《二次函数》公开课教学PPT课件【初中数学人教版九年级上册】
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人教版九年级上册数学二次函数课程PPT课件
淡蓝色的海水轻轻地拍打着沙滩，一 浪盖过 一浪， 连绵不 绝，源 源不断 。海水 在人们 的心中 无非是 易怒的 。可是 ，在现 在的我 眼中， 如同母 亲的手 温柔的 抚摸着 这岸上 的一切 生灵。 贝壳与 螃蟹戏 玩着， 玩累了 ，便躺 在柔软 的沙上 睡上一 会儿。
（2）一个小球由静止开始沿斜坡向下滚动，5s时到达斜坡底部.测得小球滚动的距 离s(cm)与时间t(s)的数据如下表：
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式.
(a,b,c是常数, a≠0 )
课堂交流
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二 淡蓝色的海水轻轻地拍打着沙滩，一浪盖过一浪，连绵不绝，源源不断。海水在人们的心中无非是易怒的。可是，在现在的我眼中，如同母亲的手温柔的抚摸着这岸上的一切生灵。贝壳与螃蟹戏玩着，玩累了，便躺在柔软的沙上睡上一会儿。
自学探究
(3)某企业去年的产值为1200万元.如果三年内该企业年产值平均每年的增长率为x,你能写出明 淡蓝色的海水轻轻地拍打着沙滩，一浪盖过一浪，连绵不绝，源源不断。海水在人们的心中无非是易怒的。可是，在现在的我眼中，如同母亲的手温柔的抚摸着这岸上的一切生灵。贝壳与螃蟹戏玩着，玩累了，便躺在柔软的沙上睡上一会儿。 年该企业年产值y(万元)与x之间的函数表达式.
注意：
淡蓝色的海水轻轻地拍打着沙滩，一 浪盖过 一浪， 连绵不 绝，源 源不断 。海水 在人们 的心中 无非是 易怒的 。可是 ，在现 在的我 眼中， 如同母 亲的手 温柔的 抚摸着 这岸上 的一切 生灵。 贝壳与 螃蟹戏 玩着， 玩累了 ，便躺 在柔软 的沙上 睡上一 会儿。
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的 整式。
人教版九年级上册数学课件22.1.1二次函数(共19张PPT)
探究二：利用二次函数的表达式表示实际问题。 练习：
重点、难点知识★▲
某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可
卖出20件，现需降价处理，且经市场调查发现：每件服装每降价2元，每
天可多卖出1件。在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出
服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ A ）。
二次函数
（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常 数，a≠0）。 （2）正比例函数的一般形式是：y=kx（k≠0，k为常数）。 （3）一次函数的一般形式是：y=kx+b（k≠0，k、b为常数）。
探究一：二次函数的概念及其解析式。
重点知识★
归纳： 1. 二次函数的概念：把形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 的函数叫做x的二次函数，其中：ax2为二次项，a为二次项系数；bx 为一次项，b为一次项系数；c为常数项。 2.二次函数的解析式： 二次函数的一般式：y=ax2+bx+c （a，b，（2）y=ax2+c （a≠0，b=0，c≠0）； （3）y=ax2+bx （a≠0，b≠0，c=0）。
综上所述，a=-1。
探究二：利用二次函数的表达式表示实际问题。
重点、难点知识★▲
活动1 通过实例，探究归纳。
例1：某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准 备多种一些橙子树以提高产量（果园最多能种150棵橙子树），但是 如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。 根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 （1）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有橙子树_（__1__0_0_+__x_）____ 棵，这时平均每棵树结橙子_（___6_0_0__-5__x_）____个。
九年级数学上册《二次函数》公开课PPT
∣检测∣ 考点七 二次函数解析式的求法
如图所示，四边形 ABCD 是菱形，点 D 的坐标是(0， 3)， 以点 C 为顶点的抛物线 y＝ax2＋bx＋c 恰好经过 x 轴上 A、B 两 点．
(1)求A、B、C三点的坐标； (2)求经过A、B、C三点的抛物线解析式．
小结：本节课你有哪些收获？
知识归类
当 x<－2ba时，y 的值随 x 的 当 x<h 时，y 的值随 x 的增大而减小 ；当
a＞0 增大而 减小 ；当 x>－2ba时，x>h 时，y 的值随 x 的增 增
y 的值随 x 的增大而增大 大而增大 减
性
当 x<－2ba时，y 的值随 x 的 当 x<h 时，y 的值随 x
的增大而增大 ；当
b c
4 3
∴抛物线为y=x2-4x+3
P
(2)连接BC,与对称轴x=2的交点即 为所求点P. 此时△PAB的周长最小.
