两条直线的平行与垂直(1)

分别平行于坐标轴)，那么△ABC∽△DEF(两角对应相 等)，于是对应边的比相等，所以它们的斜率 k1，k2 相等；
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反之，若 k1＝k2，那么△ABC∽△DEF(两边对应成比例且 夹角相等)，∴∠BAC＝∠EDF，∴l1∥l2，
对于图(2)的情形，结论也成立． BC EF BC EF k1＝AC＝DF＝k2，k1＝ ＝ ＝k2 －AC －DF
－7－5 1 又 l1∥l2，所以 k2＝ ＝－ ，故 a＝52. 4 a－4
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2.1.3（一）
1．判定两直线平行的条件是直线的斜率和截距，因此，要把
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方程化为斜截式；若两直线斜率相等，则两直线可能平行 也可能重合，还需再进一步判断截距不相等；如果两条直 线斜率不存在，两条直线为 x＝a1，x＝a2，只需 a1≠a2 即 可． 2．判定两直线重合，首先判断两条直线斜率相等，再判定截 距相等．如果两条直线斜率都不存在，两直线 x＝a1，x＝ a2，只需 a1＝a2 即可．
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2.1.3（一）
跟踪训练 2 若直线 l1：ax＋3y＋1＝0 与 l2：2x＋(a＋1)y＋1 ＝0 互相平行，求 a 的值．
kl1 ＝－a， kl2 ＝－ 2 ， 解 ①当 a≠－1 时， 3
∵l1∥l2，∴
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∴a(a＋1)－6＝0，即 a2＋a－6＝0，
∵l 过点 A(2，－3)，∴2×2＋(－3)＋m＝0，解之得 m＝－1，
所以，所求直线的方程为 2x＋y－1＝0.
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2.1.3（一）
小结
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与直线 y＝kx＋b 平行的直线可设为 y＝kx＋c(c≠b);
与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线可设为 Ax＋By＋D＝0 (D≠C)．
0，此时 l1∥l2；
当 m＝4 时，两直线方程为 2x＋2y＋2＝0,2x＋2y＋3＝0，此 时 l1∥l2. 故 m＝0 或 m＝4，两直线 l1∥l2. (3)由(2)知：直线 l1 与 l2 不可能重合．
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2.1.3（一）
1．已知过点 A(－2，m)和 B(m,4)的直线与斜率为－2 的直线
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2.1.3（一）
1．当两条直线的斜率存在时，如果它们互相平行，那么它们
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的 斜率 相等；反之，如果两条直线的 斜率 相等，那么 它们互相平行．即：k1＝k2⇔ l1∥l2 (k1，k2 均存在)． 2．如果直线 l1 和 l2 的斜率都不存在，那么它们都与 x 轴垂 直，则 l1∥l2.
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2.1.3（一）
例 3 已知直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0.求 证：当 C1≠C2 时，l1 与 l2 平行．
证明
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当 B＝0 时，两直线的方程分别为 l1：Ax＋C1＝0，
l2：Ax＋C2＝0，由于 A，B 不能同时为 0， C1 C2 所以 l1：x＝－ ，l2：x＝－ ，因 C1≠C2， A A 所以两直线都和 y 轴平行，所以 l1 与 l2 平行． 当 B≠0 时，两直线的方程分别为 A C1 A C2 l1：y＝－ x－ ，l2：y＝－ x－ ，因 C1≠C2， B B B B 所以 k1＝k2 且 b1≠b1，因此 l1 与 l2 平行．
(1)当两条直线的斜率存在时，如果它们互相平行，那
么它们的斜率相等；反之，如果两条直线的斜率相等，那么 它们互相平行．即：l1∥l2⇔k1＝k2(k1，k2 均存在)； (2)如果直线 l1 和 l2 的斜率都不存在， 那么它们都与 x 轴垂直， 则 l1∥l2.
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2.1.3（一）
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平行，则 m 的值为________． －8
4－m 解析 由题意可知，kAB＝ ＝－2， m＋2
所以 m＝－8.
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2.1.3（一）
平行 2．直线 l1：x＝1 与直线 l2：x＝0 的位置关系是________．
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解析
2.1.3（一）
2．1.3
两条直线的平行与垂直
第一课时
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【学习要求】 1．理解并掌握两条直线平行的条件． 2．能根据已知条件判断两直线的平行． 3．能应用两条直线平行的条件解决有关问题． 【学法指导】 通过把两条直线的平行问题， 转化为研究两条直线的斜 率的关系问题， 培养运用已有知识解决新问题的能力， 以 及数形结合能力.
