华东师范大学数学分析电子教案1-2

§２数集•确界原理【教学目的】1．使学生知道区间与邻域的表示方法；2．使学生深刻理解确界的与确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.【教学重点】确界的概念及其有关性质（确界原理）.【教学难点】确界的定义及其应用.引言为了以后表述的方便，本节课我们先定义实数集Ｒ中的两类重要的数集——区间与邻域；并讨论有界集与无界集；最后再由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.后者是我们以后关于实数理论研究的基础，应给予充分重视.一 区间与邻域１．区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.{}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧⎧⎪⎪∈<<=⎪⎪⎪⎪∈≤≤=⎨⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩⎨⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩注：∞+读作正无穷大；∞-读作负无穷大。

２．邻域联想字面意思：“邻近的区域”.设a 为任一给定实数，δ（Delta----德耳塔）为一给定正实数.(1) 点a 的δ邻域：{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+(2)点a 的空心δ邻域：{}),(),(||0)(δδδδ+⋃-=<-<a a a a a x x a U ＝；(3)点a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域：{}),[)(δδδ+=+<≤+a a a x a x a U ＝； {}),()(δδδ+=+<<+a a a x a x a U＝； (4)点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域：{}],()(a a a x a x a U δδδ-=≤<--＝； {}),()(a a a x a x a U δδδ-=<<--＝； 注：以后在没有必要指出邻域半径δ的大小时，以上邻域我们可以分别简记为：)(),(),(),(),(U ),(a U a U a Ua U a a U --++(5)∞邻域，+∞邻域，-∞邻域：（其中Ｍ为充分大的正数）{}()||,U x x M ∞=>{}(),U x x M +∞=> {}()U x x M -∞=<-二 有界集与无界集什么是“界”？――范围.定义１（上、下界） 设S 为R 中的一个数集.若存在数()M L ，使得对一切x S ∈都有()x M x L ≤≥则称S 为有上（下）界的数集，数()M L 称为S 的上界（下界）.若数集S 既有上界，又有下界，则称S 为有界集.若数集S 不是有界集，则称S 为无界集.[问题]：（１）上（下）界若存在，唯一吗？（２）上（下）界与S 的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性。

分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取1L =；上界似乎无，但需要证明。

解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界１；但N +无上界。

证明如下：假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取0[]1,n M =+则0n N +∈，且0n M >.综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集。

这里[x ]表示不超过x 的最大整数，如：.5]5[,3]5.2[,5]5[,2]5.2[-=--=-==[可以看到]： （1）若数集有（上、下）界，则它不唯一，且有无限多个；（2）同一数集的上界必大于等于其下界.三 确界与确界原理1、确界的定义定义２（上确界） 设S 是R 中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤,即η是S 的上界;(2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>,即η是S 的上界中最小的一个，则称数η为数集S 的上确界，记作 sup .S η=定义３（下确界）设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：（１） 对一切,x S ∈有x ξ≥,即ξ是的下界；（２） 对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<,即ξ是S 的下界中最大的一个，则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=.上确界与下确界统称为确界。

克西）－艾塔，---Ksai Yita ξη(例2 讨论数集{}S x x =为区间(0,1)中的有(无)理数的确界.分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界。

提示：利用有理数集在实数集中的稠密性。

sup 1,inf 0.S S ==解 先证1sup =S（ⅰ）对一切S x ∈，显然有1≤x ，即1是x 的S 上界。

(ⅱ) 对任何1<α，若0≤α，则任取S x ∈0都有α>0x ；若0>α，则由有理数集在实数集中的稠密性，在)1,(α中必有有理数0x ，即存在S x ∈0，使得α>0x 。

类似可以验证.0inf =S例3 （１） [0,1],sup 1,inf 0.S S S === （２） (1)11,2,,sup ,inf 1.2n S n S S n ⎧⎫-====-⎨⎬⎩⎭（３） ,sup ,inf 1.N N N +++=不存在２、确界的性质● 唯一性：若数集S 存在上（下）确界，则一定是唯一的；● 若数集S 存在上、下确界，则有inf sup S S ≤；● 数集S 的确界可能属于S ，也可能不属于S .定理１.1（确界原理）设S 为非空数集，若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界. 证 这里只证明定理的前半部分，后半部分可类似的证之。

