第五章 控制系统的频域分析

5.1 频率特性概述
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5.1.3 频率特性与传递函数的关系
设一个稳定的线性定常系统的传递函数为
X o s bm s m bm1s m1 b1s b0 Gs X i s an s n an1s n1 a1s a0
即虚频特性。
5.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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5.2.2典型环节的极坐标图 1）比例环节
传递函数：
G( s ) K
G( j) K Ke j 0
频率特性：
幅频特性： 相频特性：
A( ) K
( ) 0
由图可看出放大环节的幅频特性为常数K，相 频特性等于零度，它们都与频率无关。理想的 放大环节能够无失真和无滞后地复现输入信号 。
为了进行拉氏反变换，不妨设系统无重复极点，
Ak B C X o s s j s j k 1 s s k
n
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对上式进行拉氏反变换，可得系统的响应为
xo t Ak e sk t Be jt Ce jt
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1) 在信号的频域描述中，任何信号均可分解为叠加的正弦信号：周期信号 可利用傅里叶级数分解为离散频谱的正弦信号的叠加，非周期信号可利 用傅里叶变换分解为连续频谱的正弦信号的叠加。因此，频域分析方法 适用于任何信号，频率特性可以用于研究系统对任何输入信号的响应特 点。可以通过频率特性分析系统的稳定性、响应的快速性和准确性。 2) 对于复杂的、无法用分析法建立数学模型（微分方程或传递函数）的系 统，或者数学模型中的参数无法确定的系统，可以通过试验求得系统的 频率特性，进而求出其传递函数，并对其参数进行确定和修正。 3) 频率特性可以采用图示方法进行表达和研究，其描述和分析手段十分方 便和直观。Nyquist图直观形象，使实频特性、虚频特性、幅频特性和相 频特性的变化规律一目了然；Bode图绘制方便，对于一般的复杂系统， 其Bode图的近似曲线可手工绘制，且可在合适范围内以合适的精度表现 幅频特性与相频特性随输入信号频率变化的规律。
5.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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5.2.1 极坐标图的基本概念
定义
也称奈奎斯特图（奈氏图）或幅相频率特性图
极坐标图是在极坐标系上，以横向正半轴的射线为极轴； 对于图中的任意点，以从原点出发的矢量长度表示幅频 特性 G j；以矢量与极轴间的夹角表示相频特性 G j
5.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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3）微分环节
传递函数： G( s) s
频率特性： G( j) j e j / 2
幅频特性： A( )
相频特性： () 90
5.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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求系统的频率响应。
方法1:根据频率特性的定义
A K 1 T 2 2
arctanT
G j
K 1 T 22
e j arctan T
方法2:将传递函数的自变量 s 变为 j
G j K jT 1 K jKT 1 T 2 2
5.1 频率特性概述
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5.1.5 频率特性分析法的特点
1) 系统的频率特性是系统的单位脉冲响应函数的频谱（即傅里 叶变换）。 2) 时域分析方法主要分析线性系统的过渡过程，即瞬态响应， 以获得的系统的动态特性；频域分析方法主要分析不同频率 正弦输入时的稳态响应，以获得系统的动态特性。 3) 一般来说，对于单输入-单输出的线性系统进行分析研究时， 频域分析方法比时域分析方法更加容易和方便。 4)若系统的数学模型无法通过分析法取得，或者系统阶次较 高，时域分析方法往往会变得非常困难，而频域分析方法则 提供了方便容易的分析途径。 5)根据频率特性可以选择系统工作的合适频率范围，或者根据 所需的工作频率范围，设计或选择合适频率特性的系统。
n
由于系统是稳定的，其极点均分布在复平面的左半平面，故第一 项 ，随着时间的推移，衰减为0，因而系统的稳态响应为 xo t Be jt Ce jt 此结论对系统有重复极点时仍然有效。 n Ak N B C Gs 2 2 s j s j s k 1 s sk
设输入的正弦信号为 xi t N sin t N 其拉氏变换为 X i s 2 2 ，则输出 s bm s m bm1s m1 b1s b0 N X o s X i s Gs 2 n n1 an s an1s a1s a0 s 2
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G j
G j
G( j) A()e U () jV () U ( ) A( ) cos ( )
V ( ) A( ) sin ( )
j ( )
将极坐标转换为直角坐标系，则横坐标代表幅频特性在横坐标轴
上的投影，即实频特性；纵坐标代表幅频特性在纵坐标上的投影，
4）惯性环节
1 T j jT 1 1 T 2 2 1 T 2 2 1
1
G( j )
1 Ts 1 1 1 频率特性： G( j ) e jarctgT 1 jT 1 2T 2 1 幅频特性： A( ) 1 2T 2
结论：对于稳定的线性定常系统，在正弦信号的 作用下，系统稳态响应是与输入信号同频率的正 弦信号。
G j
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结合频率特性的定义和前面的推导可知，系统的幅频 特性为 A G j ，相频特性为 G j
