2018年高考数学分类汇编：专题十四不等式选讲

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2018年北京市高考数学理14专题十四不等式选讲

2018年北京市高考数学理14专题十四不等式选讲第一篇：2018年北京市高考数学理 14专题十四不等式选讲第十四篇：不等式选讲解答题1.【2018全国一卷23】已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.（1）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；（2）若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围.2.【2018全国二卷23】设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|．（1）当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≤1，求a 的取值范围．3.【2018全国三卷23】设函数f(x)=2x+1+x-1．（1）画出y=f(x)的图像；+∞)，f(x)≤ax+b，求a+b的最小值．（2）当x∈[0，4.【2018江苏卷21D】若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．参考答案解答题⎧-2,x≤-1,⎪ 1.解：（1）当a=1时，f(x)=|x+1|-|x-1|，即f(x)=⎨2x,-1<x<1，⎪2,x≥1.⎩故不等式f(x)>1的解集为{x|x>}．（2）当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立．若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1；若a>0，|ax-1|<1的解集为0<x<综上，a的取值范围为(0,2]．1222，所以≥1，故0<a≤2．aa⎧2x+4,x≤-1,⎪2.解：（1）当a=1时，f(x)=⎨2,-1<x≤2，⎪-2x+6,x>2.⎩可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}．（2）f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4．而|x+a|+|x-2|≥|a+2|，且当x=2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a+2|≥4．由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2，所以a的取值范围是(-∞,-6][2,+∞)．1⎧-3x,x<-,⎪2⎪1⎪3.解：（1）f(x)=⎨x+2,-≤x<1,y=f(x)的图像如图所示．2⎪⎪3x,x≥1.⎪⎩（2）由（1）知，y=f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax+b 在[0,+∞)成立，因此a+b的最小值为5．4.证明：由柯西不等式，得(x2+y2+z2)(12+22+22)≥(x+2y+2z)2．因为x+2y+2z=6，所以x2+y2+z2≥4，当且仅当xyz244==时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，122333所以x2+y2+z2的最小值为4．第二篇：专题：不等式选讲专题：不等式选讲1、已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).（Ⅰ）当a=5时，求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围。

高考数学压轴专题专题备战高考《不等式选讲》分类汇编含解析

【最新】数学《不等式选讲》高考知识点一、141．2018年9月24日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列21n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项的和222111123S n L L =+++++，那么下列结论正确的是（） A ．413S << B ．5443S << C ．322S << D ．2S >【答案】C 【解析】【分析】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，由裂项相消求和以及不等式的性质可得2S <,排除D ，再由前3项的和排除A ，B ，从而可得到结论. 【详解】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，可得222111111111...11...232231n S n n n =++++<+-+-++--12n=-， n →+∞时，2S →，可得2S <,排除D ，由22111341123363++=+>，可排除,A B ,故选C. 【点睛】本题主要考查裂项相消法求数列的和，以及放缩法和排除法的应用,属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.2．若关于x 的不等式23ax -＜的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =（） A ．2- B ．2 C ．3D ．3-【答案】D 【解析】【分析】由绝对值不等式的性质可知，()22329ax ax -⇔-＜＜，从而可得到()229ax -=的两个解为2151,33x x -==，即可求出a 的值. 【详解】由题意可知0a ≠，()22329ax ax -⇔-＜＜，即22450a x ax --<，故一元二次方程22450a x ax --=的解为2151,33x x -==，则1212224455,39a x x x x a a +==-=-=-，解得3a =-. 故答案为D. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了学生的计算能力，属于基础题．3．已知函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数,且当0x >时,()f x 单调递增，则关于x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为（） A ．45[,)33B ．2112(,][,)3333--⋃ C ．12[,)33⋃45(,]33D ．随a 的值而变化【答案】C 【解析】试题分析：∵函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数，∴1-a=2a ，∴a=13，故函数()f x 的定义的定义域为22[,]33-，又当203x <≤时,()f x 单调递增，∴11113(1)()(1)(){23313x f x f f x f x ->->⇔->⇔-≤，解得1233x ≤<或4533x <≤，所以不等式(1)()f x f a ->的解集为12[,)33⋃45(,]33，故选C考点：本题考查了抽象函数的运用点评：此类问题往往利用偶函数的性质()()f x f x =避免了讨论，要注意灵活运用4．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x …时，2()4f x x x =+，则(2)5f x +>的解集为（）A ．(,5)(5,)-∞-+∞UB ．(,5)(3,)-∞-+∞UC ．(,7)(3,)-∞-+∞UD ．(,7)(2,)-∞-+∞U【答案】C【解析】【分析】根据偶函数以及当0x …时，2()4f x x x =+,可得0x ≥时的表达式,由此求得(2)(|2|)f x f x +=+,再代入可解得.【详解】∵()f x 是定义域为R 的偶函数，∴当0x ≥时，0x -≤,所以22()()()4()4f x f x x x x x =-=-+-=-. 由()25f x +>以及()f x 为偶函数，得(|2|)5f x +>， ∴2|2|4|2|5x x +-+>，所以(|2|5)(|2|1)0x x +-++>, 因为|2|10x ++>, 所以|2|5x +>,所以25x +>或25x +<-, 解得7<-x 或 3.x > 故选C 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式,绝对值不等式的解法,属于中档题.5．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（）A ．3B ．13C ．2D 【答案】D 【解析】【分析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =a ，b 关系，代入即可．【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b为平面上一点，||OM =所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号，222213b e a =-=，e =．故选D ．【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．6．已知命题p ：不等式11x m ->-的解集为R ，命题q ：()(52)x f x m =--是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是（） A ．1≤m≤2 B ．1≤m<2C ．1<m≤2D ．1<m<2【答案】B 【解析】【分析】若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，化简p,q 为真时，对应m 的取值范围，然后按p 真q 假或p 假q 真求解即可. 【详解】若p 为真时，10m -<，即1m < ，若q 为真时，521m ->，即2m <，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，12m m <⎧⎨≥⎩ ，无解，若p 假q 真时，12m m ≥⎧⎨<⎩，即 12m ≤<，故选B.【点睛】本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.7．已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ，则二项式1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中x 2项的系数为( ) A ．11 B ．20 C ．15 D ．16 【答案】C 【解析】【分析】由题意利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中x 2项的系数．【详解】∵f （x ）=|x+2|+|x ﹣4|≥|（x+2）﹣（x ﹣4）|=6，故函数的最小值为6，再根据函数的最小值为n ，∴n=6．则二项式（x ﹣1x ）n =（x ﹣1x）6 展开式中的通项公式为 T r+1=6r C •（﹣1）r •x 6﹣2r ，令6﹣2r=2，求得r=2，∴展开式中x 2项的系为26C =15，故选：C ．【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数，属于中档题．8．325x -≥不等式的解集是（） A ．{|1}x x ≤- B ．{|14}x x -≤≤C ．{|14}x x x ≤-≥或D ．{|4}x x ≥【答案】C 【解析】【分析】根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.9．不等式|1||2|x x a +--<无实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(,3)-∞ B ．(3,)-+∞ C ．(,3]-∞- D ．(,3)-∞-【答案】C 【解析】【分析】利用绝对值不等式的性质||||||a b a b -≤-，因此得出||||a b -的范围，再根据无实数解得出a 的范围。

