运筹学第5章-运输模型

xij

0
6
一般表式运输模型
Bj
cij,xij
ai
Ai
B1
B2
…
Bn
A1
c11
c12
…
c1n
a1
X 11
X 12
X 1n
A2
c21
c22
X 21
X 22
…
c2n
a2
X 1n
…
…
…
…
…
Am
cm1
cm2
X 31
X 32
bj
b1
b2
…
cmn
am
X mn
…
bn
7
系数矩阵的结构如下：
x11 x12 … x1n x21 x22 … x2n … … … … xm1 xm2 … xmn
2019/8/23
11
例5-1
Bi Ai
cij
B1
B2
B3
B4
ai
A1
8
6
7
3
3
A2
2
3
1
5
4
A3
4
2
6
8
3
bj
3
2
1
4
12
2、最大差额法
计算各行各列中最小运价和次小运价两个运价之差值 （行或列满足之后划去，计算差值时不再考虑）
优先取最大差值的行或列中最小的运价对应的格来确定 运输关系，直到求出初始方案。
1 1 1


111


m 行

1 1 1
A



1
1

1

1


1

1

n 行


1
1

1
2019/8/23
8
产销平衡LP模型
m
n
ai =bj
i1
j 1
供大于求LP模型
m
n
ai bj
i 1
闭回路示意图 18
例5-1
Bi
Ai
B1
cij
B2
B3
B4
ai
A186源自73③3A2
2
3
③
1
5
①
4
A3
4
0
2
6
②
8
①
3
bj
3
2
1
4
19
三、非优方案调整
方法：闭回路调整法
1. 进基 min ij ij 0 lk xlk
2. 以xlk为始（终）点，画闭回路法
3. 出基 = min xij xpq
解：增加一个虚设的产地运输费用为0
B1
B2
B3
产量
A1
6
4
6
200
A2
6
5
5
300
A3
0
0
0
150
销量
250
200
200
650
650
27 2019/8/23
产销不平衡问题的扩展
例5-2 某市自来水公司有三个水库，向四个区输水。除输送费以 外，其余费用为1.65元/吨。水价均为2.90元/吨。该公司应 如何分配自来水，才能保障各区基本用水需求，且使自身获 利最大？
管理运筹学
——模型与方法
赵明霞 山西大学经济与管理学院
1
第5章 运输模型
5.1 一般模型 5.2 表上作业法 5.3 实用模型
2
在经济建设中，经常会遇到大宗物资中的运输问题如 煤炭、钢铁、木材、粮食等物资,在全国有若干生 产基地, 根据已有的交通网, 应如何制定调运方案， 将这些物资运到各消费地点，使总运费最小。
cm+1,j=0,
例5.2 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3， 各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的 运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？
B1
B2
B3
产量
A1
6
4
6
200
A2
6
5
5
300
销量
250
200
200
500
650
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26
33
A
B
C
D
甲1
M
1
④
1
5
①
乙1
1
M
③
1
5
②
丙M
1
1
M
5
②
③
丁0
0
0
0
1
①
4
5
3
4
34
运营调度问题
例5-5 拖拉机厂与农机公司签订一份拖拉机供需合同。规定， 该厂要在今后4个月各交付一定台数的拖拉机。若当月不 交货，每台每存储1个月，会发生100元的存储保管费。 若延期1个月交货，每台将罚款200元回扣给需方。该厂 应如何拟定最经济的生产调度计划？
3
4
3
4
表式运输模型
食品厂
面粉厂
B1
A1
8
X 11
A2
2
X 21
A3
4
X 31
需量 bj/吨
3
运价 cij(10 元/吨)
B2
B3
6
7
X 12
X 13
3
1
X 22
X 23
2 X 32
6 X 33
2
1
B4 3
X 14 5
X 24
8 X 34
4
供量 ai/吨
3
4
3
5
min z 8x11 6x12 7x13 3x14 2x21 3x22 1x23 5x24 4x31 2x32 6x33 8x34
区 水库
A B C 最低需求/万吨 最高需求/万吨
甲 0.80 0.70 0.95 30 50
单位输送费/（元/吨）
乙
丙
丁
0.65
1.10
0.85
0.65
0.95
0.75
1.00
1.15
----
70
0
10
70
30
不限
可供水量 /万吨
50 60 50 万吨/天
28
水库
区 甲1
A
0.80
单位输送费/（元/吨）
案；否则就不是最优，需要进行调整。 1、位势法 2、闭回路法
15
1.位势法
基变量的检验数恒为0,行位势ui,列位势vj, ui v j =cij
计算非基变量的检验数 ij cij ui v j
画圈最多的行（列）ui（vj）=0
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16
例5-1
vj
Ui
适用于产销平衡运输问题（规范表式运输模型）
最小运价法 最大差额法
位势法 闭回路法
基本可行解
m+n-1
是
是否最优解
ij0
结束
否
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换基
闭回路调整法
10
一、初始基可行解的确定
1、最小运价法
xij min ai' , b'j
填写数字处为有数字的格，它对应运输问题解中的基变 量的取值（含填数字0的格），为m+n-1个； 不填数字处为空格，它对应解中非基变量。 一次划去一行或一列。 不存在以画圈数字为顶点的闭回路。
AiBj
B1
B2
B3
B4
ai
8
6
7
3
A1
③
3
2
3
1
5
A2
③
①
4
4
A3
0
2
6
②
8
①
3
bj
3
2
1
4
17
2、闭回路法
ij
c ij
c ij
某空格的闭回路，每个空格都唯一存在这样一条闭回路。
产销平衡运输问题的 m + n -1 个变量构成基变量的充分 必要条件是它不含闭回路。
主要缺点是：用闭回路法求检验数时，需要给每一空格找 一条闭回路。当产销点很多时，寻找闭回路以及计算两方 面都会产生困难。
需量 15
25
35
25
30
130
36
习题
5.1 5.7 画出规范表式运输模型即可 5.8 画出规范表式运输模型即可 5.9 画出规范表式运输模型即可 5.10 画出规范表式运输模型即可
37
M
4
M3
9
0
0
10
10
10 10 10 10 13 14
转运量 t max ai , bj 32
2 79
任务分配问题
例5-4 某学院安排3名教师为4门学时相同的课程任教。 这四门课需要开设的门次为4,5,3,4。已知甲不胜任B课程， 乙不胜任C课程，丙不胜任A,D课程。学院希望三位老师 的负荷尽量均衡，则应如何安排？
4. 调整
xij xij xij xij
5. 重新检验
20
例5-1
Bi
Ai
B1
cij
B2
B3
B4
ai
A1
8
6 9
7 9
3③ 9
3
A2
2
3
③
1
5
3
①
-1
4
A3
4
2
6
8
0
②
3
①
3
bj
3
2
1
4
21
5.3 实用模型
产销不平衡问题 转运问题 任务分配问题 运营调度问题
22
产销不平衡问题
产销不平衡是最常见的现象，此类问题可以转化为产销平 衡的模型，而后求解。
运输问题产销平衡模型，实质上就是一个求解运输问题的 标准型。
解决的办法是：增加一个虚拟的产地或销地，从而变成标 准型——产销平衡问题。
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23
供大于求
m
n
ai bj
i 1
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3
5.1 一般模型
例5-1 某公司从三个面粉厂A1、A2 、A3将白面运往四个食品厂 B1、B2、B3、B4，如下表所示，问：应如何调运可使总运输费 用最小？
食品厂
面粉厂
B1
A1
8
A2
2
A3
4
需量 bj/吨
3
运价 cij(10 元/吨)
B2
B3
6
7
3
1
2
6
2
1
B4 3 5
8
4
供量 ai/吨
解的质量比较好，常用作求运输问题的近似最优解。
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13
例5-1
Bi
Ai
B1
cij
B2
B3
B4
ai
A1
8
6
7
3
3
A2
2
3
1
5
4
A3
4
2
6
8
3
bj
3
2
1
4
14
二、最优性检验
检查的方法与单纯形方法中的原理相同，即计算检验数。 当所有的检验数都大于或等于零时该调运方案就是最优方
x11 x12 x13 x14
3

