累次极限

limlim f ( x, y) limlim f ( x, y)
y 0 x 0 x 0 y 0
所以
( x , y )(0,0)
lim
f ( x, y) 不存在.
例9 讨论下列函数在点(0,0)的二重极限与累次极限. 0, 当x 0时 sin( x 2 y) f ( x, y ) ; (1) f ( x, y) ; (2) 当x 0时 1, x y
y y0 x x0
lim lim f ( x, y ) L
类似可定义 lim lim f ( x, y ).
x x0 y y0
例 求下次函数在(0,0)的累次极限:
xy x y x2 y2 (1) f ( x, y ) 2 ; ( 2) f ( x , y ) . 2 x y x y xy x0 lim lim lim lim 0 0, 解(1) x 0 y 0 2 2 2 x 0 x y x 0 x 0 (两个累次极限存在且相等） xy 0 y lim lim 2 lim lim 0 0. y 0 x 0 x y 2 y 0 0 y 2 y 0 xy lim 存在吗? 二重极限 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y 2
lim
f ( x, y )
不存在.
(常用来证明极限不存在)
例9 讨论下列函数在点(0,0)的二重极限与累次极限. 0, 当x 0时 sin( x 2 y) f ( x, y ) ; (1) f ( x, y) ; (2) 当x 0时 1, x y
(3)
2 2 x y , 当x为有理数时 f ( x, y) 2 ; 2 ( x y ), 当x为无理数时 2 2 x y , 当(x, y)为有理点时 f ( x, y ) 2 ; 2 ( x y ), 当(x, y)为无理点时
lim
lim ( x) A,
f ( x, y) lim lim f ( x, y) =A
x x0 y y0
推论1 若 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 二重极限与累次极限
( x , y )( x0 , y0 )
lim
f ( x, y ),
x x0 y y0
(4)
解: (1)
sin( x 2 y) sin y lim lim f ( x, y) lim lim lim 1, y 0 x0 y 0 x0 y 0 x y y
sin x 2 sin( x 2 y) sin x 2 lim lim f ( x, y) lim lim lim lim 2 x 1 0 0 x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 x 0 x y x x
lim
x y x2 y2 x y
1 k x k 2 x 1 k lim x 0 1 k 1 k
所以
x y x2 y2 lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y
不存在.
例8 设 f ( x , y ) x sin
1 1 y sin . y x
在 ( x0 , y0 ) 有定义?
lim lim f ( x, y ) 的定义中, lim f ( x , y ) 中的 y 是否可取 y0 ? 3. y y x x x x
0 0 0
4. 能否用累次极限求二重极限?
5. 两个累次极限存在且相等,是否二重极限就一定存在? 6. 二重极限存在,是否累次极限就一定存在? 7. 两个累次极限存在且不等,是否二重极限不存在? 8. 一个累次极限存在另一个累次极限不存在,是否二重极限不存在?
1 1 (1) lim lim f ( x , y ) lim lim( x sin y sin ) 是否存在? y 0 x 0 y 0 x 0 y x lim f ( x , y ) lim lim( x sin (2) lim x 0 y 0 x 0 y 0
(3)
( x , y ) ( 0 , 0 )
二、累次极限 问题:
1.
y y0 x x0
lim lim f ( x, y ) L 的定义中, E x , E y 是实数集还是平面点集?
E x E y 为何意?
2. lim lim f ( x , y ) L 对 x0 与 y0 有何要求?是否要求 f ( x , y )
y y0 x x0
1 1 y sin ) 是否存在? y x 1 1 y sin ) 是否存在? y x
lim
f ( x, y)
( x , y ) ( 0 , 0 )
lim ( x sin
解
(1) 不存在.
(2) 不存在. (3)
( x , y ) ( 0 , 0 )
lim
1 1 f ( x , y ) lim ( x sin y sin ) 0. ( x , y ) ( 0 , 0 ) y x
3. 当二重极限与累次极限都存在时 定理16.6 若 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 二重极限与累次极限
( x , y )( x0 , y0 )
lim
f ( x, y ), lim lim f ( x, y )
x x0 y y0
都存在, 则
( x , y )( x0 , y0 )
0 0
| f ( x, y ) A |
由题设, 可假设对任一满足不等式 的x, 有 对(2)式, 令 即
( x , y ) ( x0 , y0 ) y y0
(2) (3) (4) 结合(3)式, 得
xx0
0 | x x0 |
lim f ( x, y) ( x)
y y0 , 得 | ( x) A |
lim lim f ( x, y ),
y y0 x x0
lim lim f ( x, y ),
都存在, 则三者相等.