2011—2018高考全国卷Ⅰ文科数学不等式选讲汇编含解析已编辑直接打印

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编不等式选讲一、解答题【2018，23】23. [选修4—5：不等式选讲]已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围．【2017，23】已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．【2016，23】已知函数321)(--+=x x x f ．（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像；（Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集．【2015，24】已知函数()12,0f x x x a a =+-->.（I ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【2014，24）】若0,0a b >>，且11a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.【2013，24】已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．当()1x∈-∞-，时，()g x单调递减，()f x单调递增，且()()112g f-=-=．综上所述，()()f xg x≥解集1711⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，．（2）依题意得：242x ax-++≥在[]11-，恒成立．即220x ax--≤在[]11-，恒成立．则只须()()2211201120aa⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩≤≤，解出：11a-≤≤．故a取值范围是[]11-，．【2016，23】已知函数321)(--+=xxxf．（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(xfy=的图像；（Ⅱ）求不等式1)(>xf的解集．【解析】：⑴如图所示：⑵()4133212342x xf x x xx x⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥,()1f x>,①1x-≤，41x->，解得5x>或3x<,1x-∴≤②312x-<<，321x->，解得1x>或13x<，113x-<<∴或312x<<③32x≥，41x->，解得5x>或3x<，332x<∴≤或5x>xyO11综上，13x <或13x <<或5x >()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，【2015，24】已知函数()12,0f x x x a a =+-->.（I ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.解析：（I ）（方法一）当1a =时，不等式()1f x >可化为1211x x +-->，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<.（方法二）当1a =时，不等式()1f x >可化为1211x x +-->，结合绝对值的几何意义，不等式的含义为：数轴上一点x 到点1-的距离与它到1的距离的2倍之差大于1.设点x 到1-的距离为1d ，到1的距离为2d ，结合数轴可知：若x 在[1,1]-内，则有1212221d d d d +=⎧⎨->⎩解得213d <；故2(,1]3x ∈. 若x 在(1,)+∞内，则有1212221d d d d -=⎧⎨->⎩解得21d <；故(1,2)x ∈.综上可得223x <<. （Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +.由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >.所以a 的取值范围为（2，+∞）.-11x-1 1x【2014，24）】若0,0a b >>，且11a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 【解析】：(Ⅰ)11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故3342a b+≥=，且当a b ==∴33a b +的最小值为……5分（Ⅱ）由623a b =+≥32ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾，所以不存在,a b ，使得236a b +=成立. ……………10分【2013，24】已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －2，即43a ≤.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.【2012，24】已知函数()|||2|f x x a x =++-。

