人教版高中数学选修2-1第三章单元测试(提高)

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(必考题)高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(包含答案解析)

一、选择题1．双曲线222:19x y C b-=的左、右焦点分别为1F 、2,F P 在双曲线C 上，且12PF F ∆是等腰三角形，其周长为22，则双曲线C 的离心率为（）A ．89B ．83C ．149D ．1432．设AB 是过抛物线24y x =的焦点F 的一条弦（与x 轴不垂直），其垂直平分线交x 轴于点G ，设||||AB m FG =，则m =（） A ．23B ．2C ．34D ．33．(),0F c 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，过原点作一条倾斜角为60︒的直线交椭圆于P 、Q 两点，若2PQ c =，则椭圆的离心率为（） A ．12B1CD4．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点D ．PA 与PB 垂直5．P 是椭圆221169x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k的最大值与最小值之和是（） A ．16 B ．9 C ．7 D ．256．已知双曲线2221(0)x y a a -=>与椭圆22183x y +=有相同的焦点，则a =（）AB．C ．2D ．47．已知双曲线2222:1(0,0),,x y C a b A B a b-=>>是双曲线C 上关于原点对称的两点，P是双曲线C 上异于,A B 的一点，若直线PA 与直线PB 的斜率都存在且两直线的斜率之积为定值2，则双曲线的离心率是（） ABC ．2D8．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的值为（）A ．2B ．3C ．32D ．529．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=10．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且30FP FQ +=，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于（）A B ．C ．3D ．311．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点M 关于原点的对称点为N ，F 为椭圆的一个焦点，若0MF NF ⋅=，且3MNF π∠=，则该椭圆的离心率为（）A ．12-B ．2 C ．3D 112．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线28y x=的焦点与双曲线的一个焦点重合，点P 是两曲线的一个交点，12PF PF ⊥且121PF F S =△，则双曲线的离心率为（）A B ．3C ．3D ．2二、填空题13．已知椭圆2214x y P +=，是椭圆的上顶点，过点P 作直线l ，交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B ，则PAB S的最大值为________．14．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK =，则△AFK 的面积为 .15．F 是抛物线2:4C y x =的焦点，P 是C 上且位于第一象限内的点，点P 在C 的准线上的射影为Q ，且2PQ =，则PQF △外接圆的方程为_____.16．已知P 是双曲线221168x y -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，点,M N 满足()21220,,0PF PM F P PM PN PN F N PM PF λλμ⎛⎫⎪=>=+= ⎪⎝⎭⋅，若24PF =.则以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为________.17．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，直线:36l y x =+过点1F ，且与双曲线C 在第二象限交于点P ，若点P 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为_____________．18．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220ypx p =>的焦点为F ，准线为l ，()2,0C p ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，AF 与BC 相交于点E .若2AF CF =，且ACE △的面积为p 的值为______.19．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与椭圆221259x y +=的焦点重合，左准线方程为1x =-，设1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右两个焦点，P 为右支上任意一点，则212PF PF 的最小值为_____________.20．已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角三角形，则12MF F S∆=________．三、解答题21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点B AB 与圆224:5O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）设p 椭圆C 上位于第三象限内的动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，试问四边形ABNM 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22．已知圆22:1O x y +=切线l 与椭圆22:34C x y +=相交于A 、B 两点. （1）求椭圆C 的离心率；（2）求证：OA OB ⊥.23．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 恰是椭圆2212x y +=的一个焦点，过点F 的直线与抛物线交于,A B 两点. （1）求抛物线方程.（2）若45AFx ∠=，求AB .24．点A 是抛物线21:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1(0)y C x b b-=>的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ．（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:1l y kx =-与双曲线的右支交于两点，求k 的取值范围．25．已知圆22:4O x y +=和定点1,0A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =-≠与曲线C 交于不同两点M 、N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：AP AQ =．26．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2，且经过点Q 12⎛- ⎝⎭，.直线l 过右焦点且不平行于坐标轴，l 与椭圆C 有两个不同的交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（1）点P 在椭圆C 上，求12PF PF ⋅的取值范围；（2）证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意画出图形，分类由三角形周长列式求得b ，进一步求得c ，则双曲线的离心率可求．【详解】如图，由22219x y b-=，得229c b =+，c设1||PF m =，2||PF n =，由题意，6m n -=，若2229n c b ==+26629m n b =+=++则2266922m n c b ++=++=，解得b ∈∅；若2229m c b ==+26296n m b =-=+．则2269622m n c b ++=+=，解得21159b =． ∴222115196999c a b =+=+=，143c =． 1414339c e a ∴===．【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．2．B解析：B 【分析】联立直线AB 与抛物线方程，求出E 点坐标以及直线EG 的方程，可得||FG ，利用定义求出弦长||AB ，可得m 的值．【详解】设:1AB x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ，联立方程组214x ty y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ty --=，所以124y y t +=，12022y y y t +==，2021x t =+，即()221,2E t t +，所以EG 的方程为()2221y t t x t -=---.令0y =，得223x t =+，因此()2||21FG t =+.又12||2AB x x =++=()()2122241t y y t +++=+，所以1||||2FG AB =，从而2m =. 故选：B 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，属于中档题．3．B解析：B 【分析】设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PF PF ，由题可得1PF PF ⊥且POF 是等边三角形，表示出1,PF PF ，利用勾股定理建立关系即可求出. 【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PF PF ，2PQ c =，则PO c =，则1PF PF ⊥，又60POF ∠=，则POF 是等边三角形，即PF c =，12PF PF a +=，12PF a c ∴=-，又22211PF PFF F +=，即()()22222a c c c -+=，整理可得22220c ac a +-=，即2220e e +-=，解得31e =-. 故选：B.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.4．A解析：A 【分析】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得出线段PA ，PB 的中点坐标，代入抛物线方程，得到1202y y y +=，从而得到答案. 【详解】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则线段PA ，PB 的中点坐标分别为221200010222,,,2222y y x x y y y y p p ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上.则21200122200222222222y x y y p p y x y y pp ⎧+⎪+⎛⎫⎪=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+⎪+⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭⎩，即22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩ 所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根所以1202y y y +=，所以0M y y =,即PM 与y 轴垂直故选：A 【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线，解答本题的关键是由线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上得到22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩，所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根，即1202y y y +=，属于中档题.5．D解析：D 【分析】设(),P x y ，根据标准方程求得271616k x =-，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论. 【详解】因为椭圆方程为椭圆221169x y +=，所以4,a c ==设(),P x y ，则2127·1616k PF PF x ===-, 又2016x ≤≤.∴max min 16,9k k ==. 故max min +16+925k k ==. 所以k 的最大值与最小值的和为25. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于将所求得量表示成椭圆上的点的坐标间的关系，由二次函数的性质求得其最值.6．C解析：C 【分析】先求出椭圆焦点坐（椭圆的半焦距），再由双曲线中的关系计算出a ．【详解】椭圆22183x y +=的半焦距为c ==∴双曲线中215a +=，∴2a =（∵0a >）．故选：C ．【点睛】晚错点睛：椭圆与双曲线中都是参数,,a b c ，但它们的关系不相同：椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ，不能混淆．这也是易错的地方．7．B解析：B 【分析】设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，PA PB k k 求得，利用点,P A 在双曲线上，及已知定值2可求得22b a，从而可得离心率c e a =．【详解】根据题意，设点(,),(,),(,)A m n B m n P k t --，则222222221,1m n k t a b a b -=-=，,PA PB t n t nk k k m k m-+==-+，所以2222PA PB t n t n t n k k k m k m k m -+-⋅=⋅==-+-22222222222(1)(1)t n b t n aa ab b-==+-+，所以双曲线的离心率c e a ===故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于,,a b c 的等式．解题方法是设出,,P A B 坐标，代入双曲线方程，然后把等式2PA PB k k =用坐标表示出来后，可者所要的关系式，从而求得离心率．8．A解析：A 【分析】设双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，根据题意，得到2122PF F F c ==，又由双曲线的定义，求得所以122PF c a =-，根据椭圆的定义，求得长半轴2a c a '=-，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设双曲线2C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦点()2,0F c ，因为线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，可得2122PF F F c ==，又由12PF PF <，根据双曲线的定义可得21122PF PF c PF a -=-=，所以122PF c a =-，设椭圆的长轴长为2a '，根据椭圆的定义，可得212222PF PF c c a a '+=+-=，解得2a c a '=-，所以121122a a c a ae e c c c c'-+=+=+=. 故选：A. 【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的解题策略：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.9．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.10．D解析：D 【分析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，由30FP FQ +=得123y y =-，从而可求得k ，12,y y ，再由面积公式1212S OF y y =-得结论．【详解】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，将1x ky =+代入24y x =，消去x可得2440yky --=，所以124y y k +=，124y y =-．因为3FP QF =，所以123y y =-，所以2234y y k -+=，则22y k =-，16y k =，所以264k k-⋅=-，所以||k =，又||1OF =，所以OPQ △的面积S =1211||||18||22OF y y k ⋅-=⨯⨯=．故选：D ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理．即设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得1212,y y y y +，再结合已知求出12,,y y k ，然后求出三角形面积．11．D解析：D 【分析】E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形，从而得MENF 是矩形．3MEF MNF π∠=∠=，在直角三角形MEF 中用c 表示出两直角边，再上椭圆定义得,a c 的等式，求得离心率．【详解】如图，E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形， ∵0MF NF ⋅=，∴MF NF ⊥，∴MENF 是矩形．3MNF π∠=，∴3MEF π∠=，∴1cos232ME EF c c π==⨯=，2sin 33MF c c π==， ∴(31)2MF ME c a +=+=， ∴23131c e a ===-+．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到,a c 的关系，本题利用椭圆的对称性，引入另一焦点E 后形成一个平行四边形MENF ，再根据向量数量积得垂直，从而得到矩形，在矩形中利用椭圆的定义构造出,a c 的关系．求出离心率．12．B解析：B 【分析】求出双曲线的半焦距，结合三角形的面积以及勾股定理，通过双曲线的定义求出a ，然后求解双曲线的离心率即可【详解】由双曲线与抛物线有共同的焦点知2c =，因为12PF PF ⊥，且121PF F S =△，则122PF PF ⋅=，222212124PF PF F F c +==，点P 在双曲线上，则122PF PF a -=，故222121224PF PF PF PF a +-⋅=，则22444c a -=，所以a =3，故选：B. 【点睛】本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题..二、填空题13．2【分析】由题意设直线的方程代入椭圆中求出点的坐标进而由题意得点的坐标再整理成用到均值不等式形式求出面积的最大值【详解】由题意可知直线的斜率一定存在因此设直线的方程为代入椭圆方程整理得所以所以所以由解析：2 【分析】由题意设直线PA 的方程代入椭圆中，求出点A 的坐标，进而由题意得点B 的坐标，PABS1||||2A B OP x x =-，再整理成用到均值不等式形式，求出面积的最大值. 【详解】由题意可知直线的斜率一定存在，因此设直线l 的方程为1y kx =+，代入椭圆方程整理得22(14)80k x kx ++=，所以2814kx k-=+，所以221414k y k -=+所以A 28(14k k -+，2214)14k k -+，由题意得B 28(14k k +，2241)14k k-+，所以三角形PAB 的面积21116||||||2214A B kS OP x x k =-=+因为0k ≠，所以118||821244PABSk k==+.故答案为：2. 【点睛】关键点睛：一是要构建三角形面积的方案，采用了割补思想，二是在求最值时转化为基本不等式问题，这些都是解决本问题的关键.14．【详解】由双曲线得右焦点为即为抛物线的焦点∴解得∴抛物线的方程为其准线方程为过点作准线垂足为点则∴∴∴∴ 解析：32【详解】由双曲线22179x y -=得右焦点为()40，即为抛物线22y px = 的焦点，∴42p = ，解得8p = ．∴抛物线的方程为216y x = ．其准线方程为()440x K =-∴-，，．过点A 作AM ⊥准线，垂足为点M ．则AM AF =．∴2AK AM =．∴45MAK ∠=︒．∴KF AF =．∴221183222AKFSKF ==⨯=． 15．【分析】由题可判断为直角三角形即外接圆的圆心为中点求出圆心和半径即可写出圆的方程【详解】由抛物线方程可知焦点准线方程为即则即为直角三角形外接圆的圆心为中点即圆心为半径为外接圆的方程为故答案为：【点睛解析：()2212x y +-=【分析】由题可判断FPQ △为直角三角形，即PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，求出圆心和半径即可写出圆的方程. 【详解】由抛物线方程可知焦点()1,0F ，准线方程为1x =-，2PQ =，∴12P x +=，即1P x =，则2P y =， ()()1,2,1,2P Q ∴-，FP PQ ∴⊥，即FPQ △为直角三角形，∴PQF △外接圆的圆心为FQ 中点，即圆心为()0,1，半径为122FQ = ∴PQF △外接圆的方程为()2212x y +-=.故答案为：()2212x y +-=. 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的方程的求解，属于基础题.16．【分析】延长交于点由向量数量积和线性运算可知为线段的垂直平分线结合双曲线定义可求得利用中位线性质可求得进而得到结果【详解】延长交于点如下图所示：为的角平分线又为线段的垂直平分线由双曲线定义知：分别为解析：64π【分析】延长2F N 交PM 于点Q ，由向量数量积和线性运算可知PN 为线段2F Q 的垂直平分线，结合双曲线定义可求得1FQ ，利用中位线性质可求得ON ，进而得到结果. 【详解】延长2F N ，交PM 于点Q ，如下图所示：22PF PM PN PM PF μ⎛⎫ ⎪=+⎪⎝⎭，PN ∴为2QPF ∠的角平分线，又20PN F N ⋅=，2PN NF ∴⊥，PN ∴为线段2F Q 的垂直平分线，24PQ PF ∴==.由双曲线定义知：12248PF PF -=⨯=，18412PF ∴=+=，141216FQ ∴=+=， ,O N 分别为122,F F QF 中点，1182ON FQ ∴==， ∴以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积64S π=. 故答案为：64π. 【点睛】本题考查双曲线性质和定义的综合应用，涉及到平面向量数量积和线性运算的应用；解题关键是能够通过平面向量的线性运算和数量积运算确定垂直和平分关系.17．【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以为直径的圆周上在直角三角形中求出和用定义求出代入离心率公式求解即可【详解】由题意可得则因为直线l 的斜率是3则因为点P 在以为直径的圆周上所以所以则故双曲线C 的离心率为解析：102【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以12F F 为直径的圆周上，在直角三角形12PF F 中，求出1PF 和2PF ，用定义求出a ，代入离心率公式求解即可．【详解】由题意可得2c =，则2124F F c ==．因为直线l 的斜率是3，则12sin 10PF F ∠=，12cos 10PF F ∠=．因为点P 在以12F F 为直径的圆周上，所以1290F PF ∠=︒，所以11212cos 5PF F F PF F =∠=，21212sin 5PF F F PF F =∠=，则2125PF PF a -==，故双曲线C 的离心率为2c a =．【点睛】本题考查双曲线的性质，考查双曲线定义的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．【分析】由题意知可求的坐标由于轴可得利用抛物线的定义可得代入可取再利用即可得出的值【详解】解：如图所示与轴平行解得代入可取解得故答案为:【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质平行线的性质三角形面积计【分析】由题意知可求F 的坐标．由于//AB x 轴，||2||AF CF =，||||AB AF =，可得13||||22CF AB p ==，1||||2CE BE =．利用抛物线的定义可得A x ，代入可取A y ，再利用13ACE ABC S S ∆∆=，即可得出p 的值.【详解】解：如图所示，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3||2CF p =，||||AB AF =.AB 与x 轴平行，||2||AF CF =，13||||22CF AB p ∴==，1||||2CE BE =．32A p x p ∴+=，解得52A x p =，代入可取A y =，11135332ACE ABC S S p p ∆∆∴===p =故答案为．【点睛】本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式.本题的关键在于求出A 的坐标后，如何根据已知面积列出方程.19．【分析】由焦点重合可知由左准线方程可知从而可求设根据双曲线的定义可知则结合基本不等式可求其最值【详解】解：由焦点重合可知；由左准线方程可知又由双曲线的定义可知从而可求出因为为右支上任意一点所以设则则解析：【分析】由焦点重合可知2216a b +=，由左准线方程可知21a c-=-，从而可求2,23,4a b c ===，设2PF t =，根据双曲线的定义可知，14PF t =+，则212168PF t PF t=++，结合基本不等式可求其最值. 【详解】解：由焦点重合可知，2225916a b +=-=；由左准线方程可知，21a c-=-，又由双曲线的定义可知，222c a b =+,从而可求出2,23,4a b c ===. 因为P 为右支上任意一点，所以1224PF PF a -==.设2,2PFt t c a =≥-=，则14PF t =+,则()22124161688216t PF t t PF t t t+==++≥+⋅= 当且仅当16t t=，即4t =时等号成立.即21216PF PF ≥. 故答案为:16. 【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的准线方程，考查了椭圆的焦点求解，考查了基本不等式.本题的关键是由双曲线的定义，将所求的式子用一个变量来表示.利用基本不等式求最值时，一定要注意，一正二定三相等缺一不可.20．【分析】对各内角为直角进行分类讨论利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组求得和利用三角形的面积公式可得出结果【详解】在椭圆中则（1）若为直角则该方程组无解不合乎题意；（2）若为直角则解得；（3）若为直角解析：32【分析】对12MF F ∆各内角为直角进行分类讨论，利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组，求得1MF 和2MF ，利用三角形的面积公式可得出结果.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =1c =，则122F F =.（1）若12F MF ∠为直角，则()12222122424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意；（2）若12MF F ∠为直角，则()12222212424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨-==⎪⎩，解得123252MF MF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 12121113322222MF F S F F MF ∆∴=⋅=⨯⨯=；（3）若12MF F ∠为直角，同理可求得1232MF F S ∆=. 综上所述，1232MF F S ∆=. 故答案为：32. 【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为2.【分析】（1）由题意可得⎧=⎪⎪=，从而可求出,a b 的值，进而可得椭圆的方程；（2）设()()0000,0,0,P x y x y <<从而可表示出直线PA 的方程，然后求出点M 的坐标，得到BM 的值，同理可得到AN 的值，进而可求得四边形ABNM 的面积，得到结论【详解】（1）解：由题意知直线:AB bx ay ab +=，所以2⎧=⎪⎪=，解得2a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=，（2）证明：设()()22000000,0,0,44P x y x y x y <<+=.因为()()2,0,0,1A B ，所以直线PA 的方程为()0022y y x x =--，令0x =，得0022M y y x =--，从而002112M y BM y x =-=+-. 直线PB 的方程为0011y y x x -=+令0y =，得001N xx y =--，从而00221N x AN x y =-=+-. 所以四边形ABNM 的面积0000211212212x y s AN BM y x ⎛⎫⎛⎫==+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭‖ ()22000000000000000000444842244222222x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+===--+--+.所以四边形ABNM 的面积为定值2. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是由题意将BM ，AN 表示出来，从而可得四边形ABNM 的面积. 22．（1；（2）证明见解析. 【分析】（1）将椭圆C 的方程化为标准方程，求出a 、c ，进而可求得椭圆C 的离心率；（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l 的斜率不存在时，求出A 、B 两点的坐标，计算出0OA OB ⋅=；在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，利用直线l 与圆O 相切可得出221m k =+，并将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量的数量积并结合韦达定理计算得出0OA OB ⋅=.综合可证得结论成立. 【详解】（1）将椭圆C 方程化为标准形式221443x y +=， 24a ∴=，243b =，22248433c b a =-=-=，则2a =，c = 因此，椭圆C的离心率为323c e a ===；（2）若切线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为1x =±，联立椭圆C 的方程可解得：()1,1A 、()1,1B -或者()1,1A -、()1,1B --. 此时0OA OB ⋅=，即OA OB ⊥成立；若切线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线l 与圆22:1O x y +=相切，则1=，化简得221k m +=，联立2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得到()222316340k x kmx m +++-=，由韦达定理可得122631km x x k +=-+，21223431m x x k -=-+，∴()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，()()22121212121OA OB x x y y k x x km x x m ∴⋅=+=++++，将122631km x x k +=-+，21223431m x x k -=-+代入上式得：()222222234613131m k m OA OB k m k k -⋅=+-+++，又∵221k m +=，所以()2222424242222223463466320032323232m m k m m m m m m m OA OB m m m m m ---++-⋅=-+===----，OA OB ∴⊥.综上所述，OA OB ⊥一定成立. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解. 23．（1）24y x =；（2）8. 【分析】（1）由题意得焦点()1,0F ，则12p=，即可得出结果；（2）利用直线的倾斜角求得斜率，由点斜式得到直线AB 的方程，和抛物线方程联立后利用根与系数的关系得到126x x +=，代入抛物线的弦长公式即可得解.【详解】（1）因为抛物线()220y px p =>的焦点F 恰是椭圆2212x y +=的一个焦点，所以焦点()1,0F ，则122pp =⇒=，则抛物线的方程为：24y x =；（2）因为45AFx ∠=，所以直线AB 的斜率为tan 451︒=，又抛物线的焦点为()1,0F ，则直线AB 的方程为：011y x y x -=-⇒=-，由214y x y x=-⎧⎨=⎩，得2610x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则126x x +=，所以128AB x x p =++=. 【点睛】关键点睛：直线与抛物线方程联立，化为关于x 的方程后利用一元二次方程根与系数的关系解决本题是解题的关键.24．（1）2214y x -=；（2）(【分析】（1）取双曲线的一条渐近线：y bx =，与抛物线方程联立即可得到交点A 的坐标，再利用点A 到抛物线的准线的距离为p ，即可得到p ，b 满足的关系式，进而可得答案．（2）根据直线:1l y kx =-与双曲线的右支交于两点，利用韦达定理、判别式列不等式组求解即可. 【详解】（1）取双曲线的一条渐近线y bx =，联立22y px y bx ⎧=⎨=⎩解得222p x b py b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故222(,)p p A b b ．点A 到抛物线的准线的距离为p ，∴222p pp b+=，可得24b = 双曲线222:14y C x -=；（2）联立22114y kx y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()224250k x kx -+-=因为直线:1l y kx =-与双曲线的右支交于两点，所以()22222045{0442040kk k k k ->-->-∆=+->，解得2k <<所以，k的取值范围(. 【点睛】求双曲线标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出双曲线的标准方程．解决直线与双曲线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程或不等式，解决相关问题．25．（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由两圆内切的条件和椭圆的定义，可得所求轨迹方程；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，计算MA NA k k +，可判断三角形APQ 的形状，即可得到证明．【详解】解：（1）设以线段AP 为直径的圆的圆心为C ，取()1,0A '-．依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，因为O 为AA '的中点，C 为AP 中点，所以2A P OC '=所以2222242PA PA OC AC OC CD OD AA ''+=+=+===＞，所以动点P 的轨迹是以A ，A '为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b+=>>，则24a =，22c =，所以2a =，1c =，所以2223b a c =-=，所以动点P 的轨迹方程为22143x y +=;（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，（11x ≠且21x ≠）．由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222433264120k x k x k +-+-=，依题意()()()2222Δ3244364120k k k =--⋅+⋅->，即2104k <<，则212221223243641243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为()()()()()1212121212121225844111111MF NFk x x x x k x k x y y k k x x x x x x ⎡⎤-++--⎣⎦+=+=+=------()()2222126412322584343011k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--，所以直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补，即OAP OAQ ∠∠=．因为OA PQ ⊥，所以AP AQ =．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．26．（1）[0,1]；（2）证明见解析. 【分析】（1）由椭圆定义求得2a ，然后可得b ，从而得椭圆方程，然后设点(),P x y ，计算12PF PF ⋅可得范围；（2）设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠)代入椭圆方程得()2222214220kx k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得段线AB 的中点M 的坐标122M x x x +=，然后计算OM l k k ⋅可得定值．【详解】解：（1）因为焦距22c =，则1c =，所以左焦点()11,0F -，右焦点()21,0F则122a QF QF =+==所以a =222,1a b ==，所以椭圆方程为2212x y +=.设点(),P x y ，则()2222212=(1,)1,11122x x PF PF x y x y x y x ⋅---⋅--=-+=-+-=因为[x ∈，所以12PF PF ⋅的取值范围为：[0,1] （2）设直线l 的方程为()1y k x =-(0k ≠)联立()()221210x y y k x k ⎧+=⎪⎨⎪=-≠⎩消去y 得()2222214220k x k x k +-+-=其中：2210k +>，0∆>，不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，M 为线段AB 的中点则2122421k x x k ，所以21222221M x x k x k +==+，()2121M M k y k x k -=-=+ 所以12M OM M y k x k -==所以1122OM l k k k k -⨯=⨯=-为定值. 【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交中的定值问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点()11,A x y ，()22,B x y ，设直线方程(1)y k x =-，直线方程与椭圆方程联立方程组并消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入OM l k k ⨯中可化简得定值．。

