高等弹性力学+张量
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张量弹性力学2
23
2 3
2
消去l2
2 2 ; l2 ; l3 0 2 2
12
1 2
2
因为：1
2 3
max 3 1 min 2
1.1 应力张量
4).八面体上的应力
•
3
八面体（每个坐标象限1个面）
2 1
沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的 八个面组成的图形，称为八面体。
代入
S N 1 11l1 12l2 13l3 S N 2 21l1 22l2 23l3 S l l l 31 1 32 2 33 3 N3
( 11 )l1 12l2 13l3 0 21l1 ( 22 )l2 23l3 0 l l ( )l 0 32 2 33 3 31 1
(1.3)
SNi ij l j
(1.4)
i ：自由下标；j为求和下标 （同一项中重复出现）。
1.1 应力张量
斜截面OABC上的正应力:
N S N 1l1 S N 2l2 S N 3l3
2 11l12 22l2 33l32 2 12l1l2 2 23l2l3 2 31l3l1
SOBC 1 cos( n, x1 ) l1 SOAC 1 cos( n, x2 ) l2 S OAB 1 cos( n, x3 ) l3
3 S N 1 11l1 12l2 13l3 1 j l j j 1 3 S N 2 21l1 22l2 23l3 2 j l j j 1 3 S N 3 31l1 32l2 33l3 3 j l j j 1
1-张量及应力应变概念 同济大学弹塑性力学
u
u2(uy) x2=y
图1.1 位移矢量的分解
3
u ux ex u y ey uz ez u1e1 u2e2 u3e3 ui ei
i 1
(1-1)
指标：对于一组性质相同的n个量可以用相同的名字加不
同的指标来表示，例如位移u的分量可用ui(i=1,2,3)表示， 这里的i就是指标。今后约定，如果不标明取值范围，则拉 丁字母i，j，k，· · · 均表示三维指标，取值1，2，3，例如， 采用ui可以表示u1、 u2和 u3三个数值，这种名字加指标的 记法称为指标符号。 指标符号的正确用法： (1) 三维空间中任意点的三个直角坐标通常记为x，y和z。 指标符号可缩写成xi ，其中x1= x， x2= y， x3= z。
这里， m I1 3，我们定义 m ij 为球应力张量，又称球形 应力张量，简称为球张量，球形应力张量表示各向均匀受 m 又常写作 p 。而 Sij 力状态，有时也称静水压力状态， 则称为偏斜应力张量，简称为应力偏量。将原应力状态减 去静水压力即可得到应力偏量状态。球张量引起物体的体 积改变，而应力偏量则引起物体的形状改变。
z n
同理，可以得到张量方程：
pi ij n j
τyx γ
px x
σx β
y
(1-7)
α
如果作用在这个倾斜 面上只有正应力，而没有
τzx
剪应力，则倾斜面上的总应力就是主应力，倾斜面的方 向就是主应力方向，用ζ表示，它在各坐标轴上的投影 (1-8)
为：
pi ni
1.4 主应力分布图
1.3 应力张量的分解
(1) ii 11 22 33 3 (2) ij ij 1111 1212 1313 21 21 22 22 23 23
力学中的数学方法-张量-6-2013改
2
4) 矢量的逆变分量和协变分量 任何一个矢量V可以用它沿基矢量方向的分量表示：
V = v gi = vi g
i
i ij ⎧ ⎪v = g v j ⎨ j = v g v ⎪ ij ⎩ i
i
表明矢量V也可以用它沿逆变基矢量 gi 方向的分量表示。 vi称 为矢量V的协变分量； vi是矢量V的逆变分量。
k ij
⎧ g ij ,k = Γkij + Γ jki ⎪ ⎨ g jk ,i = Γkij + Γijk ⎪ ⎩ g ki , j = Γijk + Γ jki
2式+3式-1式
2Γijk = g jk ,i + g ki , j − g ij ,k
若度量张量的分量已知，可计算坐标系的克里斯托弗符号， 克里斯托弗符号也是坐标系的几何特性。由于直角坐标系的 14 gij 是常数，所以在直角坐标系中克里斯托弗符号=0
k gi , j ⋅ g k = Γ lij g l ⋅ g k = Γ lijδ lk = Γ ij
12
2) 克里斯托弗符号的性质及其计算 a) 克里斯托弗符号它的第三个指标可以象矢量分量的指 标一样提升或下降(但不是张量)
Γ ijk = Γ g lk
l ij
Γ = Γ ijl g
k ij
lk
b) 克jt = δ jjδ tk − δ jk δ t j = 2δ tk ε ijk = 2δ = 6
k k
10
e
ijk
eijk = ε
ijk
三、张量演算
《弹性力学与张量分析》，郭日 修，高等教育出版社
将偏导数的概念推广，建立协变导数的概念，使得一个张量的协变 导数是另一个张量，这是张量演算发展中最重要的里程碑。张量的 协变导数是本节讨论的重点。
4) 矢量的逆变分量和协变分量 任何一个矢量V可以用它沿基矢量方向的分量表示：
V = v gi = vi g
i
i ij ⎧ ⎪v = g v j ⎨ j = v g v ⎪ ij ⎩ i
i
表明矢量V也可以用它沿逆变基矢量 gi 方向的分量表示。 vi称 为矢量V的协变分量； vi是矢量V的逆变分量。
k ij
⎧ g ij ,k = Γkij + Γ jki ⎪ ⎨ g jk ,i = Γkij + Γijk ⎪ ⎩ g ki , j = Γijk + Γ jki
2式+3式-1式
2Γijk = g jk ,i + g ki , j − g ij ,k
若度量张量的分量已知，可计算坐标系的克里斯托弗符号， 克里斯托弗符号也是坐标系的几何特性。由于直角坐标系的 14 gij 是常数，所以在直角坐标系中克里斯托弗符号=0
k gi , j ⋅ g k = Γ lij g l ⋅ g k = Γ lijδ lk = Γ ij
12
2) 克里斯托弗符号的性质及其计算 a) 克里斯托弗符号它的第三个指标可以象矢量分量的指 标一样提升或下降(但不是张量)
Γ ijk = Γ g lk
l ij
Γ = Γ ijl g
k ij
lk
b) 克jt = δ jjδ tk − δ jk δ t j = 2δ tk ε ijk = 2δ = 6
