递推算法
递推算法、顺推、逆推概念
递推算法、顺推、逆推概念在计算机科学中，递推算法、顺推、逆推是非常重要的概念。
这些概念在算法设计、程序编写等方面都有着广泛的应用。
本文将详细介绍这些概念的含义、应用以及实现方法。
一、递推算法递推算法是一种基于已知的初始条件和递推公式来计算未知项的算法。
在递推算法中，我们需要根据问题的特点，找到递推公式，然后通过递推公式来推导出后续的解。
递推算法通常用于计算数列、矩阵、图形等数学问题，也可以用于解决计算机科学中的一些问题。
例如，斐波那契数列就是一个典型的递推算法问题。
斐波那契数列的递推公式如下：F(n) = F(n-1) + F(n-2)其中，F(0)=0，F(1)=1。
这个递推公式的意思是，斐波那契数列的第n个数等于前两个数之和。
我们可以通过递推公式来计算斐波那契数列的任意一项。
例如，我们可以通过递推公式计算出斐波那契数列的前10项：F(0) = 0F(1) = 1F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5F(6) = F(5) + F(4) = 5 + 3 = 8F(7) = F(6) + F(5) = 8 + 5 = 13F(8) = F(7) + F(6) = 13 + 8 = 21F(9) = F(8) + F(7) = 21 + 13 = 34递推算法的优点是简单、易于理解和实现。
但是，递推算法的时间复杂度可能会很高，因为在计算每一项时都需要计算前面的项。
因此，在使用递推算法时，需要注意时间复杂度的问题。
二、顺推和逆推顺推和逆推是递推算法中的两种常见实现方法。
顺推是从已知的初始条件开始，按照递推公式依次计算每一项的值，直到计算出所需的项。
而逆推则是从所需的项开始，倒推出前面的所有项。
顺推通常用于计算数列、矩阵等递推算法问题。
递推法算法
递推法算法递推法算法是一种常用的数学和计算机科学中的算法思想，它通过利用问题中的已知信息，通过递推关系来求解未知信息。
在实际应用中，递推法算法广泛用于解决递推问题、数列问题、动态规划等。
本文将介绍递推法算法的基本原理和应用场景。
一、递推法算法的基本原理递推法算法的基本原理是通过已知信息推导出未知信息的方法。
它利用问题中的递推关系，通过逐步迭代计算，将已知信息不断传递到后续的未知信息中，从而求解整个问题。
在递推法算法中，首先确定初始条件，也就是已知的起始信息。
然后，根据递推关系，计算出下一个未知信息。
接着，将这个未知信息作为已知信息，再次利用递推关系计算下一个未知信息。
如此反复，直到得到问题的最终解。
递推法算法在数学和计算机科学中有广泛的应用场景。
下面分别介绍几个常见的应用场景。
1.递推问题递推问题是指通过前一项或前几项的信息，推导出下一项的信息的问题。
例如斐波那契数列，每一项都是前两项的和。
利用递推法算法，可以通过已知的前两项计算出后续的所有项。
2.数列问题数列问题是指通过已知的数列前几项的信息，推导出数列的通项公式或后续的项。
例如等差数列和等比数列，通过递推法算法可以快速求解出数列的通项公式，从而计算出数列的任意一项。
3.动态规划动态规划是一种通过将一个复杂问题分解为多个子问题来求解的方法。
递推法算法在动态规划中起到了关键的作用。
通过递推法算法，可以将大问题分解为多个小问题，并通过已知的小问题的解来计算出大问题的解。
三、递推法算法的优势递推法算法具有以下几个优势。
1.简单易懂递推法算法的思想简单易懂，适用于各种问题的求解。
只要找到递推关系和初始条件，就可以通过简单的迭代计算得到问题的解。
2.高效快捷递推法算法通过利用已知信息和递推关系，避免了重复计算和不必要的操作，从而提高了计算效率。
在实际应用中，递推法算法常常能够大幅减少计算时间。
3.灵活性强递推法算法的灵活性强，适用于各种形式的问题。
只要能够找到递推关系和初始条件，就可以使用递推法算法来解决问题。
递推算法详解 -回复
递推算法详解-回复什么是递推算法？递推算法，也称为迭代算法，是一种解决问题的数学或计算方法。
它通过定义初始条件和递推公式来计算求解一个问题的过程，并将问题的规模逐步缩小，直至达到基本情况可以被直接求解。
递推算法常常在计算机科学、数学、物理学等领域中被广泛应用。
递推算法的基本思想是通过已知结果计算未知结果，并逐步推导出整体的解。
它通常涉及将问题划分为一系列相互依赖的子问题，并根据子问题的解来推导出更大规模问题的解。
递推算法的核心是找到递归公式或迭代关系，通过不断迭代计算的方式逐步逼近最终解。
递推算法的特点是具有清晰的步骤和明确的终止条件。
它的执行过程可以看作是一系列有序的操作步骤，每一步都在上一步的基础上进行计算，直到达到终止条件为止。
递推算法通常使用迭代结构或递归函数实现，具有高效、可靠、易于理解的优点。
递推算法在实际问题中的应用非常广泛。
它可以用于解决数列求和、排列组合、动态规划、图算法等各种问题。
在数学中，斐波那契数列就是一个常见的递推数列，其递推公式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，然后给定初始条件F(0) = 0，F(1) = 1，通过递推公式可以依次求解出每一个数的值。
递推算法的步骤可以总结为以下四个：1. 找到基本情况：递推算法的终止条件是基本问题的解，请确定问题的边界。
2. 设计递归公式：根据问题的性质确定递归公式或迭代关系，以便将问题拆解为更小的子问题。
3. 确定初始条件：确定问题的初始条件或起始状态。
