2020年高考数学(理)二轮专项复习专题13-不等式选讲
专题13 不等式选讲
不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等，命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，所以可重点突破. 【知识要点】
1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|＞a (a ＞0)?f (x )＞a 或f (x )＜－a ； (2)|f (x )|＜a (a ＞0)?－a ＜f (x )＜a ；
(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 2．绝对值三角不等式
|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式． 3．基本不等式
定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b 2
≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．
定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3
≥3
abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n
a 1a 2…a n ，当且
仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．柯西不等式
(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)若
a i ，
b i (i ∈N *)为实数，则(∑n
i ＝1a 2i )(∑n
i ＝1b 2i )≥(∑n
i ＝
1a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝
kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|a |·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．
【复习要求】
（1）理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
① ;b a b a +≤+② ;b c c a b a -+-≤-
（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
c b ax ≤+ c b ax ≥+ a b x c x ≥-+-
（3）会用不等式①和②证明一些简单问题。能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值 （4）了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法 【例题分析】
例1 (1)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.
①解不等式f (x )＞2； ②求函数y ＝f (x )的最小值．
[解] ①解法一：令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－1
2，x ＝4.
原不等式可化为：
????? x ＜－12，－x －5＞2或?????
－12≤x ＜4，3x －3＞2
或?????
x ≥4，x ＋5＞2，
所以原不等式的解集为：?
??
?
??x |x ＜－7或x ＞53.
解法二：
f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝????
?
－x －5，x ＜－12
，
3x －3，－12
≤x ＜4，x ＋5，x ≥4.
画出f (x )的图象
y ＝2与f (x )图象的交点为(－7,2)，(5
3，2)．由图象知f (x )＞2的解集为??????x ?
?
<－7或x ＞53.②由①的解法二中的图象知：f (x )min ＝－9
2
.
解绝对值不等式的步骤和方法： (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤 ①求零点．
②划区间、去绝对值号．
③分别解去掉绝对值的不等式．
④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值． (2)用图象法求解不等式
用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
例2:设函数f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3. ①若a ＝1，解不等式f (x )≤4；
②若函数f (x )有最小值，求a 的取值范围． [解] ①当a ＝1时，f (x )＝|3x －1|＋x ＋3. 当x ≥1
3时，f (x )≤4可化为3x －1＋x ＋3≤4，
解得13≤x ≤12
；
当x ＜1
3时，f (x )≤4可化为－3x ＋1＋x ＋3≤4，
解得0≤x ＜1
3
.
综上可得，原不等式的解集为?
??
?
??x |0≤x ≤12.
②f (x )＝|3x －1|＋ax ＋3＝?
?
?
3＋a x ＋2，x ≥
1
3
a －3x ＋4，x ＜
1
3
，
函数f (x )有最小值的充要条件为?
????
a ＋3≥0
a －3≤0，即－3≤a ≤3.
例3 (1)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________.
[解析] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a <－1时，f (x )＝????
?
－3x －1＋2a ，x ≤a x －1－2a ，a 3x ＋1－2a ，x >－1，f (x )min ＝f (a ) ＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6； 当a >－1时，f (x )＝???? ? －3x －1＋2a ，x ≤－1－x ＋1＋2a ，－1 3x ＋1－2a ，x >a f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4.[答案] 4或－6 例4 已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. ①当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集； ②若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． [解] ①当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1 3 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为? ??? ?? x | 23 ②由题设可得， f (x )＝???? ? x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ， －x ＋1＋2a ，x >a . 所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ?? ?? 2a －13，0， B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为2 3 (a ＋1)2. 由题设得2 3(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)． 1．解决含参数的绝对值不等式问题，常用以下两种方法 (1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决； (2)借助于绝对值的几何意义，先求出f (x )的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围． 2．