直线与方程知识点及典型例题
直线与方程知识点与练习试题
直线与方程【知识点一：直线的方程】 （1）直线方程的几种形式（2）线段的中点坐标公式121122,(,),(,)P P x y x y 若点的坐标分别是，1212122(,)2x x x PP M x y y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且线段的中点的坐标为 【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.【知识点三 直线的交点坐标与距离】 （1）两条直线的交点设两条直线的方程是1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=两条直线的交点坐标就是方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解。
①若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； ②若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行. （2）几种距离两点间的距离：平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式12||PP =特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y的距离||OP =点到直线的距离：点00(,)o P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =两条平行线间的距离：两条平行线1200Ax By C Ax By C ++=++=与间的距离d =一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．直线的倾斜角越大，其斜率越大．( )2．斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，不适用于垂直于x 轴和平行于x 轴的直线．( )3．当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在．( )4．过点P (x 1，y 1)的直线方程一定可设为y －y 1＝k (x －x 1)．( ) 5．直线方程的截距式x a ＋yb ＝1中，a ，b 均应大于0.( ) 二、选择题1．已知直线l 的斜率为－33，那么直线l 的倾斜角是( ) A ．60° B ．120° C ．30° D ．150°2直线l 经过原点O 和点P (－1，－1)，则它的倾斜角是( )A ．45°B ．135°C ．135°或225°D ．0°3过点M (－2，m )，N(m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或44直线l 过点A (1，2)且不过第四象限，那么直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[0，2]B ．(0，2)C ．⎣⎡⎦⎤0，12D ．⎝⎛⎭⎫0，12 5.中直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则 ( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 26经过点(1，3)且斜率不存在的直线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝3C ．y ＝1D ．y ＝3 7．已知点A (－3，4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( )A ．0或8B ．0或－8C ．0或6D ．0或－6 8将方程3x －2y ＋1＝0化成斜截式方程为( )A ．y ＝23x ＋12B ．y ＝32x ＋12C ．y ＝32x ＋1D ．y ＝23x ＋19直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0平行，则l 的方程是10直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图象只可能是( )11已知A (2，0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k ＝( )A ．－3B ．3C ．－13D ．1312已知直线l 1的斜率为0，且l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为( ) A ．0° B ．135° C ．90° D ．180°13点P(2，5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是()A．(5，2) B．(2，5)C．(－5，－2) D．(－2，5)14．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是()A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0三填空题15已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为60°，则直线l2的倾斜角为________．16直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________．17倾斜角为30°，且过点(0，2)的直线的斜截式方程为________．18已知直线l1过点P(2，1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．19．直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________．20.直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M的线段的中点是(1，0)，那么点M到原点的距离为________．21.方程mx＋(m2＋m)y＋4＝0表示一条直线，则实数m≠________．22．已知直线l1过点A(－2，3)，B(4，m)，直线l2过点M(1，0)，N(0，m－4)，若l1⊥l2，则常数m的值是____________．四、解答题23经过两条直线2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线的方程为________．24．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥A D．限时训练1.（2，1)，B (3，－1)两点连线的斜率为( )A ．－2B ．－12C ．12D ．22．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( )A ．12B ．－12C ．23D ．－233.直线y ＝－2x －1的斜率与纵截距分别为( )A ．－2，－1B ．2，－1C ．－2，1D ．2，14若过两点P (6，m )和Q(m ，3)的直线与斜率为12的直线M N 平行，则m 的值为( )A ．5B ．4C ．9D ．05经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的方程为________．。
直线与方程_知识点总结_例题习题精讲_详细答案_提高训练
【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。
②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00 ③倾斜角α的范围000180α≤< （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.（3）求斜率的一般方法：①已知直线上两点，根据斜率公式212121()y y k x x x x -=≠-求斜率；②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. 【知识点三：直线的方程】 名称 方程的形式 已知条件 局限性①点斜式11()y y k x x -=-11(,)x y 为直线上一定点， k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线②斜截式 y kx b =+ k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线知能梳理问题：过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线是否一定可用两点式方程表示？ 【不一定】 (1)若1212x x y y =≠且，直线垂直于x 轴,方程为1x x =； (2)若1212x x y y ≠=且，直线垂直于y 轴,方程为12y y =； (3)若1212x x y y ≠≠且，直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式； 利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为0,0a b ≠≠，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。
《直线的方程》全章知识点总结及典型例题