4. 实施递推：通过递推公式或迭代关系将问题规模不断缩小，直到达到基本情况，然后计算基本情况下的解。
对于求解递归问题，递推算法通常具有较高的时间复杂度。
这是因为在递推过程中，需要重复计算许多中间值，并且递归函数的调用过程会导致额外的函数调用开销。
为了提高执行效率，可以使用记忆化搜索等技术来优化递推算法。
总结起来，递推算法是一种通过定义初始条件和递推公式来计算求解问题的方法。
递推算法
☺
课堂小结
递推算法就是指从前面的已知结果推出后面 的未知结果；或由后面的已知结果推出前 面的未知结果。 解决递推问题必须具备两个条件： 1、初始条件 2、递推关系
经典：斐波那契数列
☺ 兔子繁殖问题
假设有一对新生兔子，从第二个月开始它们每个月都生一 对兔子。按此规律，如果所有兔子都不死，那么一年后共 有多少对兔子。人们发现每月的兔子数组成如下数列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34，……并把它称为Fibonacci数列
VB递推实现 VB递推实现
Private Sub command1_Click() Dim s As Long, n As Integer s=1 For n = 9 To 1 Step -1 s = 2 * (s + 1) Next n Label1.Caption = s End Sub Private Sub command1_Click() Dim s As Long, n As Integer 若由用户指定是第n s=1 天只剩下一个桃子， For n求第一天的桃子总 = val(text1.text) -1To 1 Step -1 数。 s = 2 * (s + 1) Next n Label1.Caption = s End Sub
干个桃子，当即吃了 一半还觉得不过瘾， 又多吃了一个。第二 天接着吃剩下桃子的 一半，仍觉得不过瘾 又多吃了一个，以后 小猴子都是吃剩下的 桃子一半多一个。
☺用循环结构实现这个算法，需要定义几个 变量，循环体和循环条件?
For 循环变量=初值 to 终值 step 步长值 循环体 Next 循环变量
VB循环结构中的 VB循环结构中的 算法
推算
பைடு நூலகம்
递推算法(C++版)
int main()
{
int n,i,j,a[101];
cout<<"input n:";
//输入骨牌数
cin>>n;
a[1]=1;a[2]=2;
cout<<"x[1]="<<a[1]<<endl;
cout<<"x[2]="<<a[2]<<endl;
for (i=3;i<=n;i++)
//递推过程
{
int n,m; cin>>m>>n; int m1=m,n1=n,s1=m*n; while (m1!=0&&n1!=0) {
m1--;n1--; s1+=m1*n1; } int s2=((m+1)*(n+1)*m*n)/4-s1; cout<<s1<<" "<<s2<<endl; }
//计算正方形的个数s1 // 计算长方形的个数s2
其实，本题稍加分析就能发现，要到达棋盘上的一个点，只能从左边过 来（我们称之为左点）或是从上面过来（我们称之为上点），所以根据加 法原理，到达某一点的路径数目，就等于到达其相邻的上点和左点的路径 数目之和，因此我们可以使用逐列（或逐行）递推的方法来求出从起点到 终点的路径数目。障碍点（马的控制点）也完全适用，只要将到达该点的 路径数目设置为0即可。
个正方形、多少个长方形（不包括正方形）。
例如：当 N=2， M＝3时：
正方形的个数有8个：即边长为1的正方形有6个；边长为2的正方形有2个。
递推算法概念
递推算法概念
递推算法是一种基于已知结果推导出后续结果的算法。
它是一种比较常用的计算机编程思路，在各种场景下都能发挥出良好的效果。
递推算法的基本思路是从已知的初始值开始，根据递推关系式，求解下一个结果，最终得到所需的结果。
递推算法的优点在于它可以大大减少计算量。
在许多计算问题中，递推算法都能用更少的时间和空间复杂度得到正确的结果。
同时，递推算法的思路简单，对于初学者来说也比较容易理解和实现。
递推算法有多种形式，如斐波那契数列、杨辉三角等等。
在实践中，递推算法常常用于动态规划、计算几何、图论等领域，它们大大提高了算法效率，能够有效解决许多实际问题。
在使用递推算法时，我们需要注意一些问题。
首先，我们必须准确地描述递推关系式，这是正确求解下一个结果的关键。
其次，我们必须确定好递推的边界条件，避免出现无效或死循环的情况。
最后，在实现过程中，我们还需要考虑算法的效率和精度，避免出现由于计算过程中的误差而影响结果的情况。
综上所述，递推算法是一种非常有用的计算机编程思路。
它能够大大
提高算法效率，有效地解决许多实际问题。
在使用递推算法时，我们需要注意一些问题，如准确描述递推关系式、确定递推的边界条件、考虑算法的效率和精度等。
只有在正确理解和使用递推算法时，我们才能充分发挥它的优点，有效地解决实际问题。
递推算法思想总结
递推算法思想总结递推算法是一个常用的问题解决思路，它的核心思想是通过已知的初始条件推导出较大规模的问题的解。
递推算法在计算机科学和数学领域有着广泛的应用。
我将在以下几个方面对递推算法进行总结：1.基本概念和原理；2.实际应用；3.优缺点和改进方法。
1.基本概念和原理递推算法是一种从小到大的求解方法，通过已知的起始值或初始条件，依次计算出下一个更大规模的问题的解。