解答此类问题应熟记以下转化：f (x )>a 恒成立?f (x )min >a ；f (x )a 有解?f (x )max >a ；f (x )a 无解?f (x )max ≤a ；f (x ) 例5 (1)已知函数f (x )＝|x －1|. ①解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8； ②若|a |＜1，|b |＜1，a ≠0，求证：f ab |a |＞f ????b a . [解] ①f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3| ＝??? ?? －3x －2，x ＜－3 －x ＋4，－3≤x ＜1 23x ＋2，x ≥12 ，当x ＜－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－10 3 ； 当－3≤x ＜12时，－x ＋4≥8无解；当x ≥1 2时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2. 所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为? ??? ?? x |x ≤－103或x ≥2. ②证明：f ab |a | ＞f ????b a 等价于f (ab )＞|a |f ????b a ，即|ab －1|＞|a －b |. 因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0，所以|ab －1|＞|a －b |.故所证不等式成立． 例6 设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1 b .证明： ①a ＋b ≥2； ②a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立． [证明] 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，a >0，b >0，得ab ＝1. ①由基本不等式及ab ＝1， 有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2， 当且仅当a ＝b ＝1时等号成立． ②假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0得0 ①构造基本不等式求出代数式的最值，直接证明不等式成立；②直接证明较难，假设两个不等式同时成立，利用①的结论，得出矛盾，则假设不成立． 不等式证明的常用方法 不等式证明的常用方法是：比较法、综合法与分析法．其中运用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式与柯西不等式证明，与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式．证明过程中一方面要注意不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形． 例7 (1)已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)． ①求x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2 的最小值； ②求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2. [解] ①因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2＝3·32ab ≥3· 3 2??? ?a ＋b 22＝3×3 8＝6， 当且仅当x 1a ＝x 2b ＝2x 1x 2，a ＝b ，即a ＝b ＝12且x 1＝x 2＝1时，x 1a ＋x 2b ＋2 x 1x 2有最小值6. ②证法一：由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)， 及柯西不等式可得： (ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2， 当且仅当 ax 1ax 2＝bx 2 bx 1 ，即x 1＝x 2时取得等号． 证法二：因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝a 2x 1x 2＋abx 22＋abx 21＋b 2x 1x 2＝x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (x 22＋x 2 1) ≥x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (2x 1x 2)＝x 1x 2(a 2＋b 2＋2ab )＝x 1x 2(a ＋b )2＝x 1x 2， 当且仅当x 1＝x 2时，取得等号． 例8 ①已知函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋3|，求x 的取值范围，使f (x )为常函数； ②若x ，y ，z ∈R ，x 2＋y 2＋z 2＝1，求m ＝2x ＋2y ＋5z 的最大值． [解] ①f (x )＝|x －1|＋|x ＋3|＝???? ? －2x －2，x ＜－34，－3≤x ≤1 2x ＋2，x ＞1， 则当x ∈[－3,1]时，f (x )为常函数． ②由柯西不等式得：(x 2＋y 2＋z 2)[(2)2＋(2)2＋(5)2]≥(2x ＋2y ＋5z )2. 所以2x ＋2y ＋5z ≤3，因此m 的最大值为3. 柯西不等式的求解方法 柯西不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用，运用柯西不等式求最值时，关键是进行巧妙的拼凑，构造出柯西不等式的形式． 练习13 1．不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4) D ．(1,5) 2．解不等式x ＋|2x ＋3|≥2. 3、已知函数f (x )＝x |x －a |(a ∈R )． (1)若a ＝2，解关于x 的不等式f (x ) (2)若对任意的x ∈(0,4]都有f (x )<4，求a 的取值范围． 3．已知x ，y 是两个不相等的正实数，求证：(x 2y ＋x ＋y 2)·(xy 2＋y ＋x 2)＞9x 2y 2. 4．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ； (2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 5、已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋1 9b 2＋c 2的最小值． 6．已知f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤4； (2)若f (x )≥4恒成立，求实数a 的取值范围． 7．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x ) (2)设a >－1，且当x ∈????－a 2，1 2时，f (x )≤g (x )恒成立，求a 的取值范围． 8．已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|； (2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1 n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围． 9．设函数f (x )＝x 2－x ＋15，且|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)． 10．(1)已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2； (2)已知a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2 a ＋ b ＋ c ≥abc . 11．已知不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m 的解集是R . (1)求实数m 的取值范围． (2)在(1)的条件下，当实数m 取得最大值时，试判断6＋7>m ＋10是否成立？并证明你的结论． 练习13 参考答案 1．答案 A 解析 当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解． 综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A. 2．解 原不等式可化为????? x <－32，－x －3≥2，或????? x ≥－32， 3x ＋3≥2. 解得x ≤－5或x ≥－1 3.