oAD C
x
∵B（0,3），C（3,0）
x=2
∴直线BC为y=-x+3
当x=2时，y=1
∴点P坐标为（2,1）
考点攻略 ► 考点六 方案决策型应用题
例2 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期 间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发 现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x ＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之 间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润， 最大利润是多少元？
考点攻略
解：(1)根据题意，得6755kk＋＋bb＝＝5455.， 解得 k＝－1，b＝120. 所求一次函数的表达式为 y＝－x＋120. (2)W＝(x－60)·(－x＋120)＝－x2＋180x－7200＝－(x－90)2＋ 900， ∵抛物线的开口向下，∴当 x＜90 时，W 随 x 的增大而增大， 而 60≤x≤87，∴当 x＝87 时，W＝－(87－90)2＋900＝891. ∴当销售单价定为 87 元时，商场可获得最大利润，最大利润 是 891 元．
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
《二次函数》PPT教学课件-2021-2022学年人教版数学九年级上册精选全文
提炼方法 明确路径
一次函数研究路径：
认识函数
图像与性质
与方程、不等式的联系
数学思想：归纳思想、建模思想、 解决实际问题 数形结合思想
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中 的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)正方体的表面积 为y 与棱长为x y =6x2
(2)n个球队参加比赛，每两队之间进行一场 比赛。比赛的场次数m与球队n之间有什么
人教版《义务教育教科书》
22.1.1二次函数
什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某 个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一 的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关 系。（刻画变化规律的数学工具）
对于上述两个变量， x叫自变量， 我们把y叫x 的函数。（运动变化与联系对应的思想）
2、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x
(6)y=x2-x(1+x)
例1．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （1）写出圆的面积y（cm²）与它的周长x（cm）之间 的函 数关系； （2）菱形的两条对角线的和为26cm，求它的面积S（cm²） 与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
当a,b,c满足 什么 条件时
（1）它是二次函数
（1）a 0
（2）它是一次函数
(2)a 0,b 0
（3）它是正比例函数 (3)a 0,b 0,c 0
分类讨论思想
3、m取何值时，函数是 y= (m+1)xm2 2m 1
+(m-3)x+m 是二次函数？ 4、若函数 y (m2 1)xm2m 为二次函数，
二次函数ppt课件
22.1.1 二次函数
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
人教版数学九年级上册22.1.1 二次函数课件(共21张PPT)
∴当m=3 时，该函数是二次函-1+(3-5)x+32, 即y=12x²-2x+9.
例3在情境2中，若某年级共有4个班参加篮球比赛，那么总共要比 多少场? 解：∵比赛的场次数
∴代入n=4, 得m=6 ∴总共要比6场
随堂练习
1.下列函数关系中，是二次函数的为( D
方法总结判断二次函数的方法
1. 自变量的最高次数是2次； 2.二次项系数a≠0;
iSyNVH1
i 凹量‘凿异业
一般地，形如 y=ax²+bx+c(a,b,c a≠0)的函数叫做二次函数。
是常数，
二次 函数
注意：a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和 常数项. (自变量的最高次数是2;二次项系数a≠0)
特殊形式
y=ax²(a≠0);y=ax²+bx(a≠0); y=ax²+c(a≠0,a,b,c 是常数).
解：比赛的场次数为
即
情境3悦悦通过调查发现，由于学生参加校运动会的积极性非常高，所以 今年学校增加了每个项目的参赛人数。已知今年有300名同学参赛，今年比 去年的参赛人数增加了t倍，若按照这样的增长速度，预计两年后的参赛人 数与t之间有怎样的关系?
解：两年后参赛人数f=300(1+t)², 即f=300t²+600t+300.
