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(2017-2019)高考文数真题分类汇编专题18 坐标系与参数方程(学生版)

(2017-2019)高考文数真题分类汇编专题18 坐标系与参数方程(学生版)

专题18 坐标系与参数方程1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系Oy 中,曲线C 的参数方程为(t 为参数).以坐标原点O 为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为.(1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,2cos sin 110ρθθ++=2.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中,O 为极点,点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上,直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直,垂足为P . (1)当0=3θπ时,求0ρ及l 的极坐标方程; (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程.3.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图,在极坐标系O 中,(2,0)A ,)4B π,)4C 3π,(2,)D π,弧»AB ,»BC ,»CD 所在圆的圆心分别是(1,0),(1,)2π,(1,)π,曲线1M 是弧»AB ,曲线2M 是弧»BC ,曲线3M 是弧»CD. (1)分别写出1M ,2M ,3M 的极坐标方程;(2)曲线M 由1M ,2M ,3M 构成,若点P 在M 上,且||OP =P 的极坐标.4.【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中,已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求A ,B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离.5.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.(1)求2C 的直角坐标方程;(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程.6.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为4sin y θ⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩,(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率.7.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】在平面直角坐标系xOy 中,O ⊙的参数方程为sin y θ⎨=⎩(θ为参数),过点(0,且倾斜角为的直线l 与O ⊙交于A B ,两点. (1)求的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.8.【2018年高考江苏卷数学】在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26ρθ-=,曲线C 的方程为ρ=4cos θ,求直线l 被曲线C 截得的弦长.9.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系Oy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩(为参数).(1)若1-=a ,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l a .10.【2017年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系Oy 中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为(2,)3π,点B 在曲线2C 上,求OAB △面积的最大值.11.【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系Oy中,直线l1的参数方程为2+,,x ty kt=⎧⎨=⎩(t为参数),直线l2的参数方程为2,,x mmmyk=-+⎧⎪⎨=⎪⎩(为参数).设l1与l2的交点为P,当变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设()3:cos sin0lρθθ+=,M为l3与C的交点,求M的极径.12.【2017年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参考方程为82x t t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C的参数方程为22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.。

(2017-2019)三年高考数学(文)真题分项汇编 专题18 坐标系与参数方程-含解析

(2017-2019)三年高考数学(文)真题分项汇编 专题18 坐标系与参数方程-含解析

(2017-2019)三年高考数学(文)真题分项汇编专题18 坐标系与参数方程1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为. (1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.【答案】(1)221(1)4y x x +=≠-;l的直角坐标方程为2110x +=;(2.【解析】(1)因为221111t t --<≤+,且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+,所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-. l的直角坐标方程为2110x ++=.(2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数,ππα-<<).C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=.当2π3α=-时,π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7,故C 上的点到l.2.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中,O 为极点,点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上,直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直,垂足为P .(1)当0=3θπ时,求0ρ及l 的极坐标方程;(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程.2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,2cos sin 110ρθθ+=【答案】(1)0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭;(2)4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π.【解析】(1)因为()00,M ρθ在C 上,当03θπ=时,04sin 3ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==. 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点.在Rt OPQ △中,cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,经检验,点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上.所以,l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(2)设(,)P ρθ,在Rt OAP △中,||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=.因为P 在线段OM 上,且AP OM ⊥,故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.所以,P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π.3.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图,在极坐标系Ox 中,(2,0)A ,)4B π,)4C 3π,(2,)D π,弧AB ,BC ,CD 所在圆的圆心分别是(1,0),(1,)2π,(1,)π,曲线1M 是弧AB ,曲线2M 是弧BC ,曲线3M 是弧CD . (1)分别写出1M ,2M ,3M 的极坐标方程;(2)曲线M 由1M ,2M ,3M 构成,若点P 在M 上,且||OP =P 的极坐标.【答案】(1)1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,2M 的极坐标方程为。

最新—2017高考全国卷ⅰ文科数学坐标系与参数方程汇编

最新—2017高考全国卷ⅰ文科数学坐标系与参数方程汇编

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编坐标系与参数方程一、解答题【2017,22】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数).(1)若1a =-,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l a .【2016,23】在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数,)0>a .在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线θρcos 4:2=C .(Ⅰ)说明1C 是哪一种曲线,并将1C 的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线3C 的极坐标方程为0αθ=,其中0α满足2tan 0=α,若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求a .【2015,23】在直角坐标系xOy 中,直线1C :x =-2,圆2C :()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I )求1C ,2C 的极坐标方程; (II )若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ∆的面积.【2014,23】已知曲线C :22149x y +=,直线l :222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数). (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线,交l 于点A ,求||PA 的最大值与最小值.【2013,23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【2012,23】已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x (ϕ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。

20122017年高考文科数学真题汇编:坐标系和参数方程老师版.doc

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C的极坐标方程为C的直角坐标方程;为直线l上一动点,当到圆心C的距离最小时,求点ρ=(I)由2:化为普通方程为2=由题意:y x,(I )求直线l 和圆C 的普通方程;(II )若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围.【简解】(I )直线l 的普通方程为220x y a --=.圆C 的普通方程为2216x y +=. (II )因为直线l 与圆有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离245a d -=≤,解得2525a -≤≤12. (2014新标1理)已知曲线C :22149x y +=,直线l :222x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数). (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线,交l 于点A ,求||PA 的最大值与最小值. 【简解】.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为:2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数), 直线l 的普通方程为:260x y +-=(Ⅱ)在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为54cos 3sin 65d θθ=+-, 则()025||5sin 6sin 305d PA θα==+-,其中α为锐角.且4tan 3α=. 当()sin 1θα+=-时,||PA 取得最大值,最大值为2255; 当()sin 1θα+=时,||PA 取得最小值,最小值为255. 13.(2013新标2理)已知动点P 、Q 都在曲线C :2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上,对应参数分别为t =α与t =2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点.(1)求M 的轨迹的参数方程; (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 【简解】 (1)依题意有P (2cos α,2sin α),Q (2cos 2α,2sin 2α),因此M (cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M 的轨迹的参数方程为{ x =cos α+cos 2α,=sin α+sin 2α,(α为参数,0<α<2π).(2)M 点到坐标原点的距离d =x2+y2=2+2cos α(0<α<2π).当α=π,d =0,故M 的轨迹过坐标原点. 14、已知点A 的极坐标为(2,)4π,直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=,且点A 在直线l 上.(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程; (2)圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩,(α为参数),试判断直线l 与圆的位置关系.2=,15.(2012辽宁)在直角坐标-3)(-3≤≤3) 16.(2013新标1) 已知曲线⎝⎛⎭⎫2,π4⎭⎫,π217.(2013辽宁)⎭⎪⎫-422. =2t3解⎨⎪⎧x2+-=4,得⎨⎪⎧x1=0,⎨⎪⎧x2=2,所以C 与C 交点的一个极坐标为 ⎛⎪⎫4,π,=12|OA ⎭⎫-π3⎪⎪⎭⎫-π3-32+ 3. =-π12时,+ 3.+ 3.23.(2017·全国Ⅲ文,22)在直角坐标系=m k -2==1k (设P (x ,y ),由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y =-,y =1k+消去k 得x -y =4(y ≠0).所以C 的普通方程为x -y =4(y ≠0).(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ-sin 2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).联立⎩⎨⎧-=4,+-2=0,得=-13,从而=910,=110.的极径为 5.24.(2017·江苏,21)在平面直角坐标系中=t222s22s 从而点P 到直线的距离d =|2s2-42s +8|5=-2+4|,当s =2时,d =45.。

专题18 坐标系与参数方程-三年(2017-2019)高考真题数学(文)分项汇编(解析版)

专题18 坐标系与参数方程-三年(2017-2019)高考真题数学(文)分项汇编(解析版)