人教A版高中数学选修一第三章《圆锥曲线的方程》提高训练 (1)(含答案解析)

A． B． C． D．
14．(多选)已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（）
A． B．
C． D．
三、填空题
15．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于______.
3．椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的倾பைடு நூலகம்角为直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
4．已知直线垂直于抛物线的对称轴，与E交于点A，B（点A在第一象限），过点A且斜率为的直线与E交于另一点C，若，则p=（）
A． B．
C． D．
5．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）
A． B．
C． D．
6．已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（）
A． B．
C． D．
7．已知椭圆C：x2＋＝1(b>0，且b≠1)与直线l：y＝x＋m交于M，N两点，B为上顶点．若BM＝BN，则椭圆C的离心率的取值范围是（）
33．设椭圆的的焦点为是C上的动点，直线经过椭圆的一个焦点，的周长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的最小值和最大值．
34．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点在坐标轴上，且经过和两点；
（2）过点，且与椭圆有相同的焦点．
35．已知动点到直线的距离与到定点的距离的差为．动点的轨迹设为曲线．

人教版高中数学选修2-1 教案目录

学科人教版高中数学选修2-1编写组责任人序号知识模块教案标题编写人1人教版选修2-1第一章常用逻辑语同步复习教案1（基础）小榄校区（关潮辉）2人教版选修2-1第一章常用逻辑语同步复习教案1（提高）小榄校区（关潮辉）7人教版选修2-1第一章常用逻辑语同步复习教案2（基础）小榄校区（温艺铭）8人教版选修2-1第一章常用逻辑语同步复习教案2（提高）小榄校区（温艺铭）9人教版选修2-1第一章单元复习教案（基础）小榄校区（泰龙、马俊）10人教版选修2-1第一章单元复习教案（提高）小榄校区（泰龙、马俊）11第一章单元测试卷（基础）小榄校区（泰龙、马俊）12第一章单元测试卷（提高）小榄校区（泰龙、马俊）13人教版选修2-1 第二章 2.1曲线与方程同步教案（基础）石岐（基础）贺丽春起湾（提高）郑狄苗14人教版选修2-1 第二章 2.1曲线与方程同步教案（提高）石岐（基础）贺丽春起湾（提高）郑狄苗15人教版选修2-1 第二章 2.1椭圆同步教案（基础）石岐（基础）何善庆起湾（提高）郑狄苗16人教版选修2-1 第二章 2.1椭圆同步教案（提高）石岐（基础）何善庆起湾（提高）郑狄苗17人教版选修2-1 第二章 2.2双曲线同步教案（基础）石岐（基础）刘冬有起湾（提高）郑狄苗18人教版选修2-1 第二章 2.2双曲线同步教案（提高）石岐（基础）刘冬有起湾（提高）郑狄苗19人教版选修2-1 第二章 2.3抛物线同步教案（基础）石岐（基础）肖爱起湾（提高）郑狄苗20人教版选修2-1 第二章 2.3抛物线同步教案（提高）石岐（基础）肖爱起湾（提高）郑狄苗星火教育高中标准教案目录第一章常用逻辑用语单元复习单元测试卷第二章圆锥曲线与方程刘冬有。

2019-2020学年高二数学人教A版选修2-1：第三章检测(A) 含解析

( ) ��
�� = 2�� - 1, - 2, + 2 . 2
��
+2
2�� - 1 - 2 2
∵ �� ∥ ��, ∴
== ,
1 -1 3
∴p = 32,�� = 8.
故
p+q
=
19.
2
19
答案: 2
=
��·(��
-
��)
=
|��||��|��
�� 3
-
|��||��|��
�� 3
8 在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60°.将菱形沿对角线 AC 折起,使折起后 BD=1,则二面角 BAC-D 的余弦值为( )
A.13��.12��.233��.
3 2
解析:设菱形对角线 AC 与 BD 相交于点 O,则∠BOD 为二面角 B-AC-D 的平面角,
2 1 = ��' + ��'�� + (��'�� ‒ ��'��) 2
1
1
= ��' + ��'�� + ��'��,
2
2
= ��·��' = ∴sin ∠ADA' |��||��'|

高中数学选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》单元测试题(含答案)

这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则当|AB →|取最小值时，x 的值等于________．解析：AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，则 |AB →|＝1－x2＋2x －32＋－3x ＋32＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎪⎫x －872＋57，故当x ＝87时，|AB →|取最小值．答案：8714．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________．解析：如图，以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，易证AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→，BC 1→〉＝1＋13×2＝63. 所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63.答案：63设AC ∩BD ＝N ，连结NE ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)， ∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. 又A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∴NE →＝AM →，且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM .又NE ⊂平面BED ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .(2)设P (t ，t,0)(0≤t ≤2)，则PF →＝(2－t ，2－t,1)，CD →＝(2，0,0)．又∵PF →与CD →所成的角为60°，|2－t ·2|2－t2＋2－t 2＋1·2＝12，解之得t ＝22，或t ＝322(舍去)．故点P 为AC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．。