(1)求y与 x 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
解 ：y=300+30(60-x)=-30x+2100(40≤x≤60). (2)设每星期的销售利润为W 元，求W 与 x 之间的函数关系式.
解 ：W=(x-40)(-30x+2100)=-30x²+3300x-84000.
二次函数 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与 y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2 向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线 y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根 据h、k的值来决定.
y=ax2向|左h|(个右单)平位移y=a(x－h)2移向|上k|(个下单)平位 y=a(x－h)2+k
与
y 1 x2 有什么关系?
2
平移方法1:
y
y
1 2
x
2向下平移 1个单位
y
1 2
x2
1
1 -5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
向左平移 y 1 (x 1)2 1
1个单位
2
-3 -4
-5
-6
-7
平移方法2:
y 1 (x
y
y=ax2
向上(下)平 移|k|个单位
y=ax2+k
向左(右)平 移|h|个单位
y=a(x－h)2+k
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
抛物线 y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
开口方向
向上
向下
对称轴
直线x=h
直线x=h
顶点坐标
（h，k）
（h，k）
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大
1 2
x2向1个左单平位移y
1 (x 1)2 2
向下平移 1个单位
y
1 (x 1)2 2
1
演示：
y 2x2
y 2(x 1)2 1
https:///calculator/yycecsi eyw
二次函数(1)PPT课件(人教版)
九年级上册人教版数学
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做 __二__次__函__数_，其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_二__次__项___系数、 一__次__项___系数和常数项．
14．边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形，剩 余的四方框的面积为y(m2)，则y与x之间的函数关系式为y_＝__1_6_－__x_2_(_0_＜__x_＜_，4) 它是_二__次____函数．
15．若y＝(m－1)xm2＋2m－1＋3. (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？
解 ： 降 低 x 元 后 ， 所 销 售 的 件 数 是 (500 ＋ 100x) ， 则 y ＝ (13.5 － 2.5 － x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P 从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开 始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B 同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2.
C．y＝12(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
3．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是__a_≠_－__3___． 4．对于二次函数y＝1－3x＋2x2，其二次项系数、一次项系数及常数 项的和是__0__． 5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当___a≠__2____时，x，y之间是二次函数关系； (2)当___a_＝__2_且__b_≠_－__2_____时，x，y之间是一次函数关系．
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做 __二__次__函__数_，其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_二__次__项___系数、 一__次__项___系数和常数项．
14．边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形，剩 余的四方框的面积为y(m2)，则y与x之间的函数关系式为y_＝__1_6_－__x_2_(_0_＜__x_＜_，4) 它是_二__次____函数．
15．若y＝(m－1)xm2＋2m－1＋3. (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？
解 ： 降 低 x 元 后 ， 所 销 售 的 件 数 是 (500 ＋ 100x) ， 则 y ＝ (13.5 － 2.5 － x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P 从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开 始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B 同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2.
C．y＝12(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
3．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是__a_≠_－__3___． 4．对于二次函数y＝1－3x＋2x2，其二次项系数、一次项系数及常数 项的和是__0__． 5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当___a≠__2____时，x，y之间是二次函数关系； (2)当___a_＝__2_且__b_≠_－__2_____时，x，y之间是一次函数关系．