x = , ⎪ 1 + t 2 ⎪ y = 【答案】(1) x + = 1(x ≠ -1) ; l 的直角坐标方程为 2 x + 3 y + 11 = 0 ;(2) 7 . ≤ 1 ,且 x 2 + ⎪ = ⎝ 2 ⎭ ⎝ 1 + t ⎭ (1 + t 2 )2 = 1 ,所以C 的直角坐标方程为 2 ⎪⎩⎧ 4cos α - ⎪ + 11= 4cos α -⎪ + 11 取得最小值7,故C 上的点到 l 距离的最小值为 7 .专题 18坐标系与参数方程⎧ 1 - t 2 1.【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系 x Oy 中,曲线 C 的参数方程为 ⎨ (t 为参数).以4t ⎪ 1 + t 2坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为2 ρ cos θ + 3ρ sin θ + 11 = 0 .(1)求 C 和 l 的直角坐标方程;(2)求 C 上的点到 l 距离的最小值.y 22 41 - t2 ⎛ y ⎫2 ⎛ 1 - t 2 ⎫2 4t 2【解析】(1)因为 -1 < + 1 + t 2 y 2 x 2 += 1(x ≠ -1) .4l 的直角坐标方程为 2 x + 3 y + 11 = 0 .(2)由(1)可设C 的参数方程为 ⎨ x = cos α , ⎩ y = 2sin α( α 为参数, -π < α < π ).⎛ π ⎫ | 2cos α + 2 3 sin α + 11| ⎝3 ⎭ C 上的点到 l 的距离为 .7 7当 α =-2π⎛ π ⎫时,3 ⎝ 3 ⎭【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点,将问题转化为三角函数的最值求解问题.2.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sinθ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.3【答案】(1) ρ = 2 3 ,l 的极坐标方程为 ρ cos θ -⎛ ⎝⎪ = 2 ; (2) ρ = 4cos θ , θ ∈ ⎢ , ⎥ .时, ρ = 4sin = 2 3 .33设 Q( ρ,θ ) 为l 上除P 的任意一点.在 Rt △OPQ 中, ρ cos θ - ⎪ =| OP |= 2 ,经检验,点 P(2, ) 在曲线 ρ cos θ -π ⎪ = 2 上.⎪ = 2 .⎛ 因为P 在线段OM 上,且 AP ⊥ OM ,故θ 的取值范围是 ⎢ , ⎥ .所以,P 点轨迹的极坐标方程为 ρ = 4cos θ , θ ∈ ⎢ , ⎥ .4 2 4 2 弧 AB ,BC ,CD 所在圆的圆心分别是 (1,0) ,(1, ) ,(1,π) ,曲线 M 1 是弧 AB ,曲线 M 2 是弧 BC ,(1)当θ =π时,求 ρ 0 及 l 的极坐标方程;(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时,求 P 点轨迹的极坐标方程.⎡ π π ⎤ ⎣ 4 2 ⎦π⎫ 3 ⎭【解析】(1)因为 M (ρ ,θ)在C 上,当θ 0 = π π由已知得 | OP |=| OA | cos π 3= 2 .⎛ ⎝π⎫ 3 ⎭3 ⎝⎛ π⎫ 3 ⎭所以,l 的极坐标方程为 ρ cos θ - ⎝π⎫ 3 ⎭(2)设 P( ρ,θ ) ,在 Rt △OAP 中, | OP |=| OA | cos θ = 4cos θ , 即 ρ = 4cos θ .⎡π π⎤ ⎣ ⎦⎡π π⎤ ⎣ ⎦【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,熟记公式即可,属于常考题型.3.【2019 年高考全国Ⅲ卷文数】如图,在极坐标系Ox 中, A(2,0) , B( 2, π 4 ) ,C ( 2, 3π 4) , D(2, π) ,π 2曲线 M 3 是弧 CD .(1)分别写出 M 1 , M 2 , M 3 的极坐标方程;(2)曲线 M 由 M 1 , M 2 , M 3 构成,若点 P 在 M 上,且 | OP |=3 ,求 P 的极坐标.M的极坐标方程为 ρ = 2cos θ 0 ≤ θ ≤ ⎝⎪ , M 2 的极坐标方程为ρ = 2sin θ ⎛ M 的极坐标方程为 ρ = -2cos θ ⎪ , ≤ θ ≤ π ⎪ . 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭(2) 3,⎪ 或 3, ⎪ 或 3, ⎪ 或 3, 6 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 6 ⎭M 的极坐标方程为 ρ = 2sin θ ⎪ , 2⎪ ,M 3⎛ 的极坐标方程为 ρ = -2cos θ ⎛ 3π ≤ θ ≤ π ⎪ . ,则 2cos θ = 3 ,解得θ = ;综上,P 的极坐标为 3, ⎪ 或 3, ⎪ 或 3, 或 3, ⎪ ⎪ ., B 2, ⎪ , 直 线 l 的方 程 为4 ⎭ ⎝ 2 ⎭ρ sin ⎛θ + ⎫⎪ = 3 .⎛【答案】(1)1⎛ π ⎫ 4 ⎭π ⎝ 4 ≤ θ ≤ 3π ⎫ ⎛ 3π ⎫ 3⎛ ⎝π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎛ 2π ⎫ ⎛ 5π ⎫⎪ .【解析】( 1)由题设可得,弧 AB, BC, C D 所在圆的极坐标方程分别为 ρ = 2cos θ , ρ = 2sin θ ,ρ = -2cos θ .所以 M 1 的极坐标方程为 ρ = 2cos θ 0 ≤ θ ≤ ⎝π ⎫ ⎛ π 4 ⎭ ⎝ 4≤ θ ≤ 3π ⎫ 4 ⎭⎫ ⎝ 4 ⎭(2)设 P( ρ,θ ) ,由题设及(1)知若 0 ≤ θ ≤ π π4 6π 3π π 2π 若 ≤ θ ≤ ,则 2sin θ = 3 ,解得θ = 或 θ = ;4 4 3 3若 3π 5π ≤ θ ≤ π ,则 -2cos θ = 3 ,解得θ =4 6.⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎛ 2π ⎫ ⎛ 5π ⎫⎝6 ⎭⎝3 ⎭⎝3 ⎭⎝6 ⎭【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程,思考量不高,运算量不大,属于中档题.4 . 【 2019 年 高 考 江 苏 卷 数 学 】 在 极 坐 标 系 中 , 已 知 两 点 A 3, ⎝π ⎝4 ⎭(1)求A ,B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离.π⎫ ⎛ π⎫ ⎪【解析】(1)设极点为 .在△O OAB 中,A (3, π- ) = 5 .= 2 ,故 k = - 或 k = 0 . 经检验,当 k = 0 时, l 与 C 没有公共点;当 k = - 时, l 与 C 只有一个公共点,l 与 C 有两个公共 3【答案】(1) 5 ;(2)2.π),B (2 , ), 42由余弦定理,得AB = 32+ ( 2) 2- 2 ⨯ 3 ⨯ 2 ⨯ cos((2)因为直线l 的方程为 ρ sin(θ + π) = 3 ,4π π2 4则直线l 过点 (3 2, π) ,倾斜角为 23π4 .又 B( 2, π ) ,所以点B 到直线l 的距离为 (3 2 - 2) ⨯ s in( 2 3π π- ) = 2 .4 2【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.5.【2018 年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的方程为 y = k|x| + 2 .以坐标原点为极点,1x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为 ρ 2 + 2 ρ cos θ - 3 = 0 .2(1)求 C 的直角坐标方程;2(2)若 C 与 C 有且仅有三个公共点,求 C 的方程.1 21【答案】(1) C 2 的直角坐标方程为 ( x + 1)2 + y 2 = 4 .;(2) C 1 的方程为 y = -4 3| x | +2 .【解析】(1)由 x = ρ cos θ , y = ρ sin θ 得 C 2 的直角坐标方程为 ( x + 1)2 + y 2 = 4 .(2)由(1)知 C 2 是圆心为 A(-1,0) ,半径为 2 的圆.由题设知, C 1 是过点 B(0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线.记 y 轴右边的射线为 l 1 , y 轴左边的射线为l .由于 B 在圆 C 的外面,故 C 与 C 有且仅有三个公共点等价于 l 与 C 只有一个公共点且 l 与 C 有2 2121222两个公共点,或 l 2 与 C 2 只有一个公共点且 l 1 与 C 2 有两个公共点.当 l 1 与 C 2 只有一个公共点时, A 到 l 1 所在直线的距离为 2 ,所以 | -k + 2 |k 2 + 14341 2 1 2 2 2点.直线 l 的参数方程为 ⎨( t 为参数). y = 2 + t sin α+ = 1 ,l 的直角坐标方程为 x = 1 ;(2)l 的斜率为 -2 . 【解析】(1)曲线 C 的直角坐标方程为 + = 1 .1 + 3cos2 α 7.【2018 年高考全国Ⅲ卷文数】在平面直角坐标系 xOy 中, ⊙O 的参数方程为 ⎨ ( θ 为参数), y = sin θ( )当 l 2 与 C 2 只有一个公共点时, A 到 l 2 所在直线的距离为 2 ,所以 | k + 2|k 2 + 1 = 2,故 k = 0 或 k = 4 . 3经检验,当 k = 0 时, l 1 与 C 2 没有公共点;当 k = 43时, l 2 与 C 2 没有公共点.综上,所求 C 1 的方程为 y = - 4 3| x | +2 .⎧ x = 2cos θ ,6.【2018 年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ⎨ ( θ 为参数),⎩ y = 4sin θ⎧ x = 1 + t cos α ,⎩(1)求 C 和 l 的直角坐标方程;(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2) ,求 l 的斜率.【答案】(1)曲线 C 的直角坐标方程为x 2 y 24 16x 2 y 24 16当 cos α ≠ 0 时, l 的直角坐标方程为 y = tan α ⋅ x + 2 - tan α ,当 cos α = 0 时, l 的直角坐标方程为 x = 1 .(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程,整理得关于 t 的方程(1+ 3cos 2 α )t 2 + 4(2cos α + sin α )t - 8 = 0 .①因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点 (1,2) 在 C 内,所以①有两个解,设为 t 1 , t 2 ,则 t 1 + t 2 = 0 .又由①得 t + t = - 4(2cos α + sin α ),故 2cos α + sin α = 0 ,于是直线 l 的斜率 k = tan α = -2 .1 2⎧ x = cos θ,⎩过点 0 ,- 2 且倾斜角为 α 的直线 l 与 ⊙O 交于 A ,B 两点.(1)求 α 的取值范围;(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程.【答案】(1)α 的取值范围是 ( , ) .;(2)点 P 的轨迹的参数方程是 ⎨为参数, π 时,记 tan α = k ,则 l 的方程为 y = kx - 2 . l 与 O 交于两点当且仅当 |1 + k2 得 k < -1 或 k > 1 ,即 α ∈ ( , ) 或 α ∈ ( , 综上, α 的取值范围是 ( , ) .(t 为参数, < α < ) . ⎪ 设 A , B , P 对应的参数分别为 t A ,t B ,t P ,则t = t + t2 于是 t + t = 2 2 sin α , t = 2 sin α .又点 P 的坐标 ( x , y) 满足 ⎨⎪⎩ y = - 2 + t sin α. (α 为参数, < α < ) .⎧ 2⎪ x =sin 2α , π 3π ⎪ 24 4 ⎪ y = - 2 - 2 cos 2α⎪⎩22(α3π < α <4 4). 【解析】(1)O 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 1.当 α = π2时, l 与 O 交于两点.当 α ≠ π 2 2|< 1 ,解π π π 3π4 2 2 4 π 3π4 4) .⎧ x = t cos α ,(2) l 的参数方程为 ⎨⎪⎩ y = - 2 + t sin απ 3π 4 4P A B ,且t A ,t B 满足 t 2 - 2 2t sin α + 1 = 0 .⎧⎪ x = t cos α , P A B P P⎧ 2⎪ x =sin 2α , ⎪ 2所以点 P 的轨迹的参数方程是 ⎨⎪ y = - 2 - 2 cos 2α ⎪⎩ 2 2π 3π 4 48.【2018 年高考江苏卷数学】在极坐标系中,直线 l 的方程为 ρ sin(4cos θ ,求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.【答案】直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2 3 .【解析】因为曲线 C 的极坐标方程为 ρ =4cos θ ,所以曲线 C 的圆心为(2,0),直径为 4 的圆.π因为直线 l 的极坐标方程为 ρ sin( - θ ) = 2 ,6 π则直线 l 过 A (4,0),倾斜角为 ,6π 6- θ ) = 2,曲线 C 的方程为 ρ =9.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为⎨(θ为参数),y=sinθ,直线l的参数方程为⎨⎧x=a+4t,y=1-t,⎪+y2=1⎧x=3,⎪⎪⎪y=24.⎩y=0⎩所以A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B,则∠OAB=π.6连结OB,因为OA为直径,从而∠OBA=π2,所以AB=4cos π=23.6因此,直线l被曲线C截得的弦长为23.⎧x=3cosθ,⎩(t为参数).⎩(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为17,求a.【答案】(1)(3,0),(-21,24);(2)a=8或a=-16.2525【解析】(1)曲线C的普通方程为x29+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.⎧x+4y-3=0,⎪由⎨x2⎩9解得⎨或⎨⎧21x=-,25从而C与l的交点坐标为(3,0),(-21,24).2525(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离为d=|3cosθ+4sinθ-a-4|17.(2)设点 A 的极坐标为 (2, ) ,点 B 在曲线 C 上,求 △OAB 面积的最大值.3S = 1B当 a ≥ -4 时, d 的最大值为 a + 917.由题设得 a + 9= 17 ,所以 a = 8 ;17当 a < -4 时, d 的最大值为 -a + 1 17.由题设得 -a + 1= 17 ,所以 a = -16 .17综上, a = 8 或 a = -16 .【名师点睛】本题为选修内容,先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程,联立方程,可得交点坐标,利用椭圆的参数方程,求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值,直接利用点到直线的距离公式,表示出椭圆上的点到直线的距离,利用三角有界性确认最值,进而求得参数a 的值.10.【2017 年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ cos θ = 4 .1(1)M 为曲线 C 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足 | OM | ⋅ | OP |= 16 ,求点 P 的轨迹 C 的直角坐1 2标方程;π2【答案】(1) (x - 2 )2 + y 2 = 4 (x ≠ 0 );(2) 2 + 3 .【解析】(1)设 P 的极坐标为 ( ρ,θ ) ( ρ > 0) ,M 的极坐标为 (ρ ,θ ) ( ρ > 0) ,1 1由题设知 OP =ρ, OM = ρ1= 4 cos θ.由 OM ⋅ OP = 16 得 C 的极坐标方程 ρ = 4cos θ ( ρ > 0) . 2因此 C 的直角坐标方程为 (x - 2 )2 + y 2 = 4 (x ≠ 0 ).2(2)设点 B 的极坐标为 (ρ ,α )(ρ > 0) ,B B由题设知 OA = 2, ρ = 4cos α ,于是 △OAB 的面积Bπ π 3OA ⋅ ρ ⋅ sin ∠AOB = 4cos α ⋅ | sin(α - ) | = 2 | sin(2α - ) - | ≤ 2 + 3.23 3 211.【2017 年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系 xOy 中,直线 l 1 的参数方程为 ⎨ (t 为参数),直y = kt ,线 l 2 的参数方程为 ⎨ (m 为参数).设 l 1 与 l 2 的交点为 P ,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C . ⎪⎩ 【解析(1)消去参数 t得 l 的普通方程 l : y = k(x - 2);消去参数 m 得 l 2的普通方程 l : y = 1(x + 2 ) .k设 P (x, y ),由题设得 ⎨ ,消去 k 得 x 2 - y 2 = 4 (y ≠ 0). ⎪⎩ρ (cos θ + sin θ )- 2 = 0⎪( t 为参数), 12. 2017 年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参考方程为 ⎨ 【 ⎪⎩ 2当 α = - π时,S 取得最大值 2 + 3 ,所以 △OAB 面积的最大值为 2 + 3 .12【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。

