高一数学必修一函数与方程(课堂PPT)
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函数的零点与方程的解课件高一上学期数学人必修第一册
对未来学习的展望
深入学习函数和方程的概念，理解其本质和联系 掌握求解函数零点和方程解的方法和技巧，提高解题能力 培养逻辑思维能力和抽象思维能力，为后续学习打下坚实基础 激发学习兴趣，培养良好的学习习惯和态度，为未来的数学学习做好准备
THANK YOU
汇报人：
步骤：找出两个因式，使它们的乘积等于一元二次方程
例子：求解方程x^2-4x+4=0 注意事项：因式分解法适用于二次项系数为1的情况，如果二次项系数不为 1，需要先提取公因式
04
函数零点与方程解的关系
函数零点与方程解的等价关系
函数零点：函数值为0的点 方程解：满足方程的未知数的值 等价关系：函数零点与方程解之间存在一一对应关系 证明方法：利用函数图像和方程的解进行证明
一元二次方程的 判别式：b² - 4ac
一元二次方程的 根：x1, x2
配方法求解一元二次方程
配方法的基本思 想：将一元二次 方程转化为二次 函数，通过配方 法求解
配方法的步骤： 首先将一元二次 方程转化为二次 函数，然后利用 二次函数的性质 求解
配方法的应用： 求解一元二次方 程，如求解 x^2+2x+1=0
通过函数图像求方程的解
介绍函数图像的概念和作用
举例说明如何通过函数图像求解 方程
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
讲解如何通过函数图像找到函数 的零点
总结通过函数图像求方程解的方 法和步骤
通过方程解求函数的零点
函数零点的定义：函数在某 一点的值等于0
关系：方程的解就是函数的 零点
方程解的定义：方程的解是 指满足方程的未知数的值
函数的零点与方程的解课件高 一上学期数学人必修第一册
高一数学新人教A版必修1课件：第3章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点
阅读教材 P86～P87“探究”以上部分，完成下列问题． 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与根的关系
Δ>0
Δ＝0
二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(a>0)的 图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
Δ<0 无交点
2.函数的零点
对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
法二 由x2－1x＝0，得x2＝1x. 令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x. 在同一坐标系中分别画出h(x)和g(x)的图象，如图所示．可知两函数图象只有 一个交点，故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．
判断函数存在零点的 3 种方法 1．方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判
函数零点个数的判断
判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－1x. 【精彩点拨】 (1)中f(x)为二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程 的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法或转化为两个熟知的基本初等函数y＝ x2与y＝1x的图象交点的个数．
【自主解答】 (1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点． (2)法一 令f(x)＝0，即x2－1x＝0. ∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0. ∴x＝1或x2＋x＋1＝0. ∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0， ∴方程x2＋x＋1＝0无实数根． ∴函数f(x)只有一个零点．
【答案】 B
新教材人教版B版必修一 函数与方程 课件(10张)
x m, 其中m>0.若
x m,
存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是
. 解题导引
解析 f(x)的大致图象如图所示:
若存在b∈R,使得方程f(x)=b有三个不同的根,只需A点在B点的下 方,即4m-m2<m,又m>0,所以m>3. 答案 (3,+∞)
2
∴f(1)·f(2)<0,
根据零点存在性定理知f(x)=ln
x-
2 x2
的零点所在的区间为(1,2).故选B.
答案 B
考向二 函数零点的应用
例2 (2017江西赣州一模,11)已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x
1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是 ( )
A.1<x1<2,x1+x2<2
第三步,计算f(x1): (i)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; (ii)若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1)); (iii)若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)); 第四步,判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否 则,重复第二、三、四步.
与方程的根
1.函数的零点
(1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使① f(x)=0 的实数x叫做函数
y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与② x轴
有交点⇔函数y=f(x)有③ 零点 .
2.函数零点存在性定理
注意 零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点,并不能 判断零点的个数,但如果函数在区间上是单调函数,则该函数在区间上 至多有一个零点. 3.二分法 (1)对于区间[a,b]上连续不断的,且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把 函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 从而得到零点近似值的方法,叫做二分法. (2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间[a,b],验证④ f(a)·f(b)<0 ,给定精确度ε; 第二步,求区间(a,b)的中点x1;
【课件】函数的零点与方程的解课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
图(2)中函数在区间(a,b)内
()
( 2)
仅有1个零点.
函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能判断出零点 的个数 .
函数零点存在定理
问题4 函数y=f(x) 在区间(a,b) 内有零点，是不是一定有f(a)f(b)<0?