k k
10
e
ijk
eijk = ε
ijk
三、张量演算
《弹性力学与张量分析》，郭日 修，高等教育出版社
将偏导数的概念推广，建立协变导数的概念，使得一个张量的协变 导数是另一个张量，这是张量演算发展中最重要的里程碑。张量的 协变导数是本节讨论的重点。
弹性理论第三讲—张量理论2_573905609
一、张量代数
6、内积：并积加缩并的运算称为内积。 A Aijk ei e j e k
B Blmel e m
S Aijk ei e j e k Blmel e m Aijk Blm jm e i e k e l Aijk Blj ei e k el Sikl ei e k el Sikl Aijk Blj
12
直角坐标系
张量分量的转换规律，张量方程 小结： 1. 张量的性质； 2. 张量分量的转换规律； 3. 张量方程。
张量代数，商判则
13
张量代数，商判则
一、张量代数
1、相等： T = S Tij Sij T A Tij Aij 2、和、差： T = A B Tij Aij Bij 3、数积：
自由指标的阶数＝张量的阶数 自由指标的取值范围＝张量的维数
9
张量分量的转换规律，张量方程
二、张量分量的转换规律
2）张量分量的转换规律：
作用：判定某个数的集合是否为张量？ 可否满足分量转换规律是判别某个数的集 合是否表示一个张量的基本准则。 矢量a: ( a1 , a2 , a3 ) 数集： ( a1 , a , a3 )
10、各向同性张量：全部分量均不因坐标改 变而改变。
单位张量、球形张量、置换张量
31
常用特殊张量，主方向和主分量
Aijk Bkj ei Ti Aijk Bkj
18
张量代数，商判则
一、张量代数
9、并矢量：将k个独立矢量写在一起，称为并 矢量。 T abc ai b j ck ei e j e k
Ti ai b j ck
并矢量形成一个k阶张量
19
张量代数，商判则
弹性力学张量分析学习—对于初学者很有用PPT课件
精选课件 31
符号ij 与erst
➢ erst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington)
➢ 定义(笛卡尔坐标系)
1
e rst
1
0
当r, s, t为正序排列时 当r, s, t为逆序排列时 当r, s, t中两个指标值相同时
或
erst
1rssttr
2
(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。 (3,2,1)及其轮流换位得到精的选(课2件,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。
ij
1 0
(i = j) (i, j=1, 2, …, n) (i j)
➢ 特性
1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
ij ji
精选课件 29
符号ij 与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
3
➢ 分解式记法： uu1e1u2e2u3e3 uiei i1
➢ 分量记法： u i
精选课件
Appendix A.1
8
张量基本概念
➢ 指标符号用法
1. 三维空间中任意点 P 的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：
d s2 d x 1 2 d x 22 d x 32
可简写成： ds2 dxi dxi
场函数 f (x1, x2, x3) 的全微分： f
d f xi d xi
精选课件 24
符号ij 与erst
➢ erst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington)
➢ 定义(笛卡尔坐标系)
1
e rst
1
0
当r, s, t为正序排列时 当r, s, t为逆序排列时 当r, s, t中两个指标值相同时
或
erst
1rssttr
2
(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。 (3,2,1)及其轮流换位得到精的选(课2件,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。
ij
1 0
(i = j) (i, j=1, 2, …, n) (i j)
➢ 特性
1. 对称性，由定义可知指标 i 和 j 是对称的，即
ij ji
精选课件 29
符号ij 与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
3
➢ 分解式记法： uu1e1u2e2u3e3 uiei i1
➢ 分量记法： u i
精选课件
Appendix A.1
8
张量基本概念
➢ 指标符号用法
1. 三维空间中任意点 P 的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：
d s2 d x 1 2 d x 22 d x 32
可简写成： ds2 dxi dxi
场函数 f (x1, x2, x3) 的全微分： f
d f xi d xi
精选课件 24
张量1-1
u1
u2 v2
u3 v3 ijk uiv j wk w3
U (V W ) v1
w1 w2
用置换符号展开三阶行列式，令：
1 a1 a a12
a1 2 2 a2
3 a2
1 a3 2 1 2 3 3 1 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1 a3 a1 a2 a3 a12 a2 a3 a13a1 a a a a a a a a 2 3 1 2 3 1 2 3 1 a2 a3 3 a3
Txx Txy Txz bx 0 x y z Tyx x Tyy y Tyz z by 0
Tzx Tzy Tzz bz 0 x y z
写出其指标记法
Tij j
bi 0
Tji, j bi 0
ij 2G ij kkij
缩并
ii 2G ii kk ii 2G ii 3 kk (2G 3 ) kk 哑标与求和无
关，可用任意 字母代替
为平均应力应变之间的关系 G、λ称 (Lame,G) 常数
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换
