边界单元法基础(直接法讲义)剖析

边界单元法基础（直接法）

一、概述

近年来在边界法方面人们发表了大量的文章和著作。这些方法是以不同的名称而提出来的，如“边界积分方程方法”“边界积分解”，等等。这种方法的数值解形式是把所考虑的域的边界划分为一系列的单元。

边界单元法简称BEM是七十年代兴起

的一种新的计算方法。它将边界上的广义位移和广义力作为独立变量且同时用满足场方程的奇异函数（源函数）作为加权函数。所以，它是一种特殊格式的加权余量法。

边界元法只需将求解域的边界划分成单元，故使求解问题的维数降低，如三维问题可转变成二维问题求解。二维问题可化为一维问题。因而，输入数据大为减少，计算时

间缩短。由于它只对边界离散，故离散误差仅为来源于边界，而域内变量可由解析式的离散形式直接求得。因此，提高了计算精度。求域内变量时，只须改变其数量和坐标位置即可。

和有限元法一样，边界元法可广泛地用来解决各种工程问题，如弹性力学、断裂力学、塑性力学、流体力学、温度场和电磁场

等。

边界元法分为直接法和间接法。直接法是用物理意义明确的变量来建立积分方程，其中未知函数就是所求的物理量在边界上的值；间接法是用物理意义不一定很明确的变量来建立积分方程，如位势问题中用单层位势和双层位势表示物理量。本部分着重叙述直接法。

在用加权余量法建立积分方程时，所使用的权函数是数学上的“基本解”。基本解在数学上是作为微分方程的特殊的非齐次解定义的，它在每个问题上分别具有不同的物理含义。求这个解，特别是便于解析的形式，一般是不容易的，这是数学上的难点。然而，除了特殊问题以外，主要微分方程的基本解，数学教科书中有所推导，工程技术人员可直

接引用。

边界元法另一个问题是，代数方程组的系数矩阵一般是非对称的，且非零系数矩阵为满秩矩阵，这是由于边界点与全部边界单元有关得出的，编程序时需要注意这一点。

我们先介绍位势问题的边界单元法公式。这些基本概念对任何其它工程问题是类似的。然后再介绍利用边界元法求解弹性体

受力分析问题。这里强调的是方法在工程中的应用。作为有限元法数值法的一个补充。

二、泊松方程的边界单元法

1．积分方程的建立和基本解

为了说明边界单元法的积分方程是如何由加权余量法推导得来的，我们以泊松方程为例来阐述其全部求解过程，这对了解其它

问题的边界元法求解是有益的。考虑势函数φ。它在域内满足微分方程，即

2f φ∇= （在Ω上）

（9-1）

在边界上满足边界条件，即

φφ= （在φ

Γ上） q n φ∂=∂ （在φ

Γ上）

（9-2）

如图9-1所示，求解域Ω的总边界qφΓ=Γ+Γ。

图9-1 位势问题的域和边界

可以证明，对于泊松方程或拉普拉斯方程（0

f =），一般加权余量表示式为

2

()()()q

W

fWd W d q q Wd d n

φ

φφφΩΩΓΓ∂-Ω+∇Ω=-Γ--Γ

∂⎰⎰⎰⎰

（9-3）

式中，W 是权函数，在边界法中可令*

W φ=W ，*

φ称为相应于方程（9-1）的基本解，后面描述它。

对式（9-3）左边第二项进行分部积分，

即

*

*2

*() k

k d d d x x n φφφφφφΩΩΓ⎛⎫∂∂∂∇Ω=-Ω+Γ

⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰

（9-4）

式中右边第一项的被积函数形式称爱因斯坦求和约定，即

*

*

*

*

1

1

2

2

3

3

k

k

x x x x x x x x φφφφφφφφ∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂

把式（9-4）右端第一项再次分部积分，得

**

2*( )()k k d d d x x n

φφφφφφΩΩΓ∂∂∂-Ω=∇Ω-Γ

∂∂∂⎰⎰⎰

所以

*

*2*2**

()()()d d d n n φφφφφφφφΩΩΓ∂∂∇Ω=∇Ω+-Γ

∂∂⎰⎰⎰

把上式代入式（9-3）或去（*

W φ=），考虑到q φΓ=Γ+Γ，把左右两边界积分合并时，得

*2***

()q

f d d q d q d φ

φφφφφΩΩΓΓ-Ω+∇Ω=-Γ-Γ⎰⎰⎰⎰

**

q

d d n n

φ

φφφφΓΓ∂∂+Γ+Γ∂∂⎰⎰

（9-5）

这就是求解泊松方程的积分方程。如果f = 0，即为求解拉普拉斯方程的积分方程。

下面来导出相应该方程的基本解*φ。假如有一单位势作用在物体上的P点，那么基本解*(,)p qφ就是满足下列方程

▽2φ*（p,q）+δ（p-q）=0

（9-6）

的二点函数，其中p，q为无限域中任意两点，如图9-2所示。

图9-2 无限域中的p和q点

取p点为坐标原点，并把式（9-6）写成极坐标表达式，即

2**

2

1()d d r dr r dr

φφδ+=-

（9-7）

式中，()

r δ是狄拉克δ函数，它具有如下性质：

0 0() 0

r r r δ≠⎧=⎨

∞=⎩

（9-8）

r 为p 点到q 点之间的距离。方程（9-6）或