、考点、热点回顾已知条件图示方程形式适用条件 局限 点斜式点 P （x 0， y 0）和斜不能表示斜率不y －y 0＝k （x －x ）斜率存在存在的直线率k斜率 k 和直线在不能表示斜率不斜截式y ＝ kx ＋b斜率存在y 轴上的截距 b存在的直线x 1≠x 2 ，y 1≠y 2 即P 1（x 1，y 1），P （x ，y － y 1 x － x 1斜率存在且两点式能表示与坐标轴y 2），其中 x 1y 2－ y 1 x 2－ x 1不为 0平行的直线y 1≠y 2在 x ，y 轴上的截斜率存在且不能表示与坐标截距式距分别为 a ， bx＋y ＝1不为 0，不过原轴平行及过原点ab的直线且 a ≠0，b ≠0点一般形式Ax ＋ By ＋C ＝ 0A ，B 不同时为 0无知识点二、线段的中点坐标公式若点 P 1， P 2的坐标分别为 （x 1，y 1），（x 2，y 2），设 P （x ，y ）是线段 P 1P 2 的中点，则知识点三、直线的一般式求直线平行或垂直设直线 l 1与 l 2的方程分别为 A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0（A 1，B 1 不同时为 0），A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0（A 2，B 2不同时为0），A1B2－ A2B1＝ 0，A1 B1 C1 则 l 1∥l 2?或 A1 B1 C1（A 、B 、C 均不为零 ）B 1C 2－B 2C 1≠0或A 1C 2－ A 2C 1≠ 0. A 2B 2C 2直线的方程x ＝x 1＋ x 2 y 1＋y 2l1⊥ l2? A1A2＋B1B2＝ 0.二、典型例题考点一、直线的点斜式方程例 1、写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点 A(2,5)，且与直线 y＝2x＋ 7 平行；(2)经过点 C(－1，－ 1)，且与 x轴平行；(3)经过点 D(1,2)，且与 x 轴垂直．变式训练 1、(1)经过点 (－3,1)且平行于 y 轴的直线方程是__ ．(2) ________________________________________________________________________ 直线 y＝2x ＋1绕着其上一点 P(1,3)逆时针旋转 90°后得到直线 l，则直线 l 的点斜式方程是_________________ ．(3) ______________________________________________________________________________ 一直线 l1过点 A(－1，－2)，其倾斜角等于直线 l2：y＝33x的倾斜角的 2 倍，则 l1的点斜式方程为_________ ．考点二、直线的斜截式方程例 2、 (1) 倾斜角为 60°，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3 的直线的斜截式方程是 ___ __．(2)已知直线 l1的方程为 y＝－ 2x＋ 3， l 2的方程为 y＝4x－2，直线 l与 l 1平行且与 l2在y轴上的截距相同，求直线 l 的方程．变式训练 2、已知直线 l 的斜率为1，且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形，求 l 的斜截式方程．6考点三、直线过定点问题例 3、求证：不论 m 为何值时，直线 l：y＝(m－1)x＋2m＋1 总过第二象限 .变式训练 3、已知直线 l：5ax－5y－ a＋ 3＝ 0.求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限考点四、直线的两点式方程例4、已知 A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中，(1)求 BC 边的方程；(2)求 BC 边上的中线所在直线的方程．变式训练 4、若点 P(3，m)在过点 A(2，－ 1)，B(－ 3,4)的直线上，则 m＝_考点五、直线的截距式方程6 的直线方程是 ( )例 5、过点 P(1,3) ，且与 x 轴、 y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于A．3x＋y－6＝0 B．x＋ 3y－ 10＝ 0C．3x－ y＝0 D．x－3y＋8＝ 0变式训练 5、直线 l 过点 P(34， 2)，且与两坐标正半轴围成的三角形周长为 12，求直线 l 的方程．3A．2 条 B．3 条 C．4 条 D ．无数多条变式训练 6、过点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有 ( )A．1 条 B．2 条 C．3条 D．无数多条考点六、直线的一般式方程(1)斜率是 3，且经过点 A(5,3) ；(2)斜率为 4，在 y 轴上的截距为－ 2；(3)经过点 A(－ 1,5)，B(2，－ 1)两点；(4)在 x轴，y 轴上的截距分别为－ 3，－1.变式训练 7、根据条件写出下列直线的一般式方程：1(1)斜率是－21，且经过点 A(8，－ 6)的直线方程为 ____________ ；(2)经过点 B(4,2)，且平行于 x 轴的直线方程为 ______________ ；3(3) __________________________________________________ 在 x轴和 y轴上的截距分别是2和－3 的直线方程为 ________________________________________________________________(4) ____________________________________________ 经过点 P1(3，－ 2)，P2(5，－ 4)的直线方程为 _____________________________________________________________________ ．例 8、设直线 l 的方程为（m2－ 2m－ 3）x－（2m2＋m－ 1）y＋ 6－2m＝ 0.（1）若直线 l 在 x 轴上的截距为－ 3，则 m＝；（2）若直线 l 的斜率为 1，则 m＝ __ .变式训练 8、若方程（a2＋5a＋6）x＋（a2＋2a）y＋ 1＝0 表示一条直线，则实数 a 满足．考点七、由直线的一般式研究直线的平行与垂直命题角度 1 利用两直线的位置关系求参数例 9、（1）已知直线 l 1： 2x＋（m＋ 1）y＋4＝ 0与直线 l2：mx＋3y－2＝0 平行，求 m的值；（2）当 a 为何值时，直线 l1：（a＋2）x＋（1－a）y－1＝0 与直线 l2：（a－1）x＋（2a＋3）y＋2＝0互相垂直？变式训练 9、已知直线 l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋（a＋1）y－a＝0，求满足下列条件的 a 的值．（1）l1∥ l2；（2）l1⊥l2.例 10、已知直线 l 的方程为 3x＋ 4y－12＝ 0，求满足下列条件的直线 l′的方程：（1）过点（－1,3），且与 l 平行；（2）过点（－1,3），且与 l 垂直．变式训练 10、已知点 A（2,2）和直线 l：3x＋ 4y－20＝0. 求：（1）过点 A 和直线 l 平行的直线方程；（2）过点 A 和直线 l 垂直的直线方程．三、课后练习一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．不论 m为何值，直线（m－ 1）x＋（2m－ 1）y＝ m－ 5 恒过定点（）1A. 1,B. （－ 2,0）C. （2,3）D. （9 ，－ 4）范围为（）A. B. C. D.3．若直线 l1：x＋ay＋6＝0与 l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，则 l1与 l2之间的距离为（）A. B. C. D.4．若点A 1,1 关于直线y kx b 的对称点是B 3,3 ，则直线y kx b 在y 轴上的截距是（）A. 1B. 2C. 3D. 4 5．已知直线l1 :x y 1 0，动直线l2 : k 1 x ky k 0 k R ，则下列结论错误．．的是（）A. 存在k，l1使得l2的倾斜角为 90° B. 对任意的k，l1与l2都有公共点C. 对任意的k，l1与l2都不．重合D. 对任意的k，l1与l2都不．垂．直．6．设点A 2, 3 ，B 3, 2 ，直线 l 过点P 1,1 ，且与线段AB 相交，则 l 的斜率k 的取值范围（）33A. k 或k 4B. 4 k 44C. 3k 4D. 以上都不对47．图中的直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3 ，则有（）A. k1 k2 k3 B. k3k1k2 C. k3k2k1 D. k2k3k18．直线x 3y1 0 的倾斜角为（）.A. B. C. D.9．直线的斜率和在轴上的截距分别是（)A. B. C. D.10 ．过点，且平行于向量的直线方程为（）2．已知不等式组表示的平面区域为18．已知 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．11．过点 A （3，3） 且垂直于直线 的直线方程为二、填空题13．已知 a,b, c 为直角三角形的三边长， c 为斜边长，若点 M m,n 在直线 l :ax by 2c 0上，则 m 2 n 2的 最小值为 __________ ．14．m R ，动直线 l 1:x my 1 0过定点 A ，动直线 l 2:mx y 2m 3 0过定点 B ，若直线 l 与l 2相交于 点 P （异于点 A,B ），则 PAB 周长的最大值为 ________15．过点 （2，－ 3）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 _________ ．16．定义点 到直线 的有向距离为 .已知点 到直线 的有向距离分别是 ，给出以下命题： ① 若 ，则直线 与直线 平行； ② 若 ，则直线 与直线 平行； ③若，则直线与直线 垂直；④若 ，则直线 与直线 相交；其中正确命题的序号是 _______________ . 三、解答题17．求符合下列条件的直线方程： （ 1）过点 ，且与直线 平行； （ 2）过点 ，且与直线垂直；（ 3）过点， 且在两坐标轴上的截距相等．1）求边 上的高所在直线的一般式方程；A. B. C. D.12．在平面直角坐标系中，已知 A 1,2， 3,0 ，那么线段 AB 中点的坐标为（）．A. 2, 1B. 2,1C. 4,D.1,22）求边上的中线所在直线的一般式方程19．已知直线l :3x y 2 2 x 4y 2 0（ 1）求证：直线 l 过定点。
必修二第三章直线与方程知识点总结及练习(答案)
必修二第三章直线与方程（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时 , 我们规定它的倾斜角为0 度。
所以，倾斜角的取值范围是0°≤α＜ 180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用 k 表示。
即k tan。
斜率反应直线与轴的倾斜程度。
当直线 l与 x 轴平行或重合时 ,α =0° , k = tan0° =0;当直线 l与 x 轴垂直时 ,α = 90 ° , k不存在 .当0,90 时，k 0；当90 ,180时， k 0 ；当90时， k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式： k y2y1 (x1x2 )（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠ x2 ）x2x1注意下边四点： (1)当 x1x2时，公式右侧无心义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与 P1、 P2的次序没关；(3)此后求斜率可不经过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率获得。