1
123 1
3
2
132 1
叉积U×V可表成：
e1 v1 e2 v2 e3 v3 U V u1 u2 u3 ijk u j vk
如i=1时：
1 jk u j vk 123u2v3 132u3v2 u2 v3 u3v2
U (V W ) 可表成：
1 1 11 [ 11 ( 22 33 )] 11 E E E 1 1 12 xy 12 2G 2G 11 22 33
弹性力学-第二章 张量基础知识
′ x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
′ x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ′ x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
e′ = Aije j i
表示
i 为自由指标，j 为哑标 为自由指标，
x3
(2.2)
e3 x1
e1 e2
x2
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
A:求和约定、 A:求和约定、哑指标 求和约定 S = a1 x1 + a2 x2 + ⋯ an xn
= ∑ ai xi = ∑ a j x j = ∑ ak xk
i =1 j=1 k =1 n n n
显然， 与求和无关，可用任意字母代替。 显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定： Einstein求和约定 为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指 标在一项中重复一次 就表示对该指标求和， 重复一次， 标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取 遍正数1 这样重复的指标称为哑标 哑标。 遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。 于是 or or
i, j, k为顺序排列 为顺序排列 i, j, k为逆序排列 为逆序排列 i, j, k有两个相等 有两个相等 (2.5)
例如： 例如：
e123 = e231 = e312 = 1 e321 = e213 = e132 = −1 e111 = e121 = e232 = ⋯ = 0
张量分析与弹性力学：ch05-03-MainStress
Θ1、Θ2 和 Θ3 是三个与坐标选择无关的标量，称为应力张量的第一、第 二和第三不变量。它们分别是应力分量的一次、二次和三次齐次式，因而 是相互独立（线性无关）的。
特征方程（4）的三个特征根称为主应力，通常主应力按其代数值的大小 排列，称为第一主应力τ1、第二主应力τ2 和第三主应力τ3。它们是作用在 三个不同截面上的正应力，而不是某个应力矢量的三个分量。
Θ1 = τ11 + τ22 + τ33 = τii = σx + σy + σz
(5a)
是应力矩阵 [τij] 的主对角分量之和，称为应力张量 τ 的迹。
Θ2 = τ 11τ 22 + τ 22τ 33 + τ 33τ 11 − (τ 12)2 − (τ 23)2 − (τ 31)2
(5b)
是应力矩阵 [τij] 的二阶主子式之和。
Θ2 = τ 11τ 22 + τ 22τ 33 + τ 33τ 11 − (τ 12)2 − (τ 23)2 − (τ 31)2
(5b)
是应力矩阵 [τij] 的二阶主子式之和。
Θ3 = |τ ij|
(5c)
是应力矩阵的行列式，记作 detτ 。
张
(武汉大学)
张量分 与 性力学
2016 年 4 月 13 日 5 / 21
主应力是实数就意味着任何应力状态都存在主应力。
张
(武汉大学)
张量分 与 性力学
2016 年 4 月 13 日 7 / 21
主应力的重要性质——实数性
反证法，设主应力 τk 是复数，由式（2）得
τkξ(nk) = ξ(mk)τmn
பைடு நூலகம்
(6)
弹塑性力学-02(张量初步)剖析
' 1
x a21 x1 a22 x2 a23 x3 a2 j x j ;
' 2
x a31 x1 a32 x2 a33 x3 a3 j x j ;
' 3
再引进自由指标，可以进一步合并成一个表达式：
x aij x j
' i
这里 是哑标， 是自由指标。自由指标可以轮流取该指 标范围内的任何值，关系式将始终成立。
S j Tiji
16
S j Tiji
若哑标的位置不同，则缩并的结果也不同。
例如， Ri Tijj 是一个保留了 i 方向性的矢量，而上述 S j Tiji 是一个保留了 j 方向性的矢量。不同方向性的物理意义是 不一样的 例如在应力张量 ij 中 i 代表的是截面法线的方向,而 表的是截面上应力的分解方向。
=a11b1c1 a21b2 c1 a31b3c1 a12b1c2 a22b2 c2 a32b3c2 a13b1c3 a23b2 c3 a33b3c3
13
练习：将下面表达式按求和约定写成展开形式
ij ij aij bi c j ijij = 1 j1j 2 j 2j 3 j3j = 1111 21 21 31 31
指标符号也适用于微分表达式。例如，三维空间中线元长 度和其分量之间的关系
ds
2
d x1 d x2 d x3
2 2
2
d s d xi d xi
2
多变量函数的全微分可写成
多重求和可以用两对（或几对）不同哑标来表示。例如二重和
f df d xi xi
2
指标分两类：哑指标和自由指标。在表达式或方程的某 项中成对出现（即重复出现两次）的指标，称为哑指标， 简称哑标。哑标定义了一种运算法则，即按照爱因斯坦 （Einstein A.）求和约定，把该项在该指标的取值范围内 遍历求和。例如，两个矢量和之点积的分量表达式为：
x a21 x1 a22 x2 a23 x3 a2 j x j ;
' 2
x a31 x1 a32 x2 a33 x3 a3 j x j ;
' 3
再引进自由指标，可以进一步合并成一个表达式：
x aij x j
' i
这里 是哑标， 是自由指标。自由指标可以轮流取该指 标范围内的任何值，关系式将始终成立。
S j Tiji
16
S j Tiji
若哑标的位置不同，则缩并的结果也不同。
