吴百诗大学物理6章-1

2 mr m/ 2 2 (R r )
1 J 满 （m m /）R 2 2
J小o
1 / 2 / 2 m r m d 2
J J 满 J 小o
d
五. 转动定律的应用举例
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg· m2，飞轮与转轴间的摩擦 不计， (见图) 求 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳
合外力矩 M
合内力矩 = 0
刚体的转动惯量 J
M J
M J
讨论

刚体定轴转动定律中的M是作用在刚体上的合外力矩； 刚体定轴转动定律是力矩的瞬时作用规律，也可以写成矢 量关系式，即 M J

刚体定轴转动定律中的M、转动惯量J和角加速度三个物 理量都是相对于同一转轴而言的；
2
M dx O
L x m
(2) J 与质量分布有关 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
dl
R O
J R 2dm R
0
L
2 2π R
0
dm mR 2
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
ds 2π rdr m 2mr 2 π r d r dr dm ds 2 2 πR R m 2 R 2m 3 m 2 J r dm 2 r dr R 0 0 R 2
t 1
J t ln 2 k
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 m l x O 求 它由此下摆 角时的 解 取一质元
M x gdm g xdm

C
mg
dm
重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的 力矩
J
0
l
π R 2 dl
2
1 4 R π R l 2
2
空心圆柱绕中心轴的转动惯量为:
1 1 4 4 2 J ( π R2 l π R1 l ) m( R2 R12 ) 2 2
m 2 (π R2 π R12 )l
例 求均匀的薄球壳绕直径的转动惯量
Байду номын сангаас
Jx Jy
1 J x J y mR 2 4
C x
y
例 求空心圆柱绕中心轴的转动惯量
z 解 为两个实心圆柱绕中心轴的转动惯量的差值 m 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量为:
R2 R1 l
dm 2 dJ R 2
dm dV π R 2 dl
实心圆柱绕中心轴的转动惯量为:
刚体定轴转动定律是刚体定轴转动动力学的基本方程，如 ； 同质点力学中的 F ma
力矩是使刚体改变转动状态的原因，是使刚体转动产生角加速度的原因。


刚体定轴转动定律仅适用于惯性系。
三. 转动惯量
定义式 质量不连续分布
J z mi ri z
2
处理方法: 在V上选取 一个dm, 使得dm上
C
L :两轴间垂直距离
例 均匀细棒的转动惯量
z
M
z
L
L 1 2 J Z J Z M ML 2 3
J z 1 / 12ML2
2. (薄板)垂直轴定理 x,y轴在薄板内；
2
z
Jz Jx Jy
z 轴垂直薄板。
z
x
m 圆盘 R
y
例如求对圆盘的一条直径的转动惯量 已知 J z 1 mR 2 2 Jz Jx Jy
M mgxC 1 M mgl cos 2
xdm mxC
M 1 3 3g cos d d ω mgl cos 2 J 2 ml 2l d dt ω θ 3 gcos 3 gsin 0 d 0 2l d l
例 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止 求 到圆盘静止所需时间 解 取一质元 dm ds 2π rdr
端，试计算飞轮的角加速 解 (1) Fr J
(2) mg T ma
rO
T
Fr 98 0.2 39.2 rad/s 2 J 0.5
mgr J mr 2
两者区别
F
mg
Tr J a r
98 0.2 2 21 . 8 rad/s 0.5 10 0.22
例 一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω0。 设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M=－kω (k为正的常数) 求 圆盘的角速度从ω0 变为(1/2)ω0时所需的时间 解 M J
d dt
d k J dt
k 1 dt d J
0 1 k 2 d t 0 J 0 d
求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。 解 设轴对棒的作用力为 N 由转动定律 由质心运 动定理
Ny
O
Nx
Nx, N y
Fl ' J
l F N x macx m 2 l 2 N y mg macy m 0 2
l' F
C
mg
质点系
打击中心
ml Fl ' 3l ' 2 Nx F F ( 1) Nx 0 l' l 2 J 2l 3 N y mg (1)质心运动定理与转动定律联用(2)注意 N x F
解 切为许多垂直于轴的圆环 m
z
r dz
dJ r 2 dm
dm 2π r Rd r R sin

R
m 4π R 2
m dm sin d 2 m dJ r dm ( R sin ) sin d 2
2 2
J
π
0
2 m ( R sin ) sin d mR 2 3 2
2
例 求均匀球体绕直径的转动惯量
解 切为许多垂直于轴的圆盘 1 2 2 dJ r dm dm π r dz 2 m
z
r dz

R
3 m 4π R3
dz R sin d
J
π 0
r R sin
3 2 2 5 R sin d mR 2 8 5
J z mi ri
质量连续分布
2
dm m
r
J r dm
2 V
的r 都一样
•
计算转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴 的位置
(1) J 与刚体的总质量有关
例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴的转动惯量 z
J x dm
2 0
L
L
0
M 1 2 x dx ML L 3 J铁 J木

R
dM rdf r gdm
摩擦力矩

M
R
0
2 dM mgR 3 dt 2 1 2 d mgR mR 3 2 dt
3R 0 t 4g
由转动定律 M J d
3R 0 dt 0 4gd
0
t
例 一个刚体系统，如图所示，已知，转动惯量
1 2 J ml，现有一水平力作用于距轴为 l' 处 3
二. 刚体对定轴的转动定律
取一质量元 Fi fi mi ai
切线方向 O

ri
fi
Fi
Fi fi mi ai
mi
对固定轴的力矩 对所有质元
Fi ri fi ri mi ai ri mi ri 2
2 F r f r ( m r i i i i i i )
例 从半径为R 的均质圆盘上挖掉一块半径为r 的小圆盘，该系 统的质量为m,两圆盘中心O 和O′相距为d ，且（d + r）< R 求 挖掉小圆盘后，该系统对垂直于盘面, 且过中心轴的转动惯量 解 使用补偿法 设小圆盘的质量为m/ R O m O′ r
则填满后的总质量为m+m/
m m/ π R2 R2 2 2 / m πr r
R
dr
m
r O
(3) J 与转轴的位置有关 z
M O dx
L 2 0
z M L O dx x
L x
J
1 x dx ML2 3
J
L/ 2
L / 2
x 2dx
1 ML2 12
z M
四. 平行轴定理及垂直轴定理
1. 平行轴定理
J z' J z ML2
z'
L
J z' :刚体绕任意轴的转动惯量 J z :刚体绕通过质心的轴