二次根式及经典习题与答案
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二次根式的知识点汇总
知识点一:二次根式的概念
形如()的式子叫做二次根式。
注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,
如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。
知识点二:取值范围
1.二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意
义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等
于零即可。
2.二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没
有意义。
知识点三:二次根式()的非负性
()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。
注:因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即
0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0;若,则a=0,b=0。
知识点四:二次根式()的性质
()
文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注:二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用:若,则,如:,.
知识点五:二次根式的性质
文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注:
1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或
0,则等于a本身,即;若a是负数,则等于a的相反数-a,即;
2、中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;
3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六:与的异同点
1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平
方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的,,
而
2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,
无意义,而.
二次根式
21.1 二次根式:
1. 有意义的条件是 。
2. 当__________
3. 1
1
m +有意义,则m 的取值范围是 。
4. 当__________x 是二次根式。
5. 在实数范围内分解因式:429__________,2__________x x -=-+=。
6. 2x =,则x 的取值范围是 。
7. 2x =-,则x 的取值范围是 。
8. )1x 的结果是 。
9. 当15x ≤5_____________x -=。
10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。
11. 11x =
+成立的条件是 。
12. 若1a b -+()2005
_____________a b -=。
13. 在式子
)()()230,2,12,20,3,1,x y y x x
x x y +=--++中,二次
根式有( )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是( )
A. B.
C. D.
15. 若2
3a )
A. 52a -
B. 12a -
C. 25a -
D. 21a -
16. 若
A =
=( )
A. 2
4a + B. 2
2a + C. ()2
2
2a + D. ()2
2
4a +
17. 若1a ≤
)
A. (1a -
B. (1a -
C. (1a -
D. (1a -
18.
=成立的x 的取值范围是( ) A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥
19.
)
A. 0
B. 42a -
C. 24a -
D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是( )
(
)
(
)()()
2312322
4==-=
=∴=-∴=-
A. ()1
B. ()2
C. ()3
D. ()4 21. 2440y y -+=,求xy 的值。
22. 当a1取值最小,并求出这个最小值。
23. 去掉下列各根式内的分母:
())
x())
10
x
21
24. 已知2310x x -+=
25. 已知,a b (10b -=,求20052006a b -的值。
21.2 二次根式的乘除
1. 当0a ≤,0b
__________=。
2. _____,______m n ==。
3. __________==。
4. 计算:
_____________=。
5. ,则长方形的长约为 (精确到0.01)。
6. 下列各式不是最简二次根式的是( )
A.
B. C.
4
D.
7. 已知0xy ,化简二次根式 )
A.
B. C. D.
8. 对于所有实数,a b ,下列等式总能成立的是( )
A. 2
a b =+ B. a b =+
C.
22a b =+ D.
a b =+
9. -- )