高考数学真题与解析-不等式选讲

专题十五不等式选讲考点一绝对值不等式的解法1.(2018课标Ⅱ文,23,10分)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a 的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=2+4,≤-1,2,-1<≤2,-2+6,>2.可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a 的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).方法总结解含有两个或两个以上绝对值的不等式,常用零点分段法或数形结合法;若函数中含有两个或两个以上的绝对值,在求函数最值时,常用绝对值三角不等式或数形结合法求解.2.(2017课标Ⅲ理,23,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x 2-x+m 的解集非空,求m 的取值范围.解析本题考查绝对值不等式的解法.(1)f(x)=-3,<-1,2t1,-1≤≤2,3,>2.当x<-1时,f(x)≥1无解;当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2;当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.(2)由f(x)≥x 2-x+m 得m≤|x+1|-|x-2|-x 2+x.而|x+1|-|x-2|-x 2+x≤|x|+1+|x|-2-x 2+|x|=-+54≤54,且当x=3时,|x+1|-|x-2|-x 2+x=5.故m 的取值范围为-∞思路分析(1)分段讨论,求得符合题意的x 的取值范围,最后取并集.(2)不等式的解集非空,即不等式能成立,转化为求函数的最值处理.3.(2016课标Ⅰ理,24,10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.解析(1)f(x)=t4,≤-1,3t2,-1<≤32,-+4,>32,(3分)y=f(x)的图象如图所示.(5分)(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;(6分)当f(x)=-1时,可得x=13或x=5,(7分)故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为Ux <13或x >5.(9分)所以|f(x)|>1的解集为Ux <13或1<x <3或x >5.(10分)评析本题考查选修4—5部分不等式的内容.其中对不等式与函数、方程的关系,进行了重点考查.本题第(1)问中对分段函数的描述是解第(2)问不等式的关键,完美地展示了函数、方程、不等式之间的关系.4.(2016课标Ⅲ理,24,10分)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求a 的取值范围.解析(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(5分)(2)当x∈R 时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当x∈R 时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①(7分)当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a 的取值范围是[2,+∞).(10分)方法总结(1)解含一个绝对值不等式利用|m(x)|≤n ⇔-n≤m(x)≤n 求解即可;(2)解决f(x)+g(x)≥3恒成立,只需f(x)+g(x)的最小值≥3即可,利用|x|+|y|≥|x±y|来求最值即可.评析本题主要考查了绝对值不等式的解法及不等式恒成立问题,要f(x)+g(x)≥3恒成立,只需f(x)+g(x)的最小值≥3即可.5.(2015课标Ⅰ理,24,10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得23<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为<x <2.(2)由题设可得,f(x)=t1-2s <-1,3+1-2s-1≤≤s -+1+2s >u所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC 的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a 的取值范围为(2,+∞).6.(2014课标Ⅱ理,24,10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.解析(1)证明:由a>0,得f(x)=+1-(x-a)=1+a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)=3当a>3时,f(3)=a+1,由f(3)<5得当0<a≤3时,f(3)=6-a+1,由f(3)<5综上,a评析本题考查了含绝对值不等式的解法,考查了分类讨论思想.7.(2014辽宁,24,10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1,记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(1)求M;(2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤14.解析(1)f(x)=3t3,∈[1,+∞),1-s∈(-∞,1).当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤43,故1≤x≤43;当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集为M=U0≤x≤3(2)证明:由g(x)=16x2-8x+1≤4得16t≤4,解得-14≤x≤34.因此N=U-14≤x≤故M∩N=U0≤x≤当x∈M∩N时,f(x)=1-x,于是x2f(x)+x·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=x·f(x)=x(1-x)=14-t≤14.8.(2013课标Ⅰ理,24,10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x∈-2,f(x)≤g(x),求a 的取值范围.解析(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=-5s x <12,-t2,12≤x ≤1,3t6,>1.其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x∈-2,f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a-2对x∈-2.故-2≥a-2,即a≤43.从而a 的取值范围是9.(2012课标理,24,10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围.解析(1)当a=-3时,f(x)=-2+5,x ≤2,1,2<<3,2t5,≥3.当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时,f(x)≥3无解;当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4,所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}.(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].评析本题考查了含绝对值不等式的解法,运用分类讨论解含绝对值的不等式,考查了学生的运算求解能力.10.(2011课标,24,10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.解析(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.由此可得x≥3或x≤-1.故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0.此不等式化为不等式组≥s t+3≤0或<s t+3≤0,即≥s≤4或<s≤-2.因为a>0,所以不等式组的解集为Ux≤由题设可得-2=-1,故a=2.评析本题考查绝对值不等式的解法和分类讨论的数学思想方法,属中等难度题.考点二不等式的证明1.(2015课标Ⅱ理,24,10分)选修4—5:不等式选讲设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则+>+;(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明(1)因为(+)2=a+b+2B,(+)2=c+d+2B,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+>+.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+>+.(ii)若+>+,则(+)2>(+)2,即a+b+2B>c+d+2B.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.2.(2015湖南理,16(3),6分)选修4—5:不等式选讲设a>0,b>0,且a+b=1+1.证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.证明证明:由a+b=1+1=r B,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2B=2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.评析本题考查基本不等式的应用、一元二次不等式的解法、反证法等知识.难度不大.3.(2014课标Ⅰ理,24,10分)选修4—5:不等式选讲若a>0,b>0,且1+1=B.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解析(1)由B=1+1≥得ab≥2,且当a=b=2时等号成立.故a3+b3≥233≥42,且当a=b=2时等号成立.所以a3+b3的最小值为42.(2)由(1)知,2a+3b≥26B≥43.由于43>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.4.(2013课标Ⅱ理,24,10分)选修4—5:不等式选讲设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca≤13;(2)2+2+2≥1.证明(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.(2)因为2+b≥2a,2+c≥2b,2+a≥2c,故2+2+2+(a+b+c)≥2(a+b+c),即2+2+2≥a+b+c.所以2+2+2≥1.。

2018年高考数学专题14不等式选讲教学案文

专题14 不等式选讲【2018年高考考纲解读】本讲内容在高考中主要考查绝对值不等式的性质，绝对值不等式的解法以及不等式证明问题，其中绝对值不等式的解法常与集合及不等式恒成立等结合在一起综合考查.求解时要注意去掉绝对值符号的方法，绝对值的几何意义以及转化与化归、数形结合思想的应用.高考对本内容的考查主要有：(1)含绝对值的不等式的解法；B 级要求． (2)不等式证明的基本方法；B 级要求． (3)利用不等式的性质求最值；B 级要求． (4)几个重要的不等式的应用．B 级要求. 【重点、难点剖析】1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． 2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式． 3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1na 2i )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n b 2i ≥(∑i ＝1na ib i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…， n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．5．绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.需要灵活地应用． 6．不等式的性质，特别是基本不等式链 11a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)，在不等式的证明和求最值中经常用到．7．证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法．另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.【题型示例】题型一含绝对值不等式的解法【例1】【2017课标3，文23】已知函数()f x =│x +1│–│x –2│. （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）[1,)+∞；（2）5(,]4-∞【变式探究】【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲已知函数()123f x x x =+--.（I ）在答题卡第（24）题图中画出()y f x =的图像；（II ）求不等式()1f x >的解集．【答案】（I ）见解析（II ）()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，【解析】⑴如图所示：⑵ ()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥()1f x >,当1x -≤,41x ->,解得5x >或3x <,1x -∴≤当312x -<<,321x ->,解得1x >或13x < 113x -<<∴或312x <<当32x ≥,41x ->,解得5x >或3x <,332x <∴≤或5x >综上,13x <或13x <<或5x >,()1f x >∴,解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，【变式探究】(2015·江苏，21(D))解不等式 x ＋|2x ＋3|≥2.解原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2. 解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－5或x ≥－13.【变式探究】 (2015·重庆，16)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________.答案 4或－6【变式探究】(2014·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．【命题意图】本题主要考查绝对值三角不等式与基本不等式的应用，含绝对值的不等式的解法，意在考查考生的运算求解能力与分类讨论思想的应用．【解题思路】(1)利用“绝对值三角不等式”进行放缩，结合基本不等式即得证． (2)明确不等式后解关于a 的绝对值不等式，再分类讨论求解即可．【感悟提升】1．用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．2．用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．3．求解绝对值不等式恒成立问题的解析(1)可利用绝对值不等式的性质求最值或去掉绝对值号转化为分段函数求最值．(2)结合“a ≥f (x )恒成立，则a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立，则a ≤f (x )min ”求字母参数的取值范围．【举一反三】(2015·陕西，24)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}． (1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．题型二不等式的综合应用例2、【2017课标1，文23】已知函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ．（1）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；（2）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）{|1x x -<≤；（2）[1,1]-．2. 【2017课标II ，文23】已知330,0,2a b a b >>+=。