2017年高考文数真题试题(新课标全国Ⅰ卷)(Word版+答案+解析)

2017年高考文数真题试题(新课标全国Ⅰ卷)(Word版+答案+解析)

2017年高考文数真题试卷(新课标Ⅰ卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x <2},B={x|3﹣2x >0},则( )A. A∩B={x|x < 32 }B. A∩B=∅C. A ∪B={x|x < 32 } D. AUB=R2.为评估一种农作物的种植效果,选了n 块地作试验田,这n 块地的亩产量(单位:kg )分别是x 1 , x 2 , …,x n , 下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A. x 1 , x 2 , …,x n 的平均数B. x 1 , x 2 , …,x n 的标准差C. x 1 , x 2 , …,x n 的最大值D. x 1 , x 2 , …,x n 的中位数3.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A. i (1+i )2B. i 2(1﹣i )C. (1+i )2D. i (1+i )4.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A. 14B. π8C. 12D. π45.已知F 是双曲线C :x 2﹣y 23 =1的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为( )A. 13B. 12C. 23D. 326.如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A. B.C. D.7.设x ,y 满足约束条件 {x +3y ≤3x −y ≥1y ≥0,则z=x+y 的最大值为( )A. 0B. 1C. 2D. 38.函数y=sin2x 1−cosx 的部分图象大致为( )A. B.C. D.9.已知函数f (x )=lnx+ln (2﹣x ),则( )A. f (x )在(0,2)单调递增B. f (x )在(0,2)单调递减C. y=f (x )的图象关于直线x=1对称D. y=f (x )的图象关于点(1,0)对称10.如图程序框图是为了求出满足3n ﹣2n >1000的最小偶数n ,那么在和 两个空白框中,可以分别填入( )A. A >1000和n=n+1B. A >1000和n=n+2C. A≤1000和n=n+1D. A≤1000和n=n+211.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sinB+sinA (sinC ﹣cosC )=0,a=2,c= √2 ,则C=( )A. π12B. π6C. π4D. π312.设A ,B 是椭圆C :x 23 + y 2m =1长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足∠AMB=120°,则m 的取值范围是( )A. (0,1]∪[9,+∞)B. (0, √3 ]∪[9,+∞)C. (0,1]∪[4,+∞)D. (0, √3 ]∪[4,+∞) 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量 a ⃗ =(﹣1,2), b ⃗⃗ =(m ,1),若向量 a ⃗ + b ⃗⃗ 与 a ⃗ 垂直,则m=________.14.曲线y=x 2+ 1x 在点(1,2)处的切线方程为________.15.已知α∈(0, π2 ),tanα=2,则cos (α﹣ π4 )=________.16.已知三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径,若平面SCA ⊥平面SCB ,SA=AC ,SB=BC ,三棱锥S ﹣ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________.三、解答题:共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程.17.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2=2,S 3=﹣6.(12分)(1)求{a n }的通项公式;(2)求S n , 并判断S n+1 , S n , S n+2是否能成等差数列.18.如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,AB ∥CD ,且∠BAP=∠CDP=90°.(12分)(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;(2)若PA=PD=AB=DC ,∠APD=90°,且四棱锥P ﹣ABCD 的体积为 83 ,求该四棱锥的侧面积.19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm ).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:(12分)经计算得 x̅ = 116∑16i=1x i =9.97,s= √116∑16i=1(x i −x̅)2 = √116(∑16i=1x i 2−16x̅2) =0.212,√∑(i −8.52)16i=1 ≈18.439, ∑16i=1 (x i ﹣ x̅ )(i ﹣8.5)=﹣2.78,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i=1,2, (16)(1)求(x i , i )(i=1,2,…,16)的相关系数r ,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在( x̅ ﹣3s , x̅ +3s )之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?(ⅱ)在( x̅ ﹣3s , x̅ +3s )之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)附:样本(x i , y i )(i=1,2,…,n )的相关系数r=∑(x −x̅)n i=1(y −y ̅)√∑i=1(x i −x̅)2√∑i=1(y i −y ̅)2 , √0.008 ≈0.09. 20.设A ,B 为曲线C :y=x 24 上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(12分)(1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程.21.已知函数 f (x )=e x (e x ﹣a )﹣a 2x .(12分)(1)讨论 f (x )的单调性;(2)若f (x )≥0,求a 的取值范围.四、选考题:共10分。

2017新课标全国卷1文科数学试题及答案

2017新课标全国卷1文科数学试题及答案

绝密★启用前2021年一般高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5页,总分值150分。

考生留意:1.答卷前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要仔细核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目〞及考生本人准考证号、姓名是否一样。

2.答复选择题时,选出每题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

答复非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试完毕后,监考员将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分。

在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的。

1.集合,,那么A.B.C.D.2.为评估一种农作物的种植效果,选了nn块地的亩产量〔单位:〕分别为x1,x2,…,,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A.x1,x2,…,的平均数B.x1,x2,…,的标准差C.x1,x2,…,的最大值D.x1,x2,…,的中位数3.以下各式的运算结果为纯虚数的是A.i(1)2B.i2(1) C.(1)2D.i(1) 4.如图,正方形内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,那么此点取自黑色部分的概率是A.B.C.D.5.F是双曲线C:x21的右焦点,P是C上一点,且及x轴垂直,点A的坐标是(1,3).那么△的面积为A.B.C.D.6.如图,在以下四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,那么在这四个正方体中,干脆及平面不平行的是7.设x,y满意约束条件那么的最大值为A.0 B.1 C.2 D.38..函数的部分图像大致为9.函数,那么A.在〔0,2〕单调递增B.在〔0,2〕单调递减C.的图像关于直线1对称D.的图像关于点〔1,0〕对称10.如图是为了求出满意的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入A.A>1000和1 B.A>1000和2C.A≤1000和1 D.A≤1000和211.△的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。