二次函数ppt课件
过程与方法目标
在教师的引导下，学生经历观察、
类比、讨论、归纳的过程，通过小
组交流讨论的学习方式，共同探索
出二次函数的概念和解析式特征。
3.说教材
的重难点
教学重点:经历探索、分
析、类比讨论、归纳二次
函数概念的过程。
教学难点:根据二次函数
的定义特征辨别二次函数。
三、说教法
在教学过程中，不仅要使学生“知其然”，还要
解：由题可知,
− = ,
。
m=3
解得
+ ≠ ,
− = ,
+ ≠ ,
− − =
+≠
六、教学反思
1.本节课通过学生的探究性活动，学生之间的合作
与交流来分析实际问题，进而引出二次函数的概念，
使学生感受二次函数与现实生活的联系。
2.在课堂中，要结合课堂的实际效果和学生的情况
二次函数
一、学情分析
二、教材分析
三、教法与学法分析
四、教学过程分析
五、板书设计
六பைடு நூலகம்教学反思
据心理学研究结果，这个时期的青少年和
成年人思维接近，但他们理解抽象的词语仍有
困难，他们的判断力和逻辑推断力还没有很好
地发展，大多数青少年已经相当熟练地操作具
体对象，并喜欢通过具体手段学习，需要把抽
象的概念和他们的经验联系起来。
培养学生能力，促进学生个性发展。
1、学生特点分析
生理上，青少年好动，注意力易分散，
爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在
教学中应抓住学生这一生理特点，一方面要
运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使
他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面
人教版九年级上册数学二次函数课件带内容PPT课件演示
将"咖啡屋"学习模式应用于小学生的 作文教 学中， 落实到 作文教 学的等 各个环 节，充 分激发 了学生 写作的 主动性 和积极 性，加 强了学 生间的 了解与 沟通， 培养了 良好的 写作习 惯，提 高了学 生的写 作水平 。
（1）y=3(x-1)²+1
(2)y=x+
_1_ x
(3)s=3-2t² (5)y=_x1_²-x
将"咖啡屋"学习模式应用于小学生的 作文教 学中， 落实到 作文教 学的等 各个环 节，充 分激发 了学生 写作的 主动性 和积极 性，加 强了学 生间的 了解与 沟通， 培养了 良好的 写作习 惯，提 高了学 生的写 作水平 。
二
函数 将"咖啡屋"学习模式应用于小学生的作文教学中，落实到作文教学的等各个环节，充分激发了学生写作的主动性和积极性，加强了学生间的了解与沟通，培养了良好的写作习惯，提高了学生的写作水平。 将"咖啡屋"学习模式应用于小学生的 作文教 学中， 落实到 作文教 学的等 各个环 节，充 分激发 了学生 写作的 主动性 和积极 性，加 强了学 生间的 了解与 沟通， 培养了 良好的 写作习 惯，提 高了学 生的写 作水平 。
否是二次函数。
将"咖啡屋"学习模式应用于小学生的 作文教 学中， 落实到 作文教 学的等 各个环 节，充 分激发 了学生 写作的 主动性 和积极 性，加 强了学 生间的 了解与 沟通， 培养了 良好的 写作习 惯，提 高了学 生的写 作水平 。
自学探究
将"咖啡屋"学习模式应用于小学生的 作文教 学中， 落实到 作文教 学的等 各个环 节，充 分激发 了学生 写作的 主动性 和积极 性，加 强了学 生间的 了解与 沟通， 培养了 良好的 写作习 惯，提 高了学 生的写 作水平 。
《二次函数》PPT优秀课件
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是 函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1 （是）
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式 ，并能指出二次函数的项及各项系数.
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函数是否是 二次函数.
探究新知
知识点 1 二次函数的概念
问题1
正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方形的棱长为x,表面 积为y,显然对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的 具体关系可以表示为
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些 是常数、自变量和函数．
函数解析式 y=6x2
自变量 x
函数 y
这些函数有什么 共同点？
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数，叫做二 次函数.
y =-2x2+40x=-2×122+40×12=192（m2）.
xm
xm
y m2
（40-2x ）m
方法点拨:确定实际问题中的二次函数关系式时，常常用到生活中的经验及数 学公式（例长方形和圆的面积、周长公式）等.
巩固练习
做一做: ①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm)，写出y与x之间的函数关系式； ②王先生存入银行2万元,先y=存πx一2 个(x一>0年) 定期，一年后银行将本息自动转存为 又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x，两年后王先生共得本息和y万 元,写出y与x之间的函数关系式； ③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.
人教版九年级上册数学二次函数实用PPT解析课件
秋天，漫步花园。万树枯竭，唯独菊 花一枝 独秀， 我们在 花园中 尽情漫 步，菊 花慷慨 大方地 送上淳 朴的花 香。小 动物们 无暇顾 及这这 菊花的 幽香， 而忙着 去采集 过冬的 食物， 为度过 难熬的 冬天而 忙碌着 。小松 鼠将食 物藏在 树洞中 ，熊将 自己缩 成一团 ，熟睡 起来， 青蛙也 躲在了 自己的 洞中， 不再出 来演唱 自己那 洪亮的 歌声。
上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式.
