断裂力学-线弹性理论

上式是裂尖应力场的主项，还有r0阶项等。
r0时，应力sij以r-1/2的阶次趋于无穷大；
其后r0阶项等成为次要的，可以不计。 r， sij趋于零；但显然可知, 当q=0时，在x轴 上远离裂纹处，应有sy=s，且不受r的影响。故 此时应以其后的r0阶项为主项。
断裂力学关心的是裂纹尖端附近的应力场。
断裂动力学
● 1948年N．F．Mott(莫特), 进行了裂纹快速扩展速度的定量计算并将动 能引入Griffith能量准则;
● 1951年，E．H．Yoffe(约飞) ,提出了恒长度裂纹的匀速扩展模型，计及 惯性力，对裂纹分叉作定量分析;
1960年，J．W．Craggs(克拉格斯) ,提出了裂纹面受载而加载点随裂纹前进 的匀速扩展半无限长裂纹模型； 1960年, K B．Broberg(布洛伯格), 提出的裂纹从零长度开始对称地向两侧匀 速开裂模型较有实际意义。 ●Rice等多人先后导出了裂纹以等速传播情况的渐近应力场与位移场,提出 了动态应力强度因子概念及裂纹动态起始扩展准则、运动裂纹传播与止裂 准则、能量释放率准则。 尚处于初创阶段，除了线性材料的稳定裂纹动态起始扩展问题和对弹性波 的散射问题有较系统的直接解法作定量分析外，线性材料的裂纹快速传播 与止裂问题、非线性材料的动态裂纹问题、分叉问题等都是当前重要的研 究课题。
裂尖的应力强度因子K1： K1 s a
K反映了裂尖应力场的强弱；足标1表示是1型。
sij越大，K越大；裂纹尺寸a越大，K越大。
K的量纲为[应力][长度]1/2，常用MPa m 。
(5-1)式是中心穿透裂纹无穷大板的解。 断裂力学研究表明，K1可以更一般地写为：
K1 s a f ( a ,W ,...)
宏观裂纹指材料制造或加工及使用过程中形成的宏观尺度(10-2cm以上)的类 裂纹缺陷。在实际结构中这种裂纹的存在是难免的。
断裂力学分支：
●线弹性断裂力学
脆性断裂的规律
●弹塑性断裂力学
韧性断裂规律
●断裂动力学
快速加载或裂纹快速扩展时的断裂问题
●界面断裂力学
多相物质组成的新材料(如高强度合金、陶瓷、 纤维增强的复合材料)的相间界面裂纹扩展规律
材料断裂应力为： s K1c 1.12 a
sy t xy y sx dy r q dx 2a x s
用弹性力学方法得到裂纹尖端附近任一点 (r,q)处 的正应力sx、sy和剪应力txy为：
s
sx=s a cosq[1 - sinq sin3q ] 2 2 2r 2 a q q 3q sys r cos2 [1+ sin 2 sin 2 ] (1) 2 a sin q cosq cos3q txys r 2 2 2 2
● 1977 Comninou(康尼诺)，和1988Delale(迪拉尔)和Erdogan，1989 Hutchinson ,和Sun(锁志刚)提出的能量释放率扩展准则；
● 1989年，Shih(谢)等人用有限元法分析弹塑性双材料界面裂纹尖端应 力场，得到一个近乎于混合型HRR奇异场的渐近解； ●以及1992年夏霖、王自强通过精确的数学分析对幂硬化材料界面裂 纹求得分离变量形式的HRR型奇异性渐近解等。在非各向同性双材料 界面断裂力学方面也已取得不少研究成果。
这种连续介质模型仍是一种理想的模型，在远离裂纹尖端的 区域是合适的，而在裂纹尖端附近的小区域(原子或晶体结构 的尺度范围)是否合适，还需深入到微观领域，弄清微观的断 裂机理，才能更好地了解力学因素在裂纹尖端的断裂过程中 是如何发挥作用的，才能深入了解宏观断裂的现象。
二、断裂力学中的几个基本概念
●
Griffth(格里菲斯)裂纹
3 控制断裂的基本因素
断 裂 三 要 素
裂纹尺寸和形状(先决条件)
应力大小(必要条件)
作用 抗力
材料的断裂韧性K1C (材料抗力) 含裂纹材料抵抗断裂能力的度量。
作用(s、a)越大，抗力(K1C )越低，越可能断裂。 K是低应力脆性断裂（线弹性断裂）发生与否 的控制参量，断裂判据可写为： K f ( a , L ) s a K1c W