2.1.3（一）
例 2 求过点 A(2，－3)，且与直线 2x＋y－5＝0 平行的直线 的方程．
解 方法一 已知直线的斜率 k＝－2，
∵两直线平行，∴所求直线的斜率也为 k＝－2，
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所以，所求直线的方程为：y＋3＝－2(x－2)， 即 2x＋y－1＝0.
方法二 设与直线 2x＋y－5＝0 平行的直线 l 的方程为： 2x＋y＋m＝0，
2.1.3（一）
探究点一 两条直线平行的判定 问题 1 如果两条直线(斜率存在)平行， 那么它们的斜率有怎 样的关系？
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答 如果两条直线(斜率存在)平行， 那么它们的倾斜程度相 同，即斜率相等．
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2.1.3（一）
问题 2 你能证明问题 1 中两直线的位置关系吗？ 证明 如图：(1)直线 l1∥l2，构造两个直角三角形(直角边
例 1 求证：顺次连结
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4)四点所得的四边形是梯形． 7 － －－3 4－3 2 1 1 证明 ∵kAB＝ ＝－6，kCD＝ ＝－6， 5－2 －4－2
∴kAB＝kCD，从而 AB∥CD. －3－4 13 7 又∵kBC＝ ＝－ 6 ，kDA＝ ＝－6， 2－5 2－－4
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2.1.3（一）
小结
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当两条直线的斜率存在且斜率相等时，未必有两直线
平行，应进一步作判断是否有两直线重合；当两条直线的斜 率均不存在时，则两直线重合或平行．
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2.1.3（一）
跟踪训练 3
已知直线 l1：(m－2)x＋2y＋m－2＝0，l2：2x
直线 l1 与 l2 的斜率都不存在，且 1≠0，∴l1∥l2.
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2.1.3（一）
3． 经过点 A(1,1)和点 B(－3,2)的直线 l1 与过点 C(4,5)和点 D(a， －7)的直线 l2 平行，则 a＝________. 52
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2－1 1 解析 因为 k1＝ ＝－4， －3－1
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2.1.3（一）
问题 3 如果直线 l1 和 l2 的斜率都不存在，那么它们有怎样
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的位置关系？
答 如果直线 l1 和 l2 的斜率都不存在，那么它们都与 x 轴 垂直，则 l1∥l2.
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2.1.3（一）
小结
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问题 4 当直线 l1 和 l2 有斜截式方程 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝ k2x＋b2 时两直线平行的条件如何？两条直线重合的条件
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又如何？
答 平行的条件为：k1＝k2 且 b1≠b2； 重合的条件为 k1＝k2 且 b1＝b2.
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2.1.3（一）
kl1 kl2 ，
a＋1
解得 a＝－3 或 a＝2， 当 a＝－3 时，两方程化为－3x＋3y＋1＝0 与 2x－2y＋1＝0
显然平行， 当 a＝2 时，两方程化为 2x＋3y＋1＝0 与 2x＋3y＋1＝0 两直
线重合，∴a＝2 不符合． ②当 a＝－1 时，两直线不平行． 综上可知，所求的 a＝－3.
∴kBC≠kDA，从而直线 BC 与 DA 不平行，
∴四边形 ABCD 是梯形．
7 3－－2 Fra bibliotek研一研· 问题探究、课堂更高效
2.1.3（一）
小结 判定直线 l1，l2 的位置关系时，一定要考虑特殊情况，
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如两直线重合、斜率不存在等．
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＋(m－2)y＋3＝0，当 m 为何值时，满足下列条件 (1)l1 与 l2 相交；(2)l1∥l2；(3)l1 与 l2 重合． 解 (1)A1B2－A2B1＝(m－2)(m－2)－2×2＝(m－2)2－4≠0，
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得(m－2)2≠4 即 m－2≠± 2， ∴当 m≠4 且 m≠0 时 l1 与 l2 相交． (2)由 A1B2－A2B1＝0 得 m＝0 或 m＝4， 当 m＝0 时，两直线方程分别为－2x＋2y－2＝0,2x－2y＋3＝
2.1.3（一）
跟踪训练 1 已知直线方程 l1：2x－4y＋7＝0，l2：x－2y＋5 ＝0，证明：l1∥l2. 证明 把 l1 和 l2 的方程写成斜截式
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1 7 1 5 l1：y＝ x＋ ，l2：y＝ x＋ ， 2 4 2 2 ∵k1＝k2，b1≠b2，∴l1∥l2.
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2.1.3（一）
[问题情境]
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为了表示直线的倾斜程度，我们引入了直线的倾斜角与斜 率的概念，并推导出了斜率的坐标计算公式，即把几何问 题转化为代数问题．那么，我们能否通过两条直线的斜率 来判断两条直线的平行呢？本节我们就来研究这个问题．