(a,b,c是常数, a≠0 )
课堂交流
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二 秋天，漫步花园。万树枯竭，唯独菊花一枝独秀，我们在花园中尽情漫步，菊花慷慨大方地送上淳朴的花香。小动物们无暇顾及这这菊花的幽香，而忙着去采集过冬的食物，为度过难熬的冬天而忙碌着。小松鼠将食物藏在树洞中，熊将自己缩成一团，熟睡起来，青蛙也躲在了自己的洞中，不再出来演唱自己那洪亮的歌声。
个变量之间的关系，体会出二次函数的意义。 ➢ 2.能写出一些简单函数的解析式并会判断是
否是二次函数。
自学探究
请用适当的解析式表示下列问题情境中 秋天，漫步花园。万树枯竭，唯独菊花一枝独秀，我们在花园中尽情漫步，菊花慷慨大方地送上淳朴的花香。小动物们无暇顾及这这菊花的幽香，而忙着去采集过冬的食物，为度过难熬的冬天而忙碌着。小松鼠将食物藏在树洞中，熊将自己缩成一团，熟睡起来，青蛙也躲在了自己的洞中，不再出来演唱自己那洪亮的歌声。 的两个变量 y 与 x 之间的关系·
变 秋天，漫步花园。万树枯竭，唯独菊 花一枝 独秀， 我们在 花园中 尽情漫 步，菊 花慷慨 大方地 送上淳 朴的花 香。小 动物们 无暇顾 及这这 菊花的 幽香， 而忙着 去采集 过冬的 食物， 为度过 难熬的 冬天而 忙碌着 。小松 鼠将食 物藏在 树洞中 ，熊将 自己缩 成一团 ，熟睡 起来， 青蛙也 躲在了 自己的 洞中， 不再出 来演唱 自己那 洪亮的 歌声。
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第二十二章 二次函数
二次函数的图像和性质 第 1 课时
一、复习回顾
1. 一元二次方程的一般形式是什么？
2. 函数定义是什么？ 设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y ,如果对于 x 的每一个值, y 都有唯一的值与它对应,那么就说 x 是自变量, y 是 x 的函数. 3. 一次函数，正比例函数的一般形式是什么？ 一次函数：y = kx+b（k , b 是常数，k ≠ 0） 正比例函数：y = kx（k 是常数，k ≠ 0）
二、合作交流，探究新知
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间 的关系： (1) 圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm )
y = πx2 (2) 某商店 1 月份的利润是 2 万元，2、3 月份利润逐月增长，这两 个月利润的月平均增长率为 x，3月份的利润为 y
是
(4) y = (x - 1)2 - x2
不是
四、巩固新知
2.若函数 y =(m2 -1)xm2-m 为二次函数，求 m 的值.
解：因为该函数为二次函数，
则 m 2 m 2(1)
m
2
1
0(2)
解得：m = 2 注意:二次函数的二次项系数不能为零.
四、巩固新知
3. 要用长 20 m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，
二、合作交流，探究新知
1. 现有一根 12 m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才 使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ， 它的面积最大，他说的有道理吗？
2. 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路 线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决
y = 2(1+x)2
二、合作交流，探究新知
(3) 拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个 矩形，周长为 120 m ， 室内通道的尺寸如图，设一条边长
为 x (m)， 种植面积为 y (m2).
y = (60-x-4)(x-2)
1
1
y
1
x
3
二、合作交流，探究新知
y = πx2 y = 2(1+x)2 = 2x2+4x+2 y = (60-x-4)(x-2) = -x2+58x-112 y 是 x 的函数吗？y 是 x 的一次函数？反比例函数？ 上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征？ 在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的， 经化简后都具有 y=ax²+bx+c 的形式. (a，b，c 是常数，a ≠ 0 )
D
在△AEH中，AE=x，AH=BE=AB-AE=2-x，∠A=90°HX， ∴HE2=AE2+AH2=x2+（2-x）2=2x2-4x+4，
正方形EFGH的面积y=HE2=2x2-4x+4， ∵AE，AH不能为负，∴0≤x≤2，
AXE
G XC
F
X
B
故y关于x的函数表达式：y=2x2-4x+4，自变量 x 的取值范围[0，2].