人教版高中数学选修2-1第三章单元测试(二)-含答案

2018-2019学年选修2-1第三章训练卷空间向量与立体几何（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知三棱锥OABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OAuu va ，OBuu u v b ，OC uuu v c ，用a ，b ，c 表示MN uuu v ，则MN uuu v等于（）A ．12b c aB ．12abc C ．12ab c D ．12c ab2．已知cos ,1,sin a 、sin ,1,cosb，且∥a b ，则向量ab 与ab 的夹角是（）A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°3．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为4,1,3A 、2,5,1B 、3,7,C ，若ABu u u v AC uuu v ，则等于（）A ．28B ．28C ．14D ．144．若向量,,a b c 是空间的一个基底，则一定可以与向量2pab ，2qab 构成空间的另一个基底的向量是（）A ．aB ．bC ．cD ．ab5．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知2,0,0A 、2,2,0B 、0,2,0C 、1,12D ，，若1S 、2S 、3S 分别表示三棱锥DABC 在xOy 、yOz 、zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A ．123S S SB ．231S S SC ．132S S S D ．123S S S 6．已知a 、b 是两异面直线，A 、B a ，C 、Db ，AC b ，BDb 且2AB，1CD，则直线a 、b 所成的角为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°7．如图所示，在平行六面体1111ABCDA B C D 中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若1BEAA xABy AD uu u vuuu v uu u v uuu v，则（）A ．12x，12y B ．12x ，12y C ．12x，12yD ．12x，12y8．已知1,1,2A 、1,0,1B ，设D 在直线AB 上，且2AD DB uuu vu uu v ，设C 1,,13，若CD AB ，则的值为（）A ．116B ．116C ．12D ．13此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号9．如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，2AB BC，12AA ，E 、F 分别是面1111A B C D 、面11BCC B 的中心，则E 、F 两点间的距离为（）A ．1B ．52C ．62D ．3210．如图，在空间直角坐标系中有长方体1111ABCD A B C D ，1AB ，2BC，13AA ，则点B 到直线1A C 的距离为（）A ．27B ．2357C ．357D ．111．如图所示，在长方体1111ABCDA B C D 中，11ADAA ，2AB，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面1ACD 的距离为（）A ．12B ．22C ．13D ．1612．如图所示，正方体1111ABCDA B C D 中，E 、F 分别是正方形11ADD A 和ABCD的中心，G 是1CC 的中点，设GF 、1C E 与AB 所成的角分别为，，则等于（）A ．120°B ．60°C ．75°D ．90°二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知1,2,0A 、0,1,1B ，P 是x 轴上的动点，当AP BP uu u v uu v取最小值时，点P的坐标为_____________．14．已知正四棱台1111ABCDA B C D 中，上底面1111A B C D 边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线1AD 与1B C 所成角的余弦值为___________．15．三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线P A 与底面ABC 所成角的大小为________________．16．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，3BC，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA uu va ，PBuu vb ，PCuu u v c ，试用基底,,a b c 表示向量PG uu u v ．18．（12分）如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，2ABC，D 是棱AC 的中点，且12ABBCBB ．（1）求证：1AB ∥平面1BC D ；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成的角．19．（12分）如图所示，在四面体ABCD 中，AB 、BC 、CD 两两互相垂直，且1BCCD．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）求二面角C －AB －D 的大小；（3）若直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，求线段AB 的长度．20．（12分）如图，在正四棱柱1111ABCDA B C D 中，已知AB ＝2，15AA ，E 、F分别为1D D 、1B B 上的点，且11DE B F．（1）求证：BE ⊥平面ACF ；（2）求点E 到平面ACF 的距离．21．（12分）如图所示，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，PD＝DC，E 是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）求二面角B－DE－C的余弦值．22．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D中，侧棱1A A底面ABCD，AB⊥AC，1AB，12AC AA，5AD CD，且点M和N分别为1B C和1D D的中点．（1）求证：MN∥平面ABCD；（2）求二面角11D AC B的正弦值；（3）设E为棱11A B上的点．若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段1A E的长．2018-2019学年选修2-1第三章训练卷空间向量与立体几何（二）答案一、选择题1．【答案】D 【解析】111111222222MN ONOMOC OA OBuu u v uu u vuuu v u uu v u uv uu u v cabc ab ，故选D ．2．【答案】A 【解析】∵22a ，22b，220a b a b ab，∴abab ．故选A ．3．【答案】D 【解析】2,6,2AB uu u v ，1,6,3ACuuu v，∵ABAC uu u v uuu v ，∴2166230AB ACuu u v uuu v ，解得14，故选D ．4．【答案】C 【解析】∵1144apq ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；∵1122bpq ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；∵3144a bpq ，所以ab 、p 、q 共面，故ab 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D ；故选C ．5．【答案】B【解析】由题意可得112222S ，212222S ，312222S ，故231S S S ．故选B ．6．【答案】B【解析】由于AB AC CD DB u u u vuu u v u uu v u uu v ，∴21AB CD AC CD DB CD CDuu u v uu u v uuu v uu u v uu u v uu u v uu u v ．1cos ,,602AB CD AB CDAB CDABCDuu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v ，故选B ．7．【答案】A【解析】11111111111222BEBAAA A E ABAA A B A D ABAA AB AD u u u v uu v u uu v uuu vuu u v u uu v uu uuv uuuu v u u u v uuu v uu u v uuu v 11122AB AA AD uu u v uuu v uuuv ，∴12x ，12y．故选A ．8．【答案】B【解析】设,,D x y z ，则1,1,2ADxy zuuu v ，2,1,3ABuu u v ，1,,1DBx y z uu u v，∵2ADDB u uu v uu u v，∴12112222x x y y zz ，∴13130xy z．∴11033D ，，，113CDuu u v ，，，∵CDAB uu u v uu u v ，∴1231=03CD ABuu u v uu u v ，∴116．故选B ．9．【答案】C【解析】以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1,1,2E 、22,1,2F ，所以222261211222EF，故选C ．10．【答案】 B【解析】过点B 作BE 垂直1A C ，垂足为E ，设点E 的坐标为,,x y z ，则10,0,3A ，1,0,0B ，1,2,0C ，11,2,3A C uuu v ，1,,3A Ex y z uuu v，1,,BEx y z uu u v ．因为1110A E A CBE A Cuuu v uuu v uu u v uuu v∥，所以31231230xyzx y z，解得5710767xyz，所以2106,,777BEuu u v，所以点B 到直线1A C 的距离2357BE uu u v，故选B ．11．【答案】C【解析】如图，以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则10,0,1D 、1,1,0E 、1,0,0A 、0,2,0C ．从而11,1,1D E uuu v 、1,2,0AC uuu v、11,0,1AD uuuv，设平面1ACD 的法向量为,,a b c n ，则100AC AD uuu vuuuvn n ，即200a b ac，得2a b ac．令2a，则2,1,2n．所以点E 到平面1ACD 的距离为1212133D E h uuu vn n．故选C ．12．【答案】D【解析】建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则2,0,0B 、2,2,0A 、0,0,1G 、1,1,0F 、10,0,2C 、1,2,1E ．则0,2,0BAuu v 、1,1,1GFuuu v、11,2,1C Euuu v，∴1cos ,3BA GF BA GFBA GF uu v uuu v uu v uuu vuu v uuu v ，1112cos ,3BA C E BA C EBA C Euu v uuu v uu v uuu vuu v uuu v ，∴1cos 3，2sin 3，2cos3，1sin 3，cos 0，∴90．故选D ．二、填空题13．【答案】1,0,02【解析】设,0,0P x ，则1,2,0AP xuu u v ，,1,1BP x uu v，2171224AP BPx x xuu u v uu v ，∴当12x时，AP BPuu u v uu v 取最小值74，此时点P 的坐标为1,0,02．14．【答案】14【解析】设上、下底面中心分别为1O 、O ，则1OO 平面ABCD ，以O 为原点，直线BD 、AC 、1OO 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵2AB ，111A B ，∴22ACBD，11112A C B D ，∵平面11BDD B ⊥平面ABCD ，∴1B BO 为侧棱与底面所成的角，∴160B BO，设棱台高为h ，则tan60222h，∴62h，∴0,2,0A ，126,0,22D ，126,0,22B ，0,2,0C ，∴126,2,22AD uuuv ，126,2,22B C uuu v ，∴1111111cos ,4AD B C AD B CAD B Cuuu v uuu v uuu v uuu vuuu v uuu v ，故异面直线1AD 与1B C 所成角的余弦值为14．15．【答案】45°【解析】由条件知，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，∴2BC ，∵PB ＝PC ＝1，∴∠BPC ＝90°，取BC 边中点E ，则22PE，22AE，又PA ＝1，∴∠PEA ＝90°，故∠PAE ＝45°，∵E 为BC 中点，∴PE ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAE ，∴平面PAE ⊥平面ABC ，∴∠PAE 为直线PA 与平面ABC 所成角．16．【答案】102【解析】如图，过B 、D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M 、N ．则可求得12AM 、32BM、12CN、32DN、1MN ．由于BDBM MN ND uu u v uuu v uuu v uuu v ，∴22BDBM MNNDuu u v uuu v uuu v uuu v 2222BMMNNDBM MNMN ND BM ND uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v 22233512000222，∴102BDuu u v ．三、解答题17．【答案】212333PGuu u vabc ．【解析】∵BG ＝2GD ，∴23BGBD uu u vuuu v ．又2BD BA BC PA PB PC PB u uu v u u v uu u v uu v uu v u u u v u u v a c b ，∴221223333PGPBBGu uu v u uv uu u v bacb abc ．18．【答案】（1）见解析；（2）3．【解析】（1）如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．∵O 为1B C 的中点，D 为AC 的中点，∴1OD AB ∥．∵1AB 平面1BC D ，OD 平面1BC D ，∴1AB ∥平面1BC D ．（2）建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ．则0,0,0B 、0,2,0A 、12,0,2C 、10,0,2B ．∴10,2,2AB uuu v 、12,0,2BC uuu v．1111110041cos ,22222AB BC AB BC AB BC uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v ，设异面直线1AB 与1BC 所成的角为，则1cos2，∵0,2，∴3．19．【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）1．【解析】解法一：（1）∵CD ⊥AB ，CD ⊥BC ，∴CD ⊥平面ABC ．又∵CD ?平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABC ．（2）∵AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∴AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BD ．∴∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角．∵在Rt △BCD 中，BC ＝CD ，∴∠CBD ＝45°．∴二面角C －AB －D 的大小为45°．（3）过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，连接DH ．∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴BH ⊥平面ACD ，∴∠BDH 为BD 与平面ACD 所成的角．∴∠BDH ＝30°．在Rt △BHD 中，2BD，∴22BH．又∵在Rt △BHC 中，BC ＝1，∴∠BCH ＝45°，∴在Rt △ABC 中，AB ＝1．解法二：（1）同解法一．（2）设ABa ，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则0,0,0B 、0,0,A a 、0,1,0C 、1,1,0D ，1,1,0BDuu u v、0,0,BAa uu v．平面ABC 的法向量1,0,0CDuu u v，设平面ABD 的一个法向量为,,x y z n，则有0BD xyuu u v n ，0BA azuu v n，∴0z，取1y ，则1x ，∴1,1,0n ．∴2cos ,2CD CD CD uu u v uu u vuu u v n nn，由图可知二面角C －AB －D 为锐角，∴二面角C －AB －D 的大小为45°．（3）0,1,ACa uuu v 、1,0,0CDuu u v、1,1,0BD uu u v．设平面ACD 的一个法向量是,,x y z m，则0AC yazuuu v m，0CD xuu u v m，令1z ，∴ya ，则0,,1a m ．∵直线BD 与平面ACD 所成角为30°，∴2cos cos6012BD a BD BD auu u v uu u v uu u v m mm，解得1a ，∴AB ＝1．20．【答案】（1）见解析；（2）53．【解析】（1）证明：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则0,0,0D 、2,0,0A 、2,2,0B 、0,2,0C 、10,0,5D 、0,0,1E 、2,2,4F ．∴2,2,0ACuuu v 、0,2,4AF uuu v、2,2,1BE uu u v、2,0,1AEuu u v．∵0BE AC uu u v uuu v ，0BE AFuu u v uu u v ，∴BEAC ，BE AF ，且AC AFA I ．∴BE ⊥平面ACF ．（2）解：由（1）知，BE uu u v为平面ACF 的一个法向量，∴点E 到平面ACF 的距离53AE BE dBE uu u v ．故点E 到平面ACF 的距离为53．21．【答案】（1）见解析；（2）33．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ．设PDDCa ，则0,0,0D 、,0,0A a 、0,0,P a 、,,0B a a 、0,,22a aE 、0,,0C a ，∴,0,APa a uu u v 、,,0DBa a uu u v、0,,22a aDEuuu v、0,,0DC a uuu v ．（1）设平面BDE 的一个法向量为1111,,x y z n ，则有110DB DE uu u v uuu vn n ，即11110022ax ay a a y z ，∴111111x y z ．∴11,1,1n ．100AP aauu u vn ，∴1APuu u vn ，又∵AP平面BDE ，∴AP ∥平面BDE ．（2）设平面CDE 的一个法向量为21,0,0n ．1213cos ,331n n ，∴二面角B －DE －C 的余弦值为33．22．【答案】（1）见解析；（2）31010；（3）72．【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得0,0,0A 、0,1,0B 、2,0,0C 、1,2,0D 、10,0,2A 、10,1,2B 、12,0,2C 、11,2,2D ，又因为M 、N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,12M 、1,2,1N ．（1）依题意，可得0,0,1n 为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MNuuu v ，由此可得，0MN uuu vn，又因为直线MN平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD ．（2）11,2,2AD uuuv、2,0,0ACuuu v，设1111,,x y z n 为平面1ACD 的法向量，则11100AD AC uuu v uuu vn n ，即111122020x y z x ，不妨设11z ，可得10,1,1n ．设2222,,x y z n 为平面1ACB 的一个法向量，则2120AB AC uuu v uuu vn n ，又10,1,2AB uuu v ，得22222020y z x ，不妨设21z ，可得20,2,1n ．因此有12121210cos ,10n n n n n n ，于是12310sin ,10n n ，所以二面角11D AC B 的正弦值为31010．（3）依题意，可设111A E A B uuu v uuu u v，其中0,1，则0,,2E ，从而1,2,1NE uu u v，又0,0,1n为平面ABCD 的一个法向量，由已知得22211cos 3121NE NE NE uu u v uu u vuu u v n ,nn，整理得2430，又因为0,1，解得72，所以线段1A E 的长为72．。