函数零点存在定理
不一定. 如f(x)=x²在区间(-1,1)上有零点0, 但是f(-1)f(1)=1×1=1>0.
探究三：判断函数零点的个数
【变式训练】判断函数f(x)=Inx+x²-3
的零点的个数 .
解 ： [法 一 图象法]
函数对应的方程为1n x+x²—3=0,所以原函数零点的个数即
为函数y=1n x与 y=3—x² 的图象交点个数.
在同一坐标系下，作出两函数的图象 (如图).
由图象知，函数 y=3—x² 与y=1n x的 图象只有一个交点，从而In x+x²—3=0 有一个根，
探 究一：求函数的零点
【例1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f(x)=x²
十2x+4;
(2)f(x)=2x—3;
(3)f(x)=1—log₃x.
(1)令x²+2x+4=0,
由于△=2²- 4×1×4= - 12<0,
所以方程x²+2x+4=0 无实数根，
所以函数f(x) =x²+2x+4 不存在零点
高中数学 ·必修—
第四章指数函数与对数函数
函数的零点与 方程的解
知识回顾
一次函数、指数函数、对数函数的增长速度比较 函数
在(0,+0) 上的单调性
增长速度
人教版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式全套PPT课件
[解析] ， ，又 , ，即 .又 ， ，即 ．故 ， ．
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．由 解得 ,又 ， ， ， ．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，②正确．综上，正确结论的序号是②．（2）因为 ，所以 .所以 ．又因为 ，所以 .所以 ，即 ，所以 ．
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，所以 ，即 ； ，即 .所以 .所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
人教高中数学必修一A版《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件
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典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
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方法指导
含参一元二次不等式的解法
➢ 判定二次项系数是否为零，分别讨论； ➢ 在二次项系数不为零的条件下，讨论判别式与0的关系； ➢ 在有根的情况下进行因式分解或利用求根公式求出对应二次方程的根； ➢ 比较两根的大小，分别得到参数的范围，写出解集； ➢ 综上所述，按照参数的范围分别写出解集．
学习目标
➢ 掌握一元二次不等式在实际应用问题中的应用； ➢ 初步掌握解决实际问题的一般步骤.
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典例精讲
题型 一元二次不等式的实际应用
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典例精讲
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典例精讲
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变式训练
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方法指导
一元二次不等式实际应用解题的方法： ➢ 选取合适的字母设题中的未知量； ➢ 由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； ➢ 求解所列出的不等式（组）； ➢ 结合题目的实际意义下结论.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第3课时
学习目标 典例精讲 课堂小结 随堂检测
学习目标
➢ 会解含参一元二次不等式.（重难点）
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题型1 含参一元二次不等式的解集
角度1 参数影响对应方程根的大小
典例精讲
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典例精讲
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典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
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课堂小结
➢一个题型
一元二次不等式实际应用题 注意实际问题的具体范围
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随堂检测
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随堂检测
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典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
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方法指导
含参一元二次不等式的解法
➢ 判定二次项系数是否为零，分别讨论； ➢ 在二次项系数不为零的条件下，讨论判别式与0的关系； ➢ 在有根的情况下进行因式分解或利用求根公式求出对应二次方程的根； ➢ 比较两根的大小，分别得到参数的范围，写出解集； ➢ 综上所述，按照参数的范围分别写出解集．
学习目标
➢ 掌握一元二次不等式在实际应用问题中的应用； ➢ 初步掌握解决实际问题的一般步骤.
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典例精讲
题型 一元二次不等式的实际应用
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变式训练
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方法指导
一元二次不等式实际应用解题的方法： ➢ 选取合适的字母设题中的未知量； ➢ 由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； ➢ 求解所列出的不等式（组）； ➢ 结合题目的实际意义下结论.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第3课时
学习目标 典例精讲 课堂小结 随堂检测
学习目标
➢ 会解含参一元二次不等式.（重难点）
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题型1 含参一元二次不等式的解集
角度1 参数影响对应方程根的大小
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典例精讲
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典例精讲
角度2 参数影响二次项系数与对应方程根的大小
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课堂小结
➢一个题型
一元二次不等式实际应用题 注意实际问题的具体范围
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随堂检测
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随堂检测
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人教必修一数学《3.1.1.2函数与方程(2)函数零点的存在性定理》(课件)
C. a 1 或a 1 D. a 1 5
4 . 若方程2ax2 x 1 0在（0，1）内 恰有一个解，则a的取值范围是______。
「家庭作业」 1. 《考向标》 P71 — P72； 2. 自学教材：P89 — P91：
二分法求方程的近似解。
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
自我感悟
教材P87 — P88 通过对二次函数零 点所在区间其有的特点，得出一般函数 y = f (x)在区间［a，6］上是否存在零点 的“零点存在性定理”。
请你思考以下几个问题：
（1）为何规定函数 y = f (x)的图象是 连续不断的？
（2）为何只研究 f (a) ·f (b) < 0这个 情况？
（3）为何只说“存在 c (a，b) ，
使得 f (c) = 0”而不说到底有几个零点？ （4）要得出函数 y = f (x)在区间
［a，b］上零点个数，你认为应增加哪些 条件？
知识归纳
函数零点存在定理
如果函数y f ( x)在区间a，b上的图象
是连续不断的一条曲线，并且有f (a) f (b) 0， 那么，函数 y f ( x)在区间(a，b)内有零点，即 存在c (a，b)，使得f (c) 0，这个也就是方程 f ( x) 0的根.
