最新(人教版)高中数学选修2-2课件：章末高效整合1

数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点． [说明] 可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导 数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0 处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝ 0＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函 数的极值点．
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四、定积分 1．求定积分 求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键 是要找到被积函数的原函数．为避免出错在求出原函数后可利 用求导与积分互为逆运算的关系进行验证．
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y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)．
①
又y1＝f(x1)，
②
由①②求出x1，y1的值，
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
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3．复合函数的求导法则 设复合函数μ＝g(x)在点x处可导，y＝f(μ)在点μ处可导， 则复合函数f[g(x)]在点x处可导，且f′(x)＝f′(μ)·g′(x)，即yx′＝ yμ′·μx′.利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变 量． [说明] 求导数时，先化简再求导是导数计算的基本原 则．一般情况下，有四类函数求导数在解题时较容易出错，需 要特别注意，即分式函数、对数函数、三角函数和复合函数．
的简称；
(2)函数y＝f(x)和它的导数y′＝f′(x)具有相同的定义域， 并且y′＝f′(x)在定义域上点x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x0 处的导数值，这样求函数在点x0处的导数值就可以先求出这个 函数的导数，再求这个导数在点x0处的函数值；
(3) 并 不 是 所 有 的 函 数 在 其 定 义 域 上 每 一 点 处 都 有 导 数，如函数y＝|x|在点0处就没有导数，但这个函数在定义域的 其他点处都有导数．
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(2)利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之 一，其步骤为：
①求导数f′(x)； ②解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； ③确定并指出函数的单调增区间、减区间． 特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，” 隔开，绝对不能用“∪”连接．
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[说明] (1)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常 数，而函数y＝f(x)在一个区间上的导数指的是这个函数在这个 区间上每点处的导数构成的一个函数，它实际上是“导函数”
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三、导数的应用 1．导数与函数的单调性 (1)在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x) 在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个 区间内单调递减． [说明] f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如 函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0， ∴f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．
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(2)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方 法与步骤：
①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将①求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个 值为最大值，最小的一个值为最小值． 特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值 在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在 这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得 最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
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2．导数与函数的极值和最值 函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性，而不 是函数在整个定义域内的性质；函数的最值是个整体性概念， 最大值必是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必是整 个区间上的所有函数值中的最小值． (1)应用导数求函数极值的一般步骤： ①确定函数f(x)的定义域； ②解方程f′(x)＝0的根； ③检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
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2．利用定积分求平面图形的面积 将求平面图形的面积转化为定积分运算时，必须确定的 是被积函数，积分变量，积分上、下限．一般步骤为： ①画图； ②确定要素(找到所属基本型，确定被积函数的积分 上、下限)； ③转化求值． 要注意当所围成的图形在x轴下方时积分值为负，因 此，需对其定积分取绝对值．
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2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝ f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)． 利用导数的几何意义求切线方程的关键是搞清所给的点 是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方 程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即 可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不 一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝ f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得