递推算法一般使用迭代的方式，在每次迭代时，通过已经得到的中间结果来推导出更大规模的问题的解。
递推算法常见的形式有递推关系和递推公式。
递推关系描述了求解问题的当前规模与相邻小规模问题之间的关系。
通常，递推关系是通过寻找问题的每个规模与其中更小规模问题之间的变化关系而得到的。
递推关系可以用数学公式、状态转移方程等形式来表示。
递推公式则是描述了问题的当前规模与其更小规模问题的关系的方程。
通过递推公式，我们可以直接计算出下一个规模的问题的解，从而降低了问题求解的复杂度。
2.实际应用递推算法在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些常见的实际应用场景：1) 斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的递推问题。
它的递推公式为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
通过这个递推公式，我们可以计算出任意位置的斐波那契数。
2) 动态规划动态规划是递推算法的一种扩展应用。
它通过将原问题拆分为一系列的子问题，并通过递推公式来计算每个子问题的解，从而得到原问题的最优解。
动态规划在解决最短路径问题、背包问题等方面有着重要的应用。
3) 树的遍历树的遍历是递归的一种典型应用。
通过递归的方式，可以递推地处理树的每个子节点，并根据子节点的计算结果来得到整棵树的解。
树的遍历在计算机图形学、数据结构等领域有着广泛的应用。
3.优缺点和改进方法递推算法有着以下优点：1) 算法简洁明了：递推算法通过迭代的方式一步步得到问题的解，具有清晰明了的思路。
递推算法
For i:=1 to t do //计算加入跑步选择时的每秒最大距离 begin if f[i]< f[i-1]+17 then f[i]:= f[i-1]+17; if f[i]>=s then begin //刚好离岛，输出 writeln('Yes'); writeln(i); halt; end; end; writeln('No');//不能离岛，输出 writeln(f[t]); end. 本题有多种解决问题的方法，然而，在上述分析中很巧妙地运用了分而治之 的思想，把原来跑步、魔法、休息交错在一起的问题条件分离开，考虑在只有魔 法情况下每秒最远距离，此时，很容易用上问题的贪心条件，能用魔法尽量用上 魔法，求只有魔法情况下每秒最远距离的递推式写起来也很简单。接着，考虑跑 步的情况，当前秒的跑步距离由上一秒加17递推得到，每秒最远距离为跑步距离 和魔法距离中的最大值。这是一道很好的题，建议大家用不同方法解决之，然后， 从中体会分解问题的方法和技巧。
【样例输出】 10 【注意】 测试数据规模： 保证100%的数据n<=1000。 问题分析：
求最小路径得分，比较容易想到的是： 1．如果知道从第1行走到第n行各数字上的最小得分， 那么，从中取最小值即可； 2．第n行是从n-1行走下来的，如果知道第n-1层各数字 位置上的最小得分值，那么根据规则每步只能沿左斜线 向下或沿右斜线向下，要使第n层的各数字位上得到最 小得分值，只能从左上和右上两个得分值中取小的一个 与当前位的数字相加； 3．同理，第n-1层各数位上的最小得分可以从第n-2层 推出；
递推算法
递推是计算机数值计算中的一个重要算法。 思想是通过数学推导，将复杂的运算化解为若 干重复的简单运算，以充分发挥计算机善长于 重复处理的特点。
递推算法分析
3. 递推的实施步骤
（1）确定递推变量 递推变量可以是简单变量，也可以是一维或多维数组。 （2）建立递推关系 递推关系是递推的依据，是解决递推问题的关键。 （3）确定初始（边界）条件 根据问题最简单情形的数据确定递推变量的初始（边界） 值，这是递推的基础。 （4）对递推过程进行控制 递推过程控制：递推在什么时候结束，满足什么条件结束。
i=1;k=1.0;y[1]=k;
while(i<=5)
{ i++;y[i]=(4*y[i-1]-1)/5;
if(y[i]!=（int）y[i])
{ k=k+1.0;y[1]=k;i=1;}
}
x=5*y[1]+1;
printf("原有椰子至少有：%6.0f个.\n",x);
习题3: 1, 2, 3, 5, 6, 7
首先y(1)赋初值k(取值从1开始递增)后推出y(2)， 由y(2)推出y(3)，…，依此经5次递推得y(6)。如 果某一次推出的不是整数，则中止继续往后推，返 回k增1后赋值给y(1)，从头开始。如果5次递推都 是整数，则输出原有椰子数5*y(1)+1后结束。
2. 算法描述
int i; double k,x,y[7];
1. 递推的概念
递推是计算机数值计算中的一个重要算法。思 想是通过数学推导，将复杂的运算化解为若干个重 复的简单运算，以充分发挥计算机善长重复处理的 特点
2. 递推关系
递推算法的首要问题是得到相邻的数据项之间的 关系，即递推关系。 递推关系是一种高效的数学模型，是递推应用的 核心。 递推关系不仅在各数学分支中发挥着重要的作用， 由它所体现出来的递推思想在各学科领域中更是显 示出其独特的魅力。
04.递推算法(C++版包括习题参考答案)
