1-递归在算法设计中的应用剖析

递归在算法设计中的应用剖析

摘要本文以一道算法设计题目为例，将递归思想贯穿始终，具体运用中则从间接递归、直接递归、动态规划以及回溯等角度进行了算法设计，对递归这一算法设计中极为常用方法和思想进行了深入的剖析，并给出了不同情况下的应用性能比较。

关键词递归剖析

1 引言

递归的最基本思想是“自己调用自己”，即直接或间接地调用自身的算法，称为递归算法。递归算法的优点是结构清晰、可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，能够为算法设计和调试程序带来很大的方便。但是，其缺点也是明显的，即运行效率较低，无论是耗费的时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。

总体而言，递归可以用来解决两类问题，生长方向递增和生长方向递减的问题：

a) 生长方向递增，主要是指问题本身能够进行递归定义的问题。经典的如阶乘函数n!的求解。

b) 生长方向递减，主要指的是分治，即将一个难以解决的大问题分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破。

存在如下算法设计题：有n个数的数组，A，B两人轮流从最右或最左取一个数。刚开始，两人的得分均为零。A取下一个数，则将该数的值加到A的得分上，最后谁的得分最高谁就赢了游戏。A首先取数的情况下，假设两人都是非常聪明的，问最后两个人的得分。

本题如果采用非递归的方法分析起来较为困难，采用递归的方法则可以直观、精确地模拟整个取数过程。

2 递归算法设计

2.1 间接递归

本题最为直观的方法为交叉递归。交叉递归是间接递归中的一个典型情况。具体实现代码为：

int funA(int left, int right);//A取数

int funB(int left, int right);//B取数

int funA(int left, int right){

if ((left + 1) == right)return max(a[left], a[right]);

if (left == right)return a[left];

if (left > right)return 0; //以上为递归终止条件设置

int total = l_r_sum[left][right];//剩余区间的数的总和

int leftsum = total - funB(left + 1, right);

int rightsum = total - funB(left, right - 1);

return max(leftsum, rightsum);

}

int funB(int left, int right){

if ((left + 1) == right)return max(a[left], a[right]);

if (left == right)return a[left];

if (left > right)return 0;//以上为递归终止条件设置

int total = l_r_sum[left][right];

int leftsum = total - funA(left + 1, right);

int rightsum = total - funA(left, right - 1);

return max(leftsum, rightsum);

}

其中，整型数组l_r_sum[][]存储各个区间的总和，在递归之前计算完成，可减少递归过程中计算次数，后面的算法均会用到。

由以上算法实现可见，交叉递归能够最为直观地，精确地模拟整个取数过程。

2.2 直接递归

分析以上间接递归中的两个取数函数，可知两人取数的规则是相同的（假设两人都是非常聪明的，而且最后谁的得分最高谁就赢了游戏），这时，可以将两个取数函数用一个取数函数代替，得到直接递归的实现方法，减少代码量。

int fun_r(int left, int right) {

if ((left + 1) == right)return max(a[left], a[right]);

if (left == right)return a[left];

if (left > right)return 0; //以上为递归终止条件设置

int total = l_r_sum[left][right];//剩余区间的数的总和

int leftsum = total - fun_r(left + 1, right);

int rightsum = total - fun_r(left, right - 1);

return max(leftsum, rightsum);

}

2.3 递归转迭代

实际运行当中，发现以上两种递归实现问题空间n≤30时，运行时间尚在可接受范围之内。如何实现在n较大的情况也能在较短时间内获得正确解是本节要实现的内容。

由递归的执行过程可知，每一个递归算法都必然对应一个迭代算法，因此，可以将递归算法转换为迭代算法。

假设例题中数字个数n=5，分析直接递归函数执行过程，可得到如下的递归调用树：

图1 递归调用树

由于最底层函数的结果均可以直接得到，而上一层的函数结果也可以由下一层的函数结果得到，所以，顶层函数结果可以由底层迭代获得。根据此思路，可以得到如下的迭代算法：

int d[1000][1000];//存储递归树每个节点的返回值

int fun_d(int n){

memset(d, -1, sizeof(d));

for (int j = 0; j < n - 1; ++j)

d[j][j + 1] = max(a[j], a[j + 1]);//获取叶子节点的递归函数返回值

for (int j = 2; j < n; j++)//自低向上迭代计算

for (int i = 0; i + j < n; ++i)

d[i][i + j] = max((l_r_sum[i][i + j] - d[i + 1][i + j]),

(l_r_sum[i][i + j] - d[i][i + j - 1]));

return d[0][n - 1];

}

2.4 递归+动态规划策略

通过迭代算法中的递归调用树分析可知，以直接递归算法在计算过程中需要对每一种可能的取法进行实现，并对比结果，造成了算法效率低下。实际上，有些取法在之前的运行过程中已经确定得到了结果。虽然这个问题也可以通过将递归转为迭代算法解决，但分析过程不太直观。此时，我们采用动态规划方法，对那些已