数学建模算法整理

数学建模常用算法

1.大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。

举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。

1.1 蒙特卡罗算法

蒙特卡罗模拟

就是随机数相关的东西，你只要知道随机数是怎么得到。其它的事就要好办了。rand(m,n)产生m*n均匀随机数。

ex:

用概率方法求pi

N=100000;

x=rand(N,1);

y=rand(N,1);

count=0;

for i=1:N

if (x(i)^2+y(i)^2<=1)

count=count+1;

end

end

PI=4*count/N

试给出下面赌博中的蒙特卡洛模拟

在一次旅游途中，小王看到有人用20枚签(其中10枚标有5分分值，10枚标有10分分值)设赌。让游客从中抽出10枚，以10枚签的分值总和为奖罚金额，见表1

表1

分值50，100 55，95 60，65，85，90 70，75，80 奖罚金额奖100元奖10元不奖不罚罚1元

你看，有奖有罚，在11个分值中有4个分值可以获奖，且最高奖额为100元；只有3个分值要受罚，而罚额仅为1元，很有吸引力吧？怪不得有些游客摩拳擦掌，跃跃欲试。那么这些奖是不是这么好拿呢？

试分析此游戏中，谁是真正的赢家？

%%假设前10个分值为5，后10个分值为10

income=0; %% 收入

n=10000; %% 模拟次数,即有n个人参加游戏

for i=1:n

a=randperm(20);

a=a(1:10);

b=find(a>10); %%10分分值的

sumb=length(b)*10+(10-length(b))*5;

if sumb==50||sumb==100

income=income-100;

elseif sumb==55||sumb==95

income=income-10;

elseif sumb==70||sumb==75||sumb==80

income=income+1;

end

end

Income

2. 数据拟合、参数估计、插值等算法

数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的

走向进行处理。此类问题在MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB ，这些方法都能游刃有余的用好。

2.1 三次样条插值在 Matlab 中的实现

在 Matlab 中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件，最常用的方法，就是采用非扭结（not-a-knot ）条件。这个条件强迫第 1 个和第 2 个三多项式的三阶导数相等。对最后一个和倒数第 2 个三次多项式也做同样地处理。 Matlab 中三次样条插值也有现成的函数：

y=interp1(x0,y0,x,'spline')；

y=spline(x0,y0,x)；

pp=csape(x0,y0,conds)，y=ppval(pp,x)。

其中x0,y0是已知数据点,x 是插值点,y 是插值点的函数值。

对于三次样条插值，我们提倡使用函数csape ，csape 的返回值是 pp 形式，要求插值点的函数值，必须调用函数 ppval 。

pp=csape(x0,y0)：使用默认的边界条件，即 Lagrange 边界条件。

pp=csape(x0,y0,conds)中的 conds 指定插值的边界条件，其值可为：

'complete' 边界为一阶导数，即默认的边界条件

'not-a-knot' 非扭结条件

'periodic' 周期条件

'second' 边界为二阶导数，二阶导数的值[0, 0]。

'variational' 设置边界的二阶导数值为[0,0]。

对于一些特殊的边界条件，可以通过 conds 的一个

1×2矩阵来表示，conds 元素的取值为 1，2。此时，使用命令

pp=csape(x0,y0_ext,conds)

其中 y0_ext=[left,y0,right]，这里 left 表示左边界的取值，right 表示右边界的取值。

conds(i)=j 的含义是给定端点i 的 j 阶导数， 即 conds 的第一个元素表示左边界的条

件，第二个元素表示右边界的条件，conds=[2,1]表示左边界是二阶导数，右边界是一阶

导数，对应的值由 left 和 right 给出。

2.2 二维插值

前面讲述的都是一维插值，即节点为一维变量，插值函数是一元函数（曲线） 。若节点是二维的，插值函数就是二元函数，即曲面。如在某区域测量了若干点（节点）的高程（节点值） ，为了画出较精确的等高线图，就要先插入更多的点（插值点） ，计算这些点的高程（插值）。

2.1.1 插值节点为网格节点

已知m ×n 个节点：),,(ij j i z y x (i=1,2.....m;j=1,2.....n)并且