ
从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向
转动为正。
平衡条件
平衡条件： 考虑通过微分体形心 C 的 , 向及矩的平
衡，列出3个平衡条件:
F

对于平面应变问题，只须作如下同样变 换，
E E , 2 1
。 1
边界条件
边界条件--应用极坐标时，弹性体的 边界面通常均为坐标面，即：
常数，或 常数,
故边界条件形式简单。
平面应力问题在极坐标下的基本方程
1 f 0 2 1 f 0
2 2 2 2 2
应力公式
代入式 ( f ) ，得出 σ ρ 的公式。 (4) 应用应力变换公式（下节），
σ x σ ρ cos υσ υ sin υ2τ ρυ cosυsin υ,
2 2
2Φ 2Φ sin 2 υ( 1 Φ 1 2Φ )cos 2 υ 而 σx 2 2 ρ ρ ρ 2 ρ 2 y ρ
Φ σ ρ (σ x ) υ0 ( 2 ) υ0 , y
2
(3) 应用应力变换公式（下节）
σ ρ σ x cos 2 υ σ y sin 2 υ 2τ xy cosυsin υ Φ cos υ Φ sin υ 2 Φ cosυsin υ. 2 2 xy y x
1 2
f 0。
(b)
极坐标下的平衡微分方程：
1 f 0 1 2 f 0
(4 6)
2 2 2 1 1 2 2 2 2 ( 2 2 ) 2 x y
3.极坐标中应力用应力函数 Φ( ρ,υ)表示
可考虑几种导出方法：
(1) 从平衡微分方程直接导出（类似于 直角坐标系中方法）。
应力公式
(2) 应用特殊关系式，即当x轴转动到与 ρ 轴重合时，有:

物理方程
对于平面应变问题，只须将物理方程作如下 的变换即可。
。 1
E E , 2 1
§4－3 极坐标中的应力函数
与相容方程
以下建立直角坐标系与极坐标系的变 换关系，用于： 1、 物理量的转换; 2、从直角坐标系中的方程导出极坐标 系中的方程。
坐标变换
1.从直角坐标系到极坐标系的变换 坐标变量的变换：
wk.baidu.com量纲为L, 的量纲为1。这些区别将引
起弹性力学基本方程的区别。 对于圆形，弧形，扇形及由径向线和
环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极
坐标表示边界简单，使边界条件简化。
§4－1 极坐标中的平衡微分方程
在A内任一点（ ， ）取出一个微分 体，考虑其平衡条件。
微分体--由夹角为 d υ 的两径向线和距离
x cos ,
反之
2 2 2
y sin ;
(a)
y (b) x y , arctan 。 x
Φ( x, y) Φ( ρ,υ).
函数的变换：将式(a) 或 (b) 代入，
坐标变换
矢量的变换：位移 d (u, v) (u ρ , uυ ),
或
u u cos u sin , v u sin u cos 。 u u cos v sin , u u sin v cos 。
1 xy 2 y
sin cos
cos sin
T
sin cos
sin cos
1 xy cos 2 y sin
sin cos 1 2
按 Φ求解
4.极坐标系中按应力函数 Φ 求解，应满足：
(1) A 内相容方程 4Φ 0.
(2) s s 上的应力边界条件（设全部为应 力边界条件）。 (3) 多连体中的位移单值条件。
§4－4 应力分量的坐标变换式
应力分量不仅具有方向性，还与其作 用面有关。 应力分量的坐标变换关系： 1、已知 σ x , σ y , τ xy ，求 σ ρ , σ υ , τ ρυ 。
y
1 zy 2
l11 l21 l31
l12 l22 l32
l13 l23 l33
对平面问题： ij x
cos sin
x 1 yx 2
yx
xy x 1 y yx 2
4 2
物理方程
极坐标中的物理方程
直角坐标中的物理方程是代数方程， 且 x 与 y 为正交，
极坐标中的物理方程也是代数方程,且
ρ 与 υ 为正交，
故物理方程形式相似。
物理方程
平面应力问题的物理方程：
1 ( ), E 1 ( ), E 2(1 ) 。 E
u
物理方程
4 1
, u 1 u , u u 1 u 。
4 2
1 ( ), E 1 ( ), E 2(1 ) 。 E
第一节 第二节 第三节 第四节
极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程及物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式
第五节
轴对称应力和相应的位移
第六节
第七节 第八节 第九节 第十节 例题
圆环或圆筒受均布压力
压力隧洞 圆孔的孔口应力集中 半平面体在边界上受集中力 半平面体在边界上受分布力
4 1
§4－2 几何方程及物理方程
几何方程--表示微分线段上形变和位移 之间的几何关系式 。 极坐标系中的几何方程可以通过微元变 形分析直接推得，也可以采用坐标变换的方 法得到。下面讨论后一种方法。根据直角坐 标与极坐标之间的关系，有
x sin cos , sin , , x y x cos y