结构动力学演示文稿
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结构动力学课件(大众普及版)
第二章
单自由度 体系模型
运动方程的建立
y (t) c m k F (t)
质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 自由度只有一个：水平位移y(t) 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结 构的阻尼力 随时间变化的荷载F(t)
cy ky F ( t ) （2-3） m y
12 EI 12 EI cy m y l3 l3 y FP ( t ) 2 1
令： k FS 1 FS 2
12 EI 12 EI 3 3 ；k 为（等效）刚度系数。 l1 l2
y (t) FD FS FI F (t)
平衡方程：
FI FD FS F ( t ) FI m y
惯性力： 根据d’Alembert原理： 弹性力： 等于弹簧刚度与位移的乘积：
FS ky
FD cy
阻尼力： 阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积：
由此得到体系的运动方程：
cy ky F ( t ) m y
建立体系运动方程的方法
直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。 虚功法: 根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移 上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运 动方程。 变分法: 通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据 理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导 出以广义坐标表示的运动方程。
地震作用
《结构动力学》PPT课件
0
P
sin t
计算步骤: 1.求振型、频率;
2.求广义质量、广义荷载;
3.求组合系数;
4.按下式求组合系数;
N
y(t)
Y
i
Di
(t )
i 1
15
例一.求图示体系的稳态振幅.
Psin t
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m1
m2
EI
解:
1 5.692
6
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所 附加的约束， Ritz 提出了改进方法：
1、假设多个近似振型 2、将它们进行线性组合
1,2 n 都满足前述两个条件。 Y(x) a1 1 a2 2 an n
（a1、a2、·········、an是待定常数）
j
Y T j
2 j
K
* j
/
M
* j
k Y j
2 j
Y
T j
mY j
折算体系
13
一.振型分解法(不计阻尼)
P1(t) P2 (t)
PN (t)
运动方程
m1 m2
mN
my(t) ky(t) P(t)
设
N
y(t) Yi Di (t)
EI
D2 (t)
2 2
D2
(t )
P2* (t)
/
M
* 2
D2 (t)
0.1054
10 2
Pl 3 EI
s in t
例一.求图示体系的稳态振幅.
P
sin t
计算步骤: 1.求振型、频率;
2.求广义质量、广义荷载;
3.求组合系数;
4.按下式求组合系数;
N
y(t)
Y
i
Di
(t )
i 1
15
例一.求图示体系的稳态振幅.
Psin t
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m1
m2
EI
解:
1 5.692
6
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所 附加的约束， Ritz 提出了改进方法：
1、假设多个近似振型 2、将它们进行线性组合
1,2 n 都满足前述两个条件。 Y(x) a1 1 a2 2 an n
（a1、a2、·········、an是待定常数）
j
Y T j
2 j
K
* j
/
M
* j
k Y j
2 j
Y
T j
mY j
折算体系
13
一.振型分解法(不计阻尼)
P1(t) P2 (t)
PN (t)
运动方程
m1 m2
mN
my(t) ky(t) P(t)
设
N
y(t) Yi Di (t)
EI
D2 (t)
2 2
D2
(t )
P2* (t)
/
M
* 2
D2 (t)
0.1054
10 2
Pl 3 EI
s in t
例一.求图示体系的稳态振幅.