2018年高考数学分类汇编：不等式

E 单元不等式E1 不等式的概念与性质 E2 绝对值不等式的解法 E3 一元二次不等式的解法 E4 简单的一元高次不等式的解法E5 简单的线性规划问题14.E5【2018·全国卷Ⅰ】若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，，，则32z x y =+的最大值为 . 14.【答案】6【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线y=-32x+z2经过点A （2，0）时，z 最大，所以z max =3×2+2×0=6.14.E5【2018·全国卷Ⅱ】若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，则z=x+y 的最大值为 . 14.【答案】9【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.当直线y x z =-+过点A （5，4）时，直线的纵截距z 最大，所以max 549z =+=.15.E5【2018·全国卷Ⅲ】若变量x ，y 满足约束条件23024020x y x y x ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，则13z x y =+的最大值是 .15.3 【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由图易知目标函数在点A （2，3）处取得最大值，最大值为2+13×3=3.12.E5【2018·浙江卷】若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，则z=x+3y 的最小值是，最大值是 . 12.【答案】2-；8【解析】作出如图中阴影部分所示的可行域，易知A （2，2），B （4，-2），C （1，1），目标函数表示斜率为-13的一组平行直线.由图可知，当直线x+3y-z=0经过点A 时，z 取得最大值，最大值为2+3×2=8；当直线x+3y-z=0经过点B 时，z 取得最小值，最小值为()4322+⨯-=-.13.E5【2018·北京卷】若x ，y 满足x+1≤y ≤2x ，则2y-x 的最小值是 .13.3 【解析】 x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，联立{y =x +1，y =2x ，得交点坐标为（1，2），由图可知，当目标函数z=2y-x 过点（1，2）时，z 有最小值，z min =2×2-1=3.E6 2a b+≤13.E6【2018·天津卷】已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则123ab+的最小值为 . 【解题提示】运用基本不等式求解. 【答案】14【解析】由已知得36a b -=-，由基本不等式得1122284a b +≥==（当且仅当a=-3b=-3时取等号）.E7 不等式的证明方法E8 不等式的综合应用 E9 单元综合8.E9【2018·北京卷】设集合A={（x ，y ）|x-y ≥1，ax+y>4，x-ay ≤2}，则（） A.对任意实数a ,(2,1)∈A B.对任意实数a ,(2,1)∉A C.当且仅当a<0时,(2,1)∉A D.当且仅当a ≤32时,(2,1)∉A8.D 【解析】当a=0时，A 为空集，排除A ；当a=2时，（2，1）∈A ，排除B ；当a=32时，作出可行域如图中阴影部分所示，由x y 13x y 42-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得P （2，1），又∵ax+y>4，取不到边界值，∴（2，1）∉A.故选D.1.【2018·北京通州区期末】已知a ，b ∈R ，a>b>0，则下列不等式一定成立的是（） A . 1a >1b B . tan a>tan b C . |log 2a|>|log 2b| D . a ·2-b >b ·2-a1.D 【解析】对于A ，a>b>0，则1a <1b ，故不成立；对于B ，不妨设a=3π4>b=π4>0，则tan 3π4=-1，tan π4=1，故不成立；对于C ，不妨设a=2，b=14，则|log 2a |=1，|log 2b |=2，故不成立.故选D . 2.【2018·唐山五校联考】已知不等式x 2-bx-a ≥0的解集是{x|x ≤2或x ≥3}，则不等式ax 2-bx-1>0的解集是（） A .{x|2<x<3} B .{x |-12<x <-13} C .{x |13<x <12} D .{x |x <13或x <12}2.B 【解析】 ∵不等式x 2-bx-a ≥0的解集是{x|x ≤2或x ≥3}，∴x 2-bx-a=0的解是x 1=2和x 2=3，∴{2+3=b ，2×3=-a ，解得{a =-6，b =5，则不等式ax 2-bx-1>0即为-6x 2-5x-1>0，解得{x |-12<x <-13}. 3.【2018·遵义联考】已知O 是坐标原点，点A （-1，1），若点M （x ，y ）为平面区域{x +y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 . 3.【0，2】【解析】设z=OA⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗ =-x+y.在直角坐标系内作出可行域如图所示.由图可知，当直线z=-x+y 经过可行域内点C （0，2）时，z 有最大值，即（OA ⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗ ）max =-0+2=2；当直线z=-x+y 经过可行域内点A （1，1）时，z 有最小值，即（OA ⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗ ）min =-1+1=0.所以OA ⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为【0，2】.4. 【2018·衡水一中月考】若x ，y 都是正数，且x+y=3，则4x+1+1y+1的最小值为 .4.95 【解析】设m=x+1，n=y+1.∵x+y=3，∴{x =m -1，y =n -1，则m+n=5，∴4x+1+1y+1=4m +1n =(4m +1n )(m 5+n5)=45+4n 5m +m5n +15≥1+2√4n 5m·m 5n =95，当且仅当m=103，n=53，即x=73，y=23时取等号.。

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第十四章鸭部分14.4坐标系与参数方程第1课时绝对值不等式课件理

2 a －1 ，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)， A ， 0 3
2 △ABC 的面积为3(a＋1)2. 2 由题设得3(a＋1)2>6，故 a>2. 所以a的取值范围为(2，＋∞).
思维升华
解绝对值不等式的基本方法有 (1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.
∅
(－∞，0)∪ (0，＋∞)
∅
|x|>a
R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c ； ②|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c ； (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
为不等式 f(x)<2
的解集.
(1)求M；
解答
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
证明
由(1)知，当a，b∈M时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0，即(a＋b)2<(1＋ab)2，因此|a＋b|<|1＋ab|.
(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.

