连杆机构原理与综合

上述矩阵方程写成代数表达式为：
Ajx A0x 2 Ajy A0y 2 A1x A0x 2 A1y A0y 2 r12
r1为对应连架杆的长度，A0x， A0y， A1x， A1y ，Ajx， Ajy分别为 A0 ，A1，Aj点的坐标。
图5-4(b)中，连杆AB为定杆，其定杆长方程为：
定杆长约束方程
在图5-4(a)中，设A1…Aj点的运动轨迹为圆点曲线， A1、Aj为上 述之圆点，其圆心位置为A0点。则有： A0A1 =A1A2 =…= A0Aj 。称 A0Aj为定杆长。
定杆长方程用矩阵方程表示为：
Aj A0 T Aj A0 A1 A0 T A1 A0
给定位置时的机构尺寸。 函数发生机构的综合。求解机构的输入量与输出量满足特定函数
关系时的机构尺寸 轨迹发生机构的综合。求解连杆上某点的运动轨迹满足特定曲线
要求时的机构尺寸
• 机构综合方法
1.图解法 利用几何学的原理，采用作图步骤求解机构尺寸。 2.解析法 运用几何原理建立机构的机构参数和运动参数的数学关系式， 并用数学方法求解机构尺寸。通常有以下两种建模方式：
图5-6给出了刚体的第j个位置
和对应的机构在第j个位置的示意
图。在上述方程中，位移矩阵中
的已知条件有pj点坐标pjx，
pj
，
y
标线相对转角θ1j，待求数据为A0x，
A0y ，A1x， A1y四个未知数。
1.给定刚体2个位置时的机构综合，即j=2。
A2 D12 A1 A2 A0 T A2 A0 A1 A0 T A1 A0
数。一般将其转化为两个四位置问题。如1，2，3，4 位置时，求
解[D12]， [D13]， [D14] ，和定杆长约束方程联立求出的圆点曲线 和圆心曲线，在求解1，2，3，5位置时的[D12]， [D13]， [D15]，和
定杆长约束方程联立求出对应的圆点曲线和圆心曲线。对应圆点曲
线的交点为圆点，两圆心曲线的交点为圆心，无交点时则说明无
为最小来寻求最优解。
j 1
平面刚体引导机构的运动综合
• 刚体导引机构
1. 刚体导引是指刚体能顺利通过若干给定位置。 2.被引导刚体位置的给定方法
在被引导刚体上任取一点p，过p 点作任意标线pq，一般以pq以及pq与x
轴正方向夹角θ表示导引刚体的一系列
位置，如图5-2所示的一系列位置。一
般情况下用pjqj和θ1j表示刚体的第j个位
获得。 Chebychev多项式的n个根，就是n个精确点的位置。
Chebychev多项式如下：
xj
1 2
x0
xn1
1 2
x
n1
x0
cos
2 j
2n
1
j=1,2,…,n
其中x0和xn+1为自变量x变化范围中的首尾值，n为精确点数目。 4.精确综合与近似综合
• 精确综合：凡是没有机构误差的综合，称精确综合；
图5-1中，设y=f（x）为预期函 数，y=g（x）为实现函数。二者 交点为精确实现运动要求的位置， 称为精确点。结构误差的值为R （x）= f（x） - g（x）。
图5-1 结构误差
结构误差的大小与精确点的布置和数目有关，而精确点的数目
与机构的结构参数有关。精确点的布置可用chebychev spacing 方法
B1 y B2 y B jy
1 1
0 1
j 3,4,,n
当三点共线时则有：
B1x B2 x B3 x
B1 y B2 y B3 y
1 1 0 1
j 3,4,,n
• 刚体导引机构的综合方法
刚体导引机构综合是灵活使用刚体位移矩阵方程和定杆长约束 方程的过程，其方程通式为：
Q j D1 j Q1 Aj A0 T Aj A0 A1 A0 T A1 A0
A1y 。一系列的A1x， A1y组成以A点为坐标的圆点曲线，A0x，A0y组 成圆心曲线，从圆点曲线和圆心曲线上选出可行的一组解。
4.给定刚体5个导引位置，即j=5。 此时可求解出[D12]， [D13]， [D14] ， [D15]，代入定杆长方程
中，可列出四个二阶非线性方程组成的方程组，其中包括四个未知
为k。
当n= k时，方程有解，结构误差为零；
当n <k时，方程数小于未知数目，可人为地预置k- n结构参数， 然后求解余下的机构参数；
当n> k时，方程数大于未知数，不能用精确点综合法求解。但由
于各插值点的结构误差均不为零，可采用优化法，使各插值点处的
误差平方和为最小，即
E
m
f
x j
gx j 2
Bj Aj T Bj Aj B1 A1B1 A1
其分量表达式为：
Bjx Ajx 2 Bjy Ajy 2 B1x A1x 2 B1y A1y 2 r22
定斜率方程 当导引连杆机构演化成滑块机构