结构动力学-4节.ppt
fs ky (t) fd c y ( t) m y c y ky m u g
u g (t )
二、隔振设计 基底振动的隔离（对象是m，如地震） 力的传递与隔振（对象是地基，如 轻轨影响地基） 1.基底振动的隔离 设质量相对于地面的位移为yr
y ( t ) y ( t ) u ( t ) r g
y P i i y y cos t sin t ( 1 cos t ) i 1 i k
i 1 / y i sin t y i y cos t
P (t )
Pi
Pi 1
P i sin t k
2 2
3 2 tan 1 2 4 22
A 1 4 22 B ( 1 2)2 4 22
传导比
m y c y ky kB sin t cB cos t
A/ B
0
1/ 5
2
m
k
y (t )
c
1/ 4
1/ 3 1/ 3
k
y y d y yy k 1 k 1 y k 1 k 1 y ( ) k t d tk t t t 2 t k 1 k 1
t k 的加速度为： y y y y k 1 k 1 k k y 2 y y t t k 1 k k 1 y k 2 t ( t )
0
1 t y ( t ) p () s i n( t ) d 0 m
t
1 t ( p r ) s i n( t ) d 0 0 m
结构动力学课件PPT
my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。
第12章结构动力学 ppt课件
§14-1 概 述
一、结构动力计算的特点 动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化。
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，结构的内力、位移等计算原理和计算方法。 求出它们的最大值并作为结构设计的依据。
（2）研究单自由度及多自由度的自由振动、强迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化（如梁板自重）。 （2）动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需要考虑惯性力。 3、特点 (1)必须考虑惯性力。 （2）内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯性力。依达朗伯原理， 加惯性力后，将动力问题转化为静力问题。
动力自由度的确定方法：加附加链杆约束质点位移，最少链杆数即为自 由度
图刚架上有四个集中质点，但只需要加三根链杆 便可限制全部质点的位置。如图e。
自由度=3 或
图示梁，其分布质量集度为m，可看作有无穷多 个mdx的集中质量，是无限自由度结构。
自由度的数目与结构是否静定或超静定无关
§14-2 结构振动的自由度
2、运动方程的解：
方程
y2y0
为一常系数线性齐次微分方程，其通解为
y (t) A 1 co t s A 2sitn
A1和A2为任意常数，可有初始条件来确定。
振动的初始条件为 t 0 时 y y ， 0 ， y y 0
式中y0—初位移， y0—初速度。则有Fra bibliotekA1y0，A2
y0
可得
yy0cots y0si nt
第十四章 结构动力学
§14-1 概 述 §14-2 结构振动的自由度 §14-3 单自由度结构的自由振动 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 §14-6 多自由度结构的自由振动 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §14-8 振型分解法 §14-9 无限自由度结构的振动 §14-10 计算频率的近似法
第十章结构动力学1 56页PPT文档
5.与其它课程之间的关系
结构动力学以结构力学和数学为基础。 要求熟练掌握已学过的结构力学知识和数学知识（微分方程的求解）。
结构动力学作为结构抗震、抗风设计计算的基础。
2019/9/6
结构力学
§10-2 体系的动力自由度
1.动力自由度的定义
动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗贝尔（D‘Alembert Jean Le Rond）原理，惯性力与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位 移，所以，动力学一般将质量位移作为基本未知量。
世界上采用被动式TMD的其它代表性建筑有：加拿大多伦多 的CN Tower、日本大阪的Crystal Tower、澳洲悉尼的 Centerpoint Tower、美国纽约的Citicorp Center、日本的明石 海峡大桥 Akashi Kaikyo Bridge ，等等。
§10-1 概述
结构振动控制的工程应用实例
冲击和突加载荷： 其特点是荷载的大小在极短的时间内有较大的变化。冲 击波或爆炸是冲击载荷的典型来源；吊车制动力对厂房的水平作用是典型 的突加荷载。