今后在这领域里的主要研究方向是三维问题、表面裂纹问题、各向异性体 问题等。
弹塑性断裂力学
●1948年，Orowan(奥洛文)和Irwin各自独立地用能量观点研究塑性材料的 裂纹扩展问题。他们认为，对于塑性材料，抵抗表面张力所作的功要比抵 抗塑性变形作的功小很多，从而提出了塑性材料裂纹扩展的能量判据。 ●1960年，D．S.Dugdale (达格代尔) 研究裂纹尖端的塑性区。 ●1961年，A．A．Wells(威尔斯)提出的裂纹张开位移(COD)准则。 ●1968年,J.R．Rice(赖斯)提出用围绕裂纹尖端的与路径无关的线积分来研 究裂纹尖端的变形及J积分准则。 ●1968年，J．W．Hutchinson(哈钦森)及J．R．Rice与G．R．Rosengren (罗森洛伦)分别发表了I型裂纹尖端应力应变场的弹塑性分析，即著名的 HRR奇异解，这是J积分可作为断裂准则的理论基础。 ●J积分准则与COD准则一样，也只能作为起裂准则。裂纹稳定扩展准则 的建立则是当前这一领域的主要研究方向，已提出的准则：l型裂纹基于应 变的稳定扩展准则、1型裂纹和I型裂纹基于开口位移的稳定扩展准则。
解：1）不考虑缺陷，按传统强度设计考虑。 选用二种材料时的安全系数分别为： 材料1： ns 1=sys1/s=1800/1000=1.8 优
材料2： ns 2=sys2/s=1400/1000=1.4 合格
2）考虑缺陷，按断裂设计考虑。 由于a很小，对于单边穿透裂纹应有 K 1 1 .12 s a a K 1 c 或 s K 1 c 1 . 12 aa
B 2. 5( K1c s ys ) 2
抗断设计：
基本方程：K f ( a , L ) s a K1c W
1) 已知s、a，算K，选择材料，保证不发生断裂；
2) 已知a、材料的K1c，确定允许使用的工作应力s；
3) 已知s、K1c，确定允许存在的最大裂纹尺寸a。
一般地说，为了避免断裂破坏，须要注意：
控制材料缺陷和加工、制造过程中的损伤。 当缺陷存在时，应进行抗断设计计算。 K1c较高的材料，断裂前ac较大，便于检查发现裂纹。 低温时，材料K1c降低，注意发生低温脆性断裂。
例1：某构件有一长a=1mm的单边穿透裂纹，受拉 应力s =1000MPa的作用。试选择材料。 材料1：sys1=1800Mpa，K1C1=50MPa m； 材料2：sys2=1400Mpa，K1C2=75MPa m；
sy t xy y sx dy r q dx 2a x s
所讨论的是平面问题，故有 tyz=tzx=0； 对于平面应力状态，还有sz=0。 若为平面应变状态，则有sz=(sx+sy)。
(1)式可写为：
sij K1 fij (q ) 2 r
s
式中： K1 s a
sy t xy y sx dy r q dx 2a x s
断裂力学的任务： ●研究裂纹体的应力场、应变场与位移场，寻 找控制材料开裂的物理参量； ●研究材料抵抗裂纹扩展的能力——韧性指标 的变化规律，确定其数值及测定方法； ●建立裂纹扩展的临界条件——断裂准则；
●含裂纹的各种几何构形在不同荷载作用下， 控制材料开裂的物理参量的计算。
断裂力学的研究方法： 从弹性或弹塑性力学理论出发，把裂纹 作为一种边界条件，考察裂纹顶端的应力场、 应交场和位移场，设法建立这些场与控制断 裂的物理参量的关系和裂纹尖端附近的局部 断裂条件。
4．实验应力分析——光弹法。
工程中最常见的、危害最大的是 I 型裂纹。
要使裂纹扩展，必须s>0。 即只有拉应力才能引起裂纹的张开型扩展。 讨论含有长为2a的穿透裂纹的无限大平板， 二端承受垂直于裂纹面的拉应力s作用的情况。
在距裂尖r，与x轴夹角为q处， s 取一尺寸为dx、dy的微面元；
利用弹性力学方法，可得到裂 纹尖端附近任一点(r,q)处的正 应力sx、sy和剪应力txy。
界面断裂力学