推论2 若累次极限 lim lim f ( x, y ), lim lim f ( x, y )存在但不相等,
x x0 y y0 y y0 x x0
则二重极限
( x , y )( x0 , y0 )
(3)
2 2 x y , 当x为有理数时 f ( x, y) 2 ; 2 ( x y ), 当x为无理数时 2 2 x y , 当(x, y)为有理点时 f ( x, y ) 2 ; 2 ( x y ), 当(x, y)为无理点时
(4)
因
x0 y 0
2 lim 当x取有理数趋于0时, lim f ( x, y) y 2 ;当x取无理数趋于0时 , f ( x, y) y , x 0 x 0
故当 y 0 时, lim f ( x, y ) 不存在, 进而 lim lim f ( x, y)不存在.
(两个累次极限存在但不相ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
x y x2 y2 lim 二重极限 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y
事实上,沿着直线y=kx的极限
( x , y )( 0 , 0 ) y kx
不存在!
lim
f ( x, y)
( x , y ) ( 0 , 0 ) y kx
(2)
lim lim f ( x, y) 1,
y 0 x0
lim lim f ( x, y) 1,
x0 y 0
但(x,y)沿x=0趋于(0,0)时, f(x,y)的极限为0, 故f(x,y)在(0,0)的二重极限不存在.
(3)
2 2 x y , 当x为有理数时 f ( x, y) 2 ; 2 ( x y ), 当x为无理数时 2 2 x y , 当(x, y)为有理点时 f ( x, y ) 2 ; 2 ( x y ), 当(x, y)为无理点时
例7
x y x2 y2 lim lim f ( x , y ) lim lim lim( y 1) 1 y 0 x 0 y 0 x 0 y 0 x y x y x2 y2 lim lim f ( x , y ) lim lim lim( x 1) 1 x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 x y
(2)
x y x2 y2 lim lim f ( x , y ) lim lim lim( y 1) 1 y 0 x 0 y 0 x 0 y 0 x y x y x2 y2 lim lim f ( x , y ) lim lim lim( x 1) 1 x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 x y
(两个累次极限存在但不相等)
x y x2 y2 二重极限 lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y
不存在!
例7
x y x2 y2 lim lim f ( x , y ) lim lim lim( y 1) 1 y 0 x 0 y 0 x 0 y 0 x y x y x2 y2 lim lim f ( x , y ) lim lim lim( x 1) 1 x 0 y 0 x 0 y 0 x 0 x y
lim
f ( x, y ) lim lim f ( x, y).
x x0 y y0
(若二重极限和累次极限都存在,则它们必相等.)
lim f ( x , y ) A, 则 0, 0, P ( x, y ) U0 ( P0 ; ), 有 证: 设 ( x , y ) ( x , y )
(两个累次极限存在但不相等)
二重极限
x y x2 y2 lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y
存在吗?
2. 累次极限与重极限没有必然的联系 例6
xy x0 lim lim 2 lim 2 lim 0 0, x 0 y 0 x y 2 x 0 x 0 x 0 (两个累次极限存在且相等） xy 0 y lim lim 2 lim lim 0 0. y 0 x 0 x y 2 y 0 0 y 2 y 0 xy 但二重极限 ( x , y )( 0 ,0 ) 2 不存在! x y2 lim
x y
( y ) lim f ( x, y ),
若极限
y y0 yE y
x x0 xE x
x x0 xE x
lim ( y ) L,
则称L为 f ( x , y )先对 x 后对 y 的累次极限,记作
y y0 x x0 yE y xE x
lim lim f ( x , y ) L 或
二、累次极限
称
( x , y )( x0 , y0 )
lim
f ( x, y ) 为函数 f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 的二重极限.
1. 累次极限 定义3 设 E x , E y R, x0 是 E x 的聚点, y0 是 E y 的聚点, f ( x , y ) 在D E E 上有定义.若对每个 y E y , y y0 , 极限 lim f ( x , y ) 存在,设
(4)
2 2 ( x 2 y 2 ) 0, 所以 解:(3) 因 0 | f ( x, y) | x y , 而 ( x, ylim ) (0,0)
( x , y )(0,0)
lim
f ( x, y) =0.
2 x , 当x为有理数时 lim f ( x, y) 2 ( ( x)), y 0 x , 当x为无理数时 所以 lim lim f ( x, y) =0.