知识运用
1.教材P92 A组T 2
2. 求函数f ( x) ln x 2x b的零点个数.
3 . 设f ( x) 3ax 1 2a在(1，1)上存在
x0，使f ( x0 ) 0，则a的取值范围是（ ）
A. a 1 B. a 1
5
5
-高一数学人教A版必修第一册4.5.1函数的零点与方程的解课件
当堂达标
5. 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，a·c<0，则函数有________个零点．
2 解析：由 Δ＝b2－4ac>0 得二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有两个零点．
当堂达标
6.求方程 logax＋2x－6＝0 的实数解的个数．
解：由 logax＋2x－6＝0 得 logax＝－2x＋6 当 a＞1 时，作 y＝logax 与 y＝－2x＋6 的图象， y＝logax 为增函数，y＝－2x＋6 为减函数，有一个交点．
经典例题
题型三 函数零点个数的判断
总结
1.判断零点的个数时 由 fx＝gx－hx＝0，得 gx＝hx，在同一坐标
系中作出 y1＝gx和 y2＝hx的图象，利用图象判定方程根的个数. 2.已知零点个数求参数时 画出函数图象，将函数零点问题转化为图象 交点问题，从而确定参数的范围.
经典例题
题型三 函数零点个数的判断
当堂达标
3.函数 f(x)＝x－2＋log2x，则 f(x)的零点所在区间为(
)
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
B 解析：f(1)＝－1＋log21＝－1，f(2)＝log22＝1， ∴f(1)·f(2)<0，故选 B．
当堂达标
4.已知函数 f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下 x，f(x)的对应值表：
4.5 函数的应用（二） 4.5.1 函数的零点与方程的解
学习目标
素养目标
学科素养
1.理解零点的概念；
2.了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数 零点与方程根的关系确定方程根的个数；
3.能够利用零点的存在解决含参问题．
1.数形结合 2.数学运算 3.逻辑推理
高中数学苏教版必修1课件：3.4.1函数与方程(第1课时)函数的零点
零点的个数．(难点)
自主预习 探新知
1．函数零点的定义
一般地，我们把使函数 y＝f(x)的值为_0_的_实__数__x_称为函数 y＝f(x)
的零点． 2．方程、函数、图象之间的关系
(1)函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的_实__数_根__． (2)函数 y＝f(x)的零点就是它的图象与_x_轴交点的_横_坐__标__．
(1)1 (2)2 [(1)令 f(x)＝0，∴ex－3＝0，∴x＝ln 3，故 f(x)只有 1 个零点．
(2)在同一坐标系中画出 y＝ln x 与 y＝x－1 1的 图象，如图所示，函数 y＝ln x 与 y＝x－1 1的图象 有两个交点，所以函数 f(x)＝ln x－x－1 1的零点个 数为 2.]
[解] (1)∵f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，令 f(x)＝0，得 x＝0,1，－1，故 f(x)的零点为 x＝－1，0,1.
(2)令 f(x)＝2x－8＝0，∴x＝3， 故 f(x)的零点为 x＝3. (3)令 f(x)＝1－log4 x＝0，∴log4 x＝1，∴x＝4. 故 f(x)的零点为 x＝4.
