第7章_常微分方程初值问题的数值解法

由于f ( x0 , y0 ) 及( x0 , y0 ) 已知，必有切线方程。
由点斜式写出切线方程： y y 0 ( x x0 ) dy dx
( x0 , y 0 )
y 0 ( x x0 ) f ( x0 , y 0 )
等步长为 h，则 x x0 h，可由切线算出 y1
' _
这里 y ( xi h ) f ( xi h , y ( xi h )) k 可以看作 y x 在 xi , xi 1 上的平均斜率，有微分 中值定理知
'
（7 - 9）式是精确表达式，但 是一般无法求得 y ( xi h ) ,因此，平均斜率 k 采用不同近似方法，就 可以得到 不同的计算公式。
数值解 法的 基本思想 ：在初值问题 (7 -1)(7 - 2)解 的区间 a x b上插入一系列节点 a x0 x1 x2 xn b 在节点上用离散化方法将连续型微分方程 转化成离散型代数方程即 差分方 程 来求解。
具体作法 ：利用 y ( x0 )求出 y ( x1 )的近似值 y1，再由 y1求出 y 2， ，直到求出 y n为止。该 算法称为 步进 式 或 递推 式算法。
' '
y ( xi ) phy ( xi ) ( h ) 代入（ 7 - 10）得
' '' 2
yi 1 y ( xi ) h(1 2 ) y ' ( xi ) 2 ph 2 y '' ( xi ) ( h 3 )
又 y x 在 xi 2的二阶泰勒展开式为 y '' ( x i ) y ''' ( ) 2 y ( x ) y ( xi ) y ( xi )( x xi ) ( x xi ) ( x xi ) 3 2！ 3 ！ 介于 x与 xi 之间
选取适当的
（7-10）
1，, 2，p使其截断误差为 oh .
3
选取过程
假定对 k1 , k 2 做泰勒展开 k1 f ( x i , y i ) y ' k 2 f ( xi p , y i phk 1 ) f ( xi ph , y i phk 1 )
f ( xi , y i ) phf x ( xi , y i ) phk 1 f y ( xi , y i ) ( h 2 )
y ( xn 1 ) y ( xn )
xn1 xn
f (t , y (t )) dt (7 3)
积分用梯形公式，且令：yn 1 y ( xn 1 ), yn y ( xn ) 则得：yn 1 yn h 2 ( f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 ))
y ( xn 1 ) y ( xn )
f (t , y (t )) dt (7 3)
对右端积分采用取左端点的矩形公式,则有：

xn1
xn
f (t , y (t )dt h f ( xn , y ( xn ))
2
h2
2 ( n 0,1, ), xn n xn 1
x , y为连续函数，且对任意的 y满足李普 希兹 ( Lipschitz )条件，即存在常数 L，使得 f ( x , y1 ) f ( x , y 2 ) L y1 y 2 由常微分方程理论知，初值问题 (7 -1)(7 - 2)的 解必存在且唯一。
数值方法的任务 ：寻求唯一存在的解在离散节点 上的近似值 yi(i 0,1, 2, )。
预测 校正 y n 1 y n hf ( xn , y n ) y n 1 y n [ f ( xn , y n ) f ( xn 1 , y n 1 )] 2 h
也可表示为 yn 1 yn [ f ( xn , y n ) f ( xn h, y n hf ( xn , y n ))] 2
'

y '' ( xi ) ( h 3 ) （ ） 2！ 比较（ ）和（ ）的系数即可发现，要 使公式具有 y ( xi 1 ) y ( xi ) hy ' ( xi ) 二阶精度只要下列条件 成立
7.2 尤拉方法
1. Euler 公式
初值问题： y f ( x, y ) a x b y ( x0 ) y 0 (7 1) (7 2)

