(优选)数字信号处理第四版高西全.
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点离散傅里叶变换为
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNkn
n0
k 0, 1, , N 1
(3.1.1)
X(k) Transform, IDFT) 为
(Inverse Discrete Fourier
x(n)
IDFT[ X (k)]
1 N
N 1
X (k)WNkn
k 0
n 0, 1, , N 1
所以(3.1.1)式中，X（k)满足：
N 1
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n x(n)WNkn X (k )
n0
n0
实际上，任何周期为N的周期序列 ~x(n) 都可以看做 长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是
的一个周期，即
x(n) x(n mN ) m
3.1.2 DFT与傅里叶变换和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为M
Z 变换和N(N≥M)
点DFT分别为
M 1
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn n0
M 1
X (k) DFT[x(n)]N x(n)WNkn n0
比较上面二式可得关系式
k 0,1, , N 1
X (k) X (z) j2πk ze N
例如， N 8, x(n) x((n))8 , 则有
x(8) x((8))8 x(0)
x(9) x((9))8 x(1)
所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。
图3.1.2 x(n)及其周期延拓序列
x(n) x(n) RN (n)
(3.1.5) (3.1.6)
上述关系如图3.1.2（a）和（b）所示。一般称周期 序列 ~x(n) 中从n=0到N－1的第一个周期为 ~x(n) 的主 值区间，而主值区间上的序列称为 ~x(n) 的主值序列。 因此x(n)与 ~x(n) 的上述关系可叙述为： ~x(n) 是x(n)
数字信号处理第四版高西全
傅里叶变换和Z变换是数字信号处理中常用的重要 数学变换。对于有限长序列，还有一种更为重要的数学 变换，即本章要讨论的离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)。DFT之所以更为重要，是因为其实质 是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现 了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运 算的方法进行，这样就大大增加了数字信号处理的灵活 性。更重要的是，DFT有多种快速算法，统称为快速傅 里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)，从而使信号的 实时处理和设备的简化得以实现。
由于
IDFT[X (k)]N
1 N
N 1 N 1
[ x(m)WNmk ]WNkn
k0 m0
N 1
x(m)
m0
1 N
N 1
W k(mn) N
k 0
1
N
N 1
W k(mn) N
k 0
1， 0，
m n iN， i为整数 m n iN， i为整数
IDFT［X(k)］N=x(n) 0≤n≤N－1
因此，时域离散系统的研究与应用在许多方面取 代了传统的连续时间系统。所以说，DFT不仅在理论 上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心
本章主要讨论DFT的定义、物理意义、基本性 质以及频域采样和DFT的应用举例等内容。
3.1
3.1.1 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N
k 0,1, , N 1 (3.1.3)
或
X (k) X (ej ) |2πk N
k 0,1, , N 1 (3.1.4)
(3.1.3)式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在 单位圆上的N点等间隔采样。(3.1.4)式则说明X(k)为x(n) 的傅里叶变换X(ejω)在区间［0, 2π］上的N点等间隔采 样。这就是DFT的物理意义。
X (k)
7
x(n)W8kn
3
j2π kn
e8
n0
n0
j3 πk
e8
sin( π 2
sin( π
k) k)
8
k 0, 1, , 7
由此例可见，x(n)的离散傅里叶变换结果与变换 区间长度N的取值有关。对DFT与Z变换和傅里叶变 换的关系及DFT的物理意义进行讨论后，上述问题 就会得到解释。
由此可见，(3.1.2)式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。 【例3.1.1】 x(n)=R4(n), 求x(n)的4点和8点DFT。 解 设变换区间N=4，则
X (k)
3
x(n)W4kn
3
j2π kn
e4
n0
n0
1
e j2πk
j2π k
1e 4
4 0
k 0 k 1, 2,3
设变换区间N=8，则
由此可见，DFT的变换区间长度N不同，表示 对X(ejω)在区间［0, 2π］上的采样间隔和采样点数 不同，所以DFT的变换结果不同。上例中， x(n)=R4(n)，DFT变换区间长度N分别取8、16时， X(ejω)和X(k)的幅频特性曲线图如图3.1.1所示。由 此容易得到x(n)=R4(n)的4点DFT为X(k)=DFT［x(n)］ 4=4δ(k)，这一特殊的结果在下面将得到进一步解释。
的周期延拓序列，x(n)是 ~x(n)
为了以后叙述简洁，当N大于等于序列x(n)的长度时， 将(3.1.5)
x(n) x((n))N
(3.1.7)
式中x((n)) N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，((n))N表
示模N对n求余，即如果
n=MN+n1 0≤n1≤N－1, M
则
((n))N=n1
图3.1.1 R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系
3.1.3 DFT的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长
序列，但由于 WNkn 的周期性，使(3.1.1)和(3.1.2)式中的 X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有
WNk WN(kmN )， k, m为整数,N为自然数
(3.1.2)
式中， WN
j2π
e N
，N
DFT 变换区间长度，
N≥M。通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。
为了叙述简洁，常常用DFT［x(n)］N和IDFT［X(k)］N分 别表示N点离散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆变换。