随机载荷：其时间历程不能用确定的时间函数而只能用统计信息描述。风 荷载和荷载均属此类。对于随机荷载，需要根据大量的统计资料制定出相 应的荷载时间历程（荷载谱）。
第10章 结构动力学
Structural dynamics
§10-1 概述 §10-2 体系的动力自由度 §10-3 单自由度体系运动方程的建立 §10-4 单自由度体系的自由振动 §10-5 单自由度体系的强迫振动 §10-6 多自由度体系的自由振动 §10-7 振型的正交型 §10-8 多自由度体系的强迫振动 §10-9 无限自由度体系的自由振动 §10-10 自振频率的近似计算
结构动力学以结构力学和数学为基础。 要求熟练掌握已学过的结构力学知识和数学知识（微分方程的求解）。
结构动力学作为结构抗震、抗风设计计算的基础。
2019/9/6
结构力学
§10-2 体系的动力自由度
1.动力自由度的定义
动力问题的基本特征是需要考虑惯性力，根据达朗贝尔（D‘Alembert Jean Le Rond）原理，惯性力与质量和加速度有关，这就要求分析质量分布和质量位 移，所以，动力学一般将质量位移作为基本未知量。
世界上采用被动式TMD的其它代表性建筑有：加拿大多伦多 的CN Tower、日本大阪的Crystal Tower、澳洲悉尼的 Centerpoint Tower、美国纽约的Citicorp Center、日本的明石 海峡大桥 Akashi Kaikyo Bridge ，等等。
§10-1 概述
结构振动控制的工程应用实例
冲击和突加载荷： 其特点是荷载的大小在极短的时间内有较大的变化。冲 击波或爆炸是冲击载荷的典型来源；吊车制动力对厂房的水平作用是典型 的突加荷载。
随机载荷：其时间历程不能用确定的时间函数而只能用统计信息描述。风 荷载和荷载均属此类。对于随机荷载，需要根据大量的统计资料制定出相 应的荷载时间历程（荷载谱）。
第10章 结构动力学
Structural dynamics
§10-1 概述 §10-2 体系的动力自由度 §10-3 单自由度体系运动方程的建立 §10-4 单自由度体系的自由振动 §10-5 单自由度体系的强迫振动 §10-6 多自由度体系的自由振动 §10-7 振型的正交型 §10-8 多自由度体系的强迫振动 §10-9 无限自由度体系的自由振动 §10-10 自振频率的近似计算
振动力学与结构动力学第一章详解演示文稿
有限自由度系统。
第15页，共34页。
2) 广义坐标法
y(x) aii (x) i 1 n
y(x) aii (x) i 1
3) 有限元法
ai ---广义坐标
i (x) ---基函数
i (0) i (l) 0
和静力问题一样，可通过将实际结构 离散化为有限个单元的集合，将无限自由
度问题化为有限自由度来解决。
P(t) m my(t) =1 11
y(t)
l EI
11[P(t) my(t)]
§1-2 弹性系统的动力自由度
一. 自由度的定义
确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。 二. 自由度的简化
实际系统都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程 角度也没必要。常用简化方法有：
m
1) 集中质量法 将实际结构的质量看成（按一定规则）
集中在某些几何点上，除这些点之外物体是 无质量的。这样就将无限自由度系统变成一
E A2
：比例系数
0
应变
等效粘性阻尼系数： ce 0
卸载
第25页，共34页。
五、滞变阻尼
阻尼力与位移成正比，但其相位与速度相同，即朝前 位移90度。
Fhd (t) kx(t T / 4)
自己推导等效粘性阻尼系数。
第26页，共34页。
§1-4 运动方程式的建立
要了解和掌握系统动力响应的规律，必须首先建立描述系统运动的（微分 ）方程。建立运动方程的方法很多，常用的有虚功法、变分法等。下面介绍建 立在达朗贝尔原理基础上的“动静法”。
对象－刚体系统
结构动力学是研究动荷作用下结构动力响
应规律的学科。
对象－变形体系统
第10页，共34页。
第15页，共34页。
2) 广义坐标法
y(x) aii (x) i 1 n
y(x) aii (x) i 1
3) 有限元法
ai ---广义坐标
i (x) ---基函数
i (0) i (l) 0
和静力问题一样，可通过将实际结构 离散化为有限个单元的集合，将无限自由
度问题化为有限自由度来解决。
P(t) m my(t) =1 11
y(t)
l EI
11[P(t) my(t)]
§1-2 弹性系统的动力自由度
一. 自由度的定义
确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。 二. 自由度的简化
实际系统都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程 角度也没必要。常用简化方法有：
m
1) 集中质量法 将实际结构的质量看成（按一定规则）
集中在某些几何点上，除这些点之外物体是 无质量的。这样就将无限自由度系统变成一
