【VIP专享】弹性力学_张量38

哑标：在表达式的某项中，若某指标重复出现两 次，则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和。 该重复指标称为“哑标”或“伪标”。
S a1x1 a2 x2 an xn
n
n
n
ai xi ajxj ak xk
i1
j1
k 1
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定：
x3
3
r r1e1 r2 e2 r3e3 ri ei
r
其中
e1
、e2
、e3
i 1
为坐标的基矢量（单位
向量、基矢），r1、r2、r3为r在坐标轴的
投影（分量），都有一个下标。
x1
e3
e1
e2
x2
记法：
（1）实体记法：
r
（或黑体字母）
r
（2）分解式记法：同时写出矢量的分量和相应 分解分量的基。
个基矢。
与 n 阶基相关连的量称为 n 阶张量。
n 0时为标量；n 1时为矢量；n 2 时为二阶张量（简
称张量）。
故矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。标量由1个分量 组成，矢量由3个分量组成，二阶张量由9个分量组成；
三阶张量由27个分量组成，n阶张量由3n个分量组成。
1.2 张量表示
1.2.1.下标记号法——张量的最简洁的一种表示方法
点的坐标(x,y,z) （矢径） x1, x2 , x3 xi (i 1,2,3) 点的位移(u,v,w) u1,u2 ,u3 ui (i 1,2,3)
点的速度 vx , v y , vz v1, v2 , v3 vi (i 1,2,3)
应力（张量）： x , y , z ,t xy ,t yx ,t yz ,t zy ,t zx ,t xz 11, 22 , 33 , 12 , 21, 23 , 32 , 31, 13 ij (i, j 1,2,3)
ai1i2i3 ...in
1.2.2求和约定 （ Einstein求和约定）
rr
r r1e1
r r2e2
r r3e3
3
r ri ei
r ri ei
i 1
矢量点积的实例
设 a, b 为两矢量，其分量分别记为 ai , bi ，则：
3
a b a1b1 a2b2 a3b3 aibi aibi i 1
于是引入二阶基：
e1 e2 e1e2
每个分量用一个标量
t xye1 e 2
xx e1 e1
（具有两个下标）与两 个并在一起基矢量（并
t xz e1 e3
矢）表示，称为二阶张
量。
11e1
e1
12
e1e2
......
33
e3
e3
3
3Hale Waihona Puke Baidu
ij
ei
ej
i1 j 1
从数学上说，可引入e1 e2 L en n 阶基， n阶基中有3n
333
S
aijk xi xjxk aijk xi xjxk
i1 j1 k1
三重求和（27项）
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。
例题： ai xi a1x1 a2 x2 a3x3
ii 11 22 33
ijij i1i1 i2i2 i3i3 1111 12 12 13 13 2121 22 22 23 23 3131 3232 3333
应变张量
x xy xz
yx
y
yz
可表示为
zx zy z
ij（i=1,2,3; j=1,2,3）
微分符号：
f f ,
x1 x2
f , x3
f xi
f ,i
(i f )
(i 1,2,3)
2 f 2 f 2 f 2 f
x12
,
x22
,
x32
, x1 x2
f ,ij
(i, j 1,2,3)
在 n 方向（ n 为作用面的法矢），应力矢
pn n
为 pn ；
而在 n方向，应力矢为 pn .
这说明应力矢本身有方向，而且还与其
n
作用面方向有关，必须用两个方向才能
p n
描述应力矢。
常用的应力单元体也是如此：
每一个应力分量也必须用两个方向才能描述，第一个 方向为应力作用面的方向，第一个方向为应力作用的 方向。
3
r r1e1 r2 e2 r3e3 ri ei
i 1
（3）分量记法： 将矢量用其全部分量的集合 来表示
r（ r1、r2、r3 )
（4）矩阵记法：
r {r },{ri }
3,张量：有大小，并具有多重方向性的量（可描
述更复杂的物理量）。 如应力 、应变。
有些量不能只利用一个方向来确定。如应力： 它与两个方向有关
aibi xi
i1
*3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和
双重求和 S aij xi xj
33
S
aij xi xj 展开式（9项）
i1 j1
S a11x1x1 a12 x1x2 a13x1x3
a21x2 x1 a22 x2 x2 a23x2 x3
a31x1x1 a32 x1x2 a33x1x3
每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。
于是
or
or
S ai xi ajxj ak xk
* 1、哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）
*2、哑标只能成对出现,否则要加上求和号或特别指出
n
a b x 是违约的，求和时要保留求和号 ii i
约定： i, j,k, 英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3. 在该约定
下，上述简写表达式后的说明 (i 1,2,3) 或 (i, j 1,2,3)在以后的 写法中将被略去。
n阶张量可表示为
a (i i1i2i3...in 1 1,2,3;i2 1,2,3; ;in 1,2,3)
张量基本知识
第一章 张量代数
1.1 指标记法 1.1.1 求和约定、哑指标
1.1 基本概念
1. 标量：只有大小、没有方向性的物理量，与坐标系选
择无关。用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量
无下标。
2体. ）矢、量位：移有u大、小力，F又等有。方矢向量性可的用物一理个量方。向如来矢确径定r（。或黑
应力张量
tyxx
t xy y
t t
xz yz
t zx t zy z
可表示为 ij （i=1,2,3; j=1,2,3）
应变张量： x , y , z , xy , yx , yz , zy , zx , xz
11, 22,33,12, 21, 23,32,31,13 ij (i, j 1,2,3)