【例 3】 (1)函数 f(x)＝ex－3 的零点个数为________． (2)函数 f(x)＝ln x－x－1 1的零点个数是________． (3)已知关于 x 的一元二次方程(x－1)(3－x)＝a－x(a∈R)，试讨 论方程实数根的个数． 思路点拨：(1)利用函数的零点的概念解方程求解．(2)利用函数 图象来求解．(3)原方程可化为(x－1)(3－x)＋x＝a，利用直线 y＝a 与 抛物线 y＝(x－1)(3－x)＋x 的位置关系讨论，也可以利用判别式．
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
自主预习 探新知
1．函数零点的定义
一般地，我们把使函数 y＝f(x)的值为_0_的_实__数__x_称为函数 y＝f(x)
的零点． 2．方程、函数、图象之间的关系
(1)函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的_实__数_根__． (2)函数 y＝f(x)的零点就是它的图象与_x_轴交点的_横_坐__标__．
(1)1 (2)2 [(1)令 f(x)＝0，∴ex－3＝0，∴x＝ln 3，故 f(x)只有 1 个零点．
(2)在同一坐标系中画出 y＝ln x 与 y＝x－1 1的 图象，如图所示，函数 y＝ln x 与 y＝x－1 1的图象 有两个交点，所以函数 f(x)＝ln x－x－1 1的零点个 数为 2.]
[解] (1)∵f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，令 f(x)＝0，得 x＝0,1，－1，故 f(x)的零点为 x＝－1，0,1.
(2)令 f(x)＝2x－8＝0，∴x＝3， 故 f(x)的零点为 x＝3. (3)令 f(x)＝1－log4 x＝0，∴log4 x＝1，∴x＝4. 故 f(x)的零点为 x＝4.
【例 3】 (1)函数 f(x)＝ex－3 的零点个数为________． (2)函数 f(x)＝ln x－x－1 1的零点个数是________． (3)已知关于 x 的一元二次方程(x－1)(3－x)＝a－x(a∈R)，试讨 论方程实数根的个数． 思路点拨：(1)利用函数的零点的概念解方程求解．(2)利用函数 图象来求解．(3)原方程可化为(x－1)(3－x)＋x＝a，利用直线 y＝a 与 抛物线 y＝(x－1)(3－x)＋x 的位置关系讨论，也可以利用判别式．
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
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如果函数y =f(x)在区间[a,b]上的 图象是连续不断的一条曲线，并且
导 f(a) ·f(b)<0,则函数在（a,b）内有零点。 学 注:只有上述两个条件同时满足,才能判 达 断函数在指定区间内存在零点。 标
7
探究（二）
下图中在区间 a , b 内有几个零点? 五 个
导 什么情况下只有唯一一个零点？
个函数在(a,b)内必有唯一的一个零
点。
9
考点一 函数零点的判断与求解 判断下列函数在给定区间上是否存在零点. （1）f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］; （2） f(x)=x3-x-1,x∈［-1,2］;
【分析】利用函数零点的存在性定理或图象进 行判断.
10
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【解析】 (1)解法一:∵f(1)=-20<0,f(8)=22>0, ∴f(1)·f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］存在零点. 解法二:令x2-3x-18=0,解得x=-3或6, ∴函数f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］存在零点. (2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0, ∴f(x)=x3-x-1,x∈［-1,2］存在零点.
内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0
在区间（a,b)内 至少有一个实数解 ，函数f(x)有零
点
y=f(x)的图像 与x轴有交点 方程
f(x)=0 有解 .
5
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端点函数值异号， 则函数有零点
y
导a
•
学0 •
bx
达
y
标 a•
•0 b
x
函数图象连续
•
a
•
b
y
•
a
0
bx
•
6
③ 零点存在性定理
令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意;
若a≠0,则f(x)=ax2-x-1是二次函数,
故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0,
1
解得a=- 4 .
综上所述,a=0或a=-
1 4
.
14
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函数零点方程根， 形数本是同根生。 函数零点端点判， 图象连续不能忘。
15
16
学
个点吗?
坐标
达 ② 方程的根与函数零点的关系 标 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点.
函数y=f(x)有零点
3
探究（一）
(Ⅰ)观察二次函数 f (x) =x 2－2x-3的图象
① 在区间 2，1 上 有 零点（填“有”或“无”）
导 f(-2)= 5 ，f(1)=＿＿- 4＿，
11
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＊对应演练＊
求下列函数的零点:
(1)y=x2-7x+6; 2
(2)y=x+ x -3.
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考点三 零点性质的应用 （1）若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数 a的值；
【分析】 (1)二次项系数含有字母,需分类讨论.