E A2
：比例系数
0
应变
等效粘性阻尼系数： ce 0
卸载
第25页，共34页。
五、滞变阻尼
阻尼力与位移成正比，但其相位与速度相同，即朝前 位移90度。
Fhd (t) kx(t T / 4)
自己推导等效粘性阻尼系数。
第26页，共34页。
§1-4 运动方程式的建立
要了解和掌握系统动力响应的规律，必须首先建立描述系统运动的（微分 ）方程。建立运动方程的方法很多，常用的有虚功法、变分法等。下面介绍建 立在达朗贝尔原理基础上的“动静法”。
对象－刚体系统
结构动力学是研究动荷作用下结构动力响
应规律的学科。
对象－变形体系统
第10页，共34页。
结构动力学2PPT课件
可见质量 mi 的惯性力幅值为
Ii mi Ai 2 (i 1,2,n)
3.动内力幅值计算
位移、惯性力、动荷载频率相同，对于无阻尼体系三者同时达到幅值。故，可 将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力学方法体系的最大动内力和最大 动位移。
例1 试求图示体系质量的最大动位移，并绘制结构的最大动力弯矩图。已知＝
3
EI 。 m l3
A m1 m
l2
EI
q sin t
B
C m2 2m EI
l2
l2
2021/5/25
第10页/共32页
10
解 本例静定结构，选择柔度法求解。
1 A m1 m
l2
EI
q sin t
B
C m2 2m EI
l/2
l2
l2
M1图
M图21源自l/4M图
P
q
ql2/8
用图乘法求得，11
l3 8E
小到大排列，称为频率谱。
➢将求得的 1 2 回代入(2)，由于系数行列式等于零，n个方程是相关的，只
能由其中的n-1个方程解得各自由度动位移之间的比值。可见，体系按某一频
率振动的形状是不变的，称之为振型。
✓ 振型向量 Ai A1i A2i
Ani T
✓ 振型向量常用表述方法一：令某自由度位移为1，例 Ai 1 2i
k 是对称矩阵，k k T
M 也是对称矩阵，同理，有 A jT M Ai AiT M A j
(3)-(4)，有
i2
2 j
AiT M A j 0
因为 i j ，所以 AiT M A j 0 i j
振型第一正交性：多自由度体系任意两个不同振型关于质量矩阵正交。
Ii mi Ai 2 (i 1,2,n)
3.动内力幅值计算
位移、惯性力、动荷载频率相同，对于无阻尼体系三者同时达到幅值。故，可 将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力学方法体系的最大动内力和最大 动位移。
例1 试求图示体系质量的最大动位移，并绘制结构的最大动力弯矩图。已知＝
3
EI 。 m l3
A m1 m
l2
EI
q sin t
B
C m2 2m EI
l2
l2
2021/5/25
第10页/共32页
10
解 本例静定结构，选择柔度法求解。
1 A m1 m
l2
EI
q sin t
B
C m2 2m EI
l/2
l2
l2
M1图
M图21源自l/4M图
P
q
ql2/8
用图乘法求得，11
l3 8E
小到大排列，称为频率谱。
➢将求得的 1 2 回代入(2)，由于系数行列式等于零，n个方程是相关的，只
能由其中的n-1个方程解得各自由度动位移之间的比值。可见，体系按某一频
率振动的形状是不变的，称之为振型。
✓ 振型向量 Ai A1i A2i
Ani T
✓ 振型向量常用表述方法一：令某自由度位移为1，例 Ai 1 2i
k 是对称矩阵，k k T
M 也是对称矩阵，同理，有 A jT M Ai AiT M A j
(3)-(4)，有
i2
2 j
AiT M A j 0
因为 i j ，所以 AiT M A j 0 i j
振型第一正交性：多自由度体系任意两个不同振型关于质量矩阵正交。
结构动力学 ppt课件
7
§1.3 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义
确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体 系的动力自由度数。
单自由度体系、有限自由度体系、无限自由度体系 二. 自由度的简化 实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难， 而且从工程角度也没必要。常用简化方法有： 集中质量法 广义坐标法 有限单元法
EI
P(t )
(t ) m y y(t )
1
k11
l
k11
12EI / l 3 12EI / l 3
k11 24 EI / l 3
(t ) m y
(t ) k11 y(t ) P(t ) m y
24 EI y (t ) P(t ) 3 l
PPT课件 18
例4.
P(t )
1P
P(t)
P(t )
l Pl/4
l/2
2l 3 11 3EI
Pl 3 1P 16 EI
2l 3 l3 (t )] 1P (t )] y(t ) 11[m y [m y P(t ) 3EI 16 EI
PPT课件 17
例3.