（3）直线方程①点斜式：y y1k( x x1 ) 直线斜率k，且过点x1, y1注意：当直线的斜率为= 0°时， k=0，直线的方程是y y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不可以用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x ，所以它的方程是x=x 。
11②斜截式：y kx b ，直线斜率为k，直线在 y 轴上的截距为b③两点式：y y1x x1（ x1 x2 , y1y2）直线两点x1, y1，x2, y2y2y1x2x1④截矩式：xy 1 此中直线l与 x 轴交于点 (a,0) ,与y轴交于点 (0,b) ,即l与 x 轴、y轴a b的截距分别为 a,b 。
第三章直线与方程知识点及典型例题
第三章直线与⽅程知识点及典型例题第三章直线与⽅程知识点及典型例题1. 直线的倾斜⾓定义：x 轴正向与直线向上⽅向之间所成的⾓叫直线的倾斜⾓。
特别地，当直线与x 轴平⾏或重合时,我们规定它的倾斜⾓为0度。
因此，倾斜⾓的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率①定义：倾斜⾓不是90°的直线，它的倾斜⾓的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常⽤k 表⽰。
即k=tan α。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l 与x 轴平⾏或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.当[)90,0∈α时，0≥k ；当()180,90∈α时，0例.如右图，直线l 1的倾斜⾓α=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和解：k 1=tan30°=33∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3例：直线053=-+y x 的倾斜⾓是( )A.120°B.150°C.60° ②过两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) 的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下⾯四点：(1)当21x x =时，公式右边⽆意义，直线的斜率不存在，倾斜⾓为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序⽆关；(3)以后求斜率可不通过倾斜⾓⽽由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜⾓可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例.设直线 l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)，当(1) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。
3. 直线⽅程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的⽅程是y =y 1。
直线与方程知识点及典型例题
11. 关于直线的对称点与对称直线的求法 课堂练习：已知直线 l：2x-3y+1=0 和点 P(-1，-2). (1) 分别求：点 P(-1，-2)关于 x 轴、y 轴、原点 O、直线 y=x、直线 y= - x 的对称点 Q 坐标； x 轴： y 轴： 原点 O： 直线 y=x： 直线 y= - x： (2) 分别求：直线 l：2x-3y+1=0 关于 x 轴、y 轴、原点 O、直线 y=x、直线 y= - x 的对称的直线方程； x 轴： y 轴： 原点 O： 直线 y=x： 直线 y= - x： （3）总结（2）中各对称直线斜率 k 及截距之间的关系： 关于 x 轴对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系： 关于 y 轴对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系： 关于原点 O 对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系： 关于直线 y=x 对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系： 关于直线 y= - x 对称的两个直线斜率 k 及截距之间的关系： 【课后作业：】 1、点 P(-1，-2)关于直线 l： x+y-2=0 的对称点的坐标为 。
【课后作业： 】关于 x、y 的方程组
有无穷多组解，实数 m=
．
7. 两点间距离公式：设 A(x1，y1)、B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|= ( x 2 x 1 ) ( y 2 y1 )
2
2
例题：已知直线 l 的斜率为 6，且被两坐标轴所截得的线段长为
，则直线 l 的方程为
． （填序号）
4、已知直线 l 1 的方程是 ax-y+b=0， l 2 的方程是 bx-y-a=0（ab≠0，a≠b） ，则下列示意图形中，正确的是
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直线的方程 知识点总结及典例
3.3 直线的方程基础知识梳理1.点斜式：)(00x x k y y -=-；2.斜截式：b kx y +=；3.两点式：121121x x x x y y y y --=--； 4.截距式：1=+by a x ；5.一般式：0=++C By Ax . 习题巩固一、选择题1．已知直线l 的方程是y ＋2＝－(x ＋1)，则( )A ．直线l 经过点(－1,2)，斜率为－1B ．直线l 经过点(2，－1)，斜率为－1C ．直线l 经过点(－1，－2)，斜率为－1D ．直线l 经过点(－2，－1)，斜率为12．直线x －3y ＋1＝0的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．直线3x －2y －4＝0的截距式方程为( )A ．4x 3－y 2＝1B ．x 13－y 12＝1C ．3x 4－y －2＝1D ．x 43＋y －2＝1 4．若直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x －ay ＋1＝0平行，则a 的值为( )A ．12B ．12或0 C ．0 D ．－2 5．过两点(5,0)，(2，－5)的直线的方程是( )A ．5x ＋3y －25＝0B ．5x －3y －25＝0C ．3x －5y －25＝0D ．5x －3y ＋25＝06．直线x a 2－y b2＝1(ab ≠0)在y 轴上的截距是( B ) A ．a 2 B ．－b 2 C ．|a | D ．b 27．过点(－2,0)且在两坐标轴上的截距之差为3的直线方程是( )A ．x －2＋y ＝1B ．x －2＋y －5＝1 C ．x －2＋y －1＝1 D ．x －2＋y ＝1或x －2＋y －5＝1 二、填空题8．直线3x －2y ＋6＝0与坐标轴围成的三角形的面积为______．9．经过点A (－2,3)，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线的方程为__________．10．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足__________．11．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝__________．12．已知点P (3,4)．过点P 且斜率为2的直线方程是________；过点P 且倾斜角为150°的直线方程是_______；过点P 且与x 轴平行的直线方程是________；过点P 且与x 轴垂直的直线方程是________．三、解答题13．已知点A (3,3)和直线l 的斜率k ＝34．求： (1)过点A 且与直线l 平行的直线方程l 1；(2)过点A 且与直线l 垂直的直线方程l 2．14.求满足下列条件的直线l 的方程：(1)与直线3x＋4y－12＝0平行，且与直线2x＋3y＋6＝0在y轴上的截距相同；(2)与直线x＋2y－1＝0垂直，且与直线x＋2y－4＝0在x轴上的截距相同．15.已知直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点为P(4,1)，求直线l的方程．16.求过点P(－5，－4)且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程．。
高中数学必修2第三章知识点+习题+答案
高中数学必修2第三章知识点+习题+答案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第三章直线与方程直线的倾斜角和斜率倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式:两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即直线的点斜式方程1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=-2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(bb kx y +=直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ ),(1212112121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。
第三章 直线与方程知识点归纳及练习题