【例6】过河卒（Noip2002） 【问题描述】 棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。卒行走的规则：可以向 下、或者向右。同时在棋盘上的任一点有一个对方的马（如C点），该马 所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点，如图3-1中的C点 和P1，„„，P8，卒不能通过对方马的控制点。棋盘用坐标表示，A点 (0,0)、B点(n, m) (n,m为不超过20的整数),同样马的位置坐标是需要给 出的，C≠A且C≠B。现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数。
min{m , n}1 i 0
s 1=
(n i ) * (m i )
2.长方形和正方形的个数之和s 宽为1的长方形和正方形有m个，宽为2的长方形和正方形有 m-1个，┉┉，宽为m的长方形和正方形有1个； 长为1的长方形和正方形有n个，长为2的长方形和正方形有n1个，┉┉，长为n的长方形和正方形有1个； 根据乘法原理
【例3】棋盘格数
设有一个N*M方格的棋盘（ l≤ N≤100，1≤M≤100）。求出该棋盘中包含有多少 个正方形、多少个长方形（不包括正方形）。 例如：当 N=2， M＝3时： 正方形的个数有8个：即边长为1的正方形有6个；边长为2的正方形有2个。 长方形的个数有10个：即2*1的长方形有4个：1*2的长方形有3个：3*1的长 方形有2个：3*2的长方形有1个： 程序要求：输入：N，M 输出：正方形的个数与长方形的个数 如上例：输入：2 3 输出：8 10 【算法分析】 1.计算正方形的个数s1 边长为1的正方形个数为n*m 边长为2的正方形个数为(n-1)*(m-1) 边长为3的正方形个数为(n-2)*(m-2) ………… 边长为min{n，m}的正方形个数为(m-min{n，m}+1)*(n-min{n，m}+1) 根据加法原理得出
python常用算法 递推法、递归法、迭代法、二分法
python常用算法递推法、递归法、迭代法、二分法Python常用算法之一：递推法递推法是一种基于已知结果推导出未知结果的算法方法。
在递推法中，我们通过已知的初始值或基础情况，以及与前一项或前几项的关系，计算出后一项的值。
递推法常常用于解决数列、数学关系、动态规划等问题。
递推法的基本思想是通过找到问题的递推关系式来求出未知项的值。
这个关系式可以是一个简单的数学公式或逻辑表达式。
为了使用递推法，我们需要先找到递推公式，并明确初始项的值。
通过逐步求解的方式，我们可以得到数列的任意项的值。
递推法的实现通常采用循环结构。
我们可以使用for循环来遍历每一项，并根据递推公式来计算后一项的值。
下面是一个简单的例子，计算斐波那契数列的第n项：pythondef fibonacci(n):if n == 0:return 0elif n == 1:return 1else:a, b = 0, 1for i in range(2, n+1):a, b = b, a + breturn b在这个例子中，我们使用了一个for循环来计算斐波那契数列的第n 项。
首先，我们定义了初始项a=0和b=1。
然后，通过循环计算每一项的值，更新a和b的值，最后返回b作为结果。
递推法的优点是简单明了，适用于不涉及递归调用的问题。
尤其对于一些数值计算的问题，递推法可以利用计算机的高效运算能力，快速求解问题。
接下来，让我们看看另一种常用的算法方法：递归法。
Python常用算法之二：递归法递归法是一种在解决问题时调用自身的方法。
在递归法中，我们将一个复杂的问题分解成一个或多个规模较小的相同问题，直到问题的规模足够小，可以直接求解为止。
递归法需要定义一个递归函数，该函数在调用过程中会不断地传递参数给自身，直到满足停止条件为止。
递归法的实现通常采用函数的递归调用。
在函数的内部，我们可以通过调用自身来解决同类的子问题，同时逐步缩小问题的规模。
递归函数中通常包含两部分：基准情况（停止条件）和递归调用。
递推算法知识总结
递推算法知识总结1. 什么是递推算法？递推算法（Recursion）是一种解决问题的方法，其中问题由一个或多个基本的解决方案定义。
通常，递推算法在一个或多个基本案例（base case）上定义，并且是通过将问题分解为规模较小的相似子问题而递归地求解的。
2. 递推算法的特点递推算法具有以下几个特点：•递推算法是一种直接或间接调用自身的算法；•递推算法具有基本案例，即能直接求解的问题情形；•递推算法将一个规模较大的问题转化为一个规模较小的相似子问题，并通过递归调用求解；•递推算法的递归调用必须在某种方式下收敛，即必须能够到达基本案例。
3. 递推算法的应用场景递推算法在计算机科学和数学中有着广泛的应用，特别适合解决以下问题：•计算斐波那契数列；•数值累加或累乘计算；•深度优先搜索；•解决汉诺塔问题；•求解图的连通性或最短路径；•解决一些数学问题，如八皇后问题等。
4. 递推算法的实现方式递推算法可以通过编程语言中的函数调用机制来实现。
以下是递推算法的一般框架：def recursion(n):if n == base_case:return base_solutionelse:# 将问题分解为较小的子问题subproblems = decompose(n)# 递归调用results = [recursion(subproblem) for subproblem in subproblems]# 组合子问题的结果return combine(results)在上述实现中，base_case表示基本案例，是问题的直接解决方案。
当问题规模缩小到基本案例时，递归将不再继续，直接返回基本案例的解决方案。