则系统的频率特性为
A e j G j e jG j G j
将传递函数的自变量 s 变为 j ，就是系统的频率特性。 所以频率特性也可直接记为G j 幅频特性也记为 G j 相频特性也记为G j
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n Ak N C B G s s j s j k 1 s sk s j N N C G j B G j 2j 2j
k 1
5.1 频率特性概述
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可得系统的稳态响应为 N jt N jt xo t G j e G j e 2j 2j
第五章 控制系统的频域分析
第五章 控制系统的频域分析
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5.1 频率特性概述
5.2 频率特性的极坐标图
5.3 频率特性的对数坐标图 5.4 频域性能指标与时域性能指标的关系
5.1 频率特性概述
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应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分 析法。它不必直接求解系统的微分方程，而是间接 地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。 其也是一种图解法。 频域分析方法是经典控制理论中，对控制系统进行 研究和分析的主要方法之一。将传递函数从复域引 到频域，利用频率特性作为数学模型来进行研究， 具有更明确的物理概念。同时，频域分析方法是一 种极为有效的分析方法，与时域分析方法相比，它 具有如下一些明显的优点 。
5.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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2）积分环节
传递函数： G ( s )
1 s
频率特性： G ( j ) 幅频特性： A( )
1
1 1 e j / 2 j

相频特性： ( ) 90 表明积分环节对正弦输入信号有90°的滞后作用
xo (t )
t NKT T sin(t arctan T ) e 2 2 2 2 1 T 1 T
NK
N K s 2 2 Ts 1
N s2 2
瞬态响应
稳态响应
5Байду номын сангаас1 频率特性概述
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结论
由此看出，该系统在正弦输入信号作用下的稳态响应是 与输入信号同频率的正弦信号。但其幅值和相位不同， NK 输入的幅值为 N，响应的幅值为 ；输入的相 2 2 1 T 位为0，响应的相位为 arctan T
思考： 这个结论具有一般性吗？对于任意的线性定常系统， 输入为正弦信号，输出信号的稳态响应也一定是同 频率的正弦信号吗？
5.1 频率特性概述
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5.1.2 频率特性的定义
定义 对于稳定的线性定常系统，在正弦信号的作用下，系统 输出的稳态分量是与输入同频率的正弦信号，其振幅与 输入正弦信号的振幅之比定义为幅频特性，记作 A( ) 其相位与输入正弦信号的相位之差定义为相频特性， 记作 ( ) 幅频特性和相频特性总称为系统的频率特性。系统的频 率特性定义为 的复变函数，它以幅频特性 A( )为幅值， A( ) e j ( ) 以相频特性 ( ) 为相位，记作
系统模型间的关系
5.1 频率特性概述
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5.1.4 频率特性的求取方法 1 2 3 通过试验求取
求取时间响应 利用频率特性 的定义。
将传递函数的 自变量 s 变为 j 求取 。
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例5.2
已知系统的传递函数为
G(s)
K Ts 1 ，K>0,T>0,
5.1 频率特性概述
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5.1.1 频率特性的基本概念
举例：
X o ( s) K 传递函数为 G( s) X i ( s) Ts 1
若 xi (t ) N sin t 对其取拉氏变换得 X i ( s )
X o ( s) X i ( s) G ( s)
从极轴出发，逆时针方向为正 当 从 0 ，向量 G ( j )的端点在复平面上的运动轨迹 即为 G ( j ) 的幅相频率特性曲线。
5.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
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Im[G(jω)]
1 G j 1 jT
0
1
Re[G(jω)]
5.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
G j e
jG j
N j t jG j N e G j e e jt 2j 2j
e j t G j e j t G j G j N 2j G j N sin t G j
A u 2 v 2 K 1 T 2 2
K u 1 T 2 2
KT v 1 T 2 2
arctan
v arctanT u
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方法3:用各种不同频率的正弦信号作为系统 的输入，然后对其响应进行检测。可以将响 应与输入信号的幅值之比记录下来，或根据 其变化规律绘制成曲线，即为幅频特性的函 数曲线；同样，将响应与输入信号的相位之 差记录下来，或根据其变化规律绘制成曲线 ，即为相频特性的函数曲线。如果确定了幅 频特性和相频特性，将二者结合起来，即可 求得系统的频率特性。