2018--2020年高考数学试题分类汇编不等式选讲附答案详解

2018-2020年高考数学试题分类汇编不等式选讲1、（2018年高考全国卷1文理科第23题）（10分）已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|=，由f（x）＞1，∴或，解得x＞，故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即|ax﹣1|＜1，∴﹣1＜ax﹣1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈（0，1），∴a＞0，∴0＜x＜，∴a＜∵＞2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为（0，2]．2、（2018年高考全国卷II文理科第23题）[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=．当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤1，当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，（2）∵f（x）≤1，∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，∴|x+a|+|x﹣2|≤4，∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|，∴|a+2|≤4，即﹣4≤a+2≤4，解得﹣6≤a≤2，故a的取值范围[﹣6，2]．3、（2018年高考全国卷III文理科第23题）[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．（1）画出y=f（x）的图象；（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．【解答】解：（1）当x≤﹣时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x，当﹣＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2，当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x，则f（x）=对应的图象为：画出y=f（x）的图象；（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，当x=0时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2，当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上，∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，且各部分直线的斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，即a+b的最小值为5．4、（2018年高考江苏卷第24题）[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z=6，求x 2+y 2+z 2的最小值．【解答】解：由柯西不等式得（x 2+y 2+z 2）（12+22+22）≥（x +2y +2z ）2， ∵x +2y +2z=6，∴x 2+y 2+z 2≥4 是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，∴x 2+y 2+z 2的最小值为45、（2019全国III 卷文理科）[选修4-5：不等式选讲]（10分）设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 解：（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43. （2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．6、（2019全国II 卷文理科）[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1]x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 解：（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞. （2）因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x ----- 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.7、（2019全国I 卷文理科）[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．解：（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥. 8、（2019江苏卷21C ）C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <-13；当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解；当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或. 9、（2020•全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．（1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．答案：（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 解析：（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象；（2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出．解：（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭． 10、（2020•全国2卷）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围. 答案：（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.解析：（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 解：（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭. （2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a aa a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥， a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.11、（2020•全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析.解析：（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 解：（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .12、（2020•江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．答案：22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果解：因为1224x x x <-⎧⎨---≤⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

2018年高考数学总复习选考部分不等式选讲

知识梳理考点自测
-4-
2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a(a>0)的解法:
①|x|<a⇔-a<x<a;②|x|>a⇔x>a或x<-a.
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
①|ax+b|≤c⇔ -c≤ax+b≤c ; ②|ax+b|≥c⇔ ax+b≥c或ax+b≤-c .
考点四
-10-
解绝对值不等式及求参数范围(多考向) 考向1 分离参数法求参数范围
例1(2017全国Ⅲ,文23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集; (2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.
考点一
考点二
考点三
考点四
-11-
-3,�� < -1,
解 (1)f(x)= 2��-1,-1 ≤ �� ≤ 2,当 x<-1 时,f(x)≥1 无解;
3,�� > 2
当-1≤x≤2 时,由 f(x)≥1 得,2x-1≥1,解得 1≤x≤2;
当 x>2 时,由 f(x)≥1 解得 x>2.
所以 f(x)≥1 的解集为{x|x≥1}.
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2.
解 (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b)≤2+3(��+4 ��)2(a+b)=2+3(��+4 ��)3, 当 a=b 时,取等号, 所以(a+b)3≤8,因此 a+b≤2.

2018年高考数学—不等式专题

不等式(必修 5P80A3 改编 )若对于 x 的一元二次方程 x2－(m＋ 1)x－ m＝ 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ________.分析由题意知＝ [(m＋ 1)]2＋＞即2＋＋＞，4m 0. m 6m 1 0解得 m＞－ 3＋2 2或 m＜－ 3－2 2.答案(－∞，－ 3－2 2)∪(－3＋2 2，＋∞ )x－ y＋1≥0，(2016 ·全国Ⅱ卷 )若x，y 知足拘束条件x＋ y－3≥0，则z＝x－ 2y 的最小值为x－ 3≤ 0，________.分析画出可行域，数形联合可知目标函数的最小值在直线x＝ 3与直线 x－y＋1＝0 的交点 (3， 4)处获得，代入目标函数z＝x－2y获得－ 5.答案－52x－ y＋1≥0，(2016 ·全国Ⅲ卷 )设 x， y 知足拘束条件x－2y－1≤0，则＝z 2x x≤1，＋3y－5 的最小值为 _____.分析画出不等式组表示的平面地区如图中暗影部分所示.由题意可知，2 5 z当直线 y＝－3x＋3＋3过点 A(－1，－1)时，z获得最小值，即 z min＝2×(－ 1)＋3×(－1)－5＝－ 10.2x － y ≤ 0，(2017 ·西安检测 )已知变量 x ， y 知足 x －2y ＋ 3≥ 0，x ≥0，则 z ＝( 2)2x ＋y的最大值为 ________.分析作出不等式组所表示的平面地区，如图暗影部分所示.令 m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线 y ＝－ 2x ＋ m 经过点 A 时，直线 y ＝－ 2x ＋m 的纵截距最大，此时 m 最大，故 z 最大 .由2x －y ＝0，x ＝1，x － 2y ＋3＝0，解得y ＝2，即 A(1，2).代入目标函数 z ＝( 2)2x ＋y得， z ＝ ( 2)2×1＋2＝4.答案42x －y ≤0， (2016·北京卷若，知足 x ＋ y ≤ 3，则 2x ＋ y 的最大值为 ())x yx ≥0，A.0B.3C.4D.5分析画出可行域，如图中暗影部分所示，令 z ＝ 2x ＋y ，则 y ＝－ 2x ＋ z ，当直线 y ＝－ 2x ＋ z 过点 A(1，2)时， z 最大， z max ＝ 4.答案 Cx ＋y ≤2， (2016 ·山东卷 )若变量 x ，y 知足 2x －3y ≤ 9，则 x 2＋ y 2的最大值是 ()x ≥0，A.4B.9C.10D.12分析作出不等式组所表示的平面地区，如图(暗影部分 )所示，x 2＋y 2 表示平面地区内的点到原点的距离的平方，由图易知平面地区内的点 A(3，－1)到原点的距离最大 .因此 x 2＋y 2 的最大值为32＋(－1)2＝10.答案Cx y(2015 ·福建卷 )若直线 a ＋ b ＝ 1(a ＞0，b ＞0)过点 (1，1)，则a ＋b 的最小值等于()A.2B.3C.4D.5x y1 1分析由于直线 a ＋b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点 (1，1)，因此 a ＋b ＝1.因此＋＝＋ 1 1 a b a b ＝＝时取 · ＋ ≥2＋2 ·＝，当且仅当 2a b (a b) a b ＝2＋b ＋a b a4a b“＝”，应选 C.答案 Cb 4a的最小值为 () (2016 ·合肥二模 )若 a ， b 都是正数，则 1＋a · 1＋ b A.7 B.8 C.9 D.10分析 ∵a ，b 都是正数，∴ 1＋ b 1＋ 4a b 4ab 4a a b ＝5＋＋ b ≥5＋2 · ＝9，当且仅a a b当 b ＝ 2a>0 时取等号 .应选 C.答案 C1 2(2015 ·湖南卷 )若实数 a ，b 知足 a ＋ b ＝ ab ，则 ab 的最小值为 ()A. 2B.2C.2 2D.4分析1 2 2 2 2依题意知 a ＞0，b ＞0，则＋ ≥ 2 ＝，a babab1 2当且仅当a＝b，即 b＝ 2a 时，“ ＝”建立 .1 2 2 22，由于＋＝ ab，因此ab≥，即 ab≥2a b ab因此 ab 的最小值为 2 2，应选 C 答案 C。