2017年全国高考数学试题分类汇编考点49坐标系与参数方程

2017年全国高考数学试题分类汇编考点49坐标系与参数方程

考点51 坐标系与参数方程一、 填空题1.(2017年天津高考理科·T11)在极坐标系中,直线4ρcos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为 .【命题意图】本题考查直线与圆的极坐标方程与平面直角坐标系方程的互化.要求考生能够熟练掌握二者互化的方法.【试题解析】直线方程可化为2ρsin θ+2ρcos θ+1=0,即2+2y +1=0,圆为x 2+(y-1)2=1,因为d =34<1,所以有两个交点. 答案:22.(2017年天津高考文科·T11)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .【命题意图】考查正方体与球的切接问题.本题只要搞清正方体的棱长与球半径的关系,求体积问题就会迎刃而解.【试题解析】设正方体棱长为a ,则6a 2=18⇒a 2=3,外接球直径为2R =a =3,V =43πR 3=43π×278=92π. 答案:92π3.(2017年北京高考理科·T11)在极坐标系中,点A 在圆ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0上,点P 的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为 .【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标方程的转化,意在培养学生转化能力及计算能力.【试题解析】☉C :x 2+y 2-2x-4y +4=0⇒(x-1)2+(y-2)2=1, 所以|AP|min =|PC|-r =2-1=1. 答案:1二、 简答题1.(2017年全国丙卷·文科·T22)同(2017年全国丙卷·理科·T22)[选修4―4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为2x ty kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数),直线l 2的参数方程为2x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C. (1)写出C 的普通方程.(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径.【试题解析】(1)直线l 1的普通方程为y =k (x-2), 直线l 2的普通方程为x =-2+ky , 消去k 得x 2-y 2=4,即C 的普通方程为x 2-y 2=4. (2)l 3化为普通方程为x +y=,联立224x y y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 所以ρ2=x 2+y 2=错误!未找到引用源。

三年高考(2017-2019)高考数学真题分项汇编 专题18 坐标系与参数方程 文(含解析)

三年高考(2017-2019)高考数学真题分项汇编 专题18 坐标系与参数方程 文(含解析)

专题18坐标系与参数方程1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为.(1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.【答案】(1)221(1)4y x x +=≠-;l的直角坐标方程为2110x +=;(2【解析】(1)因为221111t t --<≤+,且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+,所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-.l的直角坐标方程为2110x +=.(2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数,ππα-<<).C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=当2π3α=-时,π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7,故C 上的点到l【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点,将问题转化为三角函数的最值求解问题.2.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中,O 为极点,点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上,直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直,垂足为P . (1)当0=3θπ时,求0ρ及l 的极坐标方程; 2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,2cos sin 110ρθθ+=(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程.【答案】(1)0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; (2)4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π.【解析】(1)因为()00,M ρθ在C 上,当03θπ=时,04sin 3ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==. 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点.在Rt OPQ △中,cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭, 经检验,点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上. 所以,l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. (2)设(,)P ρθ,在Rt OAP △中,||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=. 因为P 在线段OM 上,且AP OM ⊥,故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.所以,P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π.【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,熟记公式即可,属于常考题型.3.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图,在极坐标系Ox 中,(2,0)A ,)4B π,)4C 3π,(2,)D π,弧AB ,BC ,CD 所在圆的圆心分别是(1,0),(1,)2π,(1,)π,曲线1M 是弧AB ,曲线2M 是弧BC ,曲线3M 是弧CD .(1)分别写出1M ,2M ,3M 的极坐标方程;(2)曲线M 由1M ,2M ,3M 构成,若点P 在M 上,且||OP =P 的极坐标.【答案】(1)1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭,2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭,3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭.(2)π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭.【解析】(1)由题设可得,弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=,2sin ρθ=,2cos ρθ=-.所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭,2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭. (2)设(,)P ρθ,由题设及(1)知若π04θ≤≤,则2cos θ=解得π6θ=;若π3π44θ≤≤,则2sin θ=π3θ=或2π3θ=;若3ππ4θ≤≤,则2cos θ-5π6θ=.综上,P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭. 【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程,思考量不高,运算量不大,属于中档题.4.【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中,已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求A ,B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离.【答案】((2)2.【解析】(1)设极点为O .在△OAB 中,A (3,4π),B 2π),由余弦定理,得AB =(2)因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=,则直线l 过点)2π,倾斜角为34π.又)2B π,所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.5.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.(1)求2C 的直角坐标方程;(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程.【答案】(1)2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=.;(2)1C 的方程为4||23y x =-+. 【解析】(1)由cos x ρθ=,sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=. (2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆.由题设知,1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为1l ,y 轴左边的射线为2l .由于B 在圆2C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点. 当1l 与2C 只有一个公共点时,A 到1l 所在直线的距离为2,2=,故43k =-或0k =.经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =-时,1l 与2C 只有一个公共点,2l 与2C 有两个公共点. 当2l 与2C 只有一个公共点时,A 到2l 所在直线的距离为22=,故0k =或43k =. 经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =时,2l 与2C 没有公共点. 综上,所求1C 的方程为4||23y x =-+.6.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩,(θ为参数),直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩,(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率.【答案】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=,l 的直角坐标方程为1x =;(2)l 的斜率为2-.【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=.当cos 0α≠时,l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-, 当cos 0α=时,l 的直角坐标方程为1x =.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为1t ,2t ,则120t t +=. 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+,故2cos sin 0αα+=,于是直线l 的斜率tan 2k α==-.7.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】在平面直角坐标系xOy 中,O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,(θ为参数),过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ,两点. (1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.【答案】(1)α的取值范围是(,)44π3π.;(2)点P的轨迹的参数方程是2,2cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数,44απ3π<<). 【解析】(1)O 的直角坐标方程为221x y +=. 当2απ=时,l 与O 交于两点.当2απ≠时,记tan k α=,则l的方程为y kx =l 与O交于两点当且仅当|1<,解得1k <-或1k >,即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈.综上,α的取值范围是(,)44π3π.(2)l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数,44απ3π<<). 设A ,B ,P 对应的参数分别为A t ,B t ,P t ,则2A BP t t t +=,且A t ,B t满足2sin 10t α-+=.于是A B t t α+=,P t α.又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是2,2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(α为参数,44απ3π<<). 8.【2018年高考江苏卷数学】在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26ρθ-=,曲线C 的方程为ρ=4cos θ,求直线l 被曲线C 截得的弦长.【答案】直线l 被曲线C截得的弦长为 【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ, 所以曲线C 的圆心为(2,0),直径为4的圆. 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=, 则直线l 过A (4,0),倾斜角为π6, 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点. 设另一个交点为B ,则∠OAB =π6. 连结OB ,因为OA 为直径,从而∠OBA =π2,所以π4cos6AB ==. 因此,直线l 被曲线C截得的弦长为9.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩(为参数). (1)若1-=a ,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l求a . 【答案】(1)(3,0),2124(,)2525-;(2)8a =或16a =-. 【解析】(1)曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时,直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为(3,0),2124(,)2525-. (2)直线l 的普通方程为440x y a +--=,故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =当4a ≥-时,d=8a =; 当4a <-时,d=16a =-. 综上,8a =或16a =-.【名师点睛】本题为选修内容,先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程,联立方程,可得交点坐标,利用椭圆的参数方程,求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值,直接利用点到直线的距离公式,表示出椭圆上的点到直线的距离,利用三角有界性确认最值,进而求得参数a 的值.10.【2017年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为(2,)3π,点B 在曲线2C 上,求OAB △面积的最大值.【答案】(1)()()22240x y x -+=≠;(2)2+【解析】(1)设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>,M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>, 由题设知cos OP OM =ρρθ14=,=. 由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程cos ρθ=4(0)ρ>.因此2C 的直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠.(2)设点B 的极坐标为()(),0B B ραρ>,由题设知2,4cos B OA ρα==,于是OAB △的面积S =1sin 4cos |sin()|2|sin(2)|2233B OA AOB ραααππ⋅⋅∠=⋅-=-≤当12απ=-时,S 取得最大值2OAB △面积的最大值为2+ 【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。

2017年高考真题全国Ⅰ卷(文)(解析版)

2017年高考真题全国Ⅰ卷(文)(解析版)

2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={}|2x x <,B ={}|320x x ->,则( ) A .A I B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B .A I B =∅C .A U B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D .A U B=R2.为评估一种农作物的种植效果,选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量(单位:kg )分别为x 1,x 2,…,x n ,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A .x 1,x 2,…,x n 的平均数B .x 1,x 2,…,x n 的标准差C .x 1,x 2,…,x n 的最大值D .x 1,x 2,…,x n 的中位数3.下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A .i(1+i)2B .i 2(1-i)C .(1+i)2D .i(1+i)4.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A .14B .π8C .12D .π 45.已知F 是双曲线C :x 2-23y =1的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为( )A .13B .1 2C .2 3D .3 26.如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是( )7.设x ,y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为( )A .0B .1C .2D .38.函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为( )9.已知函数()ln ln(2)f x x x =+-,则( ) A .()f x 在(0,2)单调递增B .()f x 在(0,2)单调递减C .y =()f x 的图像关于直线x =1对称D .y =()f x 的图像关于点(1,0)对称10.如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A .A >1000和n =n +1B .A >1000和n =n +2C .A ≤1000和n =n +1D .A ≤1000和n =n +211.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。