人教A版高中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案

⼈教A版⾼中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～3 全册章节同步检测试题⽬录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3⼆项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2⼆项分布及其应⽤第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应⽤第3章练习 3.2独⽴性检验的基本思想及其初步应⽤第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题1．⼀件⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这件⼯作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去⼄地有3班⽕车，从⼄地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅⾏⽅式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所⽰为⼀电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成⽆重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜⾊的衬⾐，3件不同花样的裙⼦，另有两套不同样式的连⾐裙．“五⼀”节需选择⼀套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择⽅式（）Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ 6．设A ，B 是两个⾮空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ⼆、填空题7．商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有种不同的选法；要买上⾐，裤⼦各⼀件，共有种不同的选法．答案：33，2708．⼗字路⼝来往的车辆，如果不允许回头，共有种⾏车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则⽅程22()()25x a y b -+-=表⽰不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A →C ，有种不同⾛法．答案：612．将三封信投⼊4个邮箱，不同的投法有种．答案：34三、解答题 13．⼀个⼝袋内装有5个⼩球，另⼀个⼝袋内装有4个⼩球，所有这些⼩球的颜⾊互不相同．（1）从两个⼝袋内任取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？（2）从两个⼝袋内各取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =?=种．14．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．（1）选其中1⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1⼈为校学⽣会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两⼈参加市⾥组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =??=种；（3）56644574N =?+?+?=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平⾯上的点，a b M ∈，．（1）()P a b ，可表⽰平⾯上多少个不同的点？（2）()P a b ，可表⽰多少个坐标轴上的点？解：（1）完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法也有6种，∴P 点个数为N =6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x 轴上（不含原点）有5个点；②y 轴上（不含原点）有5个点；③既在x 轴，⼜在y 轴上的点，即原点也适合，∴共有N =5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题 1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（） A ．30个 B ．42个 C ．36个 D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆⾄少1个，⾄多5个，则不同的分法共有（） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种答案：Ａ3．如图，⽤4种不同的颜⾊涂⼊图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂⾊不同，则不同的涂法有（） A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种答案：Ａ4．教学⼤楼共有五层，每层均有两个楼梯，由⼀层到五层的⾛法有（） A ．10种 B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的⼦集的个数是（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最⼤边长为11的三⾓形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ⼆、填空题7．平⾯内有7个点，其中有5个点在⼀条直线上，此外⽆三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直⾓三⾓形的个数为．答案：2(1)n n -9．电⼦计算机的输⼊纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产⽣种不同的信息．答案：25610．椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}{}123451234567m n ∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：20 11．已知集合{}123A ，，ü，且A 中⾄少有⼀个奇数，则满⾜条件的集合A 分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题 13．⽤0，1，2，3，4，5六个数字组成⽆重复数字的四位数，⽐3410⼤的四位数有多少个？解：本题可以从⾼位到低位进⾏分类．（1）千位数字⽐3⼤．（2）千位数字为3：①百位数字⽐4⼤；②百位数字为4： 1°⼗位数字⽐1⼤；2°⼗位数字为1→个位数字⽐0⼤．所以⽐3410⼤的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜⾊旗⼦各(3)n n >⾯，任取其中三⾯，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦中不允许有三⾯相同颜⾊的旗⼦，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦颜⾊各不相同，有多少种不同的信号？解： 1N =3×3×3=27种； 227324N =-=种； 33216N =??= 种．15．某出版社的7名⼯⼈中，有3⼈只会排版，2⼈只会印刷，还有2⼈既会排版⼜会印刷，现从7⼈中安排2⼈排版，2⼈印刷，有⼏种不同的安排⽅法．解：⾸先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版⼜会印刷”中的⼀个作为分类的标准．下⾯选择“既会排版⼜会印刷”作为分类的标准，按照被选出的⼈数，可将问题分为三类：第⼀类：2⼈全不被选出，即从只会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法；只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第⼆类：2⼈中被选出⼀⼈，有2种选法．若此⼈去排版，则再从会排版的3⼈中选1⼈，有3种选法，只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此⼈去印刷，则再从会印刷的2⼈中选1⼈，有2种选法，从会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2⼈全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷⼀．选择题：1．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种2．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语⽂、数学、英语各⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种3．某商业⼤厦有东南西3个⼤门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到⼆楼的不同⾛法种数是（）（A ） 5 （B ）7 （C ）10 （D ）124．⽤1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．⽤1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个6．3科⽼师都布置了作业，在同⼀时刻4名学⽣都做作业的可能情况有（）（A ）43种（B ）34种（C ）4×3×2种（D ） 1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每⼈最多分⼀张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A ）120种（B ）1024种（C ）625种（D ）5种8．已知集合M={l ，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取⼀个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直⾓坐标系中可表⽰第⼀、⼆象限内不同的点的个数是（）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）109．三边长均为整数，且最⼤边为11的三⾓形的个数为（）（A ）25 （B ）36 （C ）26 （D ）3710．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（）（A ）25 （B ）15 （C）13 （D ）10 ⼆．填空题：11．某书店有不同年级的语⽂、数学、英语练习册各10本，买其中⼀种有种⽅法；买其中两种有种⽅法．12．⼤⼩不等的两个正⽅形玩具，分别在各⾯上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的⾯标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正⼋边形的三个顶点组成的三⾓形中，与正⼋边形有公共边的有个．15．某班宣传⼩组要出⼀期向英雄学习的专刊，现有红、黄、⽩、绿、蓝五种颜⾊的粉笔供选⽤，要求在⿊板中A 、B 、C 、D 每⼀部分只写⼀种颜⾊，如图所⽰，相邻两块颜⾊不同，则不同颜⾊的书写⽅法共有种．三．解答题：16．现由某校⾼⼀年级四个班学⽣34⼈，其中⼀、⼆、三、四班分别为7⼈、8⼈、9⼈、10⼈，他们⾃愿组成数学课外⼩组．（1）选其中⼀⼈为负责⼈，有多少种不同的选法？（2）每班选⼀名组长，有多少种不同的选法？（3）推选⼆⼈做中⼼发⾔，这⼆⼈需来⾃不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加⾜球队，蓝球队、乒乓球队，每⼈限报其中⼀个运动队，不同的报名⽅法有⼏种？［探究与提⾼］1．甲、⼄两个正整数的最⼤公约数为60，求甲、⼄两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线⽅程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第⼀象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节⽬中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，⼄信箱中有20封．现由主持⼈抽奖确定幸运观众，若先确定⼀名幸运之星，再从两信箱中各确定⼀名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（）（A ）827n A - （B ）2734nn A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．⽤1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A ）20个（B ）19个（C ）25个（D ）30个7．甲、⼄、丙、丁四种不同的种⼦，在三块不同⼟地上试种，其中种⼦甲必须试种，那么不同的试种⽅法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）96种8．某天上午要排语⽂、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第⼀节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A ）6种（B ）9种（C ）18种（D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个⼩组，每组有⼀位司机和⼀位售票员，则不同的分组⽅案共有（）（A ）88A 种（B ）48A 种（C ）44A ·44A 种（D ）44A 种10．有4位学⽣和3位⽼师站在⼀排拍照，任何两位⽼师不站在⼀起的不同排法共有（）（A ）(4!)2种（B ）4!·3!种（C ）34A ·4!种（D ）3 5A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成⼀排，其中a ，b 两种必须排在⼀起，⽽c ，d 两种不能排在⼀起，则不同排法共有（）（A ）12种（B ）20种（C ）24种（D ）48种⼆．填空题:：12．6个⼈站⼀排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个⼈站⼀排，甲不在排头，⼄不在排尾，共有种不同排法．14．五男⼆⼥排成⼀排，若男⽣甲必须排在排头或排尾，⼆⼥必须排在⼀起，不同的排法共有种．15．将红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼩球，分别放⼊红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼝袋中，但红⼝袋不能装⼊红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法．三、解答题：17．⼀场晚会有5个唱歌节⽬和3个舞蹈节⽬，要求排出⼀个节⽬单（1）前4个节⽬中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节⽬要排在⼀起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节⽬彼此要隔开，有多少种排法？18．三个⼥⽣和五个男⽣排成⼀排．（1）如果⼥⽣必须全排在⼀起，有多少种不同的排法？（2）如果⼥⽣必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排⼥⽣，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排⼥⽣，有多少种不同的排法？（5）如果三个⼥⽣站在前排，五个男⽣站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合综合卷⼀、选择题：1．下列等式不正确的是（）（A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=- （C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11 111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．⽅程2551616x x x C C --=的解共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男⽣中挑选3⼈，4名⼥⽣中挑选2⼈，组成⼀个⼩组，不同的挑选⽅法共有（）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男⽣，3个⼥⽣中挑选4⼈参加智⼒竞赛，要求⾄少有⼀个⼥⽣参加的选法共有（）（A ）12种（B ）34种（C ）35种（D ）340种8．平⾯上有7个点，除某三点在⼀直线上外，再⽆其它三点共线，若过其中两点作⼀直线，则可作成不同的直线（）（A ）18条（B ）19条（C ）20条（D ）21条9．在9件产品中，有⼀级品4件，⼆级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，⾄少有两件⼀级品的抽法共有（）（A ）60种（B ）81种（C ）100种（D ）126种10．某电⼦元件电路有⼀个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某⼀焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）（A ）5种（B ）6种（C ）63种（D ）64种⼆．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每⼈教两个班，分配⽅案共有种。

人教A版高中数学高二选修2-1单元目标检测第三章空间向量与立体几何

数学人教A 选修2-1第三章空间向量与立体几何单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．已知点A (－4,8,6)，则点A 关于y 轴对称的点的坐标为( )． A ．(－4，－8,6) B ．(－4，－8，－6) C ．(－6，－8,4) D ．(4,8，－6)2．若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－23．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，a ，b 夹角的余弦值为89，则λ等于( )， A ．2 B ．－2 C ．－2或255 D ．2或255- 4．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为( )．A B C ．4 D ．8 5．如图，在四面体ABCD 中，已知AB ＝b ，AD ＝a ，AC ＝c ，12BE EC =，则DE 等于( )．A ．2133-++a b c B ．2133++a b c C ．2133-+a b c D ．2133-+a b c 6．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则二面角A －PB －C 的平面角的正切值为( )．A B C D 7．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动(O 为原点)，则当QA QB ⋅取最小值时，点Q 的坐标为( )．A ．444,,333⎛⎫⎪⎝⎭ B ．848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为( )．A ．310a B ．10a C ．10a D ．710a 二、填空题(每小题6分，共18分)9．若向量a ＝(4,2，－4)，b ＝(1，－3,2)，则2a ·(a ＋2b )＝________．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，EF ∥BC 且AE ＝2EB ，G 为BC 的中点，K 为△AFD 的外心，沿EF 将矩形折成120°的二面角A －EF －B ，此时KG 的长为__________．11．已知直线AB ，CD 是异面直线，AC ⊥AB ，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为________．三、解答题(共3小题，共34分)12．(10分)已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE ⊥b ？(O 为原点)13．(10分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．14．(14分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1．D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1．(1)求证：CD＝C1D；(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；参考答案1答案：D2答案：D 解析：a ＋λb ＝(λ，1＋λ，－1)．由(a ＋λb )⊥a ，知(a ＋λb )·a ＝0，所以1＋λ＋1＝0，解得λ＝－2． 3答案：C解析：由公式cos 〈a ，b 〉＝||||⋅a ba b ，知89==λ＝－2或255．4答案：A 解析：|a |＝3，|b |＝3，而a·b ＝4＝|a||b|cos ,a b ，∴cos ,a b ＝49，故sin ,a b=于是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为 S ＝|a||b|sin ,a b＝33⨯= 5答案：A 解析：DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝DA ＋AB ＋13(AC －AB )＝2133-++a b c ．6答案：A 解析：设PA ＝AB ＝2，建立空间直角坐标系，平面PAB 的一个法向量是m ＝(1,0, 0)，平面PBC 的一个法向量是n＝⎫⎪⎪⎝⎭．则cos 〈m ，n〉＝·3||||||||3===m nm n m n ． ∴正切值tan 〈m ，n．7答案：D 解析：由题意可知OQ ＝λOP ，故可设Q (λ，λ，2λ)，∴QA ·QB ＝6λ2－16λ＋10＝242633λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴43λ=时，QA ·QB 取最小值，此时Q 的坐标为448,,333⎛⎫⎪⎝⎭． 8答案：C 解析：建立如图所示的坐标系，则A 1(a,0，a )，D 1(0,0，a )，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，B 1(a ，a ，a )，E ,,2a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 0,,02a ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面A 1D 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则11·0A D =n ，11·0A E =n ，即(x ，y ，z )·(－a,0,0)＝0，(x ，y ，z )·0,,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0， ∴－ax ＝0，02aay z -=． ∴x ＝0，2z y =． ∴n ＝0,,2z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∴10,||||2FD d ⎛ ⋅⎝==n n ． 9答案：32解析：2a·(a ＋2b )＝2|a|2＋4a·b ＝2×36＋4×(－10)＝32． 10解析：如图，过K 作KM ⊥EF ，M 为垂足，则向量MK 与FC 的夹角为120°.KG ＝KM ＋MF ＋FC ＋CG ，2KG ＝2KM ＋2MF ＋2FC ＋2CG ＋2KM ·MF ＋2FC ·CG ＋2KM ·FC ＋2KM ·CG . ∴2KG ＝1＋14＋1＋14＋0＋0＋2×1×1×cos 60°＋0＋0＋2×12×12×cos 180°＝2＋12＋1－12＝3． ∴3KG =．答案：60° 解析：设AB 与CD 所成的角为θ，则cos θ＝cos ,AB CD ＝AB CD AB CD⋅．由于AB ·CD ＝(AC ＋CD ＋DB )·CD ＝AC ·CD ＋2CD ＋DB ·CD ＝0＋12＋0＝1，∴cos θ＝11212AB CD AB CD⋅==⨯．由于0°＜θ≤90°，∴θ＝60°，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为60°．12答案：解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b|＝答案：解：OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋t AB ＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )．若OE ⊥b ，则OE ·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得95t =，因此存在点E ，使得OE ⊥b ，此时E 点坐标为6142,,555⎛⎫--⎪⎝⎭． 13答案：证明：连结BD ，因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MN 是△PBD 的中位线．所以MN ∥BD ．又因为MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD ．答案：解法一：连结AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图所示．在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB＝BD＝6．又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AC ．在直角△PAC中，AC =PA =AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4，由此知各点坐标如下：A(，0,0)，B (0，－3,0)，C，0,0)，D (0,3,0)，P(0,，M 3,22⎛-- ⎝，N 3,22⎛- ⎝，Q 33⎛ ⎝⎭．设m ＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量．由AM＝32-⎝，AN＝32-⎝，知30,230.2x y x y -+=+=取z ＝－1，得m ＝(0，－1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量．由QM＝32⎛- ⎝⎭，QN＝32⎛- ⎝⎭知30,62330.2x y z x y ⎧--+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 取z ＝5，得n ＝(0,5)．于是cos 〈m ，n〉＝·||||33=m n m n ．所以二面角A －MN －Q的平面角的余弦值为33．解法二：在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝BC ＝CD ＝DA ，BDAB ．又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥AD ．所以PB ＝PC ＝PD ．所以△PBC ≌△PDC ．而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MQ ＝NQ ，且AM ＝12PB ＝12PD ＝AN ．取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ，则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角．由AB ＝PA ＝，故在△AMN 中，AM ＝AN ＝3，MN ＝12BD ＝3，得AE ＝2.在直角△PAC 中，AQ ⊥PC ，得AQ ＝QC ＝2，PQ ＝4，在△PBC 中，cos ∠BPC ＝222526PB PC BC PB PC +-=⋅，得MQ =在等腰△MQN 中，MQ ＝NQ MN ＝3，得QE ==.在△AEQ 中，2AE =，2QE =，AQ =cos ∠AEQ ＝222233AE QE AQ AE QE +-=⋅.所以二面角A －MN －Q ． 14答案：解：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．答案：解：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．设C 1D ＝x ，∵AC ∥PC 1， ∴111C P C D xAC CD x==-．由此可得D (0,1，x )，P 0,1,01x x ⎛⎫+⎪-⎝⎭， ∴1A B ＝(1,0,1)，1A D ＝(0,1，x )，1B P ＝1,1,01x x ⎛⎫-+⎪-⎝⎭．设平面BA 1D 的一个法向量为n 1＝(a ，b ， c )，则11110,0.A B a c A D b cx ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令c ＝－1，则n 1＝(1，x ，－1)． ∵PB 1∥平面BA 1D ，高中数学-打印版精心校对 ∴n 1·1B P ＝1×(－1)＋x ·11x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭＋(－1)×0＝0．由此可得12x =，故CD ＝C 1D ．答案：解：由(1)知，平面BA 1D 的一个法向量n 1＝11,,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．又n 2＝(1,0,0)为平面AA 1D 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝1212123||||312⋅==⨯n n n n ．故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23． (3)求点C 到平面B 1DP 的距离．答案：解：∵1PB ＝(1，－2,0)，PD ＝10,1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，设平面B 1DP 的一个法向量n 3＝(a 1，b 1，c 1)，则311113120,0.2PB a b c PD b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n 令c 1＝1，可得n 3＝11,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．又10,0,2DC ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴点C 到平面B 1DP 的距离33||1||3DC d ⋅==n n ．。