下面证明IDFT［X(k)
把(3.1.1)式代入(3.1.2)式，有
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNkn
n0
k 0, 1, , N 1
(3.1.1)
X(k) Transform, IDFT) 为
(Inverse Discrete Fourier
x(n)
IDFT[ X (k)]
1 N
N 1
X (k)WNkn
k 0
n 0, 1, , N 1
所以(3.1.1)式中，X（k)满足：
N 1
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n x(n)WNkn X (k )
n0
n0
实际上，任何周期为N的周期序列 ~x(n) 都可以看做 长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是
的一个周期，即
x(n) x(n mN ) m
3.1.2 DFT与傅里叶变换和Z变换的关系
设序列x(n)的长度为M
Z 变换和N(N≥M)
点DFT分别为
M 1
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn n0
M 1
X (k) DFT[x(n)]N x(n)WNkn n0
比较上面二式可得关系式
k 0,1, , N 1
X (k) X (z) j2πk ze N
例如， N 8, x(n) x((n))8 , 则有
x(8) x((8))8 x(0)
x(9) x((9))8 x(1)
所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。
图3.1.2 x(n)及其周期延拓序列
x(n) x(n) RN (n)
(3.1.5) (3.1.6)
上述关系如图3.1.2（a）和（b）所示。一般称周期 序列 ~x(n) 中从n=0到N－1的第一个周期为 ~x(n) 的主 值区间，而主值区间上的序列称为 ~x(n) 的主值序列。 因此x(n)与 ~x(n) 的上述关系可叙述为： ~x(n) 是x(n)
数字信号处理第四版高西全
傅里叶变换和Z变换是数字信号处理中常用的重要 数学变换。对于有限长序列，还有一种更为重要的数学 变换，即本章要讨论的离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)。DFT之所以更为重要，是因为其实质 是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现 了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运 算的方法进行，这样就大大增加了数字信号处理的灵活 性。更重要的是，DFT有多种快速算法，统称为快速傅 里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)，从而使信号的 实时处理和设备的简化得以实现。
由于
IDFT[X (k)]N
1 N
N 1 N 1
[ x(m)WNmk ]WNkn
k0 m0
N 1
x(m)
m0
1 N
N 1
W k(mn) N
k 0
1
N
N 1
W k(mn) N
k 0
1， 0，
m n iN， i为整数 m n iN， i为整数
IDFT［X(k)］N=x(n) 0≤n≤N－1
因此，时域离散系统的研究与应用在许多方面取 代了传统的连续时间系统。所以说，DFT不仅在理论 上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心
本章主要讨论DFT的定义、物理意义、基本性 质以及频域采样和DFT的应用举例等内容。
3.1
3.1.1 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N
k 0,1, , N 1 (3.1.3)
或
X (k) X (ej ) |2πk N
k 0,1, , N 1 (3.1.4)
(3.1.3)式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在 单位圆上的N点等间隔采样。(3.1.4)式则说明X(k)为x(n) 的傅里叶变换X(ejω)在区间［0, 2π］上的N点等间隔采 样。这就是DFT的物理意义。
X (k)
7
x(n)W8kn
3
j2π kn
e8
n0
n0
j3 πk
e8
sin( π 2
sin( π
k) k)
8
k 0, 1, , 7
由此例可见，x(n)的离散傅里叶变换结果与变换 区间长度N的取值有关。对DFT与Z变换和傅里叶变 换的关系及DFT的物理意义进行讨论后，上述问题 就会得到解释。
由此可见，(3.1.2)式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。 【例3.1.1】 x(n)=R4(n), 求x(n)的4点和8点DFT。 解 设变换区间N=4，则
X (k)
3
x(n)W4kn
3
j2π kn
e4
n0
n0
1
e j2πk
j2π k
1e 4
4 0
k 0 k 1, 2,3
设变换区间N=8，则
由此可见，DFT的变换区间长度N不同，表示 对X(ejω)在区间［0, 2π］上的采样间隔和采样点数 不同，所以DFT的变换结果不同。上例中， x(n)=R4(n)，DFT变换区间长度N分别取8、16时， X(ejω)和X(k)的幅频特性曲线图如图3.1.1所示。由 此容易得到x(n)=R4(n)的4点DFT为X(k)=DFT［x(n)］ 4=4δ(k)，这一特殊的结果在下面将得到进一步解释。
的周期延拓序列，x(n)是 ~x(n)
为了以后叙述简洁，当N大于等于序列x(n)的长度时， 将(3.1.5)
x(n) x((n))N
(3.1.7)
式中x((n)) N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，((n))N表
示模N对n求余，即如果
n=MN+n1 0≤n1≤N－1, M
则
((n))N=n1
图3.1.1 R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系
3.1.3 DFT的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长
序列，但由于 WNkn 的周期性，使(3.1.1)和(3.1.2)式中的 X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有
WNk WN(kmN )， k, m为整数,N为自然数
(3.1.2)
式中， WN
j2π
e N
，N
DFT 变换区间长度，
N≥M。通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。
为了叙述简洁，常常用DFT［x(n)］N和IDFT［X(k)］N分 别表示N点离散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆变换。
下面证明IDFT［X(k)
把(3.1.1)式代入(3.1.2)式，有