例如， Ri Tijj 是一个保留了 i 方向性的矢量，而上述 S j Tiji 是一个保留了 j 方向性的矢量。不同方向性的物理意义是 不一样的 例如在应力张量 ij 中 i 代表的是截面法线的方向,而 表的是截面上应力的分解方向。
=a11b1c1 a21b2 c1 a31b3c1 a12b1c2 a22b2 c2 a32b3c2 a13b1c3 a23b2 c3 a33b3c3
13
练习：将下面表达式按求和约定写成展开形式
ij ij aij bi c j ijij = 1 j1j 2 j 2j 3 j3j = 1111 21 21 31 31
指标符号也适用于微分表达式。例如，三维空间中线元长 度和其分量之间的关系
ds
2
d x1 d x2 d x3
2 2
2
d s d xi d xi
2
多变量函数的全微分可写成
多重求和可以用两对（或几对）不同哑标来表示。例如二重和
f df d xi xi
2
指标分两类：哑指标和自由指标。在表达式或方程的某 项中成对出现（即重复出现两次）的指标，称为哑指标， 简称哑标。哑标定义了一种运算法则，即按照爱因斯坦 （Einstein A.）求和约定，把该项在该指标的取值范围内 遍历求和。例如，两个矢量和之点积的分量表达式为：
张量分析
附录弹性力学数学基础目录附录1 张量基础附录2 复变函数数学基础附录3 变分法概要§i1 张量1附录1 张量基础张量特征笛卡儿张量下标求和定约偏导数下标记法特殊张量张量——简化缩写记号表达物理量的集合显著优点——基本方程以及其数学推导简洁张量的特征——整体与描述坐标系无关分量需要通过适当的坐标系定义笛卡儿（Descartes）张量定义一般张量——曲线坐标系定义三维Descartes 坐标系中，一个含有3个与坐标相关独立变量集合，通常可以用一个下标表示。
位移分量u ，v ，w 缩写记为u i （i =1, 2, 3）表示为u 1, u 2, u 39个独立变量的集合，两个下标来表示s ij 和e ij ——9个应力分量或应变分量s ij,k——27个独立变量的集合用三个下标表示i ——下标求和定约张量表达式的某一项内的一个下标出现两次，则对此下标从1到3求和。
=A ji ij a ηζ=k k k a ζ∑=31∑∑ijjiij a ηζkk a ζ=哑标：出现两次的下标——求和后消失=A jij i y c x =32322212123132121111y c y c y c x y c y c y c x ++=++=自由标：非重复下标自由标个数表示张量表达式代表的方程数§i1 张量3偏导数的下标记法缩写张量对坐标x i 偏导数的表达式逗号约定逗号后面紧跟一个下标i 时，表示某物理量对x i 求偏导数。
)()(,iix ∂∂=利用偏导数下标记法，偏导数均可缩写为j i ji x u u ∂∂=,k ij k ij x ∂∂=e e ,k ij k ij x ∂∂=s s ,i iki u u ∂=,ij kl ij ∂=s s ,ij kl ij ∂=e e ,张量的偏导数集合仍然是张量证明：u i ，j 如果作坐标变换','j i u ∑∑∑∂∂==l j l k l k k i l x x u n ',')(∑=kj k k i u n ',')(∑∑∂∂=l j lklk k i x x u n ',')(''j i j i x n x =ij j in x x ''=∂∂∑∑=llj k i kl k j i n n u u '',','由此可证，u i , j 服从二阶张量的变换规律由于因此特殊的张量符号克罗内克尔（Kronecker Delta ）记号d ijji j i ij ≠==1d 显然⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001333231232221131111d d d d d d d d d d ij 克罗内克尔记号是二阶张量运算规律i m im ii T T a a ===++=d d d d d d 3332211§i1 张量6置换符号e ijk有相等下标时的奇排列，，为，，的偶排列，，为，，032113211k j i k j i e ijk -=偶排列有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字而得到的排列奇排列11213321132312231123-======e e e e e e二阶对称张量反对称张量ji ijT T=ji ijT T-=任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对称张量和一个分对称张量之和。
弹性力学第二章
强调指出：张量必须满足坐标变换，否则不能视为张量。也就是 说，从一个坐标系旋转到另一个新的坐标系，张量的表达形式不变。 即应有：T
= Ti1i2 ⋅⋅⋅in ei1 ⊗ ei2 ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ein = Ti1i2 ⋅⋅⋅in βi1′i1 ei1′ ⊗ β i2′ i2 ei2′ ⊗ = βi1′i1 β i2′ i2
n n 12 n 1
⊗ β in′ in ein′
2
βi′ i Ti i ⋅⋅⋅i ei′ ⊗ ei′ ⊗
⊗ ein′
⊗ ein′
= Ti1′i2′ ⋅⋅⋅in′ ei1′ ⊗ ei2′ ⊗
注：1.对于一个给定的张量，其各分量必须满足式（2.19）的转换 关系；否则，不能视为一个张量。 2.虽然张量的分量是随坐标系的变化而变化的，但张量的本身 则不随坐标系的变化而变化。 3.在一个给定的坐标系，若某一张量的所有分量都为零，则由 式（2.19）可知，在任意的坐标系中这一张量的所有分量也 必为零。这种张量称为零张量，用O表示。
a1 a2 = b1 c1 b2 c2 a3 b3 c3
(2.9)
设： a = ai ei
eijk和δij之间的关系及其证明 ：
若i、j、k三个指标中有两个取相同的值，则显然 (2.10) 式（2.10）两边都为零值；或l、m、n中有两个 取相同的值，上式两边也同样为零。下面证明： 当指标i、j、k取三个不同的值，且同时l、m、n 由式（2.10）等号右端行列式的 也取三个不同的值时，式（2.10）是否成立。 分析可知，任意两行或两列较 如： 换一次，行列式的绝对值不 变，仅改变符号，且其符号改 变规则与置换符号的定义是相 (b) 符合的。