2018年高考数学分类汇编：专题14不等式选讲

《2018年高考数学分类汇编》第十四篇：不等式选讲解答题1.【2018全国一卷23】已知()|1||1|f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.2.【2018全国二卷23】设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．()5|||2|f x x a x =-+--1a =()0f x ≥()1f x ≤a3.【2018全国三卷23】设函数．（1）画出的图像；（2）当，，求的最小值．4.【2018江苏卷21D 】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．()211f x x x =++-()y f x =[)0x +∞∈，()f x ax b +≤a b+参考答案解答题1.解：（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．2.解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．3.解：（1）的图像如图所示． 1a =24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩()0f x ≥{|23}x x -≤≤()1f x ≤|||2|4x a x ++-≥|||2||2|x a x a ++-≥+2x =()1f x ≤|2|4a +≥|2|4a +≥6a ≤-2a ≥a (,6][2,)-∞-+∞U 13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．4.证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4．()y f x =y 233a ≥2b ≥()f x ax b ≤+[0,)+∞a b +5。

2018版高考数学一轮复习选修系列14.2不等式选讲理

选修4-5 不等式选讲一、填空题1．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x ＞x －2x 的解集是________．解析由绝对值的意义知，原不等式同解于x －2x ＜0，即x (x －2)＜0，∴0＜x ＜2.答案 (0，2)2．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R}，B ＝{x ||x －b |＞2，x ∈R}．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足________．解析由|x －a |＜1得a －1＜x ＜a ＋1.由|x －b |＞2得x ＜b －2或x ＞b ＋2.∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2，即a －b ≥3或a －b ≤－3，∴|a －b |≥3.答案 |a －b |≥33．对于x ∈R ，不等式|x ＋10|－|x －2|≥8的解集为________．解析法一 (零点分段法)由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－10，－x －10＋x －2≥8或⎩⎪⎨⎪⎧ －10＜x ＜2，x ＋10＋x －2≥8或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋10－x ＋2≥8，解得x ≥0，故原不等式的解集为{x |x ≥0}．法二 (几何意义法)如图，在数轴上令点A 、B 的坐标分别为－10，2，在x 轴上任取一点P ，其坐标设为x ，则|PA |＝|x ＋10|，|PB |＝|x －2|，观察数轴可知，要使|PA |－|PB |≥8，则只需x ≥0.故原不等式的解集为{x |x ≥0}．答案 {x |x ≥0}4．若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3.所以只需a ≤3即可．答案 (－∞，3]5．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是________．解析 ∵log x y ＝－2，∴y ＝1x 2， ∴x ＋y ＝x ＋1x 2＝x 2＋x 2＋1x 2≥3314＝3232. 答案 3232 6．设不等式x ＋y ≤a x ＋y 对一切x ＞0，y ＞0恒成立，求实数a 的最小值为________．解析原题即a ≥x ＋y x ＋y对一切x ＞0，y ＞0恒成立．设A ＝x ＋y x ＋y， A 2＝x ＋y ＋2xy x ＋y ＝1＋2xy x ＋y≤2，当x ＝y 时等号成立，∵A ＞0， ∴0＜A ≤ 2.即A 有最大值 2. ∴当a ≥2时，x ＋y ≤a x ＋y 对一切x ＞0，y ＞0成立．∴a 的最小值为 2.答案 27．若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析 ∵a ≥x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3对任意x ＞0恒成立，设u ＝x ＋1x ＋3， ∴只需a ≥1u恒成立即可． ∵x ＞0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)．由u ≥5，知0＜1u ≤15，∴a ≥15. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 8．已知h ＞0，a ，b ∈R ，命题甲：|a －b |＜2h ：命题乙：|a －1|＜h 且|b －1|＜h ，则甲是乙的________条件．解析 |a －b |＝|a －1＋1－b |≤|a －1|＋|b －1|＜2h ，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件．答案必要不充分二、解答题9．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. 解 (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得 a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9. 10．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明法一：因为a ，b ，c 均为正数，由均值不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23. 又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac .所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ①同理1a ＋1b ＋1c ≥1ab ＋1bc ＋1ac② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2 ≥ab ＋bc ＋ac ＋31bc ＋31ab ＋31ac≥6 3.③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．。