角三角形 (图中阴影部分 ) ，设AE = BF = CG = DH = x (cm)，四边
形 EFGH 的面积为 y (cm2) ，求 :
(1) 求 y 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围 D
X
(2) 当 x 分别为 0.25，0.5，1，1.5，
H
GX C
1.75 时 ，求对应的四边形EFGH的
二、合作交流，探究新知
定义：一般地，形如 y = ax²+bx+c ( a，b，c 是常数，a ≠ 0)的 函数叫做 x 的二次函数. 注意： （1）等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式. （2）a，b，c为常数，且 a ≠ 0. （3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次项和常数项， 但不能没有二次项. （4）x 的取值范围通常情况是任意实数.
三、运用新知
解：（2）
x 0.25
y
25 8
0.5 1 1.5 1.75
5 2
2
5 2
25 8
（3）由上表可以看出： 随着 x 的取值的增大，y 的值先减小后增大.
D
GX C
X
H
F
X
AX E
B
四、巩固新知
1. 下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y = x2
是
(2)
y
=
-
1 x2
不是
(3) y = x(1- x)
设连墙的一边为 x ,巨形的面积为 y ,求：
(1)写出 y 关与 x 的函数关系式.
(2)当 x = 3 时,距形的面积为多少?
解:(1) y = x(20-2x)
= -2x2+20x (0<x<10)
(2)y = -2×32+20×3 = 42m
x
五、归纳小结
1. 定义：一般地，形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a ≠ 0) 的函数叫做 x 的二次函数. 2. 定义的实质是：ax2+bx+c 是整式，自变量 x 的最高次是 二次，自变量 x 的取值范围是全体实数. 3. 二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中 a、b、c 是常数，a ≠0 ) a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项
函数值是 -5 ,求这个二次函数的解析式.
解：以 x=1、y=4 代入,得：
p＋q＋1=4 , 即：p＋q=3
(1)
以 x=2、y=－5 代入,得：
4＋2p＋q=－5 ,即：2p＋q=－9 (2)
解(1)、(2),得：
p=－12、q=15
则：，一张正方形纸板的边长为 2 cm，将它剪去 4 个全等的直
二、合作交流，探究新知
二次函数的一般形式:
y＝ ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数，a ≠ 0 )
a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项
二次函数的特殊形式：
当 b＝0 时， y＝ax2＋c 当 c＝0 时， y＝ax2＋bx 当 b＝0，c＝0 时， y＝ax2
三、运用新知
1. 已知二次函数 y=x2+px+q ,当 x=1 时，函数值是 4；当 x=2 时，
F
面积 y，并列表表示.
X
AX E
B
(3) 随着 x 的取值的增大，y 的值有怎样的变化？
三、运用新知
解：（1）∵在正方形纸上剪去 4 个全等的直角三角形，
∴∠AHE=∠DGH，∠DGH+∠DHG=90°，HG=HE，
∵∠EHG=180°-∠AHE-∠DHG，
∴∠EHG=90°，四边形EFGH为正方形，
二次函数的图像和性质 第 1 课时
一、复习回顾
1. 一元二次方程的一般形式是什么？
2. 函数定义是什么？ 设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y ,如果对于 x 的每一个值, y 都有唯一的值与它对应,那么就说 x 是自变量, y 是 x 的函数. 3. 一次函数，正比例函数的一般形式是什么？ 一次函数：y = kx+b（k , b 是常数，k ≠ 0） 正比例函数：y = kx（k 是常数，k ≠ 0）
二、合作交流，探究新知
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间 的关系： (1) 圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm )
y = πx2 (2) 某商店 1 月份的利润是 2 万元，2、3 月份利润逐月增长，这两 个月利润的月平均增长率为 x，3月份的利润为 y
是
(4) y = (x - 1)2 - x2
不是
四、巩固新知
2.若函数 y =(m2 -1)xm2-m 为二次函数，求 m 的值.
解：因为该函数为二次函数，
则 m 2 m 2(1)
m
2
1
0(2)
解得：m = 2 注意:二次函数的二次项系数不能为零.