综上，原不等式的解集是 ??? x ?? ???x ≤－5或x ≥－13. 3、解 (1)当a ＝2时，不等式f (x ) 显然x ≠0，当x >0时，原不等式可化为：|x －2|<1?－1 当x <0时，原不等式可化为：|x －2|>1?x －2>1或x －2<－1?x >3或x <1，∴x <0. 综上得：当a ＝2时，原不等式的解集为{x |1 (2)对任意的x ∈(0,4]都有f (x )<4，即－4 x 恒成立． 设g (x )＝x －4x ，x ∈(0,4]，p (x )＝x ＋4x ，x ∈(0,4]，则对任意的x ∈(0,4]，x －4x x 恒成立?g (x )max x ∈(0,4]． ∵g ′(x )＝1＋4 x 2，当x ∈(0,4]时，g ′(x )>0，∴函数g (x )在(0,4]上单调递增， ∴g (x )max ＝g (4)＝3. 又∵p ′(x )＝1－4 x 2＝x －2x ＋2x 2，∴p (x )在(0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增， ∴p (x )min ＝p (2)＝4.故a ∈(3,4)． 3．证明 因为x ，y 是正实数，所以x 2y ＋x ＋y 2≥33 x 2y ·x ·y 2＝3xy ，当且仅当x 2y ＝x ＝y 2，即x ＝y ＝1时，等号成立； 同理：xy 2＋y ＋x 2≥33 xy 2·y ·x 2＝3xy ，当且仅当xy 2＝y ＝x 2，即x ＝y ＝1时，等号成立． 所以(x 2y ＋x ＋y 2)(xy 2＋y ＋x 2)≥9x 2y 2， 当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 因为x ≠y ，所以(x 2y ＋x ＋y 2)(xy 2＋y ＋x 2)＞9x 2y 2. 4．证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d . (2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |. 综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 5、解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c . 又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得 ????14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥????a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87 . 当且仅当12a 2＝1 3b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝2 7时等号成立． 故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为8 7 . 6．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≤4即为|x |＋2|x －1|≤4， ①当x ≥1时，原不等式可化简为x ＋2(x －1)≤4，得1≤x ≤2； ②当0≤x <1时，原不等式可化简为x ＋2(1－x )≤4，得0≤x <1； ③当x <0时，原不等式可化简为－x ＋2(1－x )≤4，得－2 3 ≤x <0. 综合①②③得，－2 3≤x ≤2，即当a ＝1时，不等式f (x )≤4的解集为???? ??x ?? －23≤x ≤2. (2)①当x ≥a 时，f (x )＝x ＋2(x －a )＝3x －2a ； ②当0≤x ③当x <0时，f (x )＝－x ＋2(a －x )＝－3x ＋2a . 作出函数f (x )的大致图象如图所示， 由图象知f (x )min ＝a ，所以a ≥4，即实数a 的取值范围为[4，＋∞)． 7．解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x ) 则y ＝???? ? －5x ，x <12 ， －x －2，12 ≤x ≤1，3x －6，x >1， 其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0. 所以原不等式的解集是{x |0 (2)当x ∈????－a 2，12时，f (x )＝1＋a ，不等式f (x )≤g (x )即1＋a ≤x ＋3，所以x ≥a －2对x ∈????－a 2，12恒成立，故－a 2≥a －2，解得a ≤43.又a >－1，所以－1 3 . 所以a 的取值范围是? ???－1，4 3. 8．解 (1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|< 4. 当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54 3； 当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x <1 2； 当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解． 综上所述，x ∈??? ?－54，1 2. (2)1m ＋1n ＝????1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n ≥4(当且仅当m ＝n ＝1 2时等号成立)， 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2| ＝???? ? 2x ＋2＋a ，x <－ 23 －4x －2＋a ，－23 ≤x ≤a －2x －2－a ，x >a ， ∴x ＝－23时，g (x )max ＝2 3＋a ，要使不等式恒成立， 只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0 3. 9．证明 ∵|x －a |<1， ∴|f (x )－f (a )|＝|(x 2－x ＋15)－(a 2－a ＋15)| ＝|(x －a )(x ＋a －1)| ＝|x －a |·|x ＋a －1|<1·|x ＋a －1| ＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a －1|≤1＋|2a |＋1 ＝2(|a |＋1)， 即|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)． 10．证明 (1)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2. 因为a ，b 都是正数，所以a ＋b >0. 又因为a ≠b ，所以(a －b )2>0. 于是(a ＋b )(a －b )2>0，即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0， 所以a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. (2)因为b 2＋c 2≥2bc ，a 2>0，所以a 2(b 2＋c 2)≥2a 2bc .① 同理b 2(a 2＋c 2)≥2ab 2c .② c 2(a 2＋b 2)≥2abc 2.③ ①②③相加得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2a 2bc ＋2ab 2c ＋2ab 2， 从而a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )． 由a ，b ，c 都是正数，得a ＋b ＋c >0，因此a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2 a ＋ b ＋ c ≥abc .(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立) 11．解 (1)由绝对值不等式性质知：|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1＋2－x |＝3对x ∈R 恒成立． 故|x ＋|＋|x －2|≥m 的解集为R ，只需m ≤3即可，所以m 的取值范围是(－∞，3]． (2)由(1)知实数m 的最大值为3， 当m ＝3时，不等式6＋7>3＋10成立．证明如下：要使6＋7>3＋10成立， 只需(6＋7)2>(3＋10)2，等价于13＋242>13＋230，等价于42>30， 等价于42>30，而42>30显然成立，故所证不等式成立． 