P(t )
l
EI
m
EI1
第三类问题：荷载识别。
PPT课件
5
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 控制系统 （装置、能量） 输出 （动力反应）
本课程主要介绍结构的反应分析 任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找 结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关 系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力 可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述 结构运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的 有虚功法、变分法等。下面介绍建立在达朗伯原理基础上的 “动静法”。 m
结构动力学概述PPT课件
m2
为层间剪切模型。
m3
第11页/共182页
▪ 例如：
m1x1
m2x2
mkxk
第12页/共182页
mN xN
2. 广义坐标法
假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列规定的位移曲线的和 来表示：
▪ 适用于质量分布比较均 匀，形状规则且边界条 件易于处理的结构。
▪ 例如：右图简支梁的变 形可以用三角函数的线 性组合来表示。
本课程主要学习确定性荷载作用下的结 构振动分析。
第9页/共182页
§1-3 动力问题的基本特性
与结构静力学相比，动力学的复杂性表现在：
• 动力问题具有随时间而变化的性质；
t
• 数学解答不是单一的数值，而是时间的函数；
• 惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载的一个重要部分！
• 引入惯性力后涉及到二阶微分方程的求解；
y P (FI FD )
改写成：
FI
FD
1
y
P
第29页/共182页
位移方程：
FI
1
FD
y
P
q ( t)
y(t )
其中：
p为动荷载 q(t) 引起的质量沿y方向的位移：
P
5l 4 384EI
q(t )
惯性力：FI my 阻尼力：FD cy
为自由度方向加单位力所引起的位移，即柔度：
FS ky FD cy
my cy ky F (t)
第23页/共182页
（2-3）
刚度法: 取每一运动质量为隔离体，通过分析所受 的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方 程，得到体系的运动方程。
y (t)
c F(t)
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结构动力学演示文稿
（优选）结构动力学
§10-1 概 述
1、结构动力学的研究内容和任务
➢ 结构动力学的研究内容 结构动力学是研究工程结构的动力特性及其在动荷载
作用下的动力反应分析原理和方法的一门理论和技术学科。
➢ 结构动力学的任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。
寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间 的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结 构动力可靠性设计、保证结构的经济与安全以及结构健康 诊断提供科学依据。
11[F (t) my(t)]
F(t) my(t)
my(t) 3EI y(t) F(t) l3
柔度法步骤：
l
1.在质量上沿位移正向加惯性力；
2.求外力和惯性力引起的位移；
3.令该位移等于体系位移。
➢ 列运动方程例题
例1.
m
F (t )
y(t)
l EI
EI
l
y(t)
F (t )
my(t)
=1 11
工程实际中经常遇到的几类动荷载——确定性荷载
F P(t)
o F P(t)
简谐荷载
o
冲击荷载
F P(t)
t
o
t
F P(t)
非简谐周期荷载
t
o
t
突加荷载
工程实际中经常遇到的几类动荷载——非确定性荷载
ü(t)
o
t
地震时记录的地面加速度随时间的变化情况
3、结构动力计算的特点
第一，动荷载作用下的结构反应(内力、应力和位移)是 随时间变化的。动力计算结果是关于时间的函数。
(6)
y2 y1
(3) 计轴变时 W=2
W=2
不计轴变时 W=1
自由度数与质点个数无关。
(7)
为减少动力自由度，梁与刚架不 计轴向变形。
EI W=1
➢ 自由度的确定
(8) 平面上的一个刚体
y2
y1 W=3
(9)弹性地面上的平面刚体
W=3
(10)
m EI W=2
(11) (12)
W=1 W=13
(1) 集中质量法
m
将实际结构的质量看成（按一定
规则）集中在某些几何点上，除这些
点之外物体是无质量的。这样就将无
限自由度系统变成一有限自由度系统。
(2) 广义坐标法
y(x) aii (x) i 1 n
y(x) aii (x) i 1
ai ---广义坐标
i (x) ---基函数
i (0) i (l) 0
my(t)
24EI l3
y(t)
F (t )
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
例3.