1.直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度，但倾斜角α是角度(0°≤α<180°)，是倾斜度的直接体现；斜率k是实数(k∈(－∞，＋∞))，是倾斜程度的间接反映.在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便.(2)倾斜角与斜率的对应关系：当α＝90°时，直线的斜率不存在；当α≠90°时，斜率k＝tan α，且经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k AB＝y2－y1 x2－x1.(3)当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0).2.解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论.3.由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程.4.学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合.5.直线系方程直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根据直线所满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程.直线系方程的常见类型有：(1)过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数，λ≠C )；(3)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ是参数，当λ＝0时，方程变为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，恰好表示直线l 1；当λ≠0时，方程表示过直线l 1和l 2的交点，但不含直线l 2).6.“对称”问题的解题策略对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称.(1)中心对称①两点关于点对称，设P 1(x 1，y 1)，P (a ，b )，则P 1(x 1，y 1)关于P (a ，b )对称的点为P 2(2a －x 1,2b －y 1)，即P 为线段P 1P 2的中点.特别地，P (x ，y )关于原点对称的点为P ′(－x ，－y ).②两直线关于点对称，设直线l 1，l 2关于点P 对称，这时其中一条直线上任一点关于点P 对称的点在另一条直线上，并且l 1∥l 2，P 到l 1，l 2的距离相等.(2)轴对称①两点关于直线对称，设P 1，P 2关于直线l 对称，则直线P 1P 2与l 垂直，且线段P 1P 2的中点在l 上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.②两直线关于直线对称，设l 1，l 2关于直线l 对称.当三条直线l 1，l 2，l 共点时，l 上任意一点到l 1，l 2的距离相等，并且l 1，l 2中一条直线上任意一点关于l 对称的点在另外一条直线上；当l 1∥l 2∥l 时，l 1与l 间的距离等于l 2与l 间的距离.题型一 直线的倾斜角和斜率倾斜角和斜率分别从“形”和“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度.倾斜角α与斜率k 的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起特别重视.(1)对应关系①α≠90°时，k ＝tan α.②α＝90°时，斜率不存在.(2)单调性当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k 由0(含0)逐渐增大到＋∞，然后由－∞逐渐增大到0(不含0).经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，应注意其适用的条件x 1≠x 2，当x 1＝x 2时，直线斜率不存在.例1 已知坐标平面内的三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1).(1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率k 的取值范围.跟踪训练1 求经过A (m,3)、B (1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围.题型二 直线方程的五种形式直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论.求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式、斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线.因此，要注意运用分类讨论的思想.在高考中，题型以选择题和填空题为主，与其他知识点综合时，一般以解答题的形式出现.例2 求与直线y ＝43x ＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线l 的方程.跟踪训练2 过点P (－1,0)，Q (0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.题型三直线的位置关系两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况.例3已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a、b的值.(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等.跟踪训练3(1)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程；(2)已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为 5.求直线l1的方程.题型四最值问题方法梳理1.构造函数求解最值：利用函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性等性质特征及复合函数的结构特征求解函数的最值.2.结合直线方程的相关特征，保证在符合条件的范围内求解最值.3.结合图象，利用几何性质帮助解答.数学思想函数思想：通常情况下求解最值问题可以转化为对函数的研究，函数思想给我们一种最严谨的眼光来看待问题，是一种探求普遍真理的思想，本章中求最大距离、最大面积等问题时常常会用到函数思想.例4已知△ABC，A(1,1)，B(m，m)(1＜m＜4)，C(4,2).当m为何值时，△ABC的面积S最大？跟踪训练4 如图，一列载着危重病人的火车从O 地出发，沿北偏东α度(射线OA )方向行驶，其中sin α＝1010.在距离O 地5a (a 为正常数)千米，北偏东β度的N 处住有一位医学专家，其中sin β＝35，现120指挥中心紧急征调离O 地正东p 千米B 处的救护车，先到N 处载上医学专家，再全速赶往乘有危重病人的火车，并在C 处相遇.经计算，当两车行驶的路线与OB 所围成的三角形OBC 的面积S 最小时，抢救最及时.(1)在以O 为原点，正北方向为y 轴的直角坐标系中，求射线OA 所在的直线方程；(2)求S 关于p 的函数关系式S ＝f (p )；(3)当p 为何值时，抢救最及时？题型五 分类讨论思想分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决.在解题过程中，需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决.在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题.例5 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.题型六 数形结合思想根据数学问题的条件和结论的内在联系，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合. 例6 已知直线l 过点P (－1,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围.1.在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解.2.关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解.3.涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况.。
直线方程知识点和经典题型
1．直线方程的五种形式 斜截式纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线 点斜式过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式纵、横截距 x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0) 所有直线直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
题型一：两直线的位置关系1.判断直线相交:1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，若两直线相交，则有12210A B A B -≠2.设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0， 设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0．两点间的距离，点到直线的距离，两条平行线间的距离1.两点间距离公式：设平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y =-+-.特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；2.点到直线距离公式：点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200B A C By Ax d +++=3.两平行直线距离公式：两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222||C C d A B -=+， 1.若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于A ．1 B ．13- C ．23- D ．2- 2.若直线1:(3)4350l m x y m +++-=与2:2(5)80l x m y ++-=平行，则m 的值为A ．7- B ．1-或7- 题型二：定点问题1. 直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点.A ．(0,0) B ．（3，1）C ．(1,3) D ．(1,3)--2.若不论m 取何实数，直线:120l mx y m +-+=恒过一定点，则该定点的坐标为A ．(2,1)-B ． (2,1)-C ．(2,1)--D ．(2,1)3.不论m 为何实数，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0 恒过定点 A.(1, －21) B.(－2, 0) C.(2, 3) D.(－2, 3) 题型三：对称问题1.已知点(5,8),(4,1)A B ，则点A 关于点B 的对称点C 的坐标 .2.求点（1,2）关于直线20x y --=的对称点。