12 n
12 n
(2.19)
附录 弹性力学参量的张量记法
应力分量：
可表示为：
缩写为
其中，如
同理，应变分量可缩写为：
向量
表示为
三阶线性方程组 可表示为 缩写为
二. 爱因斯坦求和约定
在如前述表达式的某项中，某指标重复出现一次，则 表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和，重复指标 称为哑指标（简称哑标）；
非重复指标表示要把该项在该指标的取值范围内遍历 列出，非重复指标出称为自由指标（简称自由标）。 例：
在Descartes坐标系下具有相同性质的一组物理量，可 用一带下标的字母表示。如 位移分量 u、v 、w可表示为 u1 、u2、u3，缩写为 ui（i =1, 2, 3） 坐标 x、y、z可表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为 xi（i =1, 2, 3） 单位矢量 可表示为 ，缩写为 （i =1, 2, 3）
附录： 弹性力学参量的张量记法
前面给出的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位 移分量，其表示方法引用的是记号法； 这是一种公认的弹性力学参量表示方法。 上世纪二十年代起，数学理论中的张量记法（指标表示法） 开始出现在力学文献及教科书中。
张量记法书写简洁，便于力学问题的理论推导。
一. 指标符号
求和指标
j求和
j-求和指标 i-自由指标
i历列
说明：
（1）对于重复次数大于1的指标，求和约定无效。例:
（2）哑标的有效范围仅限于本项。
（3）多重求和可采用不同的哑标表示。例:
（4）哑标可局部地成对替换。 （5）自由指标必须整体换名。 （6）当自由指标恰好在同一项中重复出现一次，为避免混 淆，应声明对该指标不求和。例:
三. 求导数的简记方法
微分算符简记法 例:
历列
历列共27项 求和
徐芝纶版弹性力学第五章精品课件张量分析
xi xi , j ij x j aii jk a jk
三．Ricci 符号
定义：
ei j k
1 1 0
ei j k
即：
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 ... 0
a11
比较：
a12 a22 a32
a13 a23 ei j k a1i a2 j a3k erst a1r a2 s a3t a33
A a21 a31
特别地：
e1 e2 e12 k ek e123e3 e3
2
两个任意矢量的叉积
a b ai ei b j e j aib j ei e j aib j ei j k ek ei j k aib j ek c ( A2 5)
共27个分量，亦称为排列符号、置换符号
ei j k e j k i ek i j ei k j ek j i e j i k
e123 e231 e312 1
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13
e213 e132 e321 1
由此得
( A1 8)
ei j k ei j s jj ks js kj 3 ks ks 2 k s ei j k ei j k jj kk jk kj 3 3 jj 6
§A－2 矢量的基本运算
矢量a 分量ai
a a1e1 a2e2 a3e3 ai ei
3.混合积
1
基矢量混合积
(ei e j ) ek ei j r er ek ei j r δr k ei j k
三．Ricci 符号
定义：
ei j k
1 1 0
ei j k
即：
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 ... 0
a11
比较：
a12 a22 a32
a13 a23 ei j k a1i a2 j a3k erst a1r a2 s a3t a33
A a21 a31
特别地：
e1 e2 e12 k ek e123e3 e3
2
两个任意矢量的叉积
a b ai ei b j e j aib j ei e j aib j ei j k ek ei j k aib j ek c ( A2 5)
共27个分量，亦称为排列符号、置换符号
ei j k e j k i ek i j ei k j ek j i e j i k
e123 e231 e312 1
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13
e213 e132 e321 1
由此得
( A1 8)
ei j k ei j s jj ks js kj 3 ks ks 2 k s ei j k ei j k jj kk jk kj 3 3 jj 6
§A－2 矢量的基本运算
矢量a 分量ai
a a1e1 a2e2 a3e3 ai ei
3.混合积
1
基矢量混合积
(ei e j ) ek ei j r er ek ei j r δr k ei j k
附录I：张量概念及其基本运算
Tx = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎫ ⎪ Ty = τ xy l + σ y m + τ zy n ⎬ ⎪ Tz = τ xz l + τ yz m + σ z n ⎭
T j = σ ij li
◆重复出现的角标称为哑标，不重复出现的角标称 为自由标。 ◆自由标不包含求和的意思，但它可表示该表达式 的个数。
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 13
Mechanics of Elasto-Plasticity
2 2 2 a = ∑ aii = a11 + a 22 +a 2 ii j =1 3
(σ ii )
2
⎛ ⎞ = ⎜ ∑ σ ii ⎟ = (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) 2 ⎝ i =1 ⎠
石家庄铁道大学工程力学系 16
Mechanics of Elasto-Plasticity
σ = σ x l 2 + σ y m 2 + σ z n 2 + 2 (τ xy lm + τ yz mn + τ zx nl )
σ = σ ij li l j