decompose函数将问题分解为更小的相似子问题。
可以根据具体问题的特点设计合适的分解方式。
combine函数将子问题的结果合并为原问题的解决方案。
5. 递推算法的优缺点递推算法具有以下优点：•递推算法能够将问题转化为更小的相似子问题，降低了问题的复杂度；•递推算法能够利用相似子问题的解决方案，减少了计算量。
递推算法的特点
递推算法的特点递推算法是一种常用的问题求解方法，它以已知的初始条件为基础，通过逐步推导出后续的解，最终得到问题的解决方案。
递推算法具有以下几个特点：1.简单直观：递推算法的基本思想是将问题分解为一系列子问题，通过已知条件和递推关系推导出后续解，每一步都相对独立。
这种思想使得递推算法易于理解和实现，对于一些简单且结构明确的问题尤为有效。
2.适用广泛：递推算法适用于各种数学问题、计算机科学中的算法和数据结构问题，以及工程领域中的优化问题等。
无论是求解数列、图论、动态规划等，递推算法都可以提供有效的解决方案。
3.可扩展性强：递推算法通常具有良好的可扩展性，可以通过调整递推关系和初始条件来适应不同规模和复杂度的问题。
这种灵活性使得递推算法能够处理大规模的问题，并实现高效的计算。
4.具有确定性：递推算法是一种确定性算法，即对于相同的输入条件，总是能得到相同的输出结果。
这种确定性使得递推算法具有可靠性，能够提供可追溯的结果。
5.时间复杂度可控：由于递推算法的每一步都是基于已知条件进行推导，因此可以通过调整递推关系和初始条件来控制算法的时间复杂度。
通过选择合适的递推关系和初始条件，可以有效地提高算法的执行效率。
6.存储需求低：递推算法通常只需要保存一些中间结果，而不需要保存所有的计算过程和中间数据。
这种存储需求低的特点使得递推算法能够处理大规模问题，同时减少了内存的占用。
7.可并行性高：递推算法的各个步骤相对独立，不存在数据依赖性，因此可以很容易地进行并行计算。
这种可并行性高的特点使得递推算法能够充分利用多核处理器和分布式计算资源，提高算法的计算速度。
总的来说，递推算法是一种简单直观、适用广泛、可扩展性强、具有确定性、时间复杂度可控、存储需求低和可并行性高的问题求解方法。
它在数学、计算机科学和工程等领域中都具有重要的应用价值。
无论是解决数列问题、图论问题还是动态规划问题，递推算法都能够提供高效可靠的解决方案。
递推算法
递推算法递推法是一种重要的数学方法，它在数学的各个领域中都有着广泛的应用。
同时，它也是计算机用于数值计算中的一种重要算法。
1．认识递推常常遇到这样的问题：在一个序列中，下一项的值对其前一项有着某种依赖关系，求某项的值要从第一项起经过逐次推算而得到。
例如：数列0，3，6，9，12，15，…该数列的后一项的值是前一项的值加3，欲求第十项，必须先用第一项的值加3，求出第二项，然后求出第三项，第四项，第五项，…，直到第十项，当然必须事先给定第一项的值（称为边界条件或初始条件）。
可以看出，第n项的值等于第n-1项的值加3。
即：a n=a n-1+3, (n>1) (递推公式)a1=0, (n=1) (边界条件)这种在规定的初始条件下，找出后项对前项的依敕关系的操作，称为递推。
表示某项和它前面若干项的关系式就叫作递推公式。
在实际问题中类似的很多，处理这类问题的理想方法是用归纳法求出通项公式。
上例中的通项公式为a n=(n-1)*3 (n>=1)。
但是在许多情况下，要得到数列的通项公式是比较困难的，而通过已知条件归纳出一个递推关系则相对容易。
这时我们可以采用递推技术，避开求通项公式的麻烦，把一个复杂问题的求解，分解成为若干步重复的简单运算，由边界条件出发进行递推，最后得到最终结果，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特长。
例1．有一组数规律如下：0，5，5，10，15，25，40，…，x n ，…。
求出该数列第n 项数值。
分析：设f（n）表示数列中第n项的数值，则f（1）=0 ，f（2）=5 是初始条件，f（n）=f（n-2）+f（n-1）（n≥3）是递推公式。
在语言实现上，我们取j、k、p三个变量，分别表示前二项、前一项与当前项，j、k分别取初值为0与5。
第一次通过递推公式p=j+k得到第三项，并进行移位，即j取k值、k取p值，为下次递推作准备；……；如此反复，经过n-2次的递推，p就是第n项的值。
递推算法、顺推、逆推概念
递推算法、顺推、逆推概念在计算机科学中，递推算法是一种基于已知结果计算下一个结果的算法。
递推算法通常用于计算数列、统计问题和最短路径等问题。
递推算法可以分为两种类型：顺推和逆推。
顺推算法是从已知的第一个值开始，按照某种规律依次计算出后续的值。
例如，斐波那契数列就是一种顺推算法。
斐波那契数列的计算规律是：第一个值为0，第二个值为1，后续的值等于前两个值的和。
因此，斐波那契数列的前几个值为0、1、1、2、3、5、8、13、21……逆推算法则是从已知的最后一个值开始，按照某种规律依次计算出前面的值。
逆推算法通常用于计算最短路径等问题。
例如，如果要计算从起点到终点的最短路径，可以从终点开始，逆推出每个节点的最短路径，最终得出起点的最短路径。
递推算法也可以用于解决统计问题。
例如，如果要计算n个人中任选k个人的组合数，可以使用递推算法。
假设已知n个人中任选k-1个人的组合数为C(n,k-1)，则n个人中任选k个人的组合数为C(n-1,k-1)+C(n-1,k)。
这是因为，当第n个人被选中时，剩下的k-1个人必须从前n-1个人中选，而当第n个人不被选中时，剩下的k个人必须从前n-1个人中选。