(精品)直线与方程知识点+经典习题
直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义:倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ; 当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点:(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；（2）k 与P 1、P 2的顺序无关；（3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；（4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1. ②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y ab+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ，与y 轴交于点(0,)b ，即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ,B 不全为0)注意：错误!各式的适用范围 错误!特殊的方程如: 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线:a x =（a 为常数）； (5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数) （二）过定点的直线系(ⅰ)斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ;（ⅱ)过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数）,其中直线2l 不在直线系中.(6）两直线平行与垂直当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时,212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否. （7）两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的一组解。
必修2《直线与方程___知识点_总结》及习题
直线与方程 知识点 总结一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②与x 轴垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值与两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=∙k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可；②斜截式：b kx y += 将已知截距 k b 与斜率 直接带入即可； ③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可；⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 在距离公式当中会经常用到直线的“一般式方程”。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可（可简记为“方程组思想”）。
3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-=推导方法：构造直角三角形“勾股定理”； ②点到直线距离：2200B A C By Ax d +++=推导方法：构造直角三角形“面积相等”；③平行直线间距离：2221BA C C d +-=推导方法：在y 轴截距),0(1C 代入②式；4、中点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A ①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ 推导方法：构造直角“相似三角形”；一.选择题1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A. 012=-+y xB. 052=-+y xC. 052=-+y xD. 072=+-y x 3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. 8- C. 2 D. 104.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ） A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=05.设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ，且sin cos 0θθ+=则a,b 满足 （ ） A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=06. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、327.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A 2 B 21 C 1 D 278. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）9. （上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ） A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或210、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1、K 2、K 3则（ ）A 、K 1﹤K 2﹤K 3B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 211.（北京卷）“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( ) （A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 12、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 13. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜0 14.（北京文）“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的 ( )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件15. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x 垂直，则原点到直线 l 的距离是( )A. 2B. 1C. 2 D 、22 16. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( )A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 二、填空题1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________.2.已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则a 的值为（ ）3.经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2），B （－1，6）等距离的直线的方程是 。
高中直线与方程知识点及经典例题
直 线一、直线斜率、倾斜角1、斜率：k=θtan （θ为倾斜角） [)0180θ∈︒︒，2、斜率：k=2121x x y y --（21x x ≠）已知两点可以求斜率3、k 与θ的关系例1 过A （1，2）点，且不过第四象限的直线，求直线的斜率k 的取值范围？例2 已知直线倾斜角30120θ︒︒⎡⎤∈⎣⎦，，求直线斜率k 的取值范围例3 已知直线斜率k []31，-∈，求直线倾斜角θ的取值范围例4 已知直线l 的倾斜角β是直线1l ：012=+-y x 的倾斜角α的2倍，求直线l 的斜率.练 习1.下列说法中，正确的是（ ）． A. 直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α B. 直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α C. 若直线的倾斜角为α，则sin 0α> D. 任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率2.直线l 过点P （-1,2），且与以A （-6，-3），B （3，-2）为端点的线段相交（包括端点），求l 的倾斜角的范围 ？3.已知直线l 过点P (−1,2),且与以A (−2,−3)、B (3,0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围是4.经过点P （0，-1）作直线l 与连接A(1，-2)，B （2，1）的线段总有公共点，找出直线l 的倾斜角α与斜率k 的取值范围.5.经过点()10，P 作直线l ，若直线l 与连接()33,13---，），（B A 的线段总有公共点，找出直线l 斜率k 的取值范围.二、直线的四种形式： 1.点斜式： 作用：几何意义： 范围：定点问题：例1 已知直线0355:=+--a y ax l（1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限 （2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围例2 点P 是（x,y ）线段x+2y-4=0(22-≤≤x )上的任意一点，求xy 1+的范围.2.