人教版数学选修2—1第三章测试题

数学选修2—1第三章测试题考试时间：120分钟总分：150分第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、在下列命题中：①若向量a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若向量a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面； ③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（）A .0 B. 1 C. 2 D. 3 2、空间四边形ABCD 中，,,,c AD b BC a AB ===则=CD ( )A ．c b a -+B.c b a --C ．c b a +--D ．c b a ++-3、已知平行四边形ABCD 中，A (4，1，3)、B (2，－5，1)、C (3，7，－5)，则顶点D 的坐标为( )A ．)1,4,27(-B ．(2，3，1)C ．(－3，1，5)D ．(5，13，－3)4、a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(2,2,+x x )，若b a ⊥，则x ＝( )A ．0B ．314-C ．－6D ．±65、设a ＝(2,1,-m )，b ＝(n ,4,3-)，若b a //，则m ，n 的值分别为( )A ．43，8 B ．43-，—8 C ．43-，8 D ．43，－8 6、已知向量a (0，2，1)，b (－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°7、若斜线段AB 是它在平面α 内的射影长的2倍，则AB 与α 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°8、已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（）A ．627 B. 637 C. 647 D. 6579、在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，AB BC 21=，这时二面角B －AD －C 的大小为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．120°10、矩形ABCD 中，AB ＝1，2=BC ，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成的角是( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11、设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB则△BCD 是（） A ．钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定12、P A 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角为60°，则直线PC 与平面APB所成角的余弦值为( )A ．21B ．36C ．33D ．23二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13、已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |=2，|b |=5，则（2a －b ）²a =____________．14、已知)1,1,2(),2,0,1(==AC AB ，则平面ABC 的一个法向量为____________． 15、平面α的一个法向量为(1,0,-1),平面β的一个法向量为(0,-1,1),则平面α与平面β所成二面角的大小为____________．16、下列命题中：(1)0=⋅b a 则a ＝0或b ＝0；(2)==⋅⋅⋅⋅⋅22||||)3();()(q p c b a c b a2)(q p ⋅；(4)若a 与b c a c b a ⋅⋅⋅⋅-)()(均不为0，则它们必垂直．其中真命题的序号是____________．数学选修2—1第三章测试题第II 卷班级：姓名：总分：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 123456789101112二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13. 14.15. 16.三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤） 17、（满分14分）如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1,,AA b AD a AB ==,2,MC AM c ==ND N A 21=，试用基底},,{c b a 表示.MN18、（满分14分）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.（1）求MN的长；（2）求异面直线AN与CM夹角的余弦值.19、（满分14分）在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别为AA1, AB的中点,求EF和平面ACC1A1的夹角大小.20、（满分14分）已知棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DD1的中点.求证:(1) FC1∥平面ADE(2)平面ADE∥平面B1C1F21、（满分14分）如图,长方体ABCD－A1B1C1D1中, AB= AA1=1,BC=错误！未找到引用源。

高中数学人教A版选修2-1高二数学同步测试—(2-1第三章3.1).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作新课标高二数学同步测试—（2－1第三章3.1）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（） A ．c b a ++-2121 B ．c b a ++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A ．OC OB OA OM --=2 B ．OC OB OA OM 213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 03．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于（）A ．85B ．85C ．52D ．50 4．与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（）A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）5．已知A （－1，－2，6），B （1，2，－6）O 为坐标原点，则向量,OA OB 与的夹角是（）图A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知空间四边形ABCD 中，c OC ，b OB ，a OA ===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则MN =（） A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++-C ．c b a 212121-+D ．c b a 213232-+7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足000=∙=∙=∙AD AB ，AD AC ，AC AB ，则∆BCD 是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，∠AOB=∠AOC=600，则cos BC ，OA = （）A ．21B ．22 C ．-21 D ．09．已知A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则∆ABC 的面积为（）A ．3B ．32C ．6D ．26 10．已知),,2(),,1,1(t t b t t t a =--=，则||b a -的最小值为（）A ．55B ．555 C ．553 D ．511 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为． 12．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{}OC OB OA ,,表示向量OG ，有OG =x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为．13．已知点A(1，-2，11)、B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则∆ABC 的形状是． 14．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．O'N M D'C'B'A'CDz y16．（12分）如图在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°. （1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值 17．（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．18．（12分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ={2，－1，－4}，AD ={4，2，0}，AP ={－1，2，－1}.（1）求证：P A ⊥底面ABCD ；（2）求四棱锥P —ABCD 的体积；（3）对于向量a ={x 1，y 1，z 1}，b ={x 2，y 2，z 2}，c ={x 3，y 3，z 3}，定义一种运算：（a ×b ）·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1，试计算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P —ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB ×AD ）·AP 的绝对值的几何意义.．19．（14分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点. （1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M .图20．（14分）如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°.（1）证明：C 1C ⊥BD ；（2）假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；（3）当1CC CD的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明.参考答案一、1．A ；解析：)(21111BC BA A A BM B B MB ++=+==c +21（－b a +）=－21a +21b +c ．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．3．B ；解析：只需将A A AD AB C A '++='，运用向量的内即运算即可，2||C A C A '='．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b a b a b λ=⇔≠//,0．5．C ；解析：||||cos b a b a ⋅⋅=θ，计算结果为－1．6．B ；解析：显然OA OC OB OM ON MN 32)(21-+=-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形． 8．D ；解析：建立一组基向量OC OB OA ,,，再来处理BC OA ⋅的值． 9．D ；解析：应用向量的运算，显然><⇒⋅>=<AC AB AC AB AC AB AC AB ,sin ||||,cos ，从而得><=AC AB AC AB S ,sin ||||21． 10．C ；二、11．56；解析：72||||,cos -=⋅>=<b a ba b a ，得753,sin >=<b a ，可得结果．12．OC OB OA 313161++；解析：OC OB OA OA OC OB OA OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+= 13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=． 14．39-；解析：219132||||,cos 2-=+=⋅⋅>=<k k b a b a b a ，得39±=k ．三、15．解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）．由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a ），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得22236||()()()242424a a a a a MN a a =-+-+-=．16．解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23. OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD [TX →]的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ，所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则cos θ=222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅⋅BC AD BC AD 1051-=. 17．证：如图设321,,r SC r SB r SA ===，则SN SM SH SG SF SE ,,,,,分别为121r ，)(2132r r +，)(2121r r +，321r ，)(2131r r +，221r ，由条件EH=GH=MN 得：223123212132)2()2()2(rr r r r r r r r -+=-+=-+ 展开得313221r r r r r r ⋅=⋅=⋅∴0)(231=-⋅r r r ，∵1r ≠0，23r r -≠0，∴1r ⊥（23r r -）即SA ⊥BC ．同理可证SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．18．（1）证明：∵AB AP ⋅=－2－2+4=0，∴AP ⊥AB . 又∵AD AP ⋅=－4+4+0=0，∴AP ⊥AD .∵AB 、AD 是底面ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面ABCD . （2）解：设AB 与AD 的夹角为θ，则 cos θ=1053416161428||||=+⋅++-=⋅⋅AD AB AD ABV =31|AB |·|AD |·sin θ·|AP |=161411059110532=++⋅-⋅ （3）解：|（AB ×AD ）·AP |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P —ABCD 体积的3倍.猜测：|（AB ×AD ）·AP |在几何上可表示以AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力. 19．如图，建立空间直角坐标系O —xyz . （1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA .（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，图0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M . 评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20．（1）证明：设CB =a ，CD =b ，1CC =c ，则|a |=|b |，∵CB CD BD-==b －a ，∴BD ·1CC =（b －a ）·c =b ·c －a ·c =|b |·|c |cos60°－|a |·|c |cos60°=0， ∴C 1C ⊥BD .（2）解：连AC 、BD ，设AC ∩BD =O ，连OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角. ∵21)(21=+=CD BC CO （a +b ），2111=-=CC CO O C （a +b ）－c ∴CO ·211=OC （a +b ）·［21（a +b ）－c ］ =41（a 2+2a ·b +b 2）－21a ·c －21b ·c =41（4+2·2·2cos60°+4）－21·2·23cos60°－21·2·23cos60°=23. 则|CO |=3，|O C 1|=23，∴cos C 1OC =33||||11=⋅⋅O C CO O C CO （3）解：设1CC CD=x ，CD =2，则CC 1=x 2.∵BD ⊥平面AA 1C 1C ，∴BD ⊥A 1C ∴只须求满足：D C C A 11⋅=0即可. 设A A 1=a ，AD =b ，DC =c ， ∵C A 1=a +b +c ，D C 1=a －c ，∴D C C A 11⋅=（a +b +c ）（a －c ）=a 2+a ·b －b ·c －c 2=xx 242+－6，令6－242xx -=0，得x =1或x =－32（舍去）.评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.。

数学高二-选修2-1 第3章单元综合检测1

第三章单元综合检测(一)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A ．14B ．12C ．2D ．4解析：由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14. 答案：A2．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：∵4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<2，m 29＋n 24<m 24＋n 24<1， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．答案：B3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( )A ．53B ．43C ．54D ．32解析：双曲线焦点在x 轴，由渐近线方程可得b a ＝43，可得e ＝ca ＝32＋423＝53. 答案：A4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 236－y 2108＝1B ．x 29－y 227＝1C ．x 2108－y 236＝1D ．x 227－y 29＝1解析：抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，故双曲线中c ＝6.① 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝3x ，知ba ＝3，② 且c 2＝a 2＋b 2.③由①②③解得a 2＝9，b 2＝27. 故双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故选B.答案：B5．以P (2,2)为圆心的圆与椭圆x 2＋2y 2＝a 相交于A ，B 两点，则AB 的中点M 的轨迹方程为( )A ．xy －2x －4y ＝0B ．xy ＋2x ＋4y ＝0C ．xy －2x ＋4y ＝0D ．xy ＋2x －4y ＝0解析：本题主要考查由曲线求方程的方法．设M (x ，y )，A (x －m ，y －n )，B (x ＋m ，y ＋n )，易知AB 的斜率必存在，又A ，B 都在椭圆上，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －m )2＋2(y －n )2＝a (x ＋m )2＋2(y ＋n )2＝a k AB·k PM＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧4mx ＋8ny ＝0n m ＝－x －2y －2⇒x 2y ＝x －2y －2，即xy ＋2x －4y ＝0为所求轨迹方程，故选D. 答案：D6．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫34π，π B ．⎝⎛⎭⎫π4，34π C ．⎝⎛⎭⎫π2，πD ．⎝⎛⎭⎫π2，34π解析：椭圆方程化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1.∵椭圆焦点在y 轴上，∴－1cos α>1sin α>0.又∵0≤α<2π，∴π2<α<3π4.答案：D7．[2014·人大附中月考]已知F 1、F 2为双曲线的焦点，以F 1F 2为边作正三角形，若双曲线恰好平分另外两边，则双曲线的离心率为( )A ．1＋ 3B ．1－ 3C ．1＋32D ．1－32解析：本题考查了双曲线的定义及数形结合的方法．设以F 1F 2为边的正三角形与双曲线右支交于点M ，在Rt △MF 1F 2中可得，|F 1F 2|＝2c ，|MF 1|＝3c ，|MF 2|＝c ，由双曲线的定义有|MF 1|－|MF 2|＝2a ，即3c －c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选A.答案：A8．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A ．125B ．65C ．2D ．55解析：如图所示过点F 作FM 垂直于直线3x －4y ＋9＝0，当P 点为直线FM 与抛物线的交点时，d 1＋d 2最小值为|3＋9|5＝125.答案：A9． [2014·辽宁高考]已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A ．12B ．23C ．34D ．43解析：易知p ＝4，抛物线方程为y 2＝8x ，与直线AB 的方程y －3＝k (x ＋2)联立，消去x 整理得ky 2－8y ＋16k ＋24＝0，由题意知Δ＝64－4k (16k ＋24)＝0，解得k ＝－2或k ＝12.因为直线与抛物线相切于第一象限，故舍去k ＝－2，故k ＝12，可得B (8,8)，又F (2,0)，故k BF＝8－08－2＝43，故选D. 答案：D10．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y解析：若设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则抛物线过点(40,30)，302＝2p ·40,2p ＝452，所以所求抛物线方程为y 2＝452x . 选项中没有y 2＝452x ，但C 中的2p ＝452符合题意．方程不同主要是因为讨论的焦点不同．答案：C11．[2014·北京市东城区联考]设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0解析：本题主要考查双曲线的定义、等腰三角形的性质、双曲线中基本量之间的关系及应用．由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y＝0，故选D.答案：D12．[2014·广东省中山一中月考]已知点A (2,0)，在圆x 2＋y 2＝4上任取两点B ，C ，使∠BAC ＝60°，则△ABC 的垂心H 的轨迹方程是( )A ．(x ＋2)2＋y 2＝4B ．x 2＋(y －2)2＝4C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －2)2＋y 2＝4解析：本题主要考查求曲线的方程．设H (x ，y )，BD ⊥AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，得 ∠CBD ＝∠EAC ，所以△CBD 与△HAD 相似，则有|AH ||BC |＝|AD ||BD |⇒|AH |＝|AD |·|BC ||BD |，而∠BAC ＝60°，得|AD ||BD |＝33.又∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，OB ＝OC ＝2，所以|BC |＝22＋22－2×2×2cos120°＝23，得|AH |＝23×33＝2.故垂心H 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4，故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．方程(x ＋y －1)·x －1＝0所表示的曲线是__________．解析：由方程(x ＋y －1)·x －1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0或x －1＝0，∴x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.答案：直线x ＝1或射线x ＋y －1＝0(x ≥1)14．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点__________．解析：直线x ＋2＝0为抛物线的准线，由于动圆恒与直线x ＋2＝0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线的定义可知，定点为抛物线的焦点(2,0)．答案：(2,0)15．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝⎛⎭⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为__________．解析：由题意，得b2＋c c －b 2＝3⇒b 2＋c ＝3c －32b ⇒b ＝c ，因此e ＝ca ＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝12＝22. 答案：2216．[2014·河南省实验中学月考]抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过焦点F 倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A ′，B ′，若四边形AA ′B ′B 的面积为48，则抛物线的方程为____．解析：本题考查点斜式，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系及梯形的面积公式．因为抛物线的焦点为F (p 2，0)，所以直线AB 的方程为y ＝33(x －p2)，代入y 2＝2px (p >0)，整理得，x 2－7px ＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由方程的根与系数之间的关系得x 1＋x 2＝7p ，x 1·x 2＝p 24，y 1－y 2＝33(x 1－x 2)，又四边形AA ′B ′B 是梯形，其面积为48，所以12(x 1＋x 2＋p )|y 1－y 2|＝48，即12(x 1＋x 2＋p )|33(x 1－x 2)|＝36(x 1＋x 2＋p )(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝48，解得p 2＝3，p ＝3，故抛物线的方程为y 2＝23x .答案：y 2＝23x三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．解：设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)． ∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209＝1.∵M 是线段PP ′的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝y 2，把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x y 0＝y2，代入x 2036＋y 209＝1，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36.∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.18．(12分)[2014·湖南省长沙一中期中考试]已知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为y ±3x ＝0，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．解：设双曲线方程为y 2－3x 2＝k (k ≠0)，当k >0时，a 2＝k ，b 2＝k 3，c 2＝4k3，此时焦点为(0，±4k 3)，由题意得3＝4k 32，解得k ＝27，双曲线方程为y 2－3x 2＝27，即y 227－x 29＝1；当k <0时，a 2＝－k 3，b 2＝－k ，c 2＝－4k3，此时焦点为(± －4k3，0)，由题意得3＝－4k2，解得k ＝－9，双曲线方程为y 2－3x 2＝－9，即x 23－y 29＝1. ∴所求双曲线方程为y 227－x 29＝1或x 23－y 29＝1.19．(12分)已知椭圆C 的焦点F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长6，设直线y ＝x ＋2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．解：由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上，其中c ＝22，a ＝3，从而b ＝1，所以其标准方程是x 29＋y 2＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，y ＝x ＋2，消去y 得，10x 2＋36x ＋27＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 线段的中点为M (x 0，y 0)，那么x 1＋x 2＝－185，x 0＝x 1＋x 22＝－95，所以y 0＝x 0＋2＝15.也就是说线段AB 的中点坐标为(－95，15)．20．(12分)[2014·山东省青岛二中月考]如图，已知两点P (－2，2)、Q (0,2)以及一条直线l ：y ＝x ，设长为2的线段AB 在直线l 上移动，求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．解：如图，∵线段AB 在直线l ：y ＝x 上，且线段AB 的长为2，设M (x ，y )，A (t ，t )，B (t ＋1，t ＋1)(t 为参数)，则直线PA 的方程为y －2＝t －2t ＋2(x ＋2)(t ≠－2)，①直线QB 的方程为y －2＝t －1t ＋1x (t ≠－1)．②∵M (x ，y )是直线PA 、QB 的交点，∴x ，y 是由①②组成的方程组的解，由①②消去参数t ，得x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0. ③ 当t ＝－2时，PA 的方程为x ＝－2，QB 的方程为3x －y ＋2＝0，此时的交点为M (－2，－4)．当t ＝－1时，QB 的方程为x ＝0，PA 的方程为3x ＋y ＋4＝0，此时的交点为M (0，－4)．经验证，点(－2，－4)和(0，－4)均满足方程③. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0.21．(12分)如图，抛物线顶点在原点，圆x 2＋y 2＝4x 的圆心是抛物线的焦点，直线l 过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l 交抛物线与圆依次为A 、B 、C 、D 四点．(1)求抛物线的方程； (2)求|AB |＋|CD |的值．解：(1)由圆的方程x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4可知，圆心为F (2,0)，半径为2.又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F (2,0)，抛物线方程为y 2＝8x . (2)|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |， ∵|BC |为已知圆的直径，∴|BC |＝4，则|AB |＋|CD |＝|AD |－4. 设A (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，∵|AD |＝|AF |＋|FD |，而A 、D 在抛物线上，由已知可得，直线l 的方程为y ＝2(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝2(x －2)，消去y ，得x 2－6x ＋4＝0. ∴x 1＋x 2＝6.∴|AD |＝6＋4＝10. 因此，|AB |＋|CD |＝10－4＝6.22．(12分)设A ，B 是椭圆3x 2＋y 2＝λ上的两点，点N (1,3)是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点．(1)当λ＝3时，过点P (0,1)且倾斜角为π3的直线与椭圆相交于E 、F 两点，求|EF |的长；(2)确定λ的取值范围，并求直线CD 的方程．解：(1)当λ＝3时，椭圆方程为x 2＋y 23＝1，直线EF 方程为：y ＝3x ＋1.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，3x 2＋y 2＝3，∴3x 2＋3x －1＝0.∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－33，x 1x 2＝－13.∴|EF |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2153.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋3，代入3x 2＋y 2＝λ，得(k 2＋3)x 2－2k (k －3)x ＋(k －3)2－λ＝0.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k (k －3)k 2＋3，且Δ＝4[λ(k 2＋3)－3(k －3)2]>0.②由N (1,3)是线段AB 的中点，得x 1＋x 2＝2. ∴k (k －3)＝k 2＋3解得k ＝－1代入②得λ>12.∴λ的取值范围是(12，＋∞)，直线CD 的方程为x －y ＋2＝0.。