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 16 不等式选讲 选考内容 （二）不等式选讲 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）. （2）. （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： . 2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明. （1）柯西不等式的向量形式： （2）. （3）. （此不等式通常称为平面三角不等式.） 3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： 4．会用向量递归方法讨论排序不等式. 5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题. 6．会用数学归纳法证明伯努利不等式： 了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立. 7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查解绝对值不等式、证明不等式等. 2．从考查内容来看，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，求最值问题等. 3．从考查热点来看，重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等，绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势，值得关注. 考向一 绝对值不等式的求解 样题1 （2018新课标全国Ⅱ理科）设函数 ． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围． 样题2 （2018新课标全国Ⅲ理科）设函数 ． （1）画出()y f x =的图象； （2）当[)0x +∞∈，，，求a b +的最小值． 【解析】（1）()y f x =的图象如图所示． 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D 高考数学《不等式选讲》专项复习 一、考纲解读 1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值. 2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位. 3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值. 4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式. 二、命题趋势探究 本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档. 三、知识点精讲 (一).不等式的性质 1.同向合成 （1）, >>?>； a b b c a c （2）,c >>?+>+； a b d a c b d （3）0,c0 >>>>?>. a b d ac bd （合成后为必要条件） 2.同解变形 >?+>+； （1）a b a c b c （2）0,0, >?>>?<<； a b c ac bc c ac bc （3）11 000a b b a >>? >>?>>. （变形后为充要条件） 3.作差比较法 0,0a b a b a b a b >?>->-<<；0,||,a x a x a x a >>?>><-或 （2）22||||a b a b >?> （3）||||x a x b c +++<零点分段讨论 (三).基本不等式 （1）222a b ab +>（当且仅当等号成立条件为a b =） （2）0,0, 2 a b a b +>>≥a b =） ； 0,0,0, 3 a b c a b c ++>>>≥a b c ==时等号成立） （3）柯西不等式 22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当ad bc =时取等号） ①几何意义：||ad bc ??+≤a b a b ||||||≤②推广：22222 2 212 121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++ +≥++ +.当且仅当向量 12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立. 专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时， 基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ （6），、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； （7）)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 专题十五不等式选讲大题 （一）命题特点和预测： 分析近8年全国新课标1不等式选讲大题，发现8年8考，主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题.2019年不等式选讲大题仍将主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题. （二）历年试题比较： ． 时，求不等式 时不等式成立，求的取值范围． 已知函数， 的解集； 的解集包含 已知函数 ？并说明文由 ( )≤ 【解析与点睛】 （2018年）【解析】（1）当时，，即 故不等式的解集为． （2）当时成立等价于当时成立．若，则当时； 若，的解集为，所以，故． 综上，的取值范围为． （2017年）【解析】 x>时，①式化为，从而. 当1 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题. （2016年）【解析】（I） y=的图像如图所示. f ) (x （II ）由)(x f 的表达式及图像，当1)(=x f 时，可得1=x 或3=x ； 当1)(-=x f 时，可得3 1 = x 或5=x ， 故1)(>x f 的解集为{} 31< 1.（2018?卷Ⅱ）设函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围 2.（2013?辽宁）已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1 （1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集； （2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．3.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集； （Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 4.（2017?新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲] 已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2． 5.（2017?新课标Ⅰ卷）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（10分） （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围． 6.（2017?新课标Ⅱ）[选修4-5：不等式选讲] 已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明： （Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4； （Ⅱ）a+b≤2． 7.（2018?卷Ⅰ）已知 （1）当时，求不等式的解集 （2）若时，不等式成立，求的取值范围 8.（2018?卷Ⅰ）已知f(x)=|x+1|-|ax-1| （1）当a=1时,求不等式f(x)>1的解集 （2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围 9.（2017?