中考数学复习题：二次函数 (24)

2021年中考数学压轴题复习题：二次函数

1．如图1，抛物线y＝﹣x2+2x﹣1的顶点A在x轴上，交y轴于B，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与x轴交于C，D，顶点为E（1，4）．

（1）求点B的坐标和平移后抛物线的解析式；

（2）点M在原抛物线上，平移后的对应点为N，若OM＝ON，求点M的坐标；

（3）如图2，直线CB与平移后的抛物线交于F．在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以C，F，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由平移前抛物线的解析式结合平移后抛物线的顶点坐标，可求出平移后抛物线的解析式；

（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x﹣1），则点N的坐标为（x，﹣x2+2x+3），由OM＝ON可得出点M，N关于x轴对称，进而可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再将其代入点M的坐标中即可求出结论；

（3）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点C的坐标，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线CB的解析式，联立直线CB与平移后的抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点F的坐标，设点P的坐标为（1，m），结合点C，F的坐标可得出CF2，CP2，PF2的值，分∠PCF＝90°，∠CFP＝90°及∠CPF＝90°三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元一次（二次）方程，解之即可得出点P的坐标．

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣1，

∴点B的坐标为（0，﹣1）．

∵平移后的抛物线顶点为E（1，4），

∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3．

（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x﹣1），则点N的坐标为（x，﹣x2+2x+3）．

∵OM＝ON，

∴点M，N关于x轴对称，

∴﹣x2+2x﹣1＝﹣（﹣x2+2x+3），

整理，得：x2﹣2x﹣1＝0，

解得：x1＝1﹣，x2＝1+，

∴点M的坐标为（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2）．

（3）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝3，

∴点C的坐标为（﹣1，0）．

设直线CB的解析式为y＝kx+b（k≠0），

将B（0，﹣1），C（﹣1，0）代入y＝kx+b，得：

，解得：，

∴直线CB的解析式为y＝﹣x﹣1．

联立直线CB与平移后的抛物线解析式成方程组，得：，

解得：，，

∴点F的坐标为（4，﹣5）．

设点P的坐标为（1，m），

∵点C的坐标为（﹣1，0），点F的坐标为（4，﹣5），

∴CF2＝[4﹣（﹣1）]2+（﹣5﹣0）2＝50，CP2＝[1﹣（﹣1）]2+（m﹣0）2＝m2+4，PF2＝（4﹣1）2+（﹣5﹣m）2＝m2+10m+34．

①当∠PCF＝90°时，PF2＝CF2+CP2，即m2+10m+34＝50+m2+4，

解得：m＝2，

∴点P的坐标为（1，2）；

②当∠CFP＝90°时，CP2＝CF2+PF2，即m2+4＝50+m2+10m+34，

解得：m＝﹣8，

∴点P的坐标为（1，﹣8）；

③当∠CPF＝90°时，CF2＝CP2+PF2，即50＝m2+4+m2+10m+34，

解得：m1＝﹣6，m2＝1，

∴点P的坐标为（1，﹣6）或（1，1）．

综上所述：在抛物线的对称轴上存在点P，使得以C，F，P为顶点的三角形是直角三角形，点P的坐标为（1，﹣8），（1，﹣6），（1，1）或（1，2）．