2017年全国卷高考数学复习专题——坐标系与参数方程

2017年全国卷高考数学复习专题——坐标系与参数方程

2017年全国卷高考数学复习专题——坐标系与参数方程考点一坐标系与极坐标1.(2014安徽,4,5分)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是x=t+1,y=t-3(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cos θ,则直线l被圆C截得的弦长为( )A.14B.214C.2D.22答案 D2.(2014湖南,11,5分)在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l与曲线C:x=2+cosα,y=1+sinα(α为参数)交于A,B两点,且|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是. 答案2ρcos θ+π4=13.(2014广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cos θ和ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为.答案(1,1)4.(2014天津,13,5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为.答案 35.(2014重庆,15,5分)已知直线l的参数方程为x=2+t,y=3+t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ= .答案56.(2014陕西,15C,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点2,π6到直线ρsin θ-π6=1的距离是.答案 17.(2014辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解析(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得x=x1, y=2y1,由x12+y12=1得x2+y22=1,即曲线C的方程为x2+y24=1.故C的参数方程为x=cos t,y=2sin t(t为参数).(2)由x2+y24=1,2x+y-2=0解得x=1,y=0或x=0,y=2.不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为12,1,所求直线斜率为k=12,于是所求直线方程为y-1=12 x-12,化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3, 即ρ=34sinθ-2cosθ.考点二参数方程8.(2014北京,3,5分)曲线x=-1+cosθ,y=2+sinθ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y=2x上B.在直线y=-2x上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上答案 B9.(2014江西,11(2),5分)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )A.ρ=1cosθ+sinθ,0≤θ≤π2B.ρ=1cosθ+sinθ,0≤θ≤π4C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π2 D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤π4答案 A10.(2014湖北,16,5分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是x=t,y=3t3(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为.答案(3,1)11.(2014课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C:x 24+y 29=1,直线l:x =2+t ,y =2-2t(t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A,求|PA|的最大值与最小值.解析 (1)曲线C 的参数方程为 x =2cos θ,y =3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为 d= 55|4cos θ+3sin θ-6|. 则|PA|=dsin 30°=2 55|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为22 55.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为2 55.12.(2014课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈ 0,π2 . (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线l:y= 3x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.解析 (1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y≤1).可得C 的参数方程为 x =1+cos t ,y =sin t(t 为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan t= 3,t=π3. 故D 的直角坐标为 1+cosπ 3,sin π3 ,即 32,32. 13.(2014江苏,21C,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为x =1- 22t ,y =2+22t (t 为参数),直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A,B 两点,求线段AB 的长.解析将直线l的参数方程x=1-22t,y=2+22t代入抛物线方程y2=4x,得2+2 2t2=41-22t,解得t1=0,t2=-82.所以AB=|t1-t2|=82.14.(2014福建,21(2),7分)选修4—4:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为x=a-2t,y=-4t(t为参数),圆C的参数方程为x=4cosθ,y=4sinθ(θ为参数).(1)求直线l和圆C的普通方程;(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.解析(1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,圆C的普通方程为x2+y2=16.(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=5≤4,解得-25≤a≤25.。

2017-201高考真题数学 坐标系与参数方程-三年(文)分项汇编(解析版) (1)

2017-201高考真题数学 坐标系与参数方程-三年(文)分项汇编(解析版) (1)

2017-2019高考真题数学 坐标系与参数方程1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为.(1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.【答案】(1)221(1)4y x x +=≠-;l的直角坐标方程为2110x +=;(2.【解析】(1)因为221111t t --<≤+,且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+,所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-.l的直角坐标方程为2110x ++=.(2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数,ππα-<<).C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=当2π3α=-时,π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7,故C 上的点到l.2.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中,O 为极点,点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上,直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直,垂足为P . (1)当0=3θπ时,求0ρ及l 的极坐标方程; (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; 2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,2cos sin 110ρθθ++=(2)4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π.【解析】(1)因为()00,M ρθ在C 上,当03θπ=时,04sin 3ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==. 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点.在Rt OPQ △中,cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭, 经检验,点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上. 所以,l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. (2)设(,)P ρθ,在Rt OAP △中,||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=. 因为P 在线段OM 上,且AP OM ⊥,故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.所以,P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π.3.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图,在极坐标系Ox 中,(2,0)A ,)4B π,)4C 3π,(2,)D π,弧AB ,BC ,CD 所在圆的圆心分别是(1,0),(1,)2π,(1,)π,曲线1M 是弧AB ,曲线2M 是弧BC ,曲线3M 是弧CD .(1)分别写出1M ,2M ,3M 的极坐标方程;(2)曲线M 由1M ,2M ,3M 构成,若点P 在M 上,且||OP =P 的极坐标.【答案】(1)1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭,2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭,3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭.(2)π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭.【解析】(1)由题设可得,弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=,2sin ρθ=,2cos ρθ=-.所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭,2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭. (2)设(,)P ρθ,由题设及(1)知若π04θ≤≤,则2cos θ=,解得π6θ=;若π3π44θ≤≤,则2sin θ=π3θ=或2π3θ=;若3ππ4θ≤≤,则2cos θ-=5π6θ=.综上,P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭..【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中,已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (1)求A ,B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离.【答案】(12)2.【解析】(1)设极点为O .在△OAB 中,A (3,4π),B ,2π),由余弦定理,得AB =. (2)因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=,则直线l 过点)2π,倾斜角为34π.又)2B π,所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. 5.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.(1)求2C 的直角坐标方程;(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程.【答案】(1)2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=.;(2)1C 的方程为4||23y x =-+. 【解析】(1)由cos x ρθ=,sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=.(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆.由题设知,1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为1l ,y 轴左边的射线为2l .由于B 在圆2C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点. 当1l 与2C 只有一个公共点时,A 到1l 所在直线的距离为22=,故43k =-或0k =.经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =-时,1l 与2C 只有一个公共点,2l 与2C 有两个公共点.当2l 与2C 只有一个公共点时,A 到2l 所在直线的距离为22=,故0k =或43k =.经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =时,2l 与2C 没有公共点. 综上,所求1C 的方程为4||23y x =-+. 6.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩,(θ为参数),直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩,(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率.【答案】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=,l 的直角坐标方程为1x =;(2)l 的斜率为2-. 【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=.当cos 0α≠时,l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-, 当cos 0α=时,l 的直角坐标方程为1x =.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为1t ,2t ,则120t t +=. 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+,故2cos sin 0αα+=,于是直线l 的斜率tan 2k α==-.7.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】在平面直角坐标系xOy 中,O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,(θ为参数),过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ,两点. (1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.【答案】(1)α的取值范围是(,)44π3π.;(2)点P的轨迹的参数方程是2,222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数,44απ3π<<). 【解析】(1)O 的直角坐标方程为221x y +=.当2απ=时,l 与O 交于两点. 当2απ≠时,记tan k α=,则l的方程为y kx =l 与O交于两点当且仅当|1<,解得1k <-或1k >,即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈. 综上,α的取值范围是(,)44π3π.(2)l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数,44απ3π<<). 设A ,B ,P 对应的参数分别为A t ,B t ,P t ,则2A BP t t t +=,且A t ,B t满足2sin 10t α-+=.于是A B t t α+=,P t α=.又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以点P的轨迹的参数方程是2,2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(α为参数,44απ3π<<). 8.【2018年高考江苏卷数学】在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26ρθ-=,曲线C 的方程为ρ=4cos θ,求直线l 被曲线C 截得的弦长.【答案】直线l 被曲线C截得的弦长为 【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ, 所以曲线C 的圆心为(2,0),直径为4的圆.因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=,则直线l 过A (4,0),倾斜角为π6,所以A 为直线l 与圆C 的一个交点. 设另一个交点为B ,则∠OAB =π6. 连结OB ,因为OA 为直径,从而∠OBA =π2,所以π4cos6AB == 因此,直线l 被曲线C截得的弦长为9.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩(为参数).(1)若1-=a ,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到la . 【答案】(1)(3,0),2124(,)2525-;(2)8a =或16a =-. 【解析】(1)曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时,直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为(3,0),2124(,)2525-. (2)直线l 的普通方程为440x y a +--=,故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =.当4a ≥-时,d=8a =; 当4a <-时,d.=16a =-. 综上,8a =或16a =-.10.【2017年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为(2,)3π,点B 在曲线2C 上,求OAB △面积的最大值. 【答案】(1)()()22240x y x -+=≠;(2)2+.【解析】(1)设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>,M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>, 由题设知cos OP OM =ρρθ14=,=. 由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程cos ρθ=4(0)ρ>. 因此2C 的直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠. (2)设点B 的极坐标为()(),0B B ραρ>,由题设知2,4cos B OA ρα==,于是OAB △的面积S=1sin 4cos |sin()|2|sin(2)|2233B OA AOB ραααππ⋅⋅∠=⋅-=-≤+ 当12απ=-时,S取得最大值2,所以OAB △面积的最大值为2.11.【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩(t 为参数),直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(为参数).设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设()3:cos sin 0l ρθθ+=,M 为l 3与C 的交点,求M 的极径.【答案】(1)()2240x y y -=≠;(2【解析】(1)消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-;消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+.设(),P x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩,消去k 得()2240x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.(2)C 的极坐标方程为()()222cos sin 402π,πρθθθθ-=<<≠.联立()()222cos sin 4,cos sin 0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.故1tan 3θ=-,从而2291cos ,sin 1010θθ==.代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=,所以交点M12.【2017年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C上,设2(2,)P s , 从而点P 到直线l的的距离22d ==,当s =min d =. 因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上点P 到直线l.。