F (t )
EI
m
l/2
l/2
W
my(t)
1
11
列运动方程时可不考虑重力影响
y(t) ---F(t)引起的动位移
st ---重力引起的位移
l
11
2l 3 3EI
y(t) 11[F(t) my(t)]
3EI my(t) 2l3 y(t) F (t)
刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
m y(x)
广义坐标个数即 为自由度个数
(3) 有限元法
和静力问题一样，可通过将结构划分为若干单元，以 结点位移作为广义坐标，将无限自由度问题简化为有限自 由度问题。
m
结点位移个数即
为自由度个数
➢ 自由度的确定
(4)
(1) 平面上的一个质点
y1
W=1
y2
y1 W=2
(5)
(2) W=2
W=2
弹性支座不减少动力自由度
自由度为1的体系称作单自由度体系； 自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。
§10-2 单自由度体系的自由振动
1、自由振动微分方程的建立
下面介绍建立在达朗贝尔原理基础上的“直接平衡 法”，又称“动静法”，可分为刚度法和柔度法。
施
m
力
物 体
F(t) F(t)
2、动荷载及其分类
➢ 动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，
结构上的惯性力与外荷比不可忽视的荷载。
静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
➢ 动荷载的分类
确定 动荷载
周期 非周期
简谐荷载 非简谐荷载
冲击荷载 突加荷载 其他确定规律的动荷载
不确定
风荷载
地震荷载 其他无法确定变化规律的荷载
y(t) 质点的总位移为
st
Y (t) y(t) st
加速度为
Y(t) y(t)
y(t) st 11[F (t) W my(t)]
st W11
y(t) 11[F(t) my(t)]
11
l3 48 EI
my(t) 48EI y(t) F(t) l3
层间侧移刚度
对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度.
3EI l3
y(t)
F (t )
k11 y(t )
k11 11 1
刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。
➢ 柔度法
F(t) m my(t) y(t)
l EI
y(t) 11[F(t) my(t)]
11
l3 3EI
柔度系数
1 11
y(t)
m F(t) my(t)
my(t) F(t) 运动方程 F(t) my(t) 惯性力 F(t) [my(t)] 0
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
➢ 刚度法
F(t) m my(t) y(t)
l EI
1
y
k11
k11y(t) F(t) my(t)
k11
3EI l3
刚度系数
my(t)
例2.
P(t)
l EI
m
EI1
EI
l
P(t)
my(t)
y(t)
1 k11
k11
12EI / l3 12EI / l3
k11 24 EI / l3
k11y(t) F(t) my(t)
刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。
第二，结构在动荷载作用下，产生抵抗结构加速度的惯 性力。动力计算必须考虑惯性力。
4、结构动力计算中体系的自由度
➢ 自由度的定义
确定体系中所有质量位置所需的独立几何参数，称 作体系的动力自由度数。
➢ 自由度的简化
实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难， 而且从工程角度也没必要。常用简化方法有：
F (t )
l EI
m
EI1
EI
l
1
11 k 24EI
ห้องสมุดไป่ตู้
l3
（优选）结构动力学
§10-1 概 述
1、结构动力学的研究内容和任务
➢ 结构动力学的研究内容 结构动力学是研究工程结构的动力特性及其在动荷载
作用下的动力反应分析原理和方法的一门理论和技术学科。
➢ 结构动力学的任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。
寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间 的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结 构动力可靠性设计、保证结构的经济与安全以及结构健康 诊断提供科学依据。
11[F (t) my(t)]
F(t) my(t)
my(t) 3EI y(t) F(t) l3
柔度法步骤：
l
1.在质量上沿位移正向加惯性力；
2.求外力和惯性力引起的位移；
3.令该位移等于体系位移。
➢ 列运动方程例题
例1.