( i , j = x, y , z ) ( i , j = x, y , z )
(aii ) 2 = (a11 + a 22 + a33 ) 2
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 18
[ 弹塑性理论 \ 石家庄铁道大学工程力学系 17
Mechanics of Elasto-Plasticity
★ 关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。 ◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算 前优先求和。例：
弹性力学-张量
n
n
n
ai xi ajxj ak xk
i1
j1
k 1
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母替代。
为简化体现式，引入Einstein求和约定：
每逢某个指标在一项中反复一次，就表达对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这么反复旳指标称为哑标。
于是
or
or
S ai xi ajxj ak xk
1
例如： e123 e231 e312 1 3
k
循环方向 j
1 若(i, j,k) (1,2,3)或(2,3,1)或(3,1,2)时 正排列顺序
eijk －1 若(i, j,k) (2,1,3)或（1，3，2）或（3，2，1）时 逆排列顺序
0 若i, j,k中任意两指标相同时
1
1
3
2
eijk ( i,j,k =1,2,3) 共有27个元素
ai，i
ai xi
a1 x1
a2 x2
a3 x3
ij, j
ij
x j
i1
x1
i2
x2
i3
x3
*若反复出现旳标号不求和，应尤其申明
1.2.3 自由指标
一种体现式中假如出现非反复旳标号或一种方程每项中出现非
反复旳旳指标，称为自由指标。对于自由指标能够从最小数取
到最大数。
例如
xi aijxj
aij x j xi (aij ij )x j
② 微分运算
xi x j
xi, j
ij
aii a jk
jk
aij aklBiblioteka 1 2(ik
jl
il jk )
第二章应力状态理论(弹性力学)
应力状态理论
第二章
应力状态理论
§2－1 张量分析基础
张量——在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择， 并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些 量的总体为张量。简化缩写记号表达物理量的集合。 显著优点——基本方程以及其数学推导简洁 张量的特征——整体与描述坐标系无关 ——分量需要通过适当的坐标系定义 一般张量——曲线坐标系定义
2 2 2 2 ∴ v = fvx + fvy + fvz −σv τ2
如已知 σ x ,σ y ,σz ,τ yz ,τ zx,τ xy, 就可求得任一斜截面 正应力和切应力。 正应力和切应力
应力状态理论
如果ABC是物体边界面：
lσx + m yx + n zx = fx τ τ
z
C v
fz
fxP
应力状态理论
§2－2 体力和面力
外力：构件外物体作用在构件上的力。 外力：构件外物体作用在构件上的力。
面力：作用在物体表面上的力，如接触力、 面力：作用在物体表面上的力，如接触力、液体压 力等。 表示。单位： 力等。用 fx , f y , fz 表示。单位：N/m2。 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯
F 5
m
F 4
F 1 F 2
Ι
m
ΙΙ
F 3
F 5
F 4
F 1F 2ຫໍສະໝຸດ ΙΙΙF 3
应力状态理论
§2－3 应力和一点的应力状态 应力和一点的应力状态
应力：内力的分布集度。 应力：内力的分布集度。 r 平均应力： ①平均应力： r ∆ F f = ∆S 全应力： ②全应力： r r r ∆ F dF f v = lim = dS ∆S → 0 ∆ S
第二章
应力状态理论
§2－1 张量分析基础
张量——在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择， 并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些 量的总体为张量。简化缩写记号表达物理量的集合。 显著优点——基本方程以及其数学推导简洁 张量的特征——整体与描述坐标系无关 ——分量需要通过适当的坐标系定义 一般张量——曲线坐标系定义
2 2 2 2 ∴ v = fvx + fvy + fvz −σv τ2
如已知 σ x ,σ y ,σz ,τ yz ,τ zx,τ xy, 就可求得任一斜截面 正应力和切应力。 正应力和切应力
应力状态理论
如果ABC是物体边界面：
lσx + m yx + n zx = fx τ τ
z
C v
fz
fxP
应力状态理论
§2－2 体力和面力
外力：构件外物体作用在构件上的力。 外力：构件外物体作用在构件上的力。
面力：作用在物体表面上的力，如接触力、 面力：作用在物体表面上的力，如接触力、液体压 力等。 表示。单位： 力等。用 fx , f y , fz 表示。单位：N/m2。 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、 体力：分布在物体整个体积内部的力，如重力、惯
F 5
m
F 4
F 1 F 2
Ι
m
ΙΙ
F 3
F 5
F 4
F 1F 2ຫໍສະໝຸດ ΙΙΙF 3
应力状态理论
§2－3 应力和一点的应力状态 应力和一点的应力状态
应力：内力的分布集度。 应力：内力的分布集度。 r 平均应力： ①平均应力： r ∆ F f = ∆S 全应力： ②全应力： r r r ∆ F dF f v = lim = dS ∆S → 0 ∆ S
弹性力学应变张量
弹性力学应变张量弹性力学应变张量是应变力学中重要的概念。
它代表了物体表面在宏观尺度上的应变性质，即物体在特定力和外力作用下的形变特性。
它是坐标系中的二阶区域局部张量，用来描述物体的应变状态。
应变张量有三种形式：细胞型、本金型和应变张量。
细胞型应变张量是一种局部张量，用于描述各个空间点的应变变化，内含有两个元素：应变和比例系数。