2018版高考数学大一轮复习第十四章选考部分 14.2 不等式选讲第1课时绝对值不等式教师用

第1课时绝对值不等式1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：(2)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ；(3)|x －a |＋|x －b|≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a ，b 是实数，则|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． (2)如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．1．(2015·山东改编)解不等式|x －1|－|x －5|<2的解集．解 ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1.②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4，∴1<x <4，③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)．2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，求实数a 的取值范围．解 ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.3．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，5≥y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12].题型一绝对值不等式的解法例1 (2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2.(2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．思维升华解绝对值不等式的基本方法有：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．(1)解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集．(2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为{x |－53<x <13}，求a 的值．解 (1)当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解；当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2. 综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}． (2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5. 当a >0时，－1a <x <5a，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，5a <x <－1a，又不等式的解集为{x |－53<x <13}，故a ＝－3.题型二利用绝对值不等式求最值例2 (1)对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值． (2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值．解 (1)∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1，|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3. ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.(2)|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |；(3)利用零点分区间法．(1)(2016·深圳模拟)若关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解，求d 的取值范围．(2)不等式|x ＋1x|≥|a －2|＋sin y 对一切非零实数x ，y 均成立，求实数a 的取值范围．解 (1)∵|2 014－x |＋|2 015－x |≥|2 014－x －2 015＋x |＝1， ∴关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解时，d ≥1. (2)∵x ＋1x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴|x ＋1x|∈[2，＋∞)，其最小值为2.又∵sin y 的最大值为1，故不等式|x ＋1x|≥|a －2|＋sin y 恒成立时，有|a －2|≤1，解得a ∈[1,3]．题型三绝对值不等式的综合应用例3 (2017·石家庄调研)设函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<－1；(2)设函数g (x )＝|x ＋a |－4，且g (x )≤f (x )在x ∈[－2,2]上恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3，故由不等式f (x )<－1可得x >3或⎩⎪⎨⎪⎧2－2x <－1，－1≤x ≤3.解得x >32.(2)函数g (x )≤f (x )在x ∈[－2,2]上恒成立，即|x ＋a |－4≤|x －3|－|x ＋1|在x ∈[－2,2]上恒成立，在同一个坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图象，如图所示．故当x ∈[－2,2]时，若0≤－a ≤4时，则函数g (x )在函数f (x )的图象的下方，g (x )≤f (x )在x ∈[－2,2]上恒成立，求得－4≤a ≤0，故所求的实数a 的取值范围为[－4,0]．思维升华 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4. 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0].1．在实数范围内，求不等式||x －2|－1|≤1的解集．解由||x －2|－1|≤1得－1≤|x －2|－1≤1，解⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥0，|x －2|≤2得0≤x ≤4.∴不等式的解集为[0,4]．2．不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．解由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.3．对于任意实数a ，b ，已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，求实数m 的取值范围．解因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1，所以|3a －3b |≤3，|a －12|≤12，所以|4a －3b ＋2|＝|(3a －3b )＋(a －12)＋52|≤|3a －3b |＋|a －12|＋52≤3＋12＋52＝6，即|4a －3b ＋2|的最大值为6，所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6.4．已知f (x )＝|x －3|，g (x )＝－|x －7|＋m ，若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围．解由题意，可得不等式|x －3|＋|x －7|－m >0恒成立，即(|x －3|＋|x －7|)min >m ，由于x 轴上的点到点(3,0)和点(7,0)的距离之和的最小值为4，所以要使不等式恒成立，则m <4. 5．(2016·江苏)设a ＞0，||x －1＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a .证明由a ＞0，|x －1|＜a 3可得|2x －2|＜2a3，又|y －2|＜a3，∴|2x ＋y －4|＝|(2x －2)＋(y －2)|≤|2x －2|＋|y －2|＜2a 3＋a3＝a .即|2x ＋y －4|＜a .6．已知关于x 的不等式|2x －m |≤1的整数解有且仅有一个值为2，求关于x 的不等式|x －1|＋|x －3|≥m 的解集．解由不等式|2x －m |≤1，可得m －12≤x ≤m ＋12，∵不等式的整数解为2， ∴m －12≤2≤m ＋12，解得3≤m ≤5.再由不等式仅有一个整数解2，∴m ＝4. 本题即解不等式|x －1|＋|x －3|≥4，当x <1时，不等式等价于1－x ＋3－x ≥4，解得x ≤0，不等式解集为{x |x ≤0}．当1≤x ≤3时，不等式等价于x －1＋3－x ≥4，解得x ∈∅，不等式解集为∅.当x >3时，不等式等价于x －1＋x －3≥4，解得x ≥4，不等式解集为{x |x ≥4}．综上，原不等式解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)． 7．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x <13或1<x <3或x >5.8．已知函数f (x )＝|x ＋3|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≥|a －4|有解，求a 的取值范围．解 (1)f (x )＝|x ＋3|－|x －2|≥3，当x ≥2时，有x ＋3－(x －2)≥3，解得x ≥2；当x ≤－3时，－x －3＋(x －2)≥3，解得x ∈∅；当－3<x <2时，有2x ＋1≥3，解得1≤x <2. 综上，f (x )≥3的解集为{x |x ≥1}． (2)由绝对值不等式的性质可得，||x ＋3|－|x －2||≤|(x ＋3)－(x －2)|＝5，则有－5≤|x ＋3|－|x －2|≤5. 若f (x )≥|a －4|有解，则|a －4|≤5，解得－1≤a ≤9.所以a 的取值范围是[－1,9]． 9．(2016·全国丙卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．10．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0，∴原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)∵a >－1，则－a 2<12，∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1－a ， x <－a2，a ＋1，－a 2≤x <12，4x ＋a －1， x ≥12.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1，即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43，∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，43.。