xn 1 xn
y (t ) dt

xn 1 xn
f (t , y (t )) dt
xn 1 xn
或者表示为下列平均化形式 y p y n hf ( xn , y n ) yc y n hf ( xn 1 , y p ) y (y y )/ 2 p c n 1 (7 8)
h
例1 ：用尤拉公式和改进的尤拉公式解初值问题 2x y y y y (0) 1 (0 x 1)
7.3 龙格-库塔（R-K）法
尤拉法
k1 f x i , y i
y i 1 y i hk1
局部截断误差O(h2)
考察改进的尤拉法，可以将其改写为：
y i 1 K1 K2 1 1 yi h K 1 K 2 2 2 f ( xi , yi ) f ( x i h, y i hK 1 )
y ( xn 1 ) y ( xn h ) y ( xn ) hf ( xn , y ( xn )) y ( ) 2 ( xn xn 1 ) h2
yn1 yn hf ( xn , yn )
Rn 1 y ( xn 1 ) yn 1 h2 2 y ( ) O ( h 2 )
解：取步长 h 0.1， 尤拉公式为： y n 1 y n h ( y n 2 xn yn )
2 xn y p yn h ( yn y ) n 2 x n 1 改进的尤拉公式为： y c y n h ( y p ) yp 1 y n 1 ( y p y c ) 2
y1 y0 hf ( x0 , y0 )
逐步计算出 y （ x）在 xn 1点的值： y y n 1 y n hf ( xn , y n ) n 0，， ， 1 2
用分段的折线逼近函数,此为“折线法”而非“切线 法”，除第一个点是曲线上的切线，其它都不是。
（2）梯形公式
h 2 y(i )，则：
y(n )
当h充分小，舍去误差项R1
y ( xn 1 ) y ( xn ) h f ( xn , y ( xn ))
用 y n 1 , y n 代替 y ( xn 1 ), y ( xn ), 得出初值问题（7 -1）（7 - 2） 的离散化形式：
_
启示
如果在区间内多取几个点的斜率值，然后把它们的线性组合作为平均斜率 的近似值，则有可能构造出更高精度的计算公式，这就是龙格-库塔法的基 本思想
二阶龙格-库塔公式
yi1 yi h(1k1 2 k 2 )
k1 f ( xi , yi )
k 2 f ( xi ph, yi phk1 )
y0 y ( x0 ) ( 7 4) yn 1 yn h ( f ( xn , yn ) ( n 0 ,1, 2 ,)
(1) 几何意义 由 (x0 , y0 ) 出发取曲线 y y ( x)的切线（存在)，则斜率 dy dx
( x0 , y0 )
f ( x0 , y0 )
局部截断误差O(h3)
增加计算f(x,y)在不同点的 值，能否提高局部截断误差的阶？
有微分中值定理，存在 0,1）使得 （ y ( xi 1 ) y ( xi ) ' y ( xi h ) f ( xi h, y ( xi h )) h 所以
y ( xi1 ) y ( xi ) hf ( xi h, y ( xi h)) （7 - 9）
微分方程离散化常用方法
（1 ）数值积分 用数值积分方法离散 化 : dy dx

xn 1 xn
dx

xn 1 xn
f ( x , y )dx
( n 0, 1, )
用yn 1 , yn 代替y ( xn 1 ), y ( xn ), 对右端积分采用 取左端点的矩形公式

则有
xn1
xn
f ( x, y )dx h f ( xn , yn )
yn 1 yn hf ( xn , yn ) ( n 0,1,)
（2）数值微分 dy dx
( xn , yn )

y ( xn 1 ) y ( xn ) xn 1 xn
f ( xn , y ( xn ))
2
y ( xn ) hf ( xn , y ( xn ))
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2
y ( xn )
取 h 的线性部分，且 y n y ( xn ) 得 y ( xn )的近似值： y n 1 y n hf ( xn y ( xn ) 估计截断误差。 n 0,1, 2, Taylor 展开法不仅可得到求数值解的公式，且容易
第7章 常微分方程初值问题的数值解法
7.1 7.2 7.3 7.4 引言 尤拉方法 龙格—库塔法 收敛性和稳定性
7.1 引 言
ODE的求解： 分离变量法、齐次方程的求解、可降阶高阶微分方程 求解——特殊类型的微分方程。 微分方程的近似解法： (1) 近似解析法：逐次逼近法、级数解法 (2) 数值解法：求离散点上的近似值。
2. Euler方法的截断误差
(1)局部截断误差
R 在一步中产生的误差而非累积误差： n 1 y ( xn 1 ) yn 1
其中， y n 1是当 y n y ( xn )(精确解 )时由 Euler法求出 的值，即 y n 无误差。
将 y ( xn 1 )在 xn点 Taylor 展开：
定义 ： 数值方法的局部截断误差为： Rn 1 O ( h p 1 ) 称该方法具有 p阶精度 或 p阶方法 。显然，尤拉 公式
具有 一阶精度 ，梯形公式具有二阶精度。
3. 改进的尤拉方法 梯形公式虽然提高了精度，但算法复杂。而在实际计 算中只迭代一次，这样建立的预测—校正系统称作改 进的尤拉公式。
h
3
Rn 1 y ( xn 1 ) y n 1
12
y ( )
xn xn 1
与 Euler法结合，形成迭代算法，对 n 0，2 1，，
(0) y n 1 y n hf ( xn , y n ) (7 5) ( k 1) h (k ) y n 1 y n ( f ( xn , y n ) f ( xn 1 , y n 1 ) k 0 ,1, 2 , 2
定解问题：微分方程＋定解条件(初值条件、边界条件) 分别称为初值问题和边值问题。
一阶常微分方程的初值问题： y f ( x, y ) a x b y ( x0 ) y 0 (7 1) (7 2)
函数 f ( x , y )在带形区域
( x, y ) a x b, y
用 h xn 1 xn , yn y ( xn ), yn 1 y ( xn 1 ) 代替， 则： yn 1 yn h f ( xn , yn )
yn 1 yn hf ( xn , yn ) n 0, 1, 2,
（3）在 xn附近 y ( x )的 Taylo r 展开： y ( xn h ) y ( xn ) h y ( xn ) h2 2 y ( xn ) h