新课标Ⅲ）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式f（x）≥1的解集； （2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 10.（2014?新课标II）设函数f（x）=|x+ |+|x﹣a|（a＞0）． （1）证明：f（x）≥2； （2）若f（3）＜5，求a的取值范围． 11.（2015·福建)选修4-5：不等式选讲 已知，函数的最小值为4．（1）求的值； 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 专题16 不等式选讲 选考内容 （二）不等式选讲 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1） a b a b . （2）a b a c c b . （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： ; ;ax b c ax b c x a x b c . 2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明 . （1）柯西不等式的向量形式： ||||||.（2） 22222()(+)()a b c d ac bd . （3）222222121223231313()()()()()()x x y y x x y y x x y y . （此不等式通常称为平面三角不等式.） 3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： 4．会用向量递归方法讨论排序不等式. 5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明 一些简单问题. 6．会用数学归纳法证明伯努利不等式： 了解当n 为大于1的实数时伯努利不等式也成立 . 7．会用上述不等式证明一些简单问题 .能够利用平均值不等式、 柯西不等式求一些特定函数的极值. 8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查解绝对值不等式、证明不等式等. 2．从考查内容来看，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，求最值问题等 . 3．从考查热点来看，重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等，绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势，值得关注. 考向一 绝对值不等式的求解样题1 （2017新课标全国Ⅰ理科）已知函数 2–4()x ax f x ，11()x x g x ||||. （1）当a =1时，求不等式 ()()f x g x 的解集；（2）若不等式()()f x g x 的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 所以a 的取值范围为[1,1]. 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法， 也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题. 2012高考真题分类汇编：不等式 1.【2012高考真题重庆理2】不等式 01 21 ≤+-x x 的解集为 A.??? ??- 1,21 B.??????-1,21 C.[)+∞???? ??-∞-,121. D.[)+∞???? ? ? -∞-,121, 对 【答案】A 【解析】原不等式等价于0)12)(1(<+-x x 或01=-x ，即12 1 <<-x 或1=x ，所以不等式的解为12 1 ≤<- x ，选A. 2.【2012高考真题浙江理9】设a 大于0，b 大于0. A.若2a +2a=2b +3b ，则a ＞b B.若2a +2a=2b +3b ，则a ＞b C.若2a -2a=2b-3b ，则a ＞b D.若2a -2a=a b -3b ，则a ＜b 【答案】A 【解析】若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则 ()2ln 220x f x '=?+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其 余选项用同样方法排除．故选A 3.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、3100元 【答案】C. 【解析】设生产x 桶甲产品，y 桶乙产品，总利润为Z ， 则约束条件为???????>>≤+≤+0 012 2122y x y x y x ，目标函数为300400Z x y =+， 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1，43 B 。? ???? 12，43 C 。? ? ???1，74 D 。? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4。 综上,12＜a ＜7 4,故选D 。 2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(－3,1)∪(3,＋∞) B 。(－3,1)∪(2,＋∞) C 。(－1,1)∪(3,＋∞) D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3。由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 不等式 (必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________. 解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0， 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞) (2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件???x －y ＋1≥0， x ＋y －3≥0，x －3≤0， 则 z ＝x －2y 的最小值为 ________. 解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案 －5 (2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件???2x －y ＋1≥0， x －2y －1≤0，x ≤1， 则z ＝2x ＋3y －5的最小值为_____. 解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知， 当直线y ＝－23x ＋53＋z 3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10. (2017·西安检测)已知变量x ，y 满足???2x －y ≤0， x －2y ＋3≥0，x ≥0， 则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________. 解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.由?????2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得?????x ＝1，y ＝2， 即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 4 (2016·北京卷)若x ，y 满足???2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0， 则2x ＋y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析 画出可行域，如图中阴影部分所示， 令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1，2)时，z 最大，z max ＝4. 答案 C (2016·山东卷)若变量x ，y 满足???x ＋y ≤2， 2x －3y ≤9，x ≥0， 则x 2＋y 2的最大值是( )高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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