三角函数专题复习 学生

金榜题名学校2019年秋季大邑校区

名师培优精讲

三角函数专题复习

第1讲三角函数的图象和性质

1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念

用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质

2.周期函数的定义

对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π

|ω|.

3．对称与周期：正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻的两个对称中心之间的距离是半个周期．

[课前练习]

1．已知tan α＝－3

4，且α是第二象限角，那么cos α等于( ) A.45 B ．－45 C.35 D ．－35 2．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )

A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π

4，k ∈Z B.⎩

⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋π

8，k ∈Z

C.⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈Z D.⎩

⎪⎨⎪

⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ⎪

⎪⎪ x ≠k π2＋π

4，k ∈Z

3．若sin x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，则cos x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋π2＝( )

A.310 B ．－310 C.34 D ．－3

4

4．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π

3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )

A.1

3 B ．3 C ．6 D ．9

5．下列函数中同时具有以下性质的是( )

①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－π6，π3上是增函数；④图

象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π12，0.

A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6

B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3

C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6

D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x －π3

[扣要点——查缺补漏]

1．同角三角函数基本关系式与诱导公式

(1)同角三角函数基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin α

cos α＝tan α⎝ ⎛⎭

⎪⎫

α≠π2＋k π，k ∈Z ，如T 1. (2)诱导公式：角k

2π±α(k ∈Z )的三角函数口诀： 奇变偶不变，符号看象限，如T 3. 2．三角函数的图象及变换

(1)五点法作简图：y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π

2，2π，求出x 的值，描出点作图．

(2)图象变换：平移、伸缩、对称，如T 4.

特别提醒：由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移⎪⎪⎪⎪⎪

⎪

φω个单位长度，而不是|φ|个单位长度．

3．三角函数的性质

(1)整体思想研究性质：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，可令t ＝ωx ＋φ，考虑y ＝A sin t 的性质．如T 2，T 5.

(2)数形结合思想研究性质．

考点一： 三角函数的定义、诱导公式及基本关系

合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝2

3，则|a －b |＝( )

A.15

B.55

C.25

5 D ．1

2．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝4

3，则sin 2α＝( ) A ．－79 B ．－29 C.29 D.79

【课堂再练习】

1．(同角三角函数基本关系式的应用)若sin α＝－5

13，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )

A.125 B ．－125 C.512 D ．－512

2．(三角函数的定义与诱导公式的应用)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝1

3，则sin β＝________.

3．[新题型](同角三角函数基本关系式及其应用)已知sin α＋2cos α＝0，则tan α＝________，2sin αcos α－cos 2α＝________.

4．(三角函数的意义与简单的三角恒等变换结合)在平面直角坐标系xOy 中，点P (x 0，y 0)在单位圆O 上，设∠xOP ＝α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.若cos ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α＋π4＝－1213，则x 0的值为________．

考点二：三角函数的图象及应用

1．(2019·全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π

4是函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )

A ．2 B.32 C ．1 D.1

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