四、巩固新知
3. 要用长 20 m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，
二、合作交流，探究新知
1. 现有一根 12 m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才 使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ， 它的面积最大，他说的有道理吗？
2. 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路 线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决
y = 2(1+x)2
二、合作交流，探究新知
(3) 拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个 矩形，周长为 120 m ， 室内通道的尺寸如图，设一条边长
为 x (m)， 种植面积为 y (m2).
y = (60-x-4)(x-2)
1
1
y
1
x
3
二、合作交流，探究新知
y = πx2 y = 2(1+x)2 = 2x2+4x+2 y = (60-x-4)(x-2) = -x2+58x-112 y 是 x 的函数吗？y 是 x 的一次函数？反比例函数？ 上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征？ 在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的， 经化简后都具有 y=ax²+bx+c 的形式. (a，b，c 是常数，a ≠ 0 )
D
在△AEH中，AE=x，AH=BE=AB-AE=2-x，∠A=90°HX， ∴HE2=AE2+AH2=x2+（2-x）2=2x2-4x+4，
正方形EFGH的面积y=HE2=2x2-4x+4， ∵AE，AH不能为负，∴0≤x≤2，
AXE
G XC
F
X
B
故y关于x的函数表达式：y=2x2-4x+4，自变量 x 的取值范围[0，2].
角三角形 (图中阴影部分 ) ，设AE = BF = CG = DH = x (cm)，四边
形 EFGH 的面积为 y (cm2) ，求 :
(1) 求 y 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围 D
X
(2) 当 x 分别为 0.25，0.5，1，1.5，
H
GX C
1.75 时 ，求对应的四边形EFGH的
二、合作交流，探究新知
定义：一般地，形如 y = ax²+bx+c ( a，b，c 是常数，a ≠ 0)的 函数叫做 x 的二次函数. 注意： （1）等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式. （2）a，b，c为常数，且 a ≠ 0. （3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次项和常数项， 但不能没有二次项. （4）x 的取值范围通常情况是任意实数.
三、运用新知
解：（2）
x 0.25
y
25 8
0.5 1 1.5 1.75
5 2
2
5 2
25 8
（3）由上表可以看出： 随着 x 的取值的增大，y 的值先减小后增大.
D
GX C
X
H
F
X
AX E
B
四、巩固新知
1. 下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y = x2
是
(2)
y
=
-
1 x2
不是
(3) y = x(1- x)
设连墙的一边为 x ,巨形的面积为 y ,求：
(1)写出 y 关与 x 的函数关系式.
(2)当 x = 3 时,距形的面积为多少?
解:(1) y = x(20-2x)
= -2x2+20x (0<x<10)
(2)y = -2×32+20×3 = 42m
x
五、归纳小结
1. 定义：一般地，形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a ≠ 0) 的函数叫做 x 的二次函数. 2. 定义的实质是：ax2+bx+c 是整式，自变量 x 的最高次是 二次，自变量 x 的取值范围是全体实数. 3. 二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中 a、b、c 是常数，a ≠0 ) a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项
函数值是 -5 ,求这个二次函数的解析式.
解：以 x=1、y=4 代入,得：
p＋q＋1=4 , 即：p＋q=3
(1)
以 x=2、y=－5 代入,得：
4＋2p＋q=－5 ,即：2p＋q=－9 (2)
解(1)、(2),得：
p=－12、q=15
则：，一张正方形纸板的边长为 2 cm，将它剪去 4 个全等的直
二、合作交流，探究新知
二次函数的一般形式:
y＝ ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数，a ≠ 0 )
a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项
二次函数的特殊形式：
当 b＝0 时， y＝ax2＋c 当 c＝0 时， y＝ax2＋bx 当 b＝0，c＝0 时， y＝ax2
三、运用新知
1. 已知二次函数 y=x2+px+q ,当 x=1 时，函数值是 4；当 x=2 时，
F
面积 y，并列表表示.
X
AX E
B
(3) 随着 x 的取值的增大，y 的值有怎样的变化？
三、运用新知
解：（1）∵在正方形纸上剪去 4 个全等的直角三角形，
∴∠AHE=∠DGH，∠DGH+∠DHG=90°，HG=HE，
∵∠EHG=180°-∠AHE-∠DHG，
∴∠EHG=90°，四边形EFGH为正方形，