●1959年，M.L.Williams(威廉姆斯), 用渐近级数展开法得到各向同性 弹性双材料界面裂纹尖端附近应力具有振荡奇异性的结论。
1965年，England(英格兰)发现由于应力振荡性，裂纹面会出现相互嵌 入现象。
● 1988年, Rice用复变函数法得到渐近应力场和位移场的表达式, 旨在 消除振荡与嵌入这种物理上不合理的现象而提出的接触区模型。
f(a,W,...)为几何修正函数，可查手册。 特别地，当a<<w或a/w0时，即 对于承受拉伸的无限宽中心裂纹板，f=1； 对于无限宽单边裂纹板，f=1.12。
线弹性断裂力学是弹性理论在含裂纹体中的应用。 弹性理论所用的假设同样保留在线弹性断裂力学理 论中，即小变形假设和应力-应变一般呈线性假设。 线弹性断裂力学方程的一般形式给出如下： 可见有奇异性存在，当到裂尖的距离r趋近于零 时，应力趋于无穷大。 sij K1 fij (q ) 2 r 超过屈服应力后材料发生塑性变形，在裂纹尖端附近 将形成塑性区。然而，如果塑性区与裂纹和含裂纹体 的尺寸相比很小，线弹性断裂力学就仍然是正确的。
材料在生产、加工和使用中会产生缺陷和裂 纹，如冶炼、铸骸、焊接、热处理、中子辐 射、氢的渗入等。夹杂物、空穴、切口都是 缺陷，它们在尖端处的曲率半径不为零。对 于类裂纹型的缺陷可以简化为裂纹，认为其 尖端处的曲率半径等于零。这样的简化是偏 于安全的，把这种型纹称为Griffth(格里菲 斯)裂纹。
●裂纹种类
线弹性断裂力学基本理论
1. 概念
●
强度因子
●
小范围屈服和K主导区
KI s a
一般名义应力小于 s0/2满足小范围屈 服条件要求
2 裂纹尖端的应力强度因子 ●确定应力强度因子的方法
1．数学分析法——复变函数法、积分变化法。
2．近似计算法——边界配置法，有限元法。
3．实验标定法——如柔度法。
平面应变 平面应力
平面应变
平面应力
三、发展简史
线弹性断裂力学
●1913年，Ing1is(英格列斯)将物体内缺陷理想化为椭圆形切口，用线弹 性理论计算了含椭圆孔无限大板受均匀拉伸的问题，按应力集中的观点解 释了材料实际强度远低于理论强度是由于固体材料存在缺陷的缘故。
● 1921年，A．A．Griffith用弹性体能量平衡的观点研究了玻璃、陶瓷等 脆性材料中的裂纹扩展问题，提出了脆性材料裂纹扩展的能量准则。
断裂判据：
a K f ( , L ) s a K1c
W
或
KK1C
这是进行抗断设计的基本控制方程。
f是裂纹尺寸a和构件几何(如W)的函数，查手册； K1C是断裂韧性(材料抗断指标)，由试验确定。 K由线弹性分析得到，适用条件是裂尖塑性区 尺寸r远小于裂纹尺寸a；即： a 2. 5( K1 s ys ) 2 K1C是平面应变断裂韧性，故厚度B应满足：
● 1955年， C．R．Irwin(欧文)提出应力场强度观点和应力强度因子断裂 准则。该准则与Grwith能量准则构成了线弹性断裂力学的核心内容。 ● 1963年，F．Erdogan(艾多甘)和G．C Sih(薛昌明)提出混合型裂纹扩展 问题的最大拉应力理论。1973年，薛昌明又提出混合型裂纹的应变能密度 理论。
按其在构件中的位置可分为贯穿裂纹(穿透板 厚的裂纹)、表面裂纹、深埋裂纹、角裂纹等。
工程 常见 裂纹
W
2a a 2c
s
B
s
a t
s
s 中心裂纹
s
边裂纹
s 表面裂纹
●裂纹基本类型
根据裂纹受力情况，裂纹分为三种基本类型： • 张开型 滑开型 撕开型
●断裂方式
同一材料可能发生脆性断裂，也可能发生韧 性断裂，与受力状态、温度、应变速率、截 面弹性断裂力学
绪
论
一、断裂力学的内容、任务与研究方法
●60年代开始发展，固体力学新分支； ●有微观断裂力学与宏观断裂力学之分；
●微观断裂力学从微观结构出发，研究断裂过程的物理本质， 如材料缺陷的成核、断裂的微观机理等，屑固体物理的范畴。
●宏观断裂力学从宏观的连续介质力学角度出发，研究含缺陷 下宏观裂纹的扩展、失稳开裂、传扬和止裂规律。