高中数学人教A版选修(2—1)第三章3.1空间向量及其运算测试题(含解析答案)

高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题一、选择题1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于（）A ．(16,0,4)B ．(8，－16,4)C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝（）A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为12的是（） A. ⋅ B. BD AB ⋅ C.DA AB ⋅ D.⋅ 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（）A.OM →＝2OA →－OB →－OC →B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝05．若向量{,,}是空间的一个基底，向量-=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( )A ．aB ．bC ．cD ．2a6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是A ．1B ．15C ．35D ．－2098．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为（）A ．4B ．15C ．7D ．39．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为（）A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形10．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝⎛⎭⎫14，14，14B.⎝⎛⎭⎫34，34，34C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23 11. 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ， AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c 12.给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA → ＋13OB →＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．上述命题中的真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填“共面”或“不共面”)．14．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在b 方向上的投影为________．15．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________.16．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)共线，那么a －b ＝________.三、解答题17. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，计算： (1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →.18．如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝ 45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 夹角的余弦值．19．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．21. 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．22.如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱AA 1上，点F 在侧棱BB 1上，且AE ＝22，BF ＝ 2.(1)求证：CF ⊥C 1E ；(2)求二面角E -CF -C 1的大小．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2，32)，E (0，0，22)，F (3，1，2)．(1) C 1E →＝(0，－2，－2)，CF →＝(3，－1，2)，C 1E →·CF →＝0＋2－2＝0，所以CF ⊥C 1E .(2)CE →＝(0，－2,22)，设平面CEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥CE →，m ⊥CF →，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ·CE →＝0，m ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋22z ＝0，3x －y ＋2z ＝0.可取m ＝(0，2，1)．设侧面BC 1的一个法向量为n ，由n ⊥CB →，n ⊥CC 1→，及CB →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,32)，可取n ＝(1，3，0)．设二面角E -CF -C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得cos θ＝|m·n ||m|·|n |＝63×2＝22，所以θ＝45°，即所求二面角E -CF -C 1的大小为45°.1.D 提示：4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8，4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．2. D 提示： A 1B →＝A 1A →＋AB →＝－c ＋(b －a )＝－a ＋b －c .3\ D 提示：向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角，经检验只有⋅＝12. 4. C 提示：MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →)，所以M 与A 、B 、C 共面．5\ 解析 C ∵a ＋b ，a －b 分别与a 、b 、2a 共面，∴它们分别与a ＋b ，a －b 均不能构成一组基底．6. A 提示：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD →1；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝ BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，故选A.7. D 提示：∵k a －b ＝(k ＋1，－k －2，k －1)，a －3b ＝(4，－7，－2)，(k a －b )⊥(a －3b )，∴4(k ＋1)－7(－k －2)－2(k －1)＝0，∴k ＝－209. 8\解析 D ∵b ＋c ＝(2,2,5)，∴a ·(b ＋c )＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.9解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．10.解析 A OG 1→＝OA →＋AG 1→＝OA →＋23×12(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝13(OA →＋OB →＋OC →)，由OG ＝3GG 1知，OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫14，14，14.11 A 解析由图形知：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12a ＋12b ＋c . 12. B 解析 ①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a ＝0，b ≠0 时，找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；可以证明③中A ，B ，C ，M 四点共面，因为13OA →＋13OB →＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上MO →，则13(MO →＋OA →)＋13(MO →＋ OB →)＋13(MO →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋MC →＝0，MA →＝－MB →－MC →，则MA →与MB →，MC → 共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A ，B ，C ，M 四点共面，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题．13. 解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →.即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面． 14. 433 解析向量a 在b 方向上的投影为：|a |·cos a ，b ＝14×－1＋2＋314×3＝433. 15. 3 解析因为OA →＋AG →＝OG →，OB →＋BG →＝OG →，OC →＋CG →＝OG →，且AG →＋BG →＋CG →＝0，所以OA →＋OB →＋OC →＝3OG →.16. 1 解析:AB →＝(1，－1,3)，BC →＝(a －2，－1，b ＋1)，若使A 、B 、C 三点共线，须满足BC →＝λAB →，即(a －2，－1，b ＋1)＝λ(1，－1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝λ，－1＝－λ，b ＋1＝3λ，解得a ＝3，b ＝2，所以a －b ＝1.17. 解析 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA → ＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14.(2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12cos 0°＝12. (3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14. 18. 解析 ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2.∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225. ∴OA 与BC 夹角的余弦值为3－225. 19.解析 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12， ∴∠BAC ＝60°∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0，a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3，解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．21.解析∵A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，a ＝AB →，b ＝AC →，∴a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)．(1) cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010， ∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2) ∵k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，则k ＝－52或k ＝2.。

高中数学人教A版选修2-1第三章阶段质量检测

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）(时间90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是 ( ) A ．(13，1,1)B ．(－1，－3,2)C ．(－12，32，－1)D ．(2，－3，－22)解析：由题意a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ， a ＝(1，－3,2)＝－2(－12，32，－1)．答案：C2．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．2 C.12D ．3解析：∵l 1⊥l 2，∴a ·b ＝0，代入可得m ＝2. 答案：B3．若向量a ＝(1，x,0)，b ＝(2，－1,2)，a ，b 夹角的余弦值为26，则x 等于( ) A ．1B ．－1C ．1或7D ．－1或－7解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2－x 31＋x 2＝26,平方并整理得x 2－8x ＋7＝0，解得x ＝1或x ＝7.由2－x >0, 得x <2，故x ＝1. 答案：A4.如图，空间四边形OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝GN .设OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则x ，y ，z 的值分别为( )A.13，13，13B.13，13，16C.13，16，13D.14，14，14解析：∵MG ＝GN ，∴MG ＝12MN .∴OG ＝OM ＋MG ＝OM ＋12(ON －OM )＝12OM ＋12ON ＝12×12OA ＋12[12(OB ＋OC )]＝14OA ＋14OB ＋14OC . 答案：D5．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB 与CA 的夹角θ是( ) A.π6B.π3C.5π6D.2π3解析：AB ＝(－1,0,4)－(1,1,1)＝(－2，－1,3)，CA ＝(1,1,1)－(2，－2,3)＝(－1,3，－2)，|AB |＝(－2)2＋(－1)2＋32＝14， |CA |＝(－1)2＋32＋(－2)2＝14，AB ·CA ＝2－3－6＝－7， ∴cos 〈AB ，CA 〉＝|AB |·CA | AB |·|CA |＝－714＝－12， ∴〈AB ，CA 〉＝2π3.答案：D6．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂αD ．l 与α斜交解析：a ＝－12(－2,0，－4)＝－12u ，∴a ∥u ，∴l ⊥α. 答案：B7.如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， |1A B |＝|AC |＝2a ，∴1A M ＝131A B ，AN ＝13AC .∴MN ＝1MA ＋1A A ＋AN ＝－131A B ＋1A A ＋AN ＝－131A A －131B B ＋1A A ＋13AD ＋1311A B ＝231A A ＋13AD ＝231B B ＋1311B C . ∴MN ，1B B ，11B C 共面．又MN ⊄平面BB 1C 1C ， ∴MN ∥平面BB 1C 1C . 答案：B8．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE ·AF 的值为( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2D.34a 2 解析：如图，AE ＝12(AB ＋AC )，AF ＝12AD ，AE ·AF＝14(AB ·AD ＋AC ·AD ) ＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案：C9．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为 ( )A.83B.38C.43D.34解析：取DA ，DC ，1DD 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系，可求得平面AB 1D 1的法向量为n ＝(2，－2,1).由1AA 在n 上的射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|1AA ·n ||n |＝43. 答案：C10．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，侧棱长等于底面边长，A 1在底面的射影是△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) A.13B.23C.33D.23解析：如图，设A 1在底面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设△ABC 边长为1，则A (33，0,0)，B 1(－32，12，63)， ∴1AB ＝(－536，12，63). 平面ABC 的法向量n ＝(0,0,1)，则AB 1与底面ABC 所成角α的正弦值为sin α＝|cos 〈1AB ，n 〉|＝637536＋14＋69＝23. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 11．平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．解析：cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝－12·2＝－12，∴〈m ，n 〉＝120°，即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°. 答案：60°或120°12．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为________．解析：|a |＝22＋12＋22＝3，|b |＝3，∴|a |＝|b |， ∴四边形为菱形．又a ＋b ＝(4,1,3)，a －b ＝(0，－3,1)， ∴|a ＋b |＝26，|a －b |＝10，∴S ＝12|a －b |·|a ＋b |＝65.答案：6513．若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α内的三点．设平面α的法向量a ＝(2，y ，z )，则a ＝________.解析：AB ＝(1，－3，－74)，AC ＝(－2，－1，－74)，∴⎩⎨⎧a ·AB ＝0，a ·AC ＝0，∴⎩⎨⎧2－3y －74z ＝0，－4－y －74z ＝0.解得y ＝3，z ＝－4， ∴a ＝(2,3，－4)．答案：(2,3，－4)14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，EF ∥BC 且AE ＝2EB ，G 为BC 的中点，K 为AF 的中点.沿EF 将矩形折成120°的二面角A －EF －B ，此时KG 的长为________．解析：如图，过K 作KM ⊥EF ，垂足M 为EF 的中点，则向量MK 与FC 的夹角为120°，〈KM ，FC 〉＝60°.又KC ＝KM ＋MG ＝KM ＋FC ，∴2KG ＝2KM ＋2FC ＋2KM ·FC ＝1＋1＋2×1×1×cos 60°＝3.∴|KG |＝ 3. 答案： 3三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE ⊥b ？(O 为原点)解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2) OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋t AB ＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t ).若OE ⊥b ，则OE ·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE ⊥b ，此时E 点坐标为E (－65，－145，25)．16．(本小题满分12分)在棱长为1的正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是DD 1、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，建立合适的空间直角坐标系．(1)求证EF ⊥B 1C ；(2)求EF 与C 1G 的夹角的余弦值．解：如图，建立空间直角坐标系，则B 1(1,0,1)，C (1,1,0)，E (0,1，12)，F (12，12，0)，G (34，1,0)，C 1(1,1,1)． (1) EF ＝(12，－12，－12)，1B C ＝(0,1，－1)，∴EF ·1B C ＝0，∴EF ⊥B 1C . (2) 1G G ＝(－14，0，－1)，cos 〈EF ，1G G 〉＝EF ·1G G|EF |·|1G G |＝－18＋0＋1234×1716＝5117.17．(本小题满分12分)(2011·新课标全国卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .(1)证明：PA ⊥BD ；(2)若PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值．解：(1)因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，所以由余弦定理得BD ＝3AD . 从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD . 又PD ⊥底面ABCD ，所以BD ⊥PD . 所以BD ⊥平面PAD .故PA ⊥BD .(2)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，P (0,0,1)．AB ＝(－1，3，0)，PB ＝(0，3，－1)，BC ＝(－1,0,0)．设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·AB ＝0，n ·PB ＝0，即⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，3y －z ＝0，因此可取n ＝(3，1，3)．设平面PBC 的法向量为m ，则⎩⎨⎧m ·PB ＝0，m ·BC ＝0.可取m ＝(0，－1，－3)，则cos 〈m ，n 〉＝－427＝－277.故二面角A －PB －C 的余弦值为－277.18.(本小题满分14分)(2012·北京高考)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在一点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由. 说明理由。

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最新人教版高中数学选修2-3单元测试题全套及答案第一章测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共6()分.在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题II 要求的)1.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A. 10 种C. 25 种B. 20 种D. 32 种解析：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种，故选D.答案：D2.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有()A. 36 种C. 96 种B. 48 种D. 192 种解析：不同的选修方案共有C：C；C：=96种.故选C.答案：c3.已知(l+ax)(l+xf的展开式中M的系数为5,则。