m
F (t )
y(t)
l EI
EI
l
y(t)
F (t )
my(t)
=1 11
工程实际中经常遇到的几类动荷载——确定性荷载
F P(t)
o F P(t)
简谐荷载
o
冲击荷载
F P(t)
t
o
t
F P(t)
非简谐周期荷载
t
o
t
突加荷载
工程实际中经常遇到的几类动荷载——非确定性荷载
ü(t)
o
t
地震时记录的地面加速度随时间的变化情况
3、结构动力计算的特点
第一，动荷载作用下的结构反应(内力、应力和位移)是 随时间变化的。动力计算结果是关于时间的函数。
(6)
y2 y1
(3) 计轴变时 W=2
W=2
不计轴变时 W=1
自由度数与质点个数无关。
(7)
为减少动力自由度，梁与刚架不 计轴向变形。
EI W=1
➢ 自由度的确定
(8) 平面上的一个刚体
y2
y1 W=3
(9)弹性地面上的平面刚体
W=3
(10)
m EI W=2
(11) (12)
W=1 W=13
(1) 集中质量法
m
将实际结构的质量看成（按一定
规则）集中在某些几何点上，除这些
点之外物体是无质量的。这样就将无
限自由度系统变成一有限自由度系统。
(2) 广义坐标法
y(x) aii (x) i 1 n
y(x) aii (x) i 1
ai ---广义坐标
i (x) ---基函数
i (0) i (l) 0
my(t)
24EI l3
y(t)
F (t )
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
例3.
F (t )
EI
m
l/2
l/2
W
my(t)
1
11
列运动方程时可不考虑重力影响
y(t) ---F(t)引起的动位移
st ---重力引起的位移
l
11
2l 3 3EI
y(t) 11[F(t) my(t)]
3EI my(t) 2l3 y(t) F (t)
刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
m y(x)
广义坐标个数即 为自由度个数
(3) 有限元法
和静力问题一样，可通过将结构划分为若干单元，以 结点位移作为广义坐标，将无限自由度问题简化为有限自 由度问题。
m
结点位移个数即
为自由度个数
➢ 自由度的确定
(4)
(1) 平面上的一个质点
y1
W=1
y2
y1 W=2
(5)
(2) W=2
W=2
弹性支座不减少动力自由度
自由度为1的体系称作单自由度体系； 自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。
§10-2 单自由度体系的自由振动
1、自由振动微分方程的建立
下面介绍建立在达朗贝尔原理基础上的“直接平衡 法”，又称“动静法”，可分为刚度法和柔度法。
施
m
力
物 体
F(t) F(t)
2、动荷载及其分类
➢ 动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，
结构上的惯性力与外荷比不可忽视的荷载。
静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
➢ 动荷载的分类
确定 动荷载
周期 非周期
简谐荷载 非简谐荷载
冲击荷载 突加荷载 其他确定规律的动荷载
不确定
风荷载
地震荷载 其他无法确定变化规律的荷载
y(t) 质点的总位移为
st
Y (t) y(t) st
加速度为
Y(t) y(t)
y(t) st 11[F (t) W my(t)]
st W11
y(t) 11[F(t) my(t)]
11
l3 48 EI
my(t) 48EI y(t) F(t) l3
层间侧移刚度
对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度.
3EI l3
y(t)
F (t )
k11 y(t )
k11 11 1
刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。
➢ 柔度法
F(t) m my(t) y(t)
l EI
y(t) 11[F(t) my(t)]
11
l3 3EI
柔度系数
1 11
y(t)
m F(t) my(t)
my(t) F(t) 运动方程 F(t) my(t) 惯性力 F(t) [my(t)] 0
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
➢ 刚度法
F(t) m my(t) y(t)
l EI
1
y
k11
k11y(t) F(t) my(t)
k11
3EI l3
刚度系数
my(t)
例2.
P(t)
l EI
m
EI1
EI
l
P(t)
my(t)
y(t)
1 k11
k11
12EI / l3 12EI / l3
k11 24 EI / l3
k11y(t) F(t) my(t)
刚度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求发生位移y所需之力； 3.令该力等于体系外力和惯性力。
第二，结构在动荷载作用下，产生抵抗结构加速度的惯 性力。动力计算必须考虑惯性力。
4、结构动力计算中体系的自由度
➢ 自由度的定义
确定体系中所有质量位置所需的独立几何参数，称 作体系的动力自由度数。
➢ 自由度的简化
实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难， 而且从工程角度也没必要。常用简化方法有：
F (t )
l EI
m
EI1
EI
l
1
11 k 24EI
ห้องสมุดไป่ตู้
l3