因此，n个人中任选k个人的组合数等于这两种情况的组合数之和。
递推算法具有简单、高效的特点，适用于大部分数学问题的求解。
但是，在实际应用中，递推算法也有一些缺点。
首先，递推算法需要占用大量的内存空间，因为需要保存所有已知结果。
其次，递推算法对于某些问题可能无法求解，因为递推过程中可能会出现死循环或无法到达的状态。
总之，递推算法是一种重要的计算机算法，可以用于解决数学问题、统计问题和最短路径等问题。
顺推和逆推是递推算法的两种基本形式，分别适用于不同的问题类型。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的递推算法。
递推算法分析课件
定义与特点
定义
递推算法是一种通过已知信息逐步推 导出其他信息的方法，通常从一个初 始状态出发，按照一定的规则逐步推 导出最终结果。
特点
递推算法具有明确性、可计算性和可 实现性，能够根据已知信息逐步推导 出结果，适用于解决一些具有规律性 的问题。
递推算法的分类
线性递推
根据已知的线性关系式，逐步推导出最终结果， 如等差数列求和等。
研究如何提高递推算法的稳定 性，减少初始值对结果的影响
，提高结果的可靠性。
探索新的应用场景
挖掘递推算法在其他领域的应 用潜力，如物理、化学、生物 等学科中的复杂问题求解。
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ANALYSIS
SUMMAR Y
O(2^n)等。
03
递推算法时间复杂度分析
递推算法的时间复杂度取决于递推关系的复杂度和递归深度。通过分析
递推关系，可以估算算法的时间复杂度，并比较不同算法的效率。
空间复杂度
1 2 3
空间复杂度定义
空间复杂度是衡量算法所需存储空间随输入规模 增长而增长的量级，也用大O表示法表示。
递归与堆栈空间
递归算法需要使用堆栈来保存递归过程中的状态 ，因此其空间复杂度通常较高。迭代算法则通常 只需少量额外空间。
要点二
详细描述
杨辉三角是一个由数字组成的三角形，每个数字是它正上 方和左上方的两个数字之和。从第二行开始，每个数字都 是上一行相邻两个数字之和。通过递推关系式，我们可以 依次生成每个数字，最终得到完整的杨辉三角。
插入排序算法的改进
总结词
插入排序算法是一种简单的排序算法，通过将元素逐个 插入到已排序序列中实现排序。
《递推算法》课件
本PPT课件介绍了递推算法的基本原理、Fibonacci数列问题、动态规划问题以 及最长公共子序列问题，并总结了递推算法的优缺点和应用领域。
什么是递推算法
递推算法是一种通过定义初始值和递推公式，在每一步中使用前一步的值来 计算下一步值的数学和计算机算法。
递推算法具有广泛的应用场景，包括数学、计算机科学、经济学等领域。
总结
递推算法具有简单直观、可快速得到结果的优点。 递推算法的应用领域包括数学、计算机科学、经济学等。 未来发展趋势包括算法复杂度的降低和应用场景的不断扩展。
递推算法的优点是简单直观、可快速得到结果，但缺点是可能需要大量计算 和存储资源。
递推算法的基本原理
递推算法通过递推公式或递归公式来描述数列或问题的演变规律。 递推算法的递推过程可以通过解析公式，迭代计算，得到数列或问题的结果。Leabharlann Fibonacci数列问题
Fibonacci数列是一个由0和1开始的数列，后面的每一项都是前两项的和。 Fibonacci数列的递推计算方法可以利用递归公式来计算，时间复杂度为O(n)。
动态规划问题
动态规划问题是一类通过将复杂问题分解成简单子问题的求解方法。 动态规划问题的求解方法包括状态定义、状态转移方程和边界条件的确定。 动态规划问题的优化方法包括剪枝、记忆化和优化子问题求解的顺序。
最长公共子序列问题
最长公共子序列问题是一个在多个序列中寻找最长公共子序列的问题。 最长公共子序列问题的递推算法可以通过动态规划的方法来求解。 最长公共子序列问题的应用实例包括DNA序列比对、文本相似度计算等。
算法——递推算法
算法——递推算法递推算法给定⼀个数的序列H0,H1,…,Hn,…若存在整数n0，使当n>n0时,可以⽤等号(或⼤于号、⼩于号)将Hn与其前⾯的某些项Hi(0<i<n)联系起来，这样的式⼦就叫做递推关系。
递推算法是⼀种简单的算法，即通过已知条件，利⽤特定关系得出中间推论，直⾄得到结果的算法。
递推算法分为顺推和逆推两种。
相对于算法,递推算法免除了数据进出栈的过程，也就是说,不需要函数不断的向边界值靠拢,⽽直接从边界出发,直到求出函数值.⽐如阶乘函数：f(n)=n*f(n-1)在f(3)的运算过程中,递归的数据流动过程如下:f(3){f(i)=f(i-1)*i}-->f(2)-->f(1)-->f(0){f(0)=1}-->f(1)-->f(2)--f(3){f(3)=6}⽽递推如下:f(0)-->f(1)-->f(2)-->f(3)由此可见,递推的效率要⾼⼀些,在可能的情况下应尽量使⽤递推.但是递归作为⽐较基础的算法,它的作⽤不能忽视.所以,在把握这两种算法的时候应该特别注意。
顺推法所谓顺推法是从已知条件出发，逐步推算出要解决的问题的⽅法叫顺推。
如斐波拉契数列，设它的函数为f(n),已知f(1)=1，f(2)=1;f(n)=f(n-2)+f(n-1)(n>=3,n∈N)。
则我们通过顺推可以知道,f(3)=f(1)+f(2)=2,f(4)=f(2)+f(3)=3……直⾄我们要求的解。