应变量描述物体在特定外力作用下形变后的相对状态，而比例系数是物体形变量之间关系的量度。
本金型应变张量也是一种局部张量，用于表示有限体积单元之间的应变变化，其主要目的是用来判断有限体积单元的应变状态。
它的核心概念是细胞的对称性，把物体的应变分割成对称单元，从而更好地描述物体的应变特性。
应变张量是一种局部张量，它把物体在空间上应变形变的信息集体起来，用来反映物体的性质。
它不仅提供了物体性质的宏观描述，而且也提供了物体性质的细微变化。
弹性力学应变张量在结构力学、生物力学、工程材料学等领域应用广泛，在结构力学中，它可以提供精确的应变状态，从而使结构的应变分析更加准确；在生物力学中，它提供了物体在外力作用下形变的状态，从而可以更好地提供有效的人体力学研究；在工程材料学中，它可以提供物体在特定力和外力作用下，物体的应变性质，从而更好地提供工程材料的性能分析。
弹性力学应变张量在工程应用中有着很大的用途，而且它被应用到许多领域。
它可以用来描述不同结构的应变状态，也可以用来研究不同材料的性能分析。
它可以用于结构力学、生物力学、热力学等领域，可以提供有效的计算和分析。
因此，弹性力学应变张量是一种重要的概念，在结构力学、生物力学、工程材料学等领域都有重要的用途。
在实际应用中，可以用它来提供物体在特定力和外力作用下的应变性质，从而更好地提供有效的结构力学、生物力学或工程材料性能分析。
高等弹性力学+张量
21
e1
e2
e3
习题： 1、用求和约定改写下式：； ( a ) d dx1 dx2 dx3 x1 x 2 x3
(b)
( x1 ) 2 ( x2 ) 2 ( x3 ) 2
2、将求和约定表达式写成展开形式：
(a)
aij b jk
(b)
cijj
3、证明：
显然，克罗内克尔记号表示单位矩阵的各个元素。
2
克罗内克尔记号满足张量变换关系，也是二阶张量，它有以下运 算规律。
21
§4
特殊的张量符号
如果 dij 符号的两个指标中有一个指标和同项中其它因子 的指标相重，则可以把该因子的那个重指标替换成dij的另 一个指标，而 dij 自动消失。dij 也称为换标符号。
1
§1
张量的定义
方向余弦ni'j 的第一下标对应于新坐标轴，而第二下标 对应于原坐标轴。则矢量在新老坐标系中的关系为
或者
上式可以缩写为：
或者
1
§1
张量的定义
考察矢量 A(a1, a2, a3)和OP(z 1, z 2, z3) ，作它们 的标量积，则：
显然，此标量积与坐标轴的选取无关，如果上述矢量作坐标 变换，则：
标量：只有大小、没有方向性的物理 量，与坐标系选择无关。 用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量无下标。 矢量：有大小，又有方向性的物理量。 如矢径 （或黑体）、位 移 、力 等。 矢量也可以用它的标量表示：
x3
r
e3
x1 x2
e1
e2
3 r r1e1 r2e2 r3e3 ri ei i 1
反之，如z ‘ 为已知矢量，而ai为与坐标有关的三个标量，使 一次形式 在坐标变换时保持不变。根据矢量定义， 则ai 也是矢量。
e1
e2
e3
习题： 1、用求和约定改写下式：； ( a ) d dx1 dx2 dx3 x1 x 2 x3
(b)
( x1 ) 2 ( x2 ) 2 ( x3 ) 2
2、将求和约定表达式写成展开形式：
(a)
aij b jk
(b)
cijj
3、证明：
显然，克罗内克尔记号表示单位矩阵的各个元素。
2
克罗内克尔记号满足张量变换关系，也是二阶张量，它有以下运 算规律。
21
§4
特殊的张量符号
如果 dij 符号的两个指标中有一个指标和同项中其它因子 的指标相重，则可以把该因子的那个重指标替换成dij的另 一个指标，而 dij 自动消失。dij 也称为换标符号。
1
§1
张量的定义
方向余弦ni'j 的第一下标对应于新坐标轴，而第二下标 对应于原坐标轴。则矢量在新老坐标系中的关系为
或者
上式可以缩写为：
或者
1
§1
张量的定义
考察矢量 A(a1, a2, a3)和OP(z 1, z 2, z3) ，作它们 的标量积，则：
显然，此标量积与坐标轴的选取无关，如果上述矢量作坐标 变换，则：
标量：只有大小、没有方向性的物理 量，与坐标系选择无关。 用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量无下标。 矢量：有大小，又有方向性的物理量。 如矢径 （或黑体）、位 移 、力 等。 矢量也可以用它的标量表示：
x3
r
e3
x1 x2
e1
e2
3 r r1e1 r2e2 r3e3 ri ei i 1
反之，如z ‘ 为已知矢量，而ai为与坐标有关的三个标量，使 一次形式 在坐标变换时保持不变。根据矢量定义， 则ai 也是矢量。
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所谓1，2，3的偶排列，是指对有序数组1，2，3逐次对换两 个相邻的数字而得到的排列，反之为奇排列，因此 ：
21
置换符号的作用可以简化公式书写，如： 1． 三阶行列式：
A11 A12 A13 A A21 A22 A23 eijk Ai1 A j 2 Ak 3 eijk A1i A2 j A3k A31 A32 A33
3 u u1 e1 u 2 e2 u 3 e3 u i ei i 1
其 e1 e2 e3 为坐标的基方向（单位向量），r1、r2、r3为
r在坐标轴的投影（分量），都有一个下标。
4
§1
张量的定义
张量：有大小，并具有多重方向性的量。如应力 、应变。 在三维笛卡儿（Descartes）坐标系中，一个含有三个与 坐标相关的独立变量集合，通常可以用一个下标表示。 例如，对于位移分量u，v，w可以表示为u1, u2, u3，缩写 记为ui，i=1, 2, 3。对于坐标x, y, z可以表示为xi。对于一 个含有九个独立变量的集合，可以用两个下标来表示。 例如九个应力分量或应变分量（由于对称，实际独立的仅 有六个）可以分别表示为ij和ij，其中11, 22分别表示x
21
e1
e2
e3
习题： 1、用求和约定改写下式：； ( a ) d dx1 dx2 dx3 x1 x 2 x3
(b)
( x1 ) 2 ( x2 ) 2 ( x3 ) 2
2、将求和约定表达式写成展开形式：
(a)
aij b jk
(b)
cijj
3、证明：
(a)
d ii d ij 3
