《等比数列求和》教案 (2)

等比数列的前n项和（说课稿）

罗山县彭新初中：陈新生

一、教材分析

1.从在教材中的地位与作用来看

《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第三章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”等内容作准备。就知识的应用价值上来看，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。

2.从学生认知角度来看

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n 项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。

3. 学情分析

教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，对问题的分析缺乏深刻性和严谨性。

4. 重点、难点

教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用．

教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．

公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。

二、目标分析

1．知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

2.过程与方法目标：通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合的思维能力，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。

3．情感态度与价值观：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝

试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构

的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。用数学的观点看问题，一些所谓不可理解的事就

可以给出合理的解释，从而帮助我们用科学的态度认识世界。

三、教学方法与教学手段

本节课属于新授课型，主要利用计算机和实物投影等辅助教学，

采用启发探究，合作学习，自主学习等的教学模式.

四、教学过程分析

学生是认知的主体，也是教学活动的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，

引导学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我按照自主学习的教学模式来

设计如下的教学过程，目的是在教学过程中促使学生自主学习，培养自主学习的习惯和意识，

形成自主学习的能力。

1．创设情境，提出问题

在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大舍罕为赞赏，对

他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，

第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王觉得太

容易了，就同意了他的要求。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么

呢？大家想一下，这个国王能够满足宰相的要求吗？

【教师提问】

同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数．带着这样的问题，

学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的

这种思路给予肯定．

2．学生探究，解决情境

在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，22，…，263是什么数列？有何特征？

应归结为什么数学问题呢？

探讨1： ，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

探讨2： 如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则

有

，记为（2）式．比较（1）(2）两式，你有什么发现？ 【设计意图】留出时间让学生充分地比较，等比数列前n 项和的公式推导关键是变“加”

为“减”，在教师看来这是很显然的事，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应

着力在这儿做文章，从而培养学生的辩证思维能力．

解决情境问题：经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两

式相减，相同的项就可以消去了，得到： 。老师强调指出：这就是错位相减法，并

要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？

【设计意图】经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了，

⋅⋅⋅236364

设s =1+2+2+2++2s ⋅⋅⋅236364642=2+2+2++2+2646421s =-

让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的

信心，同时也为推导一般等比数列前n 项和提供了方法。

3．类比联想，解决问题

这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列为{}n a ，公比为q ，如何求它的前n

项和？让学生自主完成，然后对个别学生进行指导。

一般等比数列前n 项和：?1321=+++++=-n n n a a a a a S

即?11212111=++++=--n n n q a q a q a q a a S

方法1：错位相减法

⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n n n n n q a q

a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111 q

q a q a a S q n n

n --⇒-=-∴1)1()1(111 这里的q 能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时s n =？ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=1

11)1(11q na q q

q a S n n 在学生推导完成之后，我再问：由n n q a a S q 11)1(-=-得q

q a a S n

n --=111 【设计意图】在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学

生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。

4．讨论交流，延伸拓展

探究等比数列前n 项和公式，还有其它方法吗？我们知道,

那么我们能否利用这个关系而求出S n 呢？

方法2：提取公比q

11212111--++++=n n n q a q a q a q a a S

）（21111-+++=n q a q a a q a

）（111--+=n n q a S q a

n n q a a S q 11)1(-=-∴ 根据等比数列的定义又有234n 123n-1

a a a a =====q a a a a ，能否联想到等比定理从而求出s n 呢？

方法3：利用等比定理

=12a a =23a a =34a a q a a n n =-1

2n-1n-2n 11111111s =a +a q+a q ++a q =a +q(a +a q++a q )