逆推法所谓逆推法从已知问题的结果出发，⽤迭代表达式逐步推算出问题的开始的条件，即顺推法的逆过程，称为逆推。
递推算法的经典例⼦【案例】从原点出发，⼀步只能向右⾛、向上⾛或向左⾛。
恰好⾛N步且不经过已⾛的点共有多少种⾛法？样例输⼊：N=2样例输出：result=7样例输⼊：N=3样例输出：result=17解题思路：要解决⾛N步共有多少种⾛法，我们在拿到题⽬的时候最直接的想法就是先画出当N=1、N=2、N=3。
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递推算法一、学习要点：（经典的五种递推关系）1.fibonacci（斐波那契）数列2.hanoi（汉诺）塔3.平面分割4.catalan数（卡特兰数）5.第二类string数二、重点提示1.产生catalan数的参考程序：Const max=21;Var c:array[2..max] of longint;n,i,k:integer;total:longint;beginwrite(‘input n=’);readln(n);c[2]:=1;for i:=3 to n dobeginc[i]:=0;for k:=2 to i-1 do c[i]:=c[i]+c[k]*c[i-k+1];end;writeln(‘catalan=’,c[n]);end.Catalan数，从第二项开始为：1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012, 742900,2674440,9694545,35357670,129644790,477638700,17672631902.产生第二类的string数的参考程序：Var n,k:integer;Function s(n,k:integer):longint;BeginIf (n<k) or (k=0) then s:=0 else if (k=1) or (k=n) then s:=1 else s:=s(n-1,k-1)+k*s(n-1,k)end;BeginWrite(‘input n,k:’);readln(n,k);Writeln(s(n,k));End.三、应用策略信息学竞赛中有一类题目的求解需要通过一系列的计算，如果在已知条件和所求问题之间存在某种相互关联的关系，那么找出这种关系，应用递推算法去解决，不失为一种简捷方法。
学习递推算法要把握算法的两要素：一是递推关系，二是递推边界。
递推算法有一个很常见的应用就是解决计数问题，而计数问题的关键是避免重复与遗漏，所以应用“递推算法”解题时通常都要看清题意理清规则，不厌其烦第先用小数据人工模拟计算。
如果问题适合组合计数的原理或方法，则应用组合计数能使程序效率大大提高。
递推算法本身是很容易理解掌握的，但不能因为简单就忽略了的它的重要作用。
就竞赛而言，递推算法还是会经常考的，“过河卒”、“方格取数”、“2k进制数”等都是近几年的复赛题目，选手在训练过程中应该多注意积累。
四、例题分析这一讲精选了“书的页码”、“集合的排序”、“单词的编码”三道例题，训练的意图是：第1题，题意简单，容易理解，朴素的简单算法能过70%，有利于帮助学生树立解题信心，同时让选手在学习的最初阶段就能养成一个习惯：算法不仅会设计，还要能优化；第2题，题目描述中用了比较多的数学语言，相对而言题意比较不好理解，这样就能训练选手的审题能力。
实际上这道题目，只要看懂了题意，理解了子集的排序规则，那么问题也就解决了一大半了；第3题，问题中非常隐蔽地包含了组合计数方法，如果选手思维开阔一些，想到了利用组合数学知识来解决，那么选手的能力又将得到不小的提高。
1.书的页码【问题描述】一本书的页码为n，页码从1开始编起，请你找出全部页码中，用了多少个0，1，2， (9)其中每个页码不含多余的0，如n=1234时，第5页不是0005，只是5.【输入文件】一个正整数n（n≤109）,表示总的页码。
【输出文件】共十行：第k行为数字k-1的个数。
【样例】Count.in11Count.out1411111111解题思路：题意够简单了，朴素的算法也够简单了，就是用一个循环从1到n，将其拆为一位一位的数字，并加到相应的变量里，如拆下来是1，则count[1]增加1.这种方法最简单，但当n比较大时，程序运行时间比较长，超时是不给分的。
可以从连续数字本身的规律出发来进行统计，这样速度比较快，先不考虑多余的0的情况，假设从0000～9999，这一万个连续的数，0到9用到的次数都是相同的，一万个四位数，0到9这十个数字共用了40000次，每个数字使用了4000次。
进一步推广，考虑所有的n位数情况，从n个0到n个9，共10n个n位数，0到9十个数字平均使用，每个数字共用了n*10n-1次。
有了这样的规律后，可以从高位向低位进行统计，最后再减去多余的0的个数。
以n=3657为例：（用count数组来存放0到9各个数字的使用次数）最高位（千位）为3，从0千、1千到2千，000～999重复了3次，每一次从000到999，每个基本数字都使用了3×102=300次，重复3次，所以count[0]～count[9]各增加3×300次。
另外最高位的0到2作为千位又重复了1000次，count[0] ～count[2]各增加1000，3作为千位用了658次（=n mod 100 +1）,因此count[6]增加658次。
