第六章课后习题解答

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第六章课后习题解答

1. 设矩阵A 为

231158011223-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

A ，

求广义逆矩阵r --A ,A .

解：用矩阵初等变换来求广义逆-A .

231110012230015801010231110012230010000211--⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， 1223001108112030157102015710200002110000211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→---→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 412032311108111025801015721112230000--⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪⎪ ⎪

=-=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭PAQ E B .

取11000100000

00-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪

⎪⎝⎭B ，则14

1

002

032030101

021020000002110

000

00---⎛⎫⎛⎫

-⎛⎫ ⎪

⎪- ⎪ ⎪ ⎪

==-=

⎪ ⎪ ⎪

⎪-- ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

A Q

B P E .

再用最大秩分解来求r -A ：

用初等行变换化A 为行标准形矩阵A

2311108115801015712230070--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

=→=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

A A ，

则231081158015712⎛⎫

-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝

⎭ ⎪⎝⎭

A BD 为A 的一个最大秩分解.

用初等行变换求B 的单边逆.由231001020358010011021200100211-⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭得1203102L --⎛⎫= ⎪-⎝⎭

B . 容易看出110010

00

0R -⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

D ，于是 11

1020301203102001020000

00

00r R L ----⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪--⎛⎫

⎪ ⎪

=== ⎪ ⎪ ⎪

-⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

A D

B .

2. 设n n ⨯∈A C ，证明：总有广义逆矩阵-A 存在.

证：若m n ⨯=A 0，此时任给n m ⨯∈X C ，都有0X0=0，故-=X A . 若m n ⨯≠A 0，设()0rank r =>A ，则存在m 阶可逆矩阵P 与n 阶可逆矩阵Q 使得

r ⎛⎫

⎪⎝⎭

E 0A =P Q 00. 设11--⎛⎫ ⎪⎝⎭

r E X G =Q P Y Z ，其中()

()()(),,r m r n r r n r m r ⨯--⨯-⨯-∈∈∈X C

Y C Z C 为任意矩阵。则

11 r

r

r

r

r r

r

r

r

E

0E X E 0AGA =P QQ P P Q 00Y Z 0

0E

0E X E 0=P Q 00Y Z 00E X E 0=P Q 0000E

0 =P Q 00 =A

--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛⎫⎛⎫

⎪⎪⎝⎭⎝⎭

⎛⎫ ⎪⎝⎭

故-G =A .

3. 设m n ⨯∈A C ，证明(){1}T T -∈A A .

证：因为{1}{,}T T T T m n ⨯=∀∈A G A GA =A G C ，而

()()T T T T --=A A A AA A ，

故(){1}T T -∈A A .

4. 设,m m n n ⨯⨯∈∈P C Q C 均为可逆矩阵，且有=B PAQ ，证明：

11{1}---∈Q A P B .

证：因为1111()-------B Q A P B =PAQQ A P PAQ =PAA AQ =PAQ =B ,所以

11{1}---∈Q A P B .

5. 证明：m n ⨯0的自反广义逆矩阵仅为n m ⨯0.

证：n m ⨯∀∈G C ，有m n m n m n ⨯⨯⨯0G0=0，可见G 为 m n ⨯0的广义逆矩阵.要使G 是m n ⨯0

的自反广义逆矩阵，还需m n ⨯=G0G G 成立，但m n n m ⨯⨯=G0G 0，所以n m ⨯=G 0.

6. 设,,m n n r r m ⨯⨯⨯∈∈∈A C Y C Z C ，且r ZAY =E ，则r -=A YZ 是A 的自反

广义逆

矩阵.

证：()()()r YZ A YZ =Y ZAY Z =YE Z =YZ

7. 设矩阵为10

2215,0111

31⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪

- ⎪-⎝⎭A 求M-P 广义逆矩阵+A . 解：容易验证()3rank =A ，为列满秩矩阵，所以1()H H +-=A A A A .

1

212016511215011351110112511111311

31H

⎛⎫

⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

⎪== ⎪

⎪

⎪- ⎪

⎪--

⎪⎝⎭⎝⎭-⎝⎭A A ，所以