斜截式： 作用： 几何意义： 范围：例3 设直线l 的方程为（a+1）x+y+2-a=0（a R ∈） （1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程 （2）若l 不经过第二象限，求a 的范围（3）证明：不论a 为何值，直线恒过某定点，并求定点坐标 （4）证明：不论a 为何值，直线恒过第四象限 作业：1.已知直线01=+++a y ax ，不论a 取何值，则该直线恒过的定点为 .2.已知直线()0121:=-+-+a y a ax l 不通过第四象限，则a 的取值范围是 .3.下列图象不可能是直线()2--=a ax y 图象的是（ ） A ．B ．C ．D ．4.如果直线()0,0<<+=b a b ax y 和直线()0>=k kx y 的图像交于点P ，那么点P 应该位于第 象限.3.截距式： 作用：几何意义： 范围：例1 已知直线过（3，-2）且在x 轴的截距a 是与y 轴的截距是3倍，求直线的截距式.4.求直线方程：两个已知条件设方程：有一个未知数 1、已知点：点斜式 2、已知k ：斜截式 3、已知截距关系：截距式例2 （1）求过点P(2,−1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b ，且满足a=3b 的直线方程.（2）已知直线l 过点（1,0），且与直线)1(3-=x y 的夹角为︒30，求直线l 的方程。
必修二第三章直线与方程知识点总结及练习(答案)
必修二 第三章 直线与方程（1)直线的倾斜角定义：ｘ轴正向与直线向上方向或重合时,我们规定它的倾斜角为０度。
因此，倾斜角的取值范围是(2）直线的斜率①定义：倾斜角不是9０°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用 当直线ｌ与x 轴平行或重合时， α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与ｘ轴垂直时, α＝ 90°, k 不存在. 当[)90,0∈α时,0≥k ； 当()180,90∈α时,0<k ; 当90=α时,k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=（ P1(x1，y1),P ２(x2,ｙ2),ｘ１≠ｘ2）注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P ２的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
注意：当直线的斜率为０°时，k=0，直线的方程是1。
当直线的斜率为9０°时,直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是ｘ＝ｘ1。
（7)两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交 交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解。
方程组无解21//l l ⇔ ; 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 (８)两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点， 则222121||()()AB x x y y =-+-（9)点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200BA C By Ax d +++=(１0）两平行直线距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=直线的方程1.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数,如果A (ａ，a ３）、B (b ，ｂ3)、C (c ，c 3）在同一直线上,求证:ａ+ｂ+c =０.证明 ∵A 、B 、C 三点共线,∴k AB ＝k AC ，∴ca c ab a b a --=--3333,化简得ａ２+ab +b ２=a ２+ac +c 2,∴b 2-c ２+ab -ac =0,（b －c ）（ａ＋b +c )=0， ∵a 、b 、ｃ互不相等,∴b -c ≠0,∴a +b +c =0. ２.若实数x ，y 满足等式(ｘ－2)2+ｙ２=3,那么xy的最大值为ﻩ ﻩ（ )A .21ﻩ B ．33ﻩﻩ Ｃ.23ﻩ ﻩﻩ D .3答案D3.求经过点Ａ（-5，2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； 解 ①当直线l 在ｘ、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y =ｋｘ, 将（-５，2）代入y =kx 中,得k =-52,此时，直线方程为y =-52x , 即2x +5y =０. ②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为ay a x+2=１，将(－5,2）代入所设方程，解得a =－21, 此时，直线方程为x +2ｙ+1=0.综上所述，所求直线方程为x +2ｙ+1=0或2x ＋5ｙ＝0.４．直线l 经过点P （3，2）且与x ,y 轴的正半轴分别交于Ａ、B 两点，△O ＡＢ的面积为12，求直线l 的方程.解 方法一 设直线l 的方程为1=+bya x （a ＞０,b ＞0）, ∴A (a ,0),Ｂ(0,b ), ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=.123,24ba ab 解得⎩⎨⎧==.4,6b a∴所求的直线方程为46yx +=１,即2x ＋3y -12=０． 方法二 设直线l 的方程为y -２=ｋ（x -３), 令y ＝0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-k2，令x =0,得直线l 在y 轴上的截距ｂ＝２－３ｋ. ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 23(2-3k )＝24.解得ｋ=-32.∴所求直线方程为y -２=-32(x －3).即２x ＋3y －12＝0.9．已知线段PQ 两端点的坐标分别为(-1,1）、（２，２），若直线l ：x +my +m ＝0与线段P Ｑ有交点，求ｍ的取值范围.解 方法一 直线x +ｍｙ＋m =0恒过A （0,-１）点. ｋＡP ＝1011+--=-2，k AQ =2021---=23， 则-m 1≥23或－m 1≤-2, ∴-32≤m ≤21且m ≠0．又∵m =0时直线x ＋m ｙ＋m ＝0与线段PQ 有交点,∴所求ｍ的取值范围是－32≤ｍ≤21. 方法二 过P 、Ｑ两点的直线方程为y -1=1212+-(x +1)，即y ＝31x +34，代入x+ｍy ＋m ＝0, 整理，得ｘ=-37+m m . 由已知－1≤－37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤21. 两直线方程例1 已知直线l １:ax +2ｙ+6=０和直线l 2：ｘ＋(a -１)y +a 2-1=0, (1）试判断l 1与l 2是否平行； (2）l １⊥l ２时，求ａ的值．解 （1）方法一 当ａ=１时,l １:x +2y +6=0,l 2:x =０，ｌ1不平行于ｌ2;当ａ=0时,ｌ1:y ＝-3,ｌ２:x -y -1=０,l １不平行于ｌ２； ﻩ ﻩ ﻩ当ａ≠1且a ≠０时,两直线可化为 l 1：y ＝-x a 2-3,l 2:y =x a-11－(ａ+１）， l 1∥ｌ2⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-≠--=-)1(3112a a a ,解得a ＝-1, ﻩﻩﻩ综上可知，ａ=-1时,ｌ１∥l 2,否则l 1与ｌ2不平行.ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ方法二 由A 1B 2-A 2B 1=0，得ａ(a -1）－1×2=０,由Ａ1C 2－Ａ２C 1≠０,得ａ（ａ2-1)－１×6≠０,ﻩ∴l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠⨯--=⨯--061)1(021)1(2a a a a ﻩﻩ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--6)1(0222a a a a ⇒a =－1,ﻩﻩﻩﻩ 故当a ＝-１时,l 1∥l ２,否则ｌ1与ｌ2不平行．ﻩ ﻩ ﻩﻩﻩﻩ（２)方法一 当a =1时,l 1:x +２ｙ+６＝0,l ２:x =0,l 1与l ２不垂直,故a =１不成立. ﻩﻩﻩﻩ当a ≠１时，ｌ１:y =－2a x －3,ｌ2:ｙ=x a -11-(ａ+1),ﻩ由⎪⎭⎫⎝⎛-2a ·a-11＝-1⇒a ＝32.ﻩ 方法二 由Ａ１A 2+B 1Ｂ2=0，得a +2(a －1)＝０⇒a =32．例3 已知直线l 过点Ｐ（3,1)且被两平行线l １:x +y +1=0，ｌ2:x +ｙ+6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程.解 方法一 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为ｘ＝３,此时与ｌ1,l ２的交点分别是A （3,-4）,B (３,-9）, 截得的线段长|AB |＝|－４+9｜=5，符合题意.ﻩﻩﻩ若直线ｌ的斜率存在时，则设直线l 的方程为y =k （ｘ－3)+1,分别与直线l 1,l ２的方程联立，由⎩⎨⎧=+++-=011)3(y x x k y ，解得Ａ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-141,123k k k k .ﻩﻩﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩ 8分由⎩⎨⎧=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-191173k k ，k k ，由两点间的距离公式,得2173123⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k ＋2191141⎪⎭⎫⎝⎛+--+-k k k k =2５, 解得k =0,即所求直线方程为y =１.ﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩﻩﻩ 综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y =1. ﻩﻩ ﻩﻩﻩﻩ方法二 设直线ｌ与l １，l 2分别相交于A (x 1，ｙ1),B （x 2,y ２),则x 1+y 1+１=０，x 2+y 2+6=０,两式相减，得(x 1－ｘ2）+(y １-y 2）=5 ﻩﻩ① ﻩﻩﻩﻩ６分又(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=25ﻩﻩﻩ②联立①②可得⎩⎨⎧=-=-052121y y x x 或⎩⎨⎧=-=-502121y y x x ,ﻩﻩﻩﻩﻩ１０分由上可知，直线l 的倾斜角分别为０°和90°, 故所求的直线方程为ｘ=3或y =1.例４ 求直线l 1:ｙ=2x +3关于直线l ：ｙ＝x +1对称的直线ｌ2的方程.解 方法一 由⎩⎨⎧+=+=132x y x y 知直线l 1与ｌ的交点坐标为（－2,-1），∴设直线ｌ2的方程为y +1=k (x +2),即kx -y ＋2k -１=0.在直线ｌ上任取一点(１，2），由题设知点（1,2)到直线l 1、l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得 221122kk k +-+-=22)1(2322-++-，解得ｋ＝21（k =2舍去),∴直线ｌ2的方程为x -2y =0. 方法二 设所求直线上一点P (x ，ｙ）,则在直线l 1上必存在一点P 1(x 0，y 0）与点P 关于直线ｌ对称． 由题设：直线P Ｐ1与直线ｌ垂直，且线段PP 1的中点P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在直线l 上.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=•--122110000x x y y x x yy ,变形得⎩⎨⎧+=-=1100x y y x , 代入直线l 1:ｙ=２x +3,得x +1=2×(ｙ-1)＋3,整理得x －２y =0.所以所求直线方程为x -2y =０.直线与方程1.设直线l 与x 轴的交点是P ,且倾斜角为α，若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转４5°,得到直线的倾斜角为α+45°，则ﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ （ ）Ａ.0°≤α<180°ﻩ ﻩ ﻩﻩＢ.０°≤α<13５°C ． 0°＜α≤135°ﻩﻩﻩﻩＤ． ０°<α<1３5°答案 D2.曲线ｙ=x 3-2x +4在点（1，3)处的切线的倾斜角为ﻩﻩ( ) A .30°ﻩ ﻩB .４5°ﻩﻩC .６0° ﻩD .１２0°答案 B3.过点M (-2,ｍ)，N (ｍ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为ﻩﻩ ﻩ( )A .1ﻩ ﻩﻩ ﻩB .4 ﻩﻩﻩC .1或3ﻩ ﻩD ．1或4答案 A４.过点Ｐ（-1，2）且方向向量为a ＝（-1，2）的直线方程为ﻩﻩﻩﻩ（ )A .2ｘ+ｙ=0Ｂ．ｘ－2y ＋５=0 C .x -2y ＝0ﻩﻩﻩD .x +2y －5=０ 答案 A5.一条直线经过点A （-２，2）,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为 . 答案 x +2y －2=0或2ｘ＋y +2=0例1 已知三点A (1,-1),B （3，3）,C （４,5）. 求证：Ａ、Ｂ、Ｃ三点在同一条直线上.证明∵A （1，-1)，B （３,3)，C (4,5）, ∴k A Ｂ=1313-+＝2,k B Ｃ＝3435--＝２，∴k A Ｂ＝ｋＢC ， ∴A 、B 、Ｃ三点共线.例２已知实数x ，y 满足y =x 2-２x +２ （-1≤ｘ≤1)． 试求:23++x y 的最大值与最小值. 解 由23++x y 的几何意义可知，它表示经过定点Ｐ（－２,-3）与曲线段ＡB 上任一点（x ,y )的直线的斜率ｋ,如图可知：k P Ａ≤k ≤k ＰB ,由已知可得：A (1,1）,B (-1，5)， ∴34≤k ≤８，故23++x y 的最大值为８，最小值为34．例3 求适合下列条件的直线方程：(1）经过点P （３,2）,且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A (－1，-3)，倾斜角等于直线y ＝3ｘ的倾斜角的2倍. 解 (1）方法一 设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a ,若ａ＝0,即l 过点(０,0)和(3,２）,∴l 的方程为ｙ=32x ,即2x -3y ＝0. 若ａ≠0，则设l 的方程为1=+b ya x ，∵ｌ过点（3，2）,∴123=+aa ，∴a =５,∴ｌ的方程为x +y -5=0, 综上可知,直线l 的方程为2x -3ｙ=0或ｘ+ｙ－5=0. 方法二 由题意知,所求直线的斜率k 存在且k ≠0,设直线方程为ｙ-2=ｋ(ｘ-３),令ｙ=0,得ｘ=3-k2,令x ＝０,得y =2-3ｋ, 由已知3－k 2=2-3k ，解得k =-1或k =32，∴直线l 的方程为:y -2=-(x -3）或y -2=32(x －3), 即x +y -５=0或２x -3y ＝0.(2)由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. ∵ｔan α＝3，∴t ａn2α=αα2tan 1tan 2-=-43．又直线经过点A （-1,-3）,、 因此所求直线方程为y +3=-43(x ＋１),即３x +４y +15=0. 例4 (12分)过点P （2，1)的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、Ｂ两点,求使: （1)△AOB 面积最小时ｌ的方程； （2)|P Ａ｜·|P Ｂ|最小时ｌ的方程. 解 方法一 设直线的方程为1=+bya x (a ＞2,b ＞1)， 由已知可得112=+b a (1)∵2ba 12•≤b a 12+＝1，∴a ｂ≥8.ﻩ∴S △A ＯB =21ab ≥4． ﻩﻩ当且仅当a 2＝b 1=21，即a =4,b =2时，S △ＡOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24yx +=1,即ｘ＋2ｙ-4=０. 6分 （2）由a 2+b1=1,得ab －ａ-2b =０， 变形得（a -２)(ｂ-１）＝2,|PA |·|PB |=22)01()2(-+-a ·22)1()02(b -+-＝]4)1[(]1)2[(22+-⋅+-b a ≥)1(4)2(2-⋅-b a ．ﻩ当且仅当a -2=1,b -1=２，即a =３，b =3时，|ＰA |·|ＰB |取最小值4.此时直线l 的方程为ｘ+y -3=０．ﻩ 方法二 设直线l 的方程为ｙ-1=ｋ(ｘ-2） (ｋ<0),则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,12k 、B (0,１-2ｋ）.(１）S △AOB =21⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 12(１-2k ）=21×⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+)1()4(4k k ≥21（４+4)=4. 当且仅当－４k ＝-k 1,即ｋ=-21时取最小值，此时直线l 的方程为ｙ-1=-21(ｘ-2）,即ｘ+2ｙ－４=0.6分（2）|PA ｜·｜PB |=22441)1(k k ++=84422++k k ≥4, 当且仅当24k=4k ２，即k =-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y -1=-(ｘ-2),即x +y -３=0．一、选择题1.过点（1,3）作直线l ，若经过点(a ,0）和(0,ｂ)，且a ∈Ｎ*，b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）·A .1ﻩﻩ ﻩ Ｂ.2 ﻩﻩ Ｃ.3ﻩD .４答案B2.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（ ) A .x ＋２y -6=0 ﻩﻩﻩ ﻩ ﻩ B .2x +y -6=0C ．x -２y +7=0ﻩﻩﻩﻩD .ｘ-2y -7=０答案B3．若点A （2，-3)是直线a 1x ＋b １y +1=0和ａ2x +b 2y +1=0的公共点,则相异两点（ａ1,ｂ1)和(ａ2，b 2）所确定的直线方程是 ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩ ﻩ ( ） A ．2x －３ｙ+1=0ﻩﻩﻩﻩﻩB .3x －2y +1=0C .2x －3y －1＝0 ﻩﻩﻩＤ.3x －2y -1＝0答案A二、填空题4.已知a ＞0,若平面内三点Ａ（1,－ａ)，B (2,a 2），C (3，a 3）共线,则a ＝ . 答案 1+2５.已知两点A (－1，－5），B （３，-2）,若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案31三、解答题６.已知线段P Ｑ两端点的坐标分别为（－１,1)、（2,2）,若直线l :x ＋ｍy +ｍ＝0与线段PQ 有交点,求m 的取值范围.解 方法一 直线x ＋my ＋m =0恒过A (0，-1）点. k AP ＝1011+--=-２,ｋAQ =2021---＝23,则-m 1≥23或-m 1≤-２,∴-32≤ｍ≤21且m ≠0． 又∵m =0时直线x +ｍy +ｍ＝0与线段ＰQ 有交点，∴所求m 的取值范围是－32≤m ≤21． 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 ｙ-1=1212+-(x +1),即y =31x +34,代入x ＋my +m =0,整理，得x =-37+m m .由已知－1≤－37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤21. 7.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程: （1）过定点A （-3，4);(2）斜率为61. 解 (１)设直线ｌ的方程是y =k (x +３)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k4-3,3k ＋４, 由已知,得（３k +4）（k4+3）=±6,解得ｋ1=-32或ｋ２＝-38． 