《新编基础物理学》第1章习题解答和分析

第1章 质点运动学

1-1. 一质点沿x 轴运动，坐标与时间的变化关系为x ＝8t 3－6t （m ），试计算质点 (1) 在最初2s 的平均速度，2s 末的瞬时速度；

(2) 在1s 末到3s 末的平均加速度，3s 末的瞬时加速度. 分析：平均速度和瞬时速度的物理含义不同，分别用x t ∆=∆v 和d d x t

=v 求得；平均加速度和瞬时加速度的物理含义也不同，分别用a t

∆=

∆v

和d d a t =v 求得.

解：(1) 在最初2s 的平均速度为

31(2)(0)(8262)0

26(m s )2

x x x t t -∆-⨯-⨯-====⋅∆∆v

2s 末质点的瞬时速度为

212d 24690(m s )d x

t t

-=

=-=⋅v (2) 1s 末到3s 末的平均加速度为

22(3)(1)(2436)(246)96(m s )2

a t t -∆-⨯---====⋅∆∆v v v

3s 末的瞬时加速度

23d 48144(m s )d a t t

-=

==⋅v

1-2．一质点在xOy 平面运动，运动方程为2

2(m),48(m)x t y t ==-. （1）求质点的轨道方程并画出轨道曲线；

（2）求=1 s =2 s t t 和时质点的位置、速度和加速度.

分析：将运动方程x 和y 的两个分量式消去参数t ，便可得到质点的轨道方程.写出质点的运动

学方程)(t r ρ

表达式.对运动学方程求一阶导、二阶导得()t r v 和()a t r ，把时间代入可得某时刻质点

的位置、速度、加速度.

解：（1） 由2,x t = 得：,2

x

t =

代入248y t =- 可得：2

8y x =-，即轨道方程. 画图略

（2）质点的位置矢量可表示为

22(48)r ti t j =+-v v v

则速度

d 28d r i t j t

==+v v v v v

加速度

d 8d a j t

==v v v v

当t =1s 时，有

1224(m),28(m s ),8m s r i j i j a j --=-=+⋅=⋅v r r r r r r r r

当t =2s 时，有

1

248(m),216(m s ),8m s r i j i j a j --=+=+⋅=⋅v r r r r r r r r

1-3．一质点的运动学方程为22

(1)x t y t ==-，，x 和y 均以m 为单位，t 以s 为单位. 求： （1）质点的轨迹方程；

（2）在2s t =时质点的速度和加速度. 分析： 同1-2.

解：（1）由题意可知：x ≥ 0，y ≥ 0，由2

x t =，可得t =

,代入2(1)y t =- 整理得：

1=

即轨迹方程

（2）质点的运动方程可表示为 22(1)r t i t j =+-r r r

则

d 22(1)d r

ti t j t ==+-v r r v v

d 22d a i j t

==+v r r v v

因此, 当2s t =时，有

1242(m s ),22(m s )i j a i j --=+⋅=+⋅r r r r r r

v

1-4．一枚从地面发射的火箭以2

20m s -⋅的加速度竖直上升0.5min 后，燃料用完，于是像一个自由质点一样运动. 略去空气阻力并设g 为常量，试求： （1）火箭达到的最大高度；

（2）它从离开地面到再回到地面所经过的总时间.

分析：分段求解：030s t ≤≤时，2

20m s a -=⋅，可求出11,x v ；t ＞30s 时，g a -=.可求出2()t v ，2()x t .当20=v 时，火箭达到的最大高度, 求出t 、x . 再根据0x =，求出总时间.

解：（1）以地面为坐标原点，竖直向上为x 轴正方向建立一维坐标系，设火箭在坐标原点时，

t =0s ，且0.5min=30s.则当0≤ t ≤30s ，由d d x

x a t

=v ,得 30

20d d x

x t =⎰

⎰v v ， 解得 20x t =v

当130s =v 时

11600m s -=⋅v

由d d x x

t

=

v ， 得 1

30

20d d x t t x =⎰

⎰，

则

19000m x =

当火箭未落地, 且t ＞30s, 又有

221

30

9.8d d x

t

x t -=⎰

⎰v v v

解得

28949.8x t =-v

同理由d d x x t

=

v 得 1

30

(8949.8)d d t

x

x t t x -=⎰

⎰

解得

2

4.989413410x t t =-+- … ①

由20x =v ，得91.2s t =，代入①得

max 27.4km x ≈

（2）由①式可知，当0x =时，解得

1166s t ≈

216s<30s t ≈（舍去）

1-5．质点沿直线运动，加速度2

4a t =-，式中a 的单位为2

m s -⋅，t 的单位为s ，如果当t =3s 时，x =9m ，1

2m s -=⋅v ，求质点的运动方程.

分析 本题属于第二类运动学问题，可通过积分方法求解. 解 由分析可知

02

00d d (4)d t

t

a t t t ==-⎰⎰⎰v

v v 积分得

3

0143

t t =+-v v 由

030

001d d (4)d 3

x

t t

x x t t t t ==+-⎰⎰⎰v v 得

24

001212

x x t t t =+-

+v 将t =3s 时，x =9m ，1

2m s -=⋅v 代入上两式中得

101m s -=-⋅v ，x 0=0.75m

所以质点的运动方程为

24

10.752(m)12

x t t t =-+-

1-6. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度大小平方成正比，即2

d /d t k =-v v ， 式中k 为常量．试证明电艇在关闭发动机后又行驶x

距离时的速度大小为 0kx

e -=v v . 其中0v 是发动机关闭时的速度大小.

分析：要证明~x v 关系，可通过积分变量替换将时间变量替换掉，即d d d d a t x

=

=v v

v ，积分即