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【解析】 (1)若a=0,则f(x)=-x-1,
1
1.求下列方程的根．
X-2=0
x2
前 2.画出下列函数的图象
提 y=x-2 y
测
1
评 -2
-1 0 -1
1
2x
2,0
-2
方程的根就-3 是对应函数图象与x轴交点的横坐2标
① 函数零点的定义
对于函数 y =f (x)，我们把使f (x)=0的 实数x叫做函数y =f(x)的零点。
导
零点是一
是交点的横
学y 达
端点函数值异号的 单调函数
标
b
0a
x
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③ 零点存在性定理
如果函数y =f(x)在区间[a,b]上的
图象是连续不断的一条曲线，并且
导 f(a) ·f(b)<0,则函数在（a,b）内有零 学 点。
达
• 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的 图象是连续不断的一条曲线，并且
标 f(a) ·f(b)﹤0,且是单调函数,那么这
学 f(-2) ·f(1) < 0,（填“<”• 或“>y”）
达 ②在区间[2,4]上 有4)= 5 ,-2 -1 1 2 3 4
•
x
f(2) ·f(4) < 0
•
4
若函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的图像
是 连续曲线 ，且 f(a)f(b)＜0 ，则在区间（a,b）
导 f(a) ·f(b)<0,则函数在（a,b）内有零点。 学 注:只有上述两个条件同时满足,才能判 达 断函数在指定区间内存在零点。 标
7
探究（二）
下图中在区间 a , b 内有几个零点? 五 个
导 什么情况下只有唯一一个零点？
个函数在(a,b)内必有唯一的一个零
点。
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考点一 函数零点的判断与求解 判断下列函数在给定区间上是否存在零点. （1）f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］; （2） f(x)=x3-x-1,x∈［-1,2］;
【分析】利用函数零点的存在性定理或图象进 行判断.
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【解析】 (1)解法一:∵f(1)=-20<0,f(8)=22>0, ∴f(1)·f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］存在零点. 解法二:令x2-3x-18=0,解得x=-3或6, ∴函数f(x)=x2-3x-18,x∈［1,8］存在零点. (2)∵f(-1)=-1<0,f(2)=5>0, ∴f(x)=x3-x-1,x∈［-1,2］存在零点.
内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0
在区间（a,b)内 至少有一个实数解 ，函数f(x)有零
点
y=f(x)的图像 与x轴有交点 方程
f(x)=0 有解 .
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端点函数值异号， 则函数有零点
y
导a
•
学0 •
bx
达
y
标 a•
•0 b
x
函数图象连续
•
a
•
b
y
•
a
0
bx
•
6
③ 零点存在性定理
令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意;
若a≠0,则f(x)=ax2-x-1是二次函数,
故有且仅有一个零点等价于Δ=1+4a=0,
1
解得a=- 4 .
综上所述,a=0或a=-
1 4
.
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函数零点方程根， 形数本是同根生。 函数零点端点判， 图象连续不能忘。
15
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学
个点吗?
坐标
达 ② 方程的根与函数零点的关系 标 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点.
函数y=f(x)有零点
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探究（一）
(Ⅰ)观察二次函数 f (x) =x 2－2x-3的图象
① 在区间 2，1 上 有 零点（填“有”或“无”）
导 f(-2)= 5 ，f(1)=＿＿- 4＿，
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＊对应演练＊
求下列函数的零点:
(1)y=x2-7x+6; 2
(2)y=x+ x -3.
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考点三 零点性质的应用 （1）若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数 a的值；
【分析】 (1)二次项系数含有字母,需分类讨论.
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【解析】 (1)若a=0,则f(x)=-x-1,
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1.求下列方程的根．
X-2=0
x2
前 2.画出下列函数的图象
提 y=x-2 y
测
1
评 -2
-1 0 -1
1
2x
2,0
-2
方程的根就-3 是对应函数图象与x轴交点的横坐2标
① 函数零点的定义
对于函数 y =f (x)，我们把使f (x)=0的 实数x叫做函数y =f(x)的零点。
导
零点是一
是交点的横
学y 达
端点函数值异号的 单调函数
标
b
0a
x
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③ 零点存在性定理
如果函数y =f(x)在区间[a,b]上的
图象是连续不断的一条曲线，并且
导 f(a) ·f(b)<0,则函数在（a,b）内有零 学 点。
达
• 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的 图象是连续不断的一条曲线，并且
标 f(a) ·f(b)﹤0,且是单调函数,那么这
学 f(-2) ·f(1) < 0,（填“<”• 或“>y”）
达 ②在区间[2,4]上 有4)= 5 ,-2 -1 1 2 3 4
•
x
f(2) ·f(4) < 0
•
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若函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的图像
是 连续曲线 ，且 f(a)f(b)＜0 ，则在区间（a,b）