(b)
eijk ai a j 0
(c)
d ij eijk 0
22
23
1
§2
张量的求和约定
由于张量是由许多分量所组成的有序整体，所以就有必要 引入某些必不可少的约定，以简化其表达和运算形式。在张量 表达式中，有大量的求和符号 ，均表示分别对i，j，k由1 到3求和，例如：
在求和符号内，求和元素下标均出现两次。因此，对求和公 式的写法进行简化。 求和约定：凡是张量表达式中，同一项内的一个下标出现两 次，则对此下标从1到3求和（平面问题从1到2求和）。
反之，如z ‘ 为已知矢量，而ai为与坐标有关的三个标量，使 一次形式 在坐标变换时保持不变。根据矢量定义， 则ai 也是矢量。
1
§1
张量的定义
推广上述的命题，可以给张量一个解析的定义。设 (z 1, z 2, z3)和(h 1, h 2, h3)是矢量，aij是与坐标 有关的九个量，若当坐标变换时，双一次形式：
标量：只有大小、没有方向性的物理 量，与坐标系选择无关。 用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量无下标。 矢量：有大小，又有方向性的物理量。 如矢径 （或黑体）、位 移 、力 等。 矢量也可以用它的标量表示：
x3
r
e3
x1 x2
e1
e2
3 r r1e1 r2e2 r3e3 ri ei i 1
（共六项，三项为正，三项为负）。 2. 基向量的叉积：右手系
e1 e2 e3 e123e3
e2 e1 e3 e213e3
任意基向量的叉积可写为
ei e j eijkek ekijek
3．向量叉积的展开式：
a ai ei
保持不变，则称由两个下标i，j确定的九个量的集合 aij为二阶 张量。 aij中的每一个分量被称作张量（对于指定的坐标系） 的分量。 根据上述定义，可以推导出坐标变换时张量分量的变换规 律。由题设条件，当坐标变换时，有：
1
§1
张量的定义
代入坐标变换关系，则：
注意到：
回代可得： 上式给出了二阶张量的变换关系。以此可以作为判别一个具有 两个下标的九个量 aij是否为张量。应力分量ij和应变分量ij 都是满足这一变换规律的，因此，它们分别组成了二阶张量。
利用偏导数的下标记法，弹性力学中常用的偏导数 均可缩写表示。如：
1
§3
偏导数的下标记法
可以证明，上述每一个偏导数所组成的集合都是张量。（利 用坐标变换证明，略）
21
§4
特殊的张量符号
克罗内克尔记号： 张量分析时经常需要某种代换运算， 因 此引入克罗内克尔（Kronecker Delta）记号 dij 。其定义为，
21
二阶对称张量 反对称张量
Tij Tji
Tij T ji
任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对 称张量和一个分对称张量之和。
张量的对称和反对称性质，可以推广到二阶
以上高阶张量。
18
§4 置换符号：
特殊的张量符号
在张量分析中，除了克罗内克尔记号dij 之外，还有一个替代 符号，称为置换符号eijk 它定义为
显然，克罗内克尔记号表示单位矩阵的各个元素。
2
克罗内克尔记号满足张量变换关系，也是二阶张量，它有以下运 算规律。
21
§4
特殊的张量符号
如果 dij 符号的两个指标中有一个指标和同项中其它因子 的指标相重，则可以把该因子的那个重指标替换成dij的另 一个指标，而 dij 自动消失。dij 也称为换标符号。
解析定义： 为了给张量一个确切的定义，首先讨论矢量定义。在坐标系 Ox1x2x3中。矢量OP的三个分量z 1， z 2， z3可以缩写作z i，同 一矢量OP在新坐标系Ox'1x'2x'3中，写作z '1， z '2， z '3，缩写 为z 'i。设坐标系Ox1x2x3与Ox'1x'2x'3的夹角方向余弦如下表所示
1
§1
张量的定义
方向余弦ni'j 的第一下标对应于新坐标轴，而第二下标 对应于原坐标轴。则矢量在新老坐标系中的关系为
或者
上式可以缩写为：
或者
1
§1
张量的定义
考察矢量 A(a1, a2, a3)和OP(z 1, z 2, z3) ，作它们 的标量积，则：
显然，此标量积与坐标轴的选取无关，如果上述矢量作坐标 变换，则：
这种出现两次，而求和之后不再出现的下标，称为哑标。
1
§2
张量的求和约定
根据求和约定，张量表达式中的求和符号可以省略，缩写 为 。上式中的k 和i 均为哑标。显然，哑标是 可以互换的。求和定约同样可以用于二阶，三阶或更高阶 的张量求和。例如 ：
一个张量表达式中如果出现非重复的下标或者表达式中的某一项 出现非重复的下标号，称为自由标。 一个自由标表示三个张量分量或表达式。例如下标 i 为 ui的 自由标，表示张量的三个分量。而xi=cijyj中，j为哑标，表示需 要从1到3求和，而i为自由标，表示：
, xy（就是xy)； 11 , 22分别表示x, xy等。简单的定义：所 谓张量就是一个物理量或几何量，它由在某些参考坐标系中一 定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定 的变化法则变换。
5
1
§1
张量的定义
同样，一个含有27个独立变量的集合可以用三个下标表示；而 含有81个独立变量的集合可以用四个下标表示，依次可以类推。
1
§2
张量的求和约定
上式说明自由标的个数表示了张量表达式所代表的方程数。
1
§3
偏导数的下标记法
在弹性力学中，经常可见到诸如位移分量， 应力分量和应变分量等张量对坐标 xi 的偏导数， 为表达张量的偏导数的集合体，引入逗号约定。 逗号约定: 为了缩写含有对一组直角坐标xi 取偏 导数的表达式，我们规定当逗号后面紧跟一个下 标i时，表示某物理量对xi 求偏导数。即：
张
§1 §2 §3 张量的定义
量
张量的求和约定 偏导数的下标记法
§4
特殊的张量符号
1
由于弹性力学研究对象的普遍性，导致方程也较繁杂， 推导也同样复杂，为了使得公式表示简捷，近几十年弹性 力学的论述及方程列式采用指标符号表示。为了这一原因， 这里也简单介绍一些基本概念。这些符号或公式都是在笛 卡尔坐标系中采用。力学中常用的物理量
b bje j
而
c a b ck ek
a b ai ei b j e j ai b j eijk ek ai b j ekijek
则：
ck eijk ai b j ekijai b j
c a b a1 a2 a3 eijk ai b j ek b1 b2 b3