=( )A・一4B・一3C・一2D・一1解析：(1 +x)5中的Ci?项与ck项分别与(1+祇)中的常数项1与一次项ax的乘积之和为展开式中含兀2 的项，即Clx2+C^ax=5x2f :,a=-\.故选D.答案：D4.从编号1, 2, 3, 10, 11的11个球中，取岀5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取法种数为()A. 236B. 328C. 462解析：分三类.第一类，取5个编号为奇数的小球，第二类，取3个编号为奇数的小球，第三类，取1个编号为奇数的小球，D. 2 640共有C廿6种取法；再取2个编号为偶数的小球，共有C? &二200种取法；再取4个编号为偶数的小球，共有C： (2?二30种取法；根据分类加法记数原理，所以共有6+200+30=236种取法.答案：A5.张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有（）A.12 种B. 24 种C. 36 种D. 48 种解析：第一步，将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步，将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有2A#种排法，故总的排法有2X2XA B=24种，故选B.答案：B6.由数字0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有（）A.72 种B. 60 种C. 48 种D. 52 种解析：只考虑奇偶相间，则有2A沽:种不同的排法，其中，在首位的有A；A扌种不符合题意，所以共有2A#A#-A瓠扌=60种.故选B.答案：B7.己知3A£=4A「i,则x等于（）A. 6B. 13C. 6 或13D. 123X 8 14X9 I解析：由排列数公式可将原方程化为（8_町！ =（］0_巧！，化简可得x2-19x4-78=0,解得x=6或x=13.又因为且X—1W9,则xW8 且xWN；故x=6.答案：A8.如图，要给①，②，③，④四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为（）A.320C. 96D. 60解析：不同的涂色方法种数为5X4X4X4=320种.答案：A9.设加为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a, （x+y）2m+l展开式的二项式系数的最大值为b.若13Eb,则加等于（）A. 5B. 6C. 7D. 8解析：由二项式系数的性质知：二项式（x+y）加的展开式中二项式系数最大有一项C验=a,二项式（x+^）2w+,的展开式中二项式系数最大有两项»2〃汁1—加+1—6因此13（X=7（X+],2加! 7・（2加+1）!・•・13・~ = !（加+］）!，:.m=6.故选B.答案：B10. 2014年世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强（各组的前2名小组出线），这16个队按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为（A. 64B. 72C. 60 D・56解析：先进行单循环赛, 有8&=48场，再进行第一轮淘汰赛，16个队打8场，再决出4強，打4场，再分2组打2场决出胜负, 两胜者打1场决出冠、亚军，两负者打1场决出三、四名，共举行：48 + 8+4+2+1 + 1=64 场.②对任意展开式中没有常数项；③对任意展开式中没有x的一次项;④存在使展开式中有x的一次项.上述判断中正确的是（）A.①与③B.②与③C.②与④D.①与④解析：二项式的通项公式为77+|=厂W/7, rEN, nEN*.若展开式中存在常数项，则4/—« = 0,显然若〃为4的倍数则展开式中有常数项，若〃不是4的倍数，则展开式中没有常数+ J项，故①正确②错误.若展开式中存在一次项，则有4/~H=1, r=—^―,若n=4«+3伙WN）,则rEN即此时展开式中有一次项，否则没有一次项，故③错误，④正确，故选D.展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）解析：只有第六项二项式系数最大，则n= 10,乃+i =C；o（心）"（卞）= 2'C[（＞r5 ―亍，令5—y=0,得尸=2,A73=4C?O=18O.故选A.答案：A二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上）13.绍兴臭豆腐闻名全国，一外地学者來绍兴旅游，买了两串臭豆腐，每串3颗（如图）.规定：每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃，且两串可拒卜叵）0. 以自由交替吃.请问：该学者将这两串臭豆腐吃完，有_____________________ 种不同的吃法•（用数字作答）解析：如图所示，先吃力的情况，共有10种，如果先吃D情况相同，共有20种.答案：2014.某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名队员参加比赛，种子选手都必须在内，那么不同的选法共有________ .解析：不同的选法共有C农=；；；；[=35（种）.答案：35种15.二项式（x+yf的展开式中，含x2/的项的系数是__________ .（用数字作答）解析：（x+y）5的展开式的通项7；+I=C^5_y,令r=3,得含6?的项的系数为©=10.答案：1016.在（X-V2）2（X）8的二项展开式中，含x的奇次幕的项之和为$,当时$= _________________ .解析：设（X—迈严X = Qo + Q1X + 02兀2 + % H a2 00^2（＞°8当x=y[2时，有Q（）+ G] •迈 + 如（V^）2 H ^2 008-（迄尸咲=0①当x=-yfl时，有do — a] •迈 + 他•（迈）2 02 007（迈）2 °°? +008（匹F °°8=（2迄严8②①------------------------------------------------------- 一②得2[°]•迄+矽（V^）3+令（^2）5H a2 oo7（V^）2（M）?1=_ 2^012・・・兀=也时，S=〃Ji + d3•（迈）'+・・・+。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章空间向量与立体几何单元检测(A卷) 含答案

第三章　空间向量与立体几何(A)(时间：120分钟　满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．以下命题中，不正确的个数为( )①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③若a·b ＝0，b·c ＝0，则a ＝c ；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ⑤|(a·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若＝a ，＝b ，＝c ，则等于( )C A → CB → CC 1→ A 1B →A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c3．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a ∥b ，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15 D ．x ＝6，y ＝1524．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝，且a 分别与，垂3AB → AC →直，则向量a 为( ) A ．(1,1,1)B ．(－1，－1，－1)C ．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1)5．已知A (－1,0,1)，B (0,0,1)，C (2,2,2)，D (0,0,3)，则sin 〈，〉等于( )AB → CD →A ．－ B. C. D ．－232353536．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( ) 2A ．60° B ．90° C ．105° D ．75°7．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )A ．cos θ＝B ．cos θ＝n·a |n||a ||n·a||n||a |C ．sin θ＝ D ．sin θ＝n·a |n||a ||n·a||n||a |8．若三点A (1，－2,1)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．不等边的锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形9．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确10．若两点A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当||取最小值时，x 的值等于( )AB →A ．19B ．－ C. D.8787191411.如图所示，在四面体P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B —AP —C 的余弦值为( )A. B. 2233C. D. 775712.如图所示，在直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB 是等腰直角三角形，其中∠AEB ＝90°，则点D 到平面ACE 的距离为( ) A. B. 33233C. D ．233题　号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答　案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，则|a －2b |＝________. 14．如图所示，已知正四面体ABCD 中，AE ＝AB ，CF ＝CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为1414________．15．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________． 16.如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ ，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在(θ∈(0，π2))平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为______．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，CA 1⊥BC 1.求证：AB 1＝CA 1.18．(12分)已知四边形ABCD 的顶点分别是A (3，－1，2)，B (1，2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)．求证：四边形ABCD 是一个梯形．19.(12分)如图所示，四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M 、N 分别是AC 、BF 的中点，判断与是否共线？CE MN20．(12分)如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.求证：C1C⊥BD.21.(12分)如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．22．(12分)如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC ，CC 1上的点，CF ＝AB ＝2CE ，AB ∶AD ∶AA 1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值； (2)证明AF ⊥平面A 1ED ；(3)求二面角A 1—ED —F 的正弦值．第三章　空间向量与立体几何(A)1．C [只有命题④正确．]2.D [如图，＝－＝－－＝－－＝b －a －c .]A 1B → AB → AA 1→ CB → CA → AA 1→ CB → CA → CC 1→3．D [∵a ∥b ，∴存在实数λ，使Error!，∴Error!.]4．C [设a ＝(x ，y ，z )，∵＝(－2，－1,3)，AB →＝(1，－3,2)， A C →又|a |＝，a ⊥，a ⊥，3AB → A C →∴Error!∴Error!或Error!∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．]5．C [∵＝(1,0,0)，＝(－2，－2,1)，AB → CD →∴cos 〈，〉＝＝－， AB → CD →AB CD AB CD ∙∙23∴sin 〈，〉＝.]AB → CD → 536．B [建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0,0,1)，B 1，C 1(0，，0)， (62，22，0)2B. (62，22，1)∴＝，＝， AB 1→ (62，22，－1)C 1B →(62，－22，1)∴·＝－－1＝0， AB 1→ C 1B → 6424即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.]7．D [若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90°或θ＝90°－β，cos β＝，∴sin θ＝|cos β|＝.]n·a |n||a ||n·a||n||a|8．A [＝(3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3,1)，·>0，得∠A 为锐角；·>0，AB → A C → BC → AB → A C → CA → CB →得∠C 为锐角；·>0，得∠B 为锐角，所以△ABC 是锐角三角形且||＝，||＝BA → BC → AB → 29A C →，||＝.]35BC →149．A [∵v ＝－3u ，∴v ∥u .故α∥β.]10．C [＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，AB →则||＝ AB →(1－x )2＋(2x －3)2＋(－3x ＋3)2＝＝.14x 2－32x ＋1914(x －87)2＋57故当x ＝时，||取最小值．]87AB →11．C [如图所示，作BD ⊥AP 于D ，作CE ⊥AP 于E ，设AB ＝1，则易得CE ＝，EP ＝，PA ＝PB ＝22222，可以求得BD ＝， 144ED ＝.∵＝＋＋，24BC → BD → DE → EC →∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·. BC → BD → DE → EC → BD → DE → DE → EC → EC → BD →∴·＝－，∴cos 〈，〉＝－， EC → BD → 14BD → EC →77即二面角B —AP —C 的余弦值为.]7712．B [建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，E (1,0,0)，D (0，－1,2)，C (0,1,2)．＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)，设平面ACE 的法向量n ＝(x ，y ，z )， A D → AE → A C →则　即Error!令y ＝1，∴n ＝(－1,1，－1)．故点D 到平面ACE 的距离d ＝＝＝.] |－23|23313.258解析　∵a －2b ＝(8，－5,13)， ∴|a －2b |＝＝. 82＋(－5)2＋13225814. 413解析　因四面体ABCD 是正四面体，顶点A 在底面BCD 内的射影为△BCD 的垂心，所以有BC ⊥DA ，AB ⊥CD .设正四面体的棱长为4，则·＝(＋)·(＋) BF → DE → BC → C F → DA → AE → ＝0＋·＋·＋0BC → AE → C F → DA →＝4×1×cos 120°＋1×4×cos 120°＝－4，BF ＝DE ＝＝， 42＋12－2×4×1×cos 60°13所以异面直线DE 与BF 的夹角θ的余弦值为：cos θ＝＝. 41315.或 π32π3解析　设n 1＝(1,0，－1)，n 2＝(0，－1,1)，则cos 〈n 1，n 2〉＝＝－，1×0＋0×(－1)＋(－1)×12·212∴〈n 1，n 2〉＝.因平面α与平面β所成的角与〈n 1，n 2〉相等或互补，所以α与β所2π3成的角为或.π32π316.3－2cos θ解析　因为＝＋＋，A D → AB → BC → CD →所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.A D → AB → BC → CD → AB → CD → AB → BC → BC → CD →所以||＝，A D →3－2cos θ即AD 的长为.3－2cos θ17．证明　以A 为原点，AC 为x 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系．设B (a ，b,0)，C (c,0,0)，A 1(0,0，d )，则B 1(a ，b ，d )，C 1(c,0，d )，＝(a ，b ，d )，AB 1→＝(c －a ，－b ，d )，＝(－c,0，d )， B C 1→ CA 1→由已知·＝ca －a 2－b 2＋d 2＝0，AB 1→ B C 1→·＝－c (c －a )＋d 2＝0，可得c 2＝a 2＋b 2. CA 1→ B C 1→再由两点间距离公式可得：|AB 1|2＝a 2＋b 2＋d 2，|CA 1|2＝c 2＋d 2＝a 2＋b 2＋d 2， ∴AB 1＝CA 1.18．证明　因为＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－AB → CD →3)＝(4，－6,6)，因为＝＝，－243－6－36所以和共线，即AB ∥CD .AB → CD →又因为＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，A D →＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)， BC →因为≠≠，所以与不平行，所以四边形ABCD 为梯形．0－2－4－11－2A D → BC →19．解　∵M 、N 分别是AC 、BF 的中点，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形，∴＝＋＋＝＋＋. MN → MA → AF → FN → 12CA → AF → 12FB又∵＝＋＋＋MN → MC → CE → EB → BN →＝－＋－－，12CA →CE → AF → 12FB ∴＋＋12CA →AF → 12FB＝－＋－－，12CA →CE → AF → 12FB∴＝＋2＋ CE → CA → AF → FB＝2(＋＋)＝2.MA → AF → FN → MN →∴∥，即与共线． CE → MN → CE → MN →20．证明　设＝a ，＝b ，＝c ，CD → CB → CC 1→依题意，|a |＝|b |，又设，，中两两所成夹角为θ，CD → CB → CC 1→ 于是＝－＝a －b ，BD → CD → CB →·＝c ·(a －b )＝c·a －c·b CC 1→ BD →＝|c||a |cos θ－|c||b |cos θ＝0，所以C 1C ⊥BD .21．解　因为＝－，BC → A C → AB →所以·＝·－·OA → BC → OA → A C → OA → AB → ＝||||cos 〈，〉－||||cos 〈，〉 OA → A C → OA → A C → OA → AB → OA → AB → ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120° ＝－16＋24.2所以cos 〈，〉＝OA → BC →＝＝.24－1628×53－225即OA 与BC 所成角的余弦值为. 3－22522．(1)解　如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得D (0,2,0)，F (1,2,1)，A 1(0,0,4)，E .(1，32，0)易得＝，EF →(0，12，1)＝(0,2，－4)， A 1D →于是cos 〈，〉＝＝－.EF → A 1D →35所以异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值为. 35(2)证明　易知＝(1,2,1)， AF → ＝，＝， EA 1→ (－1，－32，4)ED → (－1，12，0)于是·＝0，·＝0. AF → EA 1→ AF → ED →因此，AF ⊥EA 1，AF ⊥ED .又EA 1∩ED ＝E ，所以AF ⊥平面A 1ED .(3)设平面EFD 的法向量u ＝(x ，y ，z )，则即Error!不妨令x ＝1，可得u ＝(1,2，－1)，由(2)可知，为平面A 1ED 的一个法向量， AF →于是cos 〈u ，〉＝＝， AF →23从而sin 〈u ，〉＝. AF → 53所以二面角A 1—ED —F 的正弦值为.53。

2018秋人教A版高中数学选修2-1第三章测评(精编含解析)

第三章测评一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若A,B,C,D为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是( )①+2+2;②2+2+3+3;③;④.A. ①②B. ②③C. ②④D. ①④【答案】C【解析】【分析】无论是平面向量还是空间向量，各向量的和为零向量必定有各向量恰好形成一个回路，即起点与终点重合，也可以运用向量加法法则直接计算。

【详解】①===；②==；③=；④=表示恰好形成一个回路，结果必为；综上可知答案选C。

【点睛】本题考查了向量的基本运算，关键掌握相应运算的法则，属于基础题。

2.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是( )A. 2,B. -C. -3,2D. 2,2【答案】A【解析】若a∥b，则且，解得且，故选A.考点：空间向量平行的判定.3.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则PA与底面ABCD的关系是( )A. 相交B. 垂直C. 不垂直D. 成60°角【答案】B【解析】【分析】计算向量与，可得，，从而有【详解】因为==0，所以；因为==0，所以，又，所以。