2017-2019年高考真题数学(文)分项汇编_专题18 坐标系与参数方程

2017-2019年高考真题数学(文)分项汇编_专题18 坐标系与参数方程

专题18坐标系与参数方程1.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=.(1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值.【答案】(1)221(1)4y x x +=≠-;l的直角坐标方程为2110x +=;(2.【解析】(1)因为221111t t --<≤+,且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+,所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-.l的直角坐标方程为2110x ++=.(2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数,ππα-<<).C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=当2π3α=-时,π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7,故C 上的点到l.【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点,将问题转化为三角函数的最值求解问题.2.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】在极坐标系中,O 为极点,点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上,直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直,垂足为P .(1)当0=3θπ时,求0ρ及l 的极坐标方程; (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程.【答案】(1)0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; (2)4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π.【解析】(1)因为()00,M ρθ在C 上,当03θπ=时,04sin 3ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==. 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点.在Rt OPQ △中,cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭, 经检验,点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上. 所以,l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. (2)设(,)P ρθ,在Rt OAP △中,||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=. 因为P 在线段OM 上,且AP OM ⊥,故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.所以,P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π.【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,熟记公式即可,属于常考题型.3.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图,在极坐标系Ox 中,(2,0)A ,)4B π,)4C 3π,(2,)D π,弧AB ,BC ,CD 所在圆的圆心分别是(1,0),(1,)2π,(1,)π,曲线1M 是弧AB ,曲线2M 是弧BC ,曲线3M 是弧CD .(1)分别写出1M ,2M ,3M 的极坐标方程;(2)曲线M 由1M ,2M ,3M 构成,若点P 在M 上,且||OP =P 的极坐标.【答案】(1)1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭,2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭,3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭.(2)π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭.【解析】(1)由题设可得,弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=,2sin ρθ=,2cos ρθ=-.所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭,2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭. (2)设(,)P ρθ,由题设及(1)知若π04θ≤≤,则2cos θ=,解得π6θ=;若π3π44θ≤≤,则2sin θ=π3θ=或2π3θ=;若3ππ4θ≤≤,则2cos θ-=5π6θ=.综上,P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭.【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程,思考量不高,运算量不大,属于中档题.4.【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中,已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,直线l 的方程为s i n 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求A ,B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离.【答案】(12)2.【解析】(1)设极点为O .在△OAB 中,A (3,4π),B ,2π),由余弦定理,得AB =. (2)因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=,则直线l 过点)2π,倾斜角为34π.又)2B π,所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.5.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.(1)求2C 的直角坐标方程;(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程.【答案】(1)2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=.;(2)1C 的方程为4||23y x =-+. 【解析】(1)由cos x ρθ=,sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=.(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆.由题设知,1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为1l ,y 轴左边的射线为2l .由于B 在圆2C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点. 当1l 与2C 只有一个公共点时,A 到1l 所在直线的距离为22=,故43k =-或0k =.经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =-时,1l 与2C 只有一个公共点,2l 与2C 有两个公共点.当2l 与2C 只有一个公共点时,A 到2l 所在直线的距离为22=,故0k =或43k =.经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =时,2l 与2C 没有公共点. 综上,所求1C 的方程为4||23y x =-+. 6.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩,(θ为参数),直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩,(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率.【答案】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=,l 的直角坐标方程为1x =;(2)l 的斜率为2-.【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=.当cos 0α≠时,l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-, 当cos 0α=时,l 的直角坐标方程为1x =.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为1t ,2t ,则120t t +=. 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+,故2cos sin 0αα+=,于是直线l 的斜率tan 2k α==-.7.【2018年高考全国Ⅲ卷文数】在平面直角坐标系xOy 中,O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,(θ为参数),过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ,两点. (1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.【答案】(1)α的取值范围是(,)44π3π.;(2)点P的轨迹的参数方程是2,2222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数,44απ3π<<). 【解析】(1)O 的直角坐标方程为221x y +=.当2απ=时,l 与O 交于两点. 当2απ≠时,记tan k α=,则l的方程为y kx =l 与O交于两点当且仅当|1<,解得1k <-或1k >,即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈. 综上,α的取值范围是(,)44π3π.(2)l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数,44απ3π<<). 设A ,B ,P 对应的参数分别为A t ,B t ,P t ,则2A BP t t t +=,且A t ,B t满足2sin 10t α-+=.于是A B t t α+=,P t α=.又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以点P的轨迹的参数方程是sin 2,2222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数,44απ3π<<). 8.【2018年高考江苏卷数学】在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26ρθ-=,曲线C 的方程为ρ=4cos θ,求直线l 被曲线C 截得的弦长.【答案】直线l 被曲线C截得的弦长为 【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ, 所以曲线C 的圆心为(2,0),直径为4的圆.因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=,则直线l 过A (4,0),倾斜角为π6,所以A 为直线l 与圆C 的一个交点. 设另一个交点为B ,则∠OAB =π6. 连结OB ,因为OA 为直径,从而∠OBA =π2,所以π4cos6AB == 因此,直线l 被曲线C截得的弦长为9.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩(为参数).(1)若1-=a ,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到la . 【答案】(1)(3,0),2124(,)2525-;(2)8a =或16a =-. 【解析】(1)曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时,直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为(3,0),2124(,)2525-. (2)直线l 的普通方程为440x y a +--=,故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =.当4a ≥-时,d=8a =; 当4a <-时,d.=16a =-. 综上,8a =或16a =-.【名师点睛】本题为选修内容,先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程,联立方程,可得交点坐标,利用椭圆的参数方程,求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值,直接利用点到直线的距离公式,表示出椭圆上的点到直线的距离,利用三角有界性确认最值,进而求得参数a 的值.10.【2017年高考全国Ⅱ卷文数】在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为(2,)3π,点B 在曲线2C 上,求OAB △面积的最大值.【答案】(1)()()22240x y x -+=≠;(2)2+.【解析】(1)设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>,M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>, 由题设知cos OP OM =ρρθ14=,=. 由16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程cos ρθ=4(0)ρ>. 因此2C 的直角坐标方程为()()22240x y x -+=≠. (2)设点B 的极坐标为()(),0B B ραρ>,由题设知2,4cos B OA ρα==,于是OAB △的面积S =1sin 4cos |sin()|2|sin(2)|2233B OA AOB ραααππ⋅⋅∠=⋅-=--≤+当12απ=-时,S取得最大值2,所以OAB △面积的最大值为2. 【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。

2017年高考文科数学全国卷1(含详细答案)

2017年高考文科数学全国卷1(含详细答案)