直线l 的方程为2x +3y -6=0或8ｘ+3y +1２=０． （2）设直线ｌ在y 轴上的截距为ｂ,则直线l 的方程是y =61x +b ,它在x 轴上的截距是-6b , 由已知，得|-6b ·ｂ|=6,∴b ＝±1．∴直线l 的方程为x -６y ＋6=0或x -6y -6=０． 8.已知两点A (-1,2)，B （m ，３). （1）求直线AB 的方程；（2）已知实数m ∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---13,133，求直线ＡB 的倾斜角α的取值范围． 解 (1）当m ＝-1时,直线ＡＢ的方程为x =-1,当m ≠-1时，直线AB 的方程为y －2＝11+m (x +1). （2）①当m =-1时,α=090;②当m ≠－1时,ｍ+1∈(]3,00,33 ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡-,∴k =11+m ∈（-∞，-3］∪⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞,33, ∴α∈[)(]0120,9090,30 .综合①②知,直线AB 的倾斜角α∈[]0120,30.９．过点Ｐ(3，0)作一直线，使它夹在两直线l １:2x -y -2=0与l ２：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程.解 方法一 设点Ａ(x ，y )在l 1上,由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0232B B y y x x ,∴点B (6-x ，-y ),解方程组⎩⎨⎧=+-+-=--03)()6(022y x y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==316311y x ,∴k ＝833110316=--． ∴所求的直线方程为y =8(x -3),即8x －y -24＝0. 方法二 设所求的直线方程为y =ｋ（x -3)，则⎩⎨⎧=---=022)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=24223k ky k k x A A , 由⎩⎨⎧=++-=03)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=16133k ky k k x B B . ∵P （3,０)是线段ＡＢ的中点，∴y A ＋y B =0，即24-k k ＋16+-k k =０,∴k 2-８ｋ=0，解得ｋ=０或k =8． 又∵当k =0时，x Ａ＝1，ｘB =-３,此时32312≠-=+B A x x ,∴k ＝0舍去,∴所求的直线方程为ｙ=8（x－3), 即8ｘ－y-24=０.。
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第三章 直线与方程知识点及典型例题
1. 直线的倾斜角
定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即k=tan α。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
当[)
90,0∈α时，0≥k ； 当(
)
180
,90∈α时，0<k ； 当
90=α时，k 不存在。
例.如右图，直线l 1的倾斜角α=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和l
解：k 1=tan30°=3
3
∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3
例：直线053=-+y x 的倾斜角是( )
A.120°
B.150°
C.60° ②过两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) 的直线的斜率公式：)(211
21
2x x x x y y k ≠--=
注意下面四点：
(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例.设直线 l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)， 当(1) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值
※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。
3. 直线方程
①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是
x =x 1。
②斜截式：y =kx +b ，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b
③两点式：
11
2121
y y x x y y x x --=
--（1212,x x y y ≠≠）直线两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) ④截矩式：
1x y
a b
+=其中直线l 与x 轴交于点(a ，0)，与y 轴交于点(0，b ),即l 与x 轴、y 轴的 截距分别为a 、b 。
注意：一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 ①两个截距都不为0 ②或都为0 ； 但不可能一个为0，另一个不为0. 其方程可设为：1x y
a b
+=或y =kx . ⑤ 一般式：A x +B y +C=0（A ，B 不全为0）
注意：(1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。
(2)各式的适用范围 (3)特殊式的方程如：
平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是1
2
-，经过点A(8，—2)； .
(2)经过点B(4,2)，平行于x 轴； .
(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是3
,32
-； .
(4)经过两点P 1(3，—2)、P 2(5，—4)； .
例1：直线l 的方程为A x +B y +C =0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）
A ．C =0，B>0
B ．
C =0，B>0，A>0 C ．C =0，AB<0
D ．C =0，AB>0 4. 两直线平行与垂直
当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，
212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
5. 已知两条直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，
(A 1与B 1及A 2与B 2都不同时为零) 若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组⎩⎨
⎧=++=++0
C B A 0
C B A 222111y x y x 的一组解。
若方程组无解21//l l ⇔ ； 若方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 6. 点的坐标与直线方程的关系
7.
1122满足 12答：A 1A 2+B 1B 2=0
经典例题；
例1.已知两直线l 1： x +(1+m ) y =2—m 和l 2：2mx +4y +16=0，m 为何值时l 1与l 2①相交②平行 解：
例2. 已知两直线l 1：(3a +2) x +(1—4a ) y +8=0和l 2：(5a —2)x +(a +4)y —7=0垂直，求a 值 解：
例3.求两条垂直直线l 1：2x + y +2=0和l 2： mx +4y —2=0的交点坐标 解：
例4. 已知直线l 的方程为12
1
+-
=x y ， (1)求过点（2，3）且垂直于l 的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l 的直线方程。
8. 两点间距离公式：设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是平面直角坐标系中的两个点，
则|AB|=2
122
12)()(y y x x -+-
9. 点到直线距离公式：一点P(x o ，y o )到直线l ：A x +B y +C =0的距离2
2
o o B
A C
B A d +++=|
y x |
10. 两平行直线距离公式
例：已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：A x +B y +C 1=0，l 2：A x +B y +C 2=0， 则l 1与l 2的距离为2
2
21B
A C C d +-=
例1：求平行线l 1：3x + 4y —12=0与l 2： ax +8y +11=0之间的距离。
例2：已知平行线l 1：3x +2y —6=0与l 2： 6x +4y —3=0，求与它们距离相等的平行线方程。
12. 中点坐标公式：已知两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1)，则线段的中点M 坐标为(
221x x +，2
2
1y y +)
例. 已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB的垂直平分线的方程。
13. 对称点与对称直线的求法
例1：已知直线l：2x—3y+1=0和点P(—1，—2).
(1) 分别求：点P(—1，—2)关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称点Q坐标
(2) 分别求：直线l：2x—3y+1=0关于x轴、y轴、直线y=x、原点O的对称的直线方程.
(3) 求直线l关于点P(—1，—2)对称的直线方程。
(4) 求P(—1，—2)关于直线l轴对称的直线方程。
例2：点P(—1，—2)关于直线l：x+y—2=0的对称点的坐标为。
例3：已知圆C1：(x+1)2+(y—1)2=1与圆C2关于直线x—y—1=0对称，则圆C2的方程为：。
A. (x+2)2+(y—2)2=1
B. (x—2)2+(y+2)2=1
C. (x+2)2+(y+2)2=1
D. (x—2)2+(y—2)2=1。