答案选B。

【点睛】本题考查向量法证明线面垂直，关键是证直线（或共线向量）与平面内两条不共线向量都垂直，即可说明线面垂直。

属于基础题。

4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E、F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为( )A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，写出点E,F的坐标，再利用空间两点间的距离公式求解.【详解】以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1,1，)，F(2,1，)，所以|EF|＝＝，故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查空间直角坐标系和空间两点间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)空间两点的距离公式为.5.已知平面α和平面β的法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则( )A. α⊥ βB. α∥ βC. α与β相交但不垂直D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】先判断平面α和平面β的法向量的关系，从而得出两平面的位置关系。

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AA 1DCB B 1C 1图空间向量与立体几何说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（）A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．1015 4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =，则异面直线BD和SC 之间的距离（）A ．515 B ．55 C ．552 D ．105 5．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（）A ．a 42 B ．a 82C ．a 423 D ．a 22 6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离（）A ．63 B ．33 C ．332 D ．23 图图7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21P A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（）A ．621B ．338 C ．60210D ．302108．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（）A ．32B ．37C ．23 D ．73 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱3231=AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小（）A ．3πB ．6π C ．65πD ．32π10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，G BD EF =⋂．则三棱锥11EFD B -的体积V（）A ．66B ．3316 C ．316D ．16二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距离．12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11A B 、CD 的中点，求点B 到截面1AEC F 的距离． 13．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，点A 1到平面D B EF 的距离．14．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线A E 与平面AB C 1D 1所成角的正弦值．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．15．（12分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角的大小16．（12分）已知棱长为1的正方体AB CD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC．17．（12分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且P A⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．18．（12分）已知棱长为1的正方体A C1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．（1）求证：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的B DEF的距离；（3）求直线A1D与平面B DEF所成的角．19．（14分）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：（Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小；（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；（Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离．20．（14分）如图5：正方体AB CD-A1B1C1D1，过线段B D1上一点P（P 平面A C B1）作垂直于D1B 的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G．(1)求证：平面EFG∥平面A C B1，并判断三角形类型；(2)若正方体棱长为a，求△EFG的最大面积，并求此时EF与B1C的距离．参考答案一、1．B ；2．A ；3．A ；4．C ；分析：建立如图所示的直角坐标系，则A ，B ，(C ，(D ，(0,0,2)S ．(2,DB ∴=，2(CS =．令向量(,,1)n x y =，且,n DB n CS ⊥⊥，则00n DB n CS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，(,,1)0(,,1)2)0x y x y ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，00x y x y +=⎧⎪⎨-+⎪⎩， x y ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩(2,n ∴=-． ∴异面直线BD 和SC 之间的距离为：OC n d n⋅===5．A ；分析：11ABB A 为正方形，11A B AB ∴⊥，又平面1AB D ⊥平面11ABB A ，1A B ∴⊥面1AB D ，1A B ∴是平面1AB D 的一个法向量，设点C 到平面1AB D 的距离为d ，则11AC A B d A B⋅==1()AC A A AB ⋅+1)AC A A AC AB⋅+⋅=． 6．B ；分析：建立如图所示的直角坐标系，设平面11A C D 的一个法向量(,,1)n x y =，则1100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(,,1)(1,0,1)0(,,1)(0,1,1)0x y x y ⋅=⎧⎨⋅=⎩11x y =-⎧⇒⎨=-⎩， (1,1,1)n ∴=--，∴平面1AB C 与平面11A C D 间的距离AD n d n⋅=222(_1,0,0)(1,1,1)3.(1)(1)1⋅--==-+-+ 7．D ；()()().222,0,0,0,,0,,0,0.0,0,.212,0,,422OP ABC OA OC AB BC OA OB OA OP OB OP O OP z O xyz AB a A a B a C a OP h P h D PC OD a h PA a ⊥==∴⊥⊥⊥-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 平面，，，，，以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，设，则设，则为的中点，又Ⅰ,0,1...2h OD PA OD PA OD PAB ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∴=-∴∴，平面∥∥()2,7,2214,0,,4411,1,,7210cos ,.210sin cos ,,210arcsin.PA a h a OD a a PBC n OD n OD n OD nOD PBC OD n OD PBC θθ=∴=⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⋅∴〈〉==⋅=〈〉=∴ 可求得平面的法向量设与平面所成的角为，则与平面所成的角为Ⅱ8．B ；解以C 为坐标原点，C A 所在直线为x 轴，C B 所在直线为y 轴，1CC 所在直线为z 轴，建立直角坐标系，设a CB CA ==，x ABCDA 1B 1C 1D 1yzE 图z yxPODCBAA 1B 1C 1D z则）（0,0,a A ，）（0,,0a B ，）（2,0,1a A ，）（1,0,0D ∴ ）（1,2,2a a E ，）（31,3,3a a G ，）（32,6,6a a GE =，）（1,,0a BD -=， ∵ 点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ，∴ ⊥平面AB D ， ∴ 0=⋅，解得 2=a ． ∴ ）（32,31,31=GE ，）（2,2,21-=， ∵ ⊥平面AB D ， ∴ 为平面AB D 的一个法向量．由 32323634||||,cos 111=⋅=⋅>=<BA GE BA ∴ B A 1与平面AB D 所成的角的余弦值为37．评析因规定直线与平面所成角]20[πθ，∈，两向量所成角]0[πα，∈，所以用此法向量求出的线面角应满足|2|απθ-=．9．A ；取B C 的中点O ，连A O ．由题意平面⊥ABC 平面11B BCC ，BC AO ⊥， ∴⊥AO 平面11B BCC ，以O 为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，则）（323,0,0A ，）（0,0,23B ，）（0,0,29D ，）（0,323,231B ， ∴ ）（323,0,29-=AD ，）（0,323,31-=B ，）（0,323,01=BB ，由题意 ⊥1平面AB D ， ∴ ）（0,323,01=BB 为平面AB D 的法向量．设平面D AB 1的法向量为 ),,(2z y x n =，则 ⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥B n n 122， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00122B n n ， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-03233032329y x z x ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧==xz y x 3323． ∴ 不妨设 )23,1,23(2=n ，由 212323323,cos 212121=⨯=>=<n BB ，得 60,21>=<n BB ．故所求二面角B AD B --1的大小为60．评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神．（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取)23,1,23(2---=n 时，会算得21,cos 21->=<n BB ，从而所求二面角为 120，但依题意只为60．因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角．所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”．10．C ；解以D 为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系，则 )4,22,22(1B ， )4,0,0(1D ，)0,2,22(E ，)0,22,2(F ，∴ )4,2,22(1-=D ，)4,22,2(1-=D ，)0,22,22(11=B D ，图10 ∴1312262624||||,cos 111111=⋅=⋅<F D E D D D ， ∴135,sin 11>=<D D ，所以 5135262621,sin ||||211=⨯⨯⨯>=<⋅⋅=∆S EF D ，设平面EF D 1的方程为：0=+++D Cz By x ，将点F E D ,,1代入得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+0222022204D B D B D C ， ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===232431D C B ， ∴ 平面EF D 1的方程为：023243=-++z y x ，其法向量为 BA DCD 1A 1B 1C 1zy xEFG)243,1,1(=n ， ∴点1B 到平面EF D 1的距离516||11==n d ， ∴ 31651653131111=⨯⨯=⋅⋅=∆-d S V EFD EFD B 即为所求．评析（1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式222000||CB A D Cz By Ax d +++++=计算得到．（2）法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等．二、 11．分析：设正方体棱长为2，以1D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(2,1,0)D E =，1(2,0,2)C B =，设1D E 和1BC 公垂线段上的向量为(1,,)n λμ=，则110n D E n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220λμ+=⎧⎨+=⎩，21λμ=-⎧∴⎨=-⎩，(1,2,1)n ∴=--，又11(0,2,0)D C =，116D C nn ⋅∴=异面直线1D E 和1BC ． 12．36分析：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则11(1,0,0),(0,,0),(1,,1)22A F E ．1(0,,1)2AE ∴=，1(1,,0)2AF =-；设面1AEC F 的法向量为(1,,)n λμ=，则有：0,0n AE n AF ⋅=⋅=，102211102λμλμλ⎧+=⎪=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-⎩⎪-+=⎪⎩，(1,2,1)n ∴=-，又(0,1,0)AB =，所以点B 到截面1AEC F的距离为AB n AB n⋅⋅==13．1；解：如图建立空间直角坐标系，＝（1，1，0），＝（0，21，1）， 1DA ＝（1，0，1）设平面D B EF 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则有：0=⋅ 即x ＋y ＝00=⋅21y ＋z ＝0 令x ＝1, y =－1, z=21, 取＝（1，－1，21），则A 1D B EF 的距离1==h 14．510解：如图建立空间直角坐标系，AB ＝（0，1，0），1AD＝（－1，0，1），＝（0，21，1）设平面AB C 1D 1的法向量为＝（x ，y ，z ）,由 0=⋅AB n 可解得n ＝（1，0，1）01=⋅AD设直线A E 与平面AB C 1D 1所成的角为θ，则510sin ==θ，三、15．解：如图建立空间直角坐标系，11C A ＝（－1，1，0），A 1＝（0，1，－1）设1n 、2n 分别是平面A 1B C 1与平面AB CD 的法向量，由 011=⋅B A n 可解得1＝（1，1，1）0111=⋅C A n易知2n ＝（0，0，1），所以，=33所以平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角大小为a rccos33或 π－a rccos 33．注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．16．证明：如图建立空间直角坐标系，则11C A ＝（－1，1，0），B 1＝（－1，0，－1） A 1＝（1，0，1）， B 1＝（0，－1，－1）设111C A A λ=，A A 11μ=，B B 11ν=（λ、μ、νR ∈，且均不为0）设1n 、2n 分别是平面A 1EF 与平面B 1MC 的法向量，由 011=⋅E A n 可得 0111=⋅C A n λ 即 0111=⋅C A n011=⋅A n 011=⋅A n μ 011=⋅A n解得：1n ＝（1，1，－1）由 012=⋅B n 可得 012=⋅A B n ν 即 012=⋅B n012=⋅B n 012=⋅B n 012=⋅B n解得2n ＝（－1，1，－1），所以1n ＝－2n ， 1n ∥2n ，所以平面A 1EF ∥平面B 1MC ．注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用1n ⊥2n 021=⋅⇔n n 来证明．17．（1）证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AB ，又AB ⊥AD ．∴AB ⊥平面P AD ．又∵AE ⊥PD ，∴PD ⊥平面ABE ，故BE ⊥PD ．（2）解：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C 、D 的坐标分别为（a ，a ，0），（0，2a ，0）．∵P A ⊥平面ABCD ，∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDA =30°．于是，在Rt △AED 中，由AD =2a ，得AE =a ．过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，在Rt △AFE 中，由AE =a ，∠EAF =60°，得AF =2a，EF =23a ，∴E （0，23,21a a ）于是，CD a a AE},23,21,0{=={－a ，a ，0}设AE 与CD 的夹角为θ，则由cos θ||||CD AE ⋅420)()23()21(002321)(0222222=++-⋅++⋅+⋅+-⋅a a a a a a a a AE 与CD 所成角的余弦值为42．评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段． 18．解：（1）略．（2）如图，建立空间直角坐标系D —xyz , 则知B （1，1，0），).1,21,0(),1,1,21(F E 设.),,(的法向量是平面BDEF z y x = )1,21,0(),0,1,1(,,==⊥⊥由得⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0210z y y x DB n 则⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.21y z y x 令)21,1,1(,1--==y 得．设点A 1在平面B DFE 上的射影为H ，连结A 1D ，知A 1D 是平面B DFE 的斜线段．.23)21)(1(10)1)(1(),1,0,1(1=--+⨯+--=⋅∴--=A.1222,cos ||||.2223223||||,cos ,23)21(1)1(||,2)1()1(||111111112222221=⨯>=<⨯=∴=⨯=⨯<∴=-++-==-++-=H A D A D A H A n D A A A O A 又即点A 1到平面B DFE 的距离为1．（3）由（2）知，A 1H=1，又A 1D=2，则△A 1HD 为等腰直角三角形， 4511=∠=∠H DA DH A.45,,,11111 =∠∴∠∴⊥DH A BDFE D A DH A BDFE D A HD BDFE H A 所成的角与平面就是直线上的射影在平面是平面19．解：建立坐标系如图，则()2,0,0A 、()2,2,0B ，(0,2,0C ，()12,0,2A ，()12,2,2B ，()10,0,2D ，()2,1,0E ，(1A C =-()12,1,2D E =-，()0,2,0AB =，()10,0,2BB =．（Ⅰ）不难证明1A C 为平面BC 1D 的法向量， ∵ 1111113cos ,AC D E AC D E AC D E ==∴D 1E 与平面BC 1D 所成的角的大小为 2π-（即．（Ⅱ）1A C 、AB 分别为平面BC 1D 、BC 1C 的法向量， ∵ 1113cos ,3AC AB AC AB ACAB ==，∴ 二面角D －BC 1－C 的大小为．（Ⅲ）∵ B 1D 1∥平面BC 1D ，∴ B 1D 1与BC 1之间的距离为1112AC BB d AC ==．20．(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF ∥A C ，EG ∥B 1C ，FG ∥AB 1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了．)(1)分析：要证平面EFG 平面A C B 1，由题设知只要证B D 1垂直平面A C B 1即可．证明：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a ，则A （a ，0，0），B （a ，a ，0），C （0，a ，0），D 1（0，0，a ），B 1（a ，a ，a ），E （x E ，0，a ），F （0，y F ，a ），G （0，0，z G ）．∴→1BD =（－a ，－a ，a ），→1AB =（0，a ，a ），→EF （－x E ，y F ，0），→AC =（－a ，a ，0），→C B 1=（－a ，0，－a ）， ∵→1BD ·1→AB =(－a ，－a ，a )·(0，a ，a )=0， ∴→1BD ⊥→1AB ，同理 →1BD ⊥→AC ，而→1AB 与→AC不共线且相交于点A ，∴→1BD ⊥平面A C B 1，又已知→1BD ⊥平面EFG ， ∴ 平面EFG ∥平面A C B 1；又因为→1BD ⊥平面EFG ，所以 →1BD ⊥→EF ，则→1BD ·→EF =0，即 (－a ，－a ，a )·(－x E ，y F ，0)=0，化简得 x E －y F =0；同理 x E －z G =0, y F －z G =0，易得→EF=→EF=→FG，∴ △EFG 为正三角形．(2)解：因为△EFG 是正三角形，显然当△EFG 与△A 1C 1D 重合时，△EFG 的边最长，其面积也最大，此时，EF =A 1C 1=2·a ，∴EFG S ∆= D C A S 11∆=21→→D A C A 111··sin600 =21(2·a )2·23=23·a 2 ．此时EF 与B 1C 的距离即为A 1C 1与B 1C 的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B 1到平面 A 1C 1D 的距离，记A 1C 1与B 1D 1交于点O 1，作O 1H ∥D 1B 并交BB 1于点H ，则O 1H⊥平面A 1C 1D ，垂足为O 1，则O 1(2a ，2a ，a )，H(a ，a ，2a)，而→H O 1作为平面A 1C 1D 的法向量，所以异面直线EF 与B 1C 的距离设为d 是d = →→→HO H O B O 1111·=43)44(222a a a +=33·a ． (证明（2）时一般要找到求这两平面距离的两点，如图5*，而这两点为K 与J ，在立体图形中较难确定，且较难想到通过作辅助线DO 1，O B 1来得到，加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱，但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想，结合题设，使思路清晰明了，最终使问题的解决明朗化；把握这种思想，不管是空间线线距离，线面距离，面面距离问题，一般我们都能转化成点线或点面距离，再借助平面法向量很好地解决了．)。