数学试卷 第1页(共18页) 数学试卷 第2页(共18页)绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷满分150分,考试时间120分钟考生注意:1.答卷前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,监考员将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|2A x x =<,{}|320B x x =->,则( ) A .3|2A B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭B .A B =∅C .3|2AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D .AB =R2.为评估一种农作物的种植效果,选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量(单位:kg )分别为1x ,2x ,……,n x ,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A .1x ,2x ,……,n x 的平均数B .1x ,2x ,……,n x 的标准差C .1x ,2x ,……,n x 的最大值D .1x ,2x ,……,n x 的中位数3.下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A .2(1)i i +B .2(1)i i -C .2(1)i +D .(1)i i +4.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A .14B .π8C .12D .π 45.已知F 是双曲线C :1322=-y x 的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3),△APF 的面积为( )A .13B .1 2C .23D .3 26.如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A .B .C .D .7.设x ,y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最大值为( )A .0B .1C .2D .3-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_________________________________________________________________数学试卷 第3页(共18页)数学试卷 第4页(共18页)8.函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为( )A .B .C .D .9.已知函数()ln ln(2)f x x x =+-,则( ) A .()f x 在(0,2)单调递增B .()f x 在(0,2)单调递减C .()y f x =的图像关于直线1x =对称D .()y f x =的图像关于点(1,0)对称10.下面程序框图是为了求出满足321000nn->的最小偶数n ,框中,可以分别填入( )A .1000A >和1n n =+B .1000A >和2n n =+C .1000A ≤和1n n =+D .1000A ≤和2n n =+11.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=,2a =,c =C =( )A .π12B .π6 C .π4 D .π3 12.设A ,B 是椭圆C :2213x y m+=长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足120AMB ∠=︒,则m 的取值范围是( ) A .(0,1][9,)+∞B .[9,)+∞C .(0,1][4,)+∞D .[4,)+∞二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量)2(–1,=a ,)1(,m =b .若向量+a b 与a 垂直,则m =________.14.曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为______________. 15.已知π(0)2α∈,,tan 2α=,则πcos ()4α-=__________.16.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ,SA AC =,SB BC =,三棱锥S ABC -的体积为9,则球O 的表面积为________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.(12分)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知22S =,36S =-. (1)求{}n a 的通项公式;(2)求n S ,并判断1n S +,n S ,2n S +是否成等差数列.18.(12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,AB CD ∥,且90BAP CDP ∠=∠=.数学试卷 第5页(共18页)数学试卷 第6页(共18页)(1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ;(2)若PA PD AB DC ===,90APD ∠=,且四棱锥P ABCD -的体积为83,求该四棱锥的侧面积.19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min ,从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm ).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:经,18.439≈,161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1,2,,16i =⋅⋅⋅.(1)求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若||0.25r <,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?(ⅱ)在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)附:样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数()()niix x y y r --=∑,0.09≈.20.(12分)设A ,B 为曲线C :24x y =上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM BM ⊥,求直线AB 的方程. 21.(12分)已知函数2()()xxe ef x a a x =--. (1)讨论()f x 的单调性;(2)若()0f x ≥,求a 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4−4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数). (1)若1-=a ,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l a . 23.[选修4−5:不等式选讲](10分)已知函数2()4f x x ax =-++,g()|1||1|x x x =++-. (1)当1a =时,求不等式()g()f x x ≥的解集;毕业学校_____________ 姓名_____________ 考生号_________________________________________________________________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第7页(共18页)数学试卷 第8页(共18页)(2)若不等式()g()f x x ≥的解集包含[1,1] ,求a 的取值范围.2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案解析一、选择题 1.【答案】A 【解析】由320x ->得32x <,所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x ⋂=<⋂<=<,选A .2.【答案】B【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差,故选B 3.【答案】C【解析】由2(1)2i i +=为纯虚数,选C . 4.【答案】B【解答】解:根据图象的对称性知,黑色部分为圆面积的一半,设圆的半径为1,则正方形的边长为2,则黑色部分的面积π2S =,则对应概率ππ248P ==,故选B .5.【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =,所以(2,0)F ,将2x =代入2213y x -=,得3y =±,所以3PF =,又A 的坐标是(1,3),故APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=,选D .6.【答案】A【解析】由B ,AB MQ ∥,则直线AB ∥平面MNQ ;由C ,AB MQ ∥,则直线AB ∥平面MNQ ;由D ,AB NQ ∥,则直线AB ∥平面MNQ .故A 不满足,选A .7.【答案】D【解析】如图,目标函数z x y =+经过(3,0)A 时最大,故max 303z =+=,故选D .8.【答案】C【解析】由题意知,函数sin 21cos xy x=-为奇函数,故排除B ;当πx =时,0y =,排除D ;当1x =时,sin 201cos2y =>-,排除A ,故选C .9.【答案】C 【解答】解:函数()ln ln(2)f x x x =+-,(2)ln(2)ln f x x x ∴-=-+,即()(2)f x f x =-,即()y f x =的图象关于直线1x =对称,故选:C . 10.【答案】D【解析】由题意选择321000n n ->,则判定框内填1000A ≤,由因为选择偶数,所以矩形框内填2n n =+,故选D . 11.【答案】B【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=,即πsin (sin cos )sin()0C A A C A ++=,所以3π4A =.由正弦定理sin sin a c A C =得23πsin 4=即1sin 2C =,得π6C =,故选B . 12.【答案】A【解析】当03m <<,焦点在x 轴上,要使C 上存在点M满足120AMB ∠=,则tan 603ab ≥=≥,得01m <≤;当3m >,焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=,则tan 603ab ≥=≥9m ≥,故m 的取值范围为(0,1][9,)⋃+∞,选A .二、填空题 13.【答案】7【解析】由题得(1,3)m +=-a b , 因为()0+=a b a , 所以(1)230m --+⨯= 解得7m =14.【答案】1y x =+ 【解析】设()y f x = 则21()2f x x x'=-所以(1)211f '=-=所以在(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-,即1y x =+.15.【解析】π(0,)2α∈,tan 2α=,sin 2cos αα∴=,22sin cos 1αα+=,解得sin αcos α=πππcos()cos cos sin sin 444ααα∴-=+=+=, 16.【答案】36π【解析】取SC 的中点O ,连接,OA OB 因为,SA AC SB BC == 所以,OA SC OB SC ⊥⊥ 因为平面SAC ⊥平面SBC 所以OA ⊥平面SBC 设OA r =3111123323A SBC SBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=所以31933r r =⇒=所以球的表面积为24π36πr = 三、解答题17.【答案】(1)(2)n n a =- (2)1n S +,n S ,2n S +成等差数列.【解析】(1)设等比数列{}n a 首项为1a ,公比为q ,则332628a S S ==--=--,则31228a a q q -==,328a a q q-==, 由122a a +=,2882q q--+=,整理得2440q q ++=, 解得:2q =-, 则12a =-,1(2)(2)(2)n nn a =--=﹣-.(2)由(1)可知:11(1q )1[2(2)]13n n n a S q +-==-+--, 则211[2(2)]3n n S ++=-+-,321[2(2)]3n n S ++=-+-, 由231211[2(2)][2(2)]33n n n n S S +++++=-+--+-=12114(2)(2)[](2)(2)3n n ++-+-⨯-+-⨯- 111142(2)2(2(2)33[][)]n n ++=-+⨯-=⨯-⨯+-2n S =,即122n n n S S S +++=所以1n S +,n S ,2n S +成等差数列. 18.【答案】(1)90BAP AB PA ∠=︒⇒⊥90CDP CD PD ∠=︒⇒⊥AB CD ∥,PA PD P =,AB PAD ∴⊥平面 AB PAD ⊂平面 PAB PAD ∴平面⊥平面(2)6+【解析】(1)见答案(2)由(1)知AB PAD ⊥平面,90APB ∠=︒,PA PD AB DC ===.取AD 中点O ,所以OP ABCD ⊥底面,,OP AB AD =, 1833P ABCDV AB AB -∴=⨯= 2AB ∴=AD BC ∴==,2PA PD AB DC ====,PO =,PB PC ∴==111222PADPABPDCPBCPA PD PA PB DC S SSSS=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯∴=+++侧111122222222226=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+ 19.【答案】(1)0.18-(2)(i )需要对当天的生产过程进行检查. (ii )均值为10.02,标准差约为0.09. 【解析】(1)16()(8.5)0.18ixx i r --==≈-∑因为||0.25r <,所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小. (2)(i)39.9730.2129.334x s -=-⨯=,39.9730.21210.636x s +=+⨯=所以合格零件尺寸范围是(9.334,10.606),显然第13号零件尺寸不在此范围之内,因此需要对当天的生产过程进行检查.(ii )剔除离群值后,剩下的数据平均值为169.22169.979.2210.021515x -⨯-==, 0.09s ==.20.【答案】(1)1 (2)7y x =+【解析】(1)设()()1122,,,A x y B x y ,则2221212121214414ABx x y y x x K x x x x --+====-- (2)设20(,)4x M x ,则C 在M 处的切线斜率'00112ABy K K x x x ====- 02x ∴=,则()12,1A ,又AM BM ⊥,22121212121111442222AM BM x x y y K K x x x x ----==----()()()121212222411616x x x x x x +++++===-即()12122200x x x x +++= 又设AB :y x m =+,代入24x y = 得2440x x m --=124x x ∴+=,124x x m =-48200m =-++7m ∴=故AB :y x =+721.【答案】(1)当0a =时,()f x 在R 上单调递增,当0a >时,()f x 在(ln )a -∞,上单调递减,在(ln )a +∞,上单调递增,当0a <时,()f x 在(,ln())2a -∞-上单调递减,在(ln())2a -+∞,上单调递增, (2)34]21[,e -.【解析】(1)222()x x x x f x e e a a x e e a a x =-=-()--, 222(2)()x x x x f x e ae a e a e a ∴'==-+-()﹣,①当0a =时,()0f x '>恒成立,()f x ∴在R 上单调递增.②当0a >时,20x e a +>,令()0f x '=,解得ln x a =, 当ln x a <时,()0f x '<,函数()f x 单调递减, 当ln x a >时,()0f x '>,函数()f x 单调递增,③当0a <时,0x e a -<,令()0f x '=,解得ln()2ax =-,当ln()2a x -<时,()0f x '<,函数()f x 单调递减,当ln()2ax ->时,()0f x '>,函数()f x 单调递增.综上所述,当0a =时,()f x 在R 上单调递增,当0a >时,()f x 在(ln )a -∞,上单调递减,在(ln )a +∞,上单调递增,当0a <时,()f x 在(,ln())2a-∞-上单调递减,在(ln())2a -+∞,上单调递增,(2)①当0a =时,2()0x f x e =>恒成立,②当0a >时,由(1)可得2()()ln 0min f x f lna a a ==-≥,ln 0a ∴≤, 01a ∴≤<.③当0a <时,由(1)可得:223()(ln(-))ln(-)0242mina a af x f a ==-≥,3ln(-)24a ∴≤,3420e a ∴≤﹣<,综上所述a 的取值范围为34]21[,e -. 22.【答案】(1)(3,0)和(,2125)4225- (2)16a =-或8a =【解析】(1)当1a =-时,14,:1,x t L y t =-+⎧⎨=-⎩(t 为参数),L 消参后的方程为430x y +-=,曲线C 消参后为221x y y +=,与直线联立方程221,430,x y y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩解得3,0,x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩椭圆C 和直线L 的交点为(3,0)和(,2125)4225-.(2)L 的普通方程为440x y a +--=, 设曲线C 上任一点为()3cos,sin P θθ, 由点到直线的距离公式,d =,d =max d =∴()max5sin 417aθϕ+--=,当()sin 1θϕ+=时最大,即5417a --=时,16a =-, 当()sin1θϕ+=-时最大,即917a +=时,8a =,综上:16a =-或8a =. 23.【答案】(1)(1. (2)a 的取值范围是[]1,1-.【解析】(1)当1a =时,21()4a f x x x ==-++时,,是开口向下,对称轴为12x =的二次函数, 2,1,()112|,1,|12,1,x x g x x x x x x ⎧⎪=++-=-⎨⎪--⎩>≤≤<当(1)x ∈+∞,时,令242x x x ++=-,解得x =,()g x 在(1)+∞,上单调递增,()f x 在(1)+∞,上单调递减,此时()()f x g x ≥的解集为(1; 当,1[]1x ∈-时,()2g x =,()(1)2f x f ≥-=.当(1)x ∈-∞,-时,()g x 单调递减,()f x 单调递增,且(1)(1)2g f -=-=.综上所述,()()f x g x ≥的解集为(1; (2)依题意得:242x ax -++≥在[]1,1-恒成立,即220x ax -≤-在[]1,1-恒成立,则只需221120,(1)(1)20,a a ⎧--⎨----⎩≤≤解得11a -≤≤, 故a 的取值范围是[]1,1-.数学试卷第17页(共18页)数学试卷第18页(共18页)。

最新-2017年高考数学全国卷试题汇编(极坐标与参数方程部分)

最新-2017年高考数学全国卷试题汇编(极坐标与参数方程部分)

2010-2017年高考数学全国卷试题汇编(极坐标与参数方程部分)1、【2010年新课标】已知直线1:C x 1t cos sin y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数),曲线2:C x cos sin y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数). (1)当α=3π时,求1C 与2C 的交点坐标; (2)过坐标原点O 做1C 的垂线,垂足为A ,P 为OA 中点,当α变化时,求P 点的轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.2、【2011年新课标】在直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数),M 是1C 上的动点,P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线2C . (1)求2C 的方程; (2)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ,与2C 的异于极点的交点为B ,求AB .3、【2012年新课标】曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线2C 的坐标系方程是2=ρ,正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且,,,A B C D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,)3π. (1)求点,,,A B C D 的直角坐标;(2)设P 为1C 上任意一点,求2222PA PB PC PD +++的取值范围.4、【2013年新课标1】已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (1)把1C 的参数方程化为极坐标方程;(2)求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥,02θπ≤<).5、【2013年新课标2】已知动点,P Q 都在曲线C :2sin y t ⎨=⎩(t 为参数)上,对应参数分别为t α=与2t α=()02απ<<,M 为PQ 的中点.(1)求M 的轨迹的参数方程; (2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.6、【2014年新课标1】已知曲线C :22149x y +=,直线:l ⎩⎨⎧x =2+t ,y =2-2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程; (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求PA 的最大值与最小值.7、【2014年新课标2】在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.(1)求C 的参数方程; (2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.8、【2015年新课标1】在坐标系xOy 中,直线1:2C x =-,圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求12,C C 的极坐标方程; (2)若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈,设23,C C 的交点为,M N ,求2C MN ∆的面积。