时，Bj与B0的定杆长约束方程演化为 Bj端的定斜率约束方程，图5-5所示 即Bj为滑块的运动轨迹。
知。然后求解余下的2个未知数，固有无数解。
3 .给定刚体4个导引位置，即j=4。
此时可求解出[D12]， [D13]， [D14] ，代入定杆长方程中，得三个 二阶非线性方程，每假定一个未知数为已知，如A0x为 已知，可求
出A0y， A1x， A1y 。连续给出一系列A0x，可求出一系列A0y， A1x，
sin1j cos1 j
0
p jx p1x cos1 j p11y sin1 j q1x
p
jy
p1x
cos1 j
p1y
sin1 j
q1y
1
1
j 2,...,n
上述公式简记为：
Q j D1 j Q1 Q j q jx ,q jy ,1 T ,Q1 q1x ,q1y ,1 T
q j R1 j q1 p1 p j j 2,,n
写成分量形式为：
q jx p jx cos1 j
q
jy
p
jy
sin
1
j
1 0
sin1 j cos1 j
0
0q1x p1x
0q1y
p1y
1 1
即为：
q jx cos1j
q
jy
sin1
j
1 0
2
2
2 cos 3 2.00
2 cos 56 2.86
6
2 1
23
1
2 cos
6
1.134
求出一系列的x后，代入函数式 y x0.8 ，从中可解出y1=1.106， y2=1.741，y3=2.322。
当函数y=g(x)向预期函数y=f(x)逼近时，机构误差R(xj)=f(xj)– g(xj) 的值向零逼近。设精确点数为n；机构参数数目，即方程未知数目
➢ 封闭形法：根据机构位置向量封闭这一特点，导出所需位移方程。 ➢ 约束方程法：根据各构件所受的几何约束条件推导出所需的关系
式。 3.误差 a.随机误差：由于制造误差、运动副的间隙误差、构件的弹 性变形等因素所造成的机构运动误差，称随机误差。 b.结构误差：预期的运动与所设计的简图实际达到的运动之 间的误差，称结构误差。如图5-1。
图5-2 圆点与圆心
刚体平面运动的矩阵描述
在图5-3所示的刚体运动中，刚体有p1q1运动到pjqj可用以下过程 来描述。
p1q1绕p1点旋转θ1j角度到达p1q1‘， 使p1q1‘//pjqj，p1q1‘再平移pj距离。
该运动过程的矩阵变换如下：
q j p j R1j q1 p1 j 2,,n
解。
谢谢！
低副机构的运动综合
廖爱红 2010年5月30日
概述
• 机构综合
机构综合分为结构综合和尺度综合。结构综合又分为型综合 和数综合。型综合是研究用多少构件，用哪类运动副去连接这些构 件来满足某种运动要的机构类型；数综合是研究一定数量的构件和 一定数量的运动副可以组成多少种一定自由度的运动链。
尺度综合是按已选定的机构类型和给定的运动条件或动力条 件，寻求各构件的几何尺寸，以便确定机构运动简图的参数。它分 为三大类： 刚体导引机构的综合。求解连杆平面能准确地或近似地通过若干
• 近似综合：凡存在机构误差的综合，称近似综合。
例5-1 设计一连杆机构，使之产生 y x0.8 的函数关系,1≤x≤3,n=3，求 精确点的位置。
解：把n=3，x0= 1 ，xn+1=3，代入方程中，分别求解j=1,2,3是所
对应的x的值。
j j j
1, x1 2, x2 3, x3
1 1 3 1 3 1cos
置。
图5-2 刚体引导
3.刚体导引机构的综合 刚体导引机构综合的实质就是要在连杆平面上找出一条曲
线，该曲线上的点共圆，称之为圆点，同时要确定圆心，称为圆心 点。
图5-2(b)中，在刚体Ej的一系列 位置中，寻找出刚体中的一系列A点， 这些点要在一条圆曲线上，其圆心 为A0。A0点可作为连架杆与机架的铰 接点，A点可作为连架杆与连杆的铰 接点。
把刚体位移矩阵方程代入定杆长约束方程中，此时只能求解一 个方程，却有四个未知数，可假设其中三个未知数为已知，求解余 下的未知数，固有无数解。
2 .给定刚体3个导引位ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，即j=3。
此时可求解出[D12]， [D13]，代入定杆长方程中，得两个方程。
求解时可从四个未知数中选定二个为已知，一般选择A0x，A0y为已
Bjy B1y B2y B1y tan j 3,4,,n
B jx B1x B2x B1x
刚体位移矩阵方程为：
Bjx ,Bjy ,1 T D1j B1x ,B1y ,1 T
设计滑块机构时，要求连杆平面上的相关点必须共线，共线方 程可用行列式表示为