接下来对百位6再进行类似的处理，0到9在个位和十位平均重复使用6×20次，所以count[0]～count[9]先各增加6×20次；0到5作为百位重复使用了100次，所以count[0] ～count[5]再各增加100；6作为百位在这里重复了58次，因此count[6]增加了58.对十位和个位也进行相同的处理，得出count[0] ～count[9]的值。
最后再减去多算的0的个数。
那么0到底多算了多少次呢？当没有十位及以更高位时，个位的0，只多算了1次；当没有百位及以更高位时，十位的0，多算了10次；当没有千位及以更高位时，百位的0，多算了100次；……因此在统计m位数时，0多算了（11……1）这样一个全是1的m位数。
参考程序：Var n,m:longint;len,i,j:integer;a,b:array[0..11] of longint;//a中存放各数字的次数；b中存放10的各次幂C:array[1..11] of 0..9;//c中存放每一位数字BeginReadln(n);M:=n;len:=0;While m>0 doBegin len:=len+1;c[len]:=m mod 10;m:=m div 10;end;B[0]:=0;b[1]:=1;For i:=2 to 9 do b[i]:=b[i-1]*10;M:=n;For i:=len downto 1 doBeginFor j:=0 to 9 do a[j]:=a[j]+b[i-1]*(i-1)*c[i];For j:=0 to c[i]-1 do a[j]:=a[j]+b[i];A[c[i]]:=a[c[i]]+m mod b[i] +1;End;For i:=1 to len do a[0]:=a[0]-b[i];For i:=0 to 9 do writeln(a[i]);End.2.集合的排序【问题描述】对于集合n=（1，2，…，n）的子集，定义一个称之为“小于”的关系：设s1=｛x1,x2, …,xi｝,(x1<x2<…<xi),s2={y1,y2, …,yj},(y1<y2<…<yj),如果存在一个k（0≤k≤min(i,j)）,使得x1=y1, …xk=yk,且k=i或x(k+1)<y(k+1),则称s1“小于”s2.你的任务是：对于任意的n（n≤31）及t（t<2n），求出第t小的子集。
【输入文件】仅一行，包含两个用空格隔开的自然数：n和t。
【输出文件】仅一行，是该子集的元素，由小到大排列。
空集输出0.【样例】Sort.in3 4Sort.out1 2 3解题思路：考虑样例,当n=3时，{1,2,3}的子集合共有8个：{}、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}，题目确定一种规则把这些子集排序，从小到大以此为：{}<{1}<{1,2}<{1,2,3}<{1,3}<{2}<{2,3}<{3}。
本题就是把这些子集合按照某种规则升序排序，然后输出第t个集合。
所以排序的规则是本题的关键。
从上面的样例分析不难看出：排序后子集之间的数字和子集内部的数字都是非降序的，又因为n个元素构成的集合有2n个子集，在这2n个子集中以数字n开头的子集共有1个，以数字n-1开头的子集共有2个，以数字n-2开头的子集共有4个，……，依次类推，以数字i开头的子集共有2n-i个。
如果我们事先将2的各次幂计算出来保存在数组a中，那么从第一个空集开始，一个一个递推，直到第t个子集便能得到解。
具体算法为：先推出第t个小的自己的第一个数字是多少，第一个数字确定了之后，再推出第二个数字，从第一个数字加1一直计算集合累加个数，直到得到不超过t的最大的那个数字，就是第二位数字，这样一直递推，推到最后一个。
要注意：终止条件是有了n个数字或者第i个数字为空，这时递推终止，输出最后的结果。
参考程序：Program phy2;Var a:array[0..31] of longint;I,t,n,k,y:longint;BeginReadln(n,t);A[n]:=1;For i:=n-1 downto 1 do a[i]:=2*a[i+1];A[0]:=1;K:=0;If t=1 then writeln(0) elseWhile t>1 doBeginDec(t);Inc(k);While a[k]<t doBeginT:=t-a[k];Inc(k);End;Write(k,’ ‘);End;End.3.单词的编码encode.pas问题描述：编码工作常被应用于密文或压缩传输。
这里我们用一种最简单的编码方式进行编码：把一些有规律的单词编成数字。
字母表中共有26个小写字母{a,b,…,z},这些特殊的单词长度不超过6且字母按升序排列。
把所有这样的单词放在一起，按字典顺序排列，一个单词的编码就对应着它在字典中的位置。
例如：a→1 b→2 z→26 ab→27 ac→28你的任务就是对于所给的单词，求出它的编码。
输入文件：仅一行，被编码的单词。
输出文件：仅一行，对应的编码。
如果单词不在字母表中，输出0.样例：Encode.inAbEncode.out27解题思路：看到这个题目，马上能想到的算法是：从第一个符合条件的单词a开始往后构造，每构造一个，相应的编码增加1，直到构造到输入的单词为止。
算法不难理解，程序也容易实现，但是如果单词长度再大一点，比如20，就会出现超时。
有没有其他算法呢？关于计数问题，要让选手永远牢记一个真理：一个一个第数是下策，一类一类地数才是上策！根据题目的规则和样例，编码为1的单词是a、编码为2的单词是b、编码为3的单词是c、……，这就是一个一个地数，效率很低。