x21 x22 x23 x24
4


s.t.

x11

x12
x21 x22
x31 x32 x33 x34 3
x31
3
x32
2

x13
x23

x14
x24
x33
1
x34 4
j 1
增加一个虚设的销地， bn+1= ai - bj
c 运输费用为0, i,n+1=0
例5.1 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3， 各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品 的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？
B1
B2
B3
产量
A1
6
4
6
cij,xij
ai
B1
B2
…
Bn
c11
c12
…
c1n
a1
X 11
X 12
X 1n
c21 X 21
c22 X 22
…
c2n
a2
X 1n
…
…
…
…
cm1 X 31
b1
cm2 X 32
b2
…
cmn
am
X mn
…
bn
m
n
ai =bj
i1
j 1
1、目标规范化min; 2、供求平衡化； 3、需bj1行，供ai1列； 4、单价规范化（常数，M）；
月份 1 2 3 4
合计
合同规定交付台数 15 25 35 25 100
生产能力/台 30 35 45 20 130
生产成本/（元/台） 8000 8200 8100 8300
35
1
2
3
4
5
供量
1 80
81
83
84
0
30
2 84
82
83
84
0
35
3 85
83
81
82
0
45
4 89
87
85
83
0
20
甲2
乙
丙
丁1
0.80 0.65 1.10 0.85
丁2 0.85
供量 /万吨
50
B
0.70 0.70 0.65 0.95 0.75 0.75
60
C
0.95 0.95 1.00 1.15
M
M
50
D
M
0
M
0
M
0
50
需量/万吨
30
20
70
30
10
50
210
29
Bj Ai
A1
A2
…
Am
bj
规范表式运输模型
300
A2
6
5
5
300
销量
150
150
200
600
500
2019/8/23
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解：增加一个虚设的销地运输费用为0
B1
B2
B3
B4
产量
A1
6
4
6
0
300
A2
6
5
5
0
销量
150
150
200 100
300 600
600
25 2019/8/23
供不应求
m