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17 xOy⎨⎩一、解答题新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编坐标系与参数方程⎧x = 3cos , y= sin , 【2017,22】在直角坐标系 中,曲线C 的参数方程为⎩⎧⎨x = a + 4t , y = 1 - t ,为⎩ ( t 为参数).(为参数),直线l 的参数方程(1)若a = -1 ,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为 ,求 a .【2016,23】在直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为⎧x = a cos t , (t 为参数, a > 0) .在以坐1⎨y = 1 + a sin t ,标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2 := 4 cos.(Ⅰ)说明C 1 是哪一种曲线,并将C 1 的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C 3 的极坐标方程为= 0 ,其中0 满足tan 0 = 2 ,若曲线C 1 与C 2 的公共点都在C 3 上,求a .【2015,23】在直角坐标系xOy 中,直线C :x = -2,圆C :(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极1 2点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求C1,C2的极坐标方程;(II)若直线C3的极坐标方程为=(∈R),设C24与C3的交点为M , N ,求∆C2MN 的面积.x y 2 2 ⎧x = 2 +t【2014,23】已知曲线C :+= 1,直线l :⎨ (t 为参数).4 9 ⎩y = 2 - 2t(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30o 的直线,交l 于点A ,求| PA |的最大值与最小值.⎧x = 4 + 5 cos t,【2013,23】已知曲线 C1的参数方程为⎨y ⎩= 5 + 5sin t极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).⎩ ⎩ 【2012,23】已知曲线C 的参数方程为 ⎧x = 2 cos1⎨y = 3sin(为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2 的极坐标方程是= 2 。

正方形 ABCD 的顶点都在C 2 上,且 A ,B ,C , D依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, )。

3(1)求点 A ,B ,C ,D 的直角坐标;(2)设 P 为C 1 上任意一点,求| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 + | PD |2 的取值范围。

【2011,23】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为⎧x = 2cos1⎨y = 2 + 2 s in(为参数)M 是 C 1 上的动点,P 点满足OP = 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C 2(Ⅰ)求 C 2 的方程;(Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线= 3极点的交点为 A ,与 C 2 的异于极点的交点为 B ,求 AB .与 C 1 的异于17 17 xOy ⎨ ⎩ ⎩一、解答题解 析⎧x = 3cos , y = sin ,【2017,22】在直角坐标系 中,曲线C 的参数方程为⎩ ⎧⎨x = a + 4t ,y = 1 - t ,为⎩ ( t 为参数).(为参数),直线l 的参数方程(1) 若a = -1 ,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为 ,求 a . x 2 a = -1l x + 4 y - 3 = 0C9 + 2y = 1【解析】(1)时,直线 的方程为 .曲线 的标准方程是,⎧x + 4 y - 3 = 0 x = - 21 ⎪ ⎧x = 3 ⎨ 25 ⎛ 21 24 ⎫ ⎨ x 2 2⎨ ⎪24 3 - , ⎪ ⎪ + y = 1 y = 0 或⎩ y = ( , 0) 25 25 联立方程⎩ 9,解得: ⎩ 25 ,则C 与l 交点坐标是 和⎝ ⎭ (2) 直线l 一般式方程是 x + 4 y - 4 - a = 0 .设曲线C 上点 p (3cos ,sin ).d =则 P 到l 距离= ,其中tan= 34 .依题意得: d max =,解得 a = -16 或 a = 8 .【2016,23】在直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为⎧x = a cos t , (t 为参数, a > 0) .在以坐1⎨y = 1 + a sin t ,标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2 := 4 cos.(Ⅰ)说明C 1 是哪一种曲线,并将C 1 的方程化为极坐标方程;(Ⅱ)直线C 3 的极坐标方程为= 0 ,其中0 满足tan 0 = 2 ,若曲线C 1 与C 2 的公共点都在C 3 上,求a .【解析】:⑴⎧x = a cos t ⎨ y = 1 + a sin t ( t 均为参数),∴ x 2 + (y - 1)2= a 2 ①∴ C 1为以(0 ,1)为圆心, a 为半径的圆.方程为 x 2 + y 2 - 2 y + 1 - a 2 = 0∵ x 2 + y 2 = 2 ,y = sin ,∴ 2 - 2sin + 1 - a 2 = 0即为C 1 的极坐标方程3cos + 4sin - 4 - a175sin (+)- 4 - a17⎧2 2 2 2 55( ) 1 ⑵ C 2 := 4 cos ,两边同乘得2= 4cos 2 = x 2 + y 2 ,cos = x∴ x 2 + y 2 = 4x 即 x - 2 2+ y 2 = 4 ②, C :化为普通方程为 y = 2x ,3 由题意: C 和C 的公共方程所在直线即为C ①—②得: 4x - 2 y + 1 - a 2 = 0 ,即为C1 2 3 , 3∴1 - a 2 = 0 ,∴ a = 1【2015,23】在直角坐标系 xOy 中,直线C : x = - 2,圆C :(x -1)2+ (y - 2)2= 1 ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I ) 求C 1 , C 2 的极坐标方程;(II ) 若直线 C 3 的极坐标方程为=(∈ R ),设C 2 4与C 3 的交点为 M , N ,求∆C 2MN 的面积.解析:(I )因为 x = cos , y = sin ,所以C 1 的极坐标方程为cos = -2 , C 2 的极坐标方程为2 - 2cos - 4sin + 4 = 0 .(Ⅱ)将= 代入2 - 2cos - 4sin + 4 = 0 ,得2- 3 2+ 4 = 0 ,解得41 =2 , 2 = ,|MN |= 1 - 2 =,因为C 2 的半径为 1, 则∆C 2MN 的面积1 ⨯ ⨯1⨯sin 45o = 1 .2 2x y 22 ⎧x = 2 + t 【2014,23】已知曲线C : + = 1,直线l :⎨ ( t 为参数).4 9 ⎩ y = 2 - 2t(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(Ⅱ)过曲线C 上任一点 P 作与l 夹角为30o 的直线,交l 于点 A ,求| PA |的最大值与最小值.⎧x = 2 cos【解析】:.(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为: ⎨直线 l 的普通方程为: 2x + y - 6 = 0y =⎩3sin(为参数),(Ⅱ)(2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ,3sin )到 l 的距离为 d =4 cos + 3sin - 6 ,则| PA |=d= sin 3005sin (+)- 6,其中为锐角.且 tan = 4.32 5 5 22 5 ⎩⎩4 2 ⎩ ⎩当sin (+)= -1 时, | PA |取得最大值,最大值为 22 5 ;5当sin (+)=1时,| PA | 取得最小值,最小值为. 5⎧x = 4 + 5 cos t , 【2013,23】已知曲线 C 1 的参数方程为⎨ y ⎩= 5 + 5sin t极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ.(1)把 C 1 的参数方程化为极坐标方程;(2) 求 C 1 与 C 2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).⎧x = 4 + 5 cos t ,(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为解:(1)将⎨ y = 5 + 5sin t 消去参数 t ,化为普通方程(x -4)2+(y -5)2=25, 即 C 1:x 2+y 2-8x -10y +16=0.⎧x = cos , 将⎨ y = sin 代入 x 2+y 2-8x -10y +16=0 得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以 C 1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2) C 2 的普通方程为 x 2+y 2-2y =0.由⎧⎨x 2 + y 2- 8x -10 y +16 = 0, 解得⎨⎧x = 1, 或⎨⎧x = 0, x 2 + y 2 - 2 y = 0⎩y = 1 y = 2.⎛π ⎫⎩ ⎛ π ⎫⎩ 所以 C 与 C 交点的极坐标分别为 2, , 2, .1 2 ⎪ ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭【2012,23】已知曲线C 的参数方程为 ⎧x = 2 cos1⎨y = 3sin(为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2 的极坐标方程是= 2 。

正方形 ABCD 的顶点都在C 2 上,且 A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, )。

3(1)求点 A ,B ,C ,D 的直角坐标;(2)设 P 为C 1 上任意一点,求| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 + | PD |2 的取值范围。

⎧x = 2 cos【解析】(1)曲线C 1 的参数方程⎨ y = 3sin 化为直角坐标方程为 x 2 + y 24 9= 1,曲线C 2 的极坐标方程= 2 化为直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 4 ,3 3 3 3 ⎩ ⎩因为点 A 的极坐标为(2, ),3 5 4所以点 B 的极坐标为(2, ),点 C 的极坐标为(2, ),点 D 的极坐标为6 311 (2, ),因此点 A 的直角坐标为(1, ),点 B 的直角坐标为( - 6点 C 的直角坐标为(-1,- ),点 D 的直角坐标为( ,-1)。

(2)设 P ( 2 cos , 3sin ,则| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 + | PD |2,1),= (2 cos -1)2 + (3sin - +(2 cos +1)2 + (3sin + = (2 cos -1)2 + (3sin - +(2 cos+1)2 + (3sin+ 3)2 + (2 cos + 3)2 + (2 c os - 3)2 + (2 cos + 3)2 + (2 c os- 3)2 + (3sin -1)2 3)2 + (3sin +1)2 3)2 + (3sin -1)2 3)2 + (3sin+1)2= 20 sin 2+ 32 ∈[32, 52]。

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