高中数学定积分定义

DSiv(i)Dti ( ti1< i<ti );
(3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
n
S v ( i ) D t i ; i 1
(4)取极限: 记max{Dt1, Dt2,, Dtn}, 物体所经过的路程为
n
S l 0 i 1 v ( i ) D t i i . m
b ————积分上限,
[a, b]———积分区间，
x 二、定积分定义
❖定积分的定义
a b f ( x ) d l 0 i n 1 f ( i ) D i x i . x m 根 据 定 积 分 的 定 义 ,曲 边 梯 形 的 面 积 为 A a b f ( x ) d . x
变 速 直 线 运 动 的 路 程 为 S T T 1 2 v ( t ) d . t
二、定积分定义
x ❖定积分的定义
设函数f(x)在区间[a, b]上有界.
•在区间[a, b]内插入分点: ax0<x1<x2< <xn1<xnb;
记Dxixixi1 (i1, 2,, n), max{Dx1, Dx2,,Dxn};
•在小区间[xi1,
xi]上任取一点xi (i1,
2,,
n),
作和
因为以y1x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一个 直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以
0 1 ( 1 x ) d 1 2 1 1 1 2 . x
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三、定积分的性质
❖两点规定
( 1 ) 当 a b 时 , a b f ( x ) d 0 ; x ( 2 ) 当 a b 时 , a b f ( x ) d b a f ( x ) d . x
线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积. 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积的
负值. 这是因为
x x a b f ( x ) d l 0 i n 1 i x f ( i ) D m x i l 0 i n 1 i [ f ( m i ) D x i ] a b [ f ( x ) d . ]
n
f ( i ) D x i ;
•如果当0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与i 1 区间[a, b]
x 的分法和xi的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上
的定积分, 记为 a b f ( x ) d , 即 x a b f ( x ) d l 0 i n 1 f ( i ) D i x i . x m
一、定积分问题举例
1.曲边梯形的面积
•曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、
y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边.
•观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时,
小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?
(4)取极限: 设max{Dx1, Dx2,, Dxn}, 曲边梯形的面积为
n
x A l 0 i 1 f ( i ) D x i i . m
2.变速直线运动的路程
已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且 v(t)0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S. (1)分割: T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, Dtititi1; (2)近似代替: 物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为
0
n i 1 nn n
1
1
1
lim 1en[1(en)n]lim en[1e]e1
n n
1
1en
n
1
n(1en)
•利用几何意义求定积分
例 例2 2 用 定 积 分 的 几 何 意 义 求 0 1 ( 1 x ) d . x
解 函数 y1x在区间[0, 1]上的定积分是以y1x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积.
怎样求曲边梯形的面积？
•求曲边梯形的面积
(1)分割: ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxixixi1;
(2)近似代替: 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
n
x (3)求和: 曲边梯形的面积近A 似l 为 0 i 1 f ( i ) D x i i ;.m
如果函数f(x)在区间[a, b]上的定积分存在, 则称f(x)在区
间[a, b]上可积. •定理1
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数f(x)在区间[a, b]
上可积.
•定理2
如果函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限个间断点,
则函数f(x)在区间[a, b]上可积.
•定积分的几何意义 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直
说明： 定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变
量的记法无关, 即
a b f ( x ) d a b f ( t ) d x a b f ( u ) d t . u
x 二、定积分定义
❖定积分的定义 ❖函数的可积性
a b f ( x ) d l 0 i n 1 f ( i ) D i x i . x m
•利用定义计算定积分
例1
利用定积分定义计算
1
0
e
xdx
.
解: 取分点为 D x i
1 n
(i1, 2, , n1), 则 x i
i n
(i1, 2, , n).
在第i
个小区间上取右端点x i
xi
i n
(i1,
2,
,
n).
于是 1exd x lim nen i 1li1 m (e1 n en 2 en n)
ຫໍສະໝຸດ Baidu x 二、定积分定义
❖定积分的定义
a b f ( x ) d l 0 i n 1 f ( i ) D i x i . x m
•定积分各部分的名称 ————积分符号,
n
f
(xi )Dxi
———积分和.
f(x) ———被积函数, i1
f(x)dx ——被积表达式,
x ————积分变量,
a ————积分下限,
•定积分的几何意义 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直
线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积. 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积的
负值. 一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)
及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.