随机信号分析基础习题王永德答案专题培训课件

5.16 解：要求传输函数和输出Z(t)的均方 值，由系统图可知：
Z t [X (t) X (t T )]* U (t)
X(t)*[(t)(tT)]*U(t)
X(t)*[U(t)U(tT)]
所以传函为：
h (t) U (t) U (t T )
s in (T /2 ) jT
若随机输入过程X(t)是宽平稳的，那么线性时不变 系统的输出过程Y(t)也是宽平稳的随机过程。实际上， 对于严平稳随机过程结论同样也成立。若输入是各态 经历过程，输出也将是各态经历过程。
5.11 从频域角度
5.2.2.1．系统输出的功率谱密度
若输入随机过程X(t)为平稳过程，则输出的自相关 函数为：
5.11 从时域角度
5.2.1.2（2）系统输出的自相关函数

R Y ( t , t ) R X ( 1 2 ) h ( 1 ) h (2 ) d 1 d 2 R Y ()
R Y () R X () h ( ) h ()
5.11 解：先求出输入电压的自相关函数
R X()E [X (t)X (t )] E [(X 0co s(2 t ))(X 0co s(2 (t ) )] 1 31 2co s2 记 忆 c o s 0 的 傅 里 叶 逆 变 换 结 果 {(- 0)+ (+ 0)}
因此当系统性能未知时：若能设法得到互谱密度，就可 由式(5.2.42)确定线性系统的的传输函数。
已知微分器传递函数为
H() j
所以：
G X Y () G X () H () jG X ()
G Y()H ()2G X () 2 G X ()
5.23 解：要求自相关函数和功率谱密度
H () F [h (t)] T
e x p ( )
T /2 2
（2）解：
G Y()H ()2G X ()N 2 0T 2si(n 2( T /T 2 /)2 2 )
E [Z 2 (t )] 1
2

GY ( )d
1

2
sin2 T

2 N 0
R Y ( ) R X ( )* h ( )* h ( )
利用傅立叶变换，可得输出的功率谱密度
G Y () H () H () G X () H ()2 G X ()
式中H(ω )是系统的传输函数，其模（绝对值）的平 方∣H(ω )∣2称之为系统的功率传输函数。
RX() F T GX()
所以输入的功率谱密度：
G X ( ) 2 3 ( ) 2 [( 2 ) ( 2 )]
(t)

1

cos 0t

sin(t / 2) 2 t / 2
ea

ea cos 0



a

mY (t)
5.11 要求的是输出的自相关函数
系统所示的传函为：
h(t)(t)R 1 CeR tC,H ()1 j j R R C C
为求得输出的自相关函数，分别从时域和频 域可得两种方法。
RY()RX()h()*h() GY()H()2GX()
由图可知： Z(t)X(t)Y(t)
RZ()E[Z(t)Z(t)] E[X(t)Y(t)X(t)Y(t)]
RX()RY()
由维纳辛钦定理可得：
G Z()F [R Z()]2 1 G X()*G Y()
5.26 解：由题可知，所求的系统为一白化滤 波器，有：
把已知的有色噪声通过某系统后变为白噪声，这 个系统称为白化滤波器。
2 d 2
N0 T 4
5.18 解：要求互功率谱密度
5.2.2.2． 系统输入与输出之间的互谱密度
G X(Y )G X()H () G Y(X ) G X ( )H ( )
若输入随机信号为白噪声过程，其Gx(ω )=N0/2，则有
GXY()N20 H()
GYX()N20 H()
G Y()H()2GX() 1 2R 2R 2C 2C 22[23 ()2(2)2(2)]
1 2 1 4 4 2 R 2 R 2 C 2 C 22 [( 2 ) ( 2 )]
R Y()F [G Y()]1 2 4 2R 2R 2 C 2 C 22co s2
1 , 1

0
,
else

1
2 ( )
( 0 ) ( 0 )
rect( )
2a
a2 2
a
a
a 2 ( 0 )2 a 2 ( 0 )2
sin 2 ( ) 2
( )2 2
从计算复杂度考虑，我们从频域的角度来计 算输出的自相关函数
G Y()H()2G X()1
H() 2
22
8 3
( (
8 j)( 3 j)(
8 j) 3 j)
5.26 解：要求系统稳定
5.1.3 系统的稳定性与物理可实现的问题
随机信号分析基础习题王永 德答案
5.8 解：由题可知，要求系统输出过程的均 值：
5.2.1.2（1）系统输出的均值
设X(t)是有界的平稳过程，其均值为mt

)d

h()E[X(t )]d

mX
h()d

(5.2.3)
显然，m YE [Y(t) ]m X h()d是与时间无关的常数。
首先计算系统输入过程均值
已知有关系式： RX()a2be
li m RX()mX 2 a2 mX a

E [Y ( t ) ] m X
h ( ) d

a e d 0