为叙述方便起见，不妨设S 含有非负数，由于S 有上界，故可以找到非负整数n ，使得：(1) 对任何S x ∈，有1+<n x ；(2) 存在S a ∈0，使n a ≥0.对区间)1,[+n n 作10等分,分点为：9.,,2.,1.n n n ，则存在9,,2,1,0 中的一个数1n ，使得：(1) 对任何S x ∈，有101.1+<n n x ； (2) 存在S a ∈1，使11.n n a ≥.对区间)101.,.[11+n n n n 作10等分,分点为：9.,,2.,1.111n n n n n n ，则存在9,,2,1,0 中的一个数2n 使得：（1）对任何S x ∈，有221101.+<n n n x ； （2）存在S a ∈2，使212.n n n a ≥. 如此不断10等分前一步骤所得区间，可知对任何 ,2,1=k 存在9,,2,1,0 中的一个数k n ，使得：（1）对任何S x ∈，有kk n n n n x 101.21+< ； （2）存在S a k ∈，使k k n n n n a 21.≥.将以上步骤无限进行下去，得到实数 k n n n n 21.=η，以下证明S sup =η，即证：（ⅰ）对一切S x ∈，有η≤x ；（ⅱ）对任何ηα<,存在S x ∈0使得S x >0. 先证(ⅰ): (反证)假设存在S x ∈,使η>x ,则可找到非负整数k ,使k k x η>,而k x x >且k k k n n n n 101.21+= η,故k k n n n n x 101.21+> 与(1)矛盾,故对一切S x ∈，有η≤x . 再证(ⅱ): 由ηα<知存在非负整数k ,使k k αη>,而k k n n n n 21.=η,αα>k ,故α>k n n n n 21., 由(2)便知存在S x ∈0使α>≥k n n n n x 210.确界原理是数学分析极限理论的基础,因此具有极其重要的地位，应对定理的内容充分理解，给予充分重视.例4 设数集S 有上界，证明：sup max .S S S ηη=∈⇔=分析：由确界原理，sup S 意义，按确界定义证明。

证 （必要性）因为S sup =η ， 所以对一切S x ∈有η≤x ，又S ∈η，故S max =η.（充分性）设S max =η，则：对一切S x ∈，有η≤x ；对任何ηα<，只需取S x ∈=η0，则α>0x ，故S sup =η。

例5 设Ａ、Ｂ为非空数集，满足：对一切x A ∈和y B ∈有x y ≤. 证明：数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界，且sup inf .A B ≤分析：首先，证明sup ,inf .A B 有意义，用确界原理.其次，证明sup inf .A B ≤证 由假设，数集Ｂ中任一数y 都是数集Ａ的上界，Ａ中任一数x 都是Ｂ的下界，故由确界原理推知数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界.对任何B y ∈,y 是数集Ａ的一个上界,而由上确界的定义知,A sup 是数集Ａ的最小上界,故有y A ≤sup .而此式又表明A sup 是数集Ｂ的一个下界,故由下确界定义证得sup inf .A B ≤例6 设Ａ、Ｂ为非空有界数集，S A B =⋃，证明：（１）{}sup max sup ,sup S A B =；（２）{}inf min inf ,inf S A B =。

分析：首先，由S A B =⋃及Ａ、Ｂ的性质知，Ｓ也是非空有界集。

其次，证明（１）、（２）。

证 由于B A S ⋃=显然也是非空有界数集，因此S 的上、下确界都存在.(ⅰ) 对任何S x ∈，有A x ∈或B x ∈⇒A x sup ≤或B x sup ≤，从而有{}B A x sup ,sup m ax ≤，故得{}B A S sup ,sup m ax sup ≤.另一方面，对任何A x ∈，有S x ∈⇒S x sup ≤⇒A sup S sup ≤；同理又有B sup S sup ≤.所以{}B A S sup ,sup m ax sup ≥.综上,即得{}sup max sup ,sup S A B =. (ⅱ) 可类似于(ⅰ)证之.推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）.(p9)[作业] P9:。