2018版高考数学大一轮复习第十四章选考部分14.2不等式选讲第2课时不等式的证明教师用

第2课时不等式的证明基础知识自主学习ET知识梳理-----------------------------i •不等式证明的方法（i）比较法：①作差比较法：知道a>b? a—b>0, a<b? a—b<0,因此要证明a>b只要证明a—b>0即可，这种方法称为作差比较法.②作商比较法：a a由a>b>0? b>1且a>0, b>0，因此当a>0, b>0时，要证明a>b,只要证明£>1即可，这种方法称为作商比较法.⑵综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫综合法.即“由因导果”的方法.⑶分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式（已知条件、定理等），从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫分析法.即“执果索因”的方法. （4）反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫做反证法.②在证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，此利于化简并使它与不等式的另一边的关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法.（5）数学归纳法：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n o的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：①证明当n= n o时命题成立；②假设当n= k （k € N，且k> n o）时命题成立，证明n= k+ 1时命题也成立.在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n o的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.2 •几个常用基本不等式(1) 柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a, b, c, d都是实数，则(a2+ b2)( c2+ d2) > (ac+ bd)2(当且仅当ad= bc时，等号成立).②柯西不等式的向量形式：设 a , 3是两个向量，则| a || 3 |》l a • 3 |，当且仅当3是零向量，或存在实数k,使a = k 3时，等号成立.③柯西不等式的三角不等式：设X i，y i，X2，y2，X3，y3€R,则.x i —X2 2+ y i —y2 2+X2—X3 2+ y2 —y3 2》x i —X3 2+ y i —y3 2.④柯西不等式的一般形式：设a i, a2, a3,…，a n, b i, b2, b3,…,b是实数，则(a i + a2+…+ a2)( b2+ b；+…+ b n) >( a i b i+ 弧+…十a n b n)2，当且仅当b = 0 ( i = i,2，…,n)或存在一个数k,使得a i= kb ( i = i,2，…，n)时，等号成立.(2) 算术一几何平均不等式若a i,比，…，a n为正数，则> a i a2…a n,当且仅当a i = a2= — = a n时，等号n v成立.考点自测i .设a, b, m n€ R,且a2+ b2= 5, ma^ nb= 5,求p m+ n2的最小值.解根据柯西不等式(m升nb) 2<( a2+ b2)( m+ n2)，得25< 5(吊+ n2) , m+ n2>5,寸吊+ n2的最小值为 5.2. 若a, b, c€ (0,+^)，且a+ b+ c= i，求-.a+ ,b+ c的最大值.解(・.a+ b+ c)2= (i x a+1x b+1x c)22 2 2W (i +1 + i )( a+ b+ c) = 3.i当且仅当a= b= c = 3时，等号成立..■.('■；a + p b + *;：c) W 3.故.a+；J b+ c的最大值为.3.11 13. ---------------------------------------------------- 设x>0, y>0,若不等式-+- + >0恒成立，求实数入的最小值.x y x + y解T x>0, y>0,11 y x 原不等式可化为—入w(+-)(x+ y) = 2+ +_.x月x yy x y x••• 2+ X + ->2+ 2 X • y = 4,当且仅当x = y 时等号成立.x y . x y—~Fx + y min = 4，即一入 w 4,入》一 4.x y题型分类深度剖析题型一用综合法与分析法证明不等式例1 (1)已知x , y 均为正数，且x >y ，求证：12x +x 2— 2xy + y 2 >2y + 3 ；⑵设 a ， b ， c >0 且 ab + be + ca = 1，求证：a + b + c > 3. 证明 ⑴ 因为x >0, y >0, x -y >0,12x +r2-2y = 2(x -y ) +2x — 2xy + y x — y ⑵ 因为a , b , e >0，所以要证a + b + e > 3, 只需证明(a + b + e )》3.2 2 2即证：a + b + e + 2( ab + be + ea )》3,而 ab + be + ea = 1,故需证明：2 2 2a +b + e + 2( ab + be + ea ) > 3( ab + be + ea ). 2 2 2即证：a + b + e > ab + be + ea .a 2 +b 2 b 2 + e 2 e 2+ a 2 2 2 2 ,,,ab + be + ea w — + — + — = a + b + e (当且仅当所以原不等式成立.思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.I 」叮：.I 设玄、b 、e 均为正数，且 a + b + e = 1,证明：1a 2b 2 e 2 (1) ab + be + ae w 3； (2) 7+ + 了> 1.=(x —y ) + (x — y ) +I x — yx — y2= 3, 1 ~2 2x — 2xy + y y + 3.a =b = e 时等号成立)成立.2所以2x +2 2 2 2 2 2证明 (1)由 a + b >2 ab , b + c >2 be , c + a >2 ac 得2 2 2a +b +c > ab + be + ca .由题设得(a + b + c ) 2= 1,即 a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 1.1 所以 3(ab + bc + ca ) < 1,即卩 ab + bc + ca w -. 32 . 2 2…ab c(2)因为匸 + b>2a , —+ c>2b , —+ a>2c ,b c a2 . 2 2丄，a b c故b + c + a +( a + b + c ) >2( a + b + c ), 2 . 2 2亦a b c 即匚+ — + —> a + b + c .b c a2 . 2 2a b c 所以匸+ —+—> 1. b c a题型二放缩法证明不等式丨 a + b || a | | b |例2若a , b € R 求证：右詁T 牯+估. 证明当| a + b | = 0时，不等式显然成立. 当| a + b |工0时，丄 1 1 由 0<| a + b | <1 a | + | b | ? >由 1 11|a + b | |a | + |b |‘ 1 二 1丨 a | +1 b |1 1 1 +1 a | +1 b |+ 1 1 + |a + b ||a | + | b ||a |, |b | 一 |a | |b |— 十 < 十 . 1 十 |a | 十 | b | 1十 | a | 十 | b | 1 十 | a | 1十 | b |思维升华（1）在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧•常见的放缩变换有：111112 12①变换分式的分子和分母，如产戸丁，产戸丁，.「kJk —1 , k>.k 厂k 十1.上面不等式中k € N *, k >1; ②利用函数的单调性;a a + m③真分数性质“若 0<a <b, m >0,则Fb ^m •（2）在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度.所以丨 a + b |1 + | a + b |证明由 2n >n +k >n （k — 1,2，…，n ），得棊十kT ，门汽川冷：-设1 1 1 12 <石十市十…十訂1n 1 1 1 n.°= —W + +…+ — V = 1. 22n n +1 n + 2 2n n •••原不等式成立. 题型三柯西不等式的应用例3已知x , y , z 均为实数.(1)若 x + y + z = 1，求证：•/3x + 1+z/3y + 2+・{3z + 3W3 J 3;2 2 2⑵ 若x + 2y + 3z = 6,求x + y + z 的最小值.(1)证明因为(3x + 1+ 3y + 2 + 3z + 3)2W (1 2+ 12+ 12)(3 x + 1 + 3y + 2+ 3z + 3) = 27. 所以-”;3x + 1+、j 3y + 2 +、j 3z + 3W3 3.2 1当且仅当x = 3, y =3, z = o 时取等号.⑵ 解因为 6= x + 2y + 3z W x 2 + y 2 + z 2 •1 + 4+ 9,所以 x + y + z > 18 当且仅当 x = 2= 3即x = 3, y = 6, z =号时,x + y + z 有最小值号. 思维升华（1）使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.（2）利用柯西不 1 1 1、.2 22 III22, _等式求最值的一般结构为：（a + a 2+・・・+ a“（云+ g +…+孑）》（1 + 1 +…+ 1） = n .在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.2zz + 2x + 3y证明由柯西不等式及题意得，2 2 2x y z(x + 2y + 3z + y + 2z + 3x + z + 2x + 3y )2• [( x + 2y + 3z ) + (y + 2z + 3x ) + (z + 2x + 3y )] >( x + y + z ) = 27. 又(x + 2y + 3z ) + (y + 2z + 3x ) + (z +当k = 1时,1 1 1 ，w <—: 2n n +1 n当k = 2时,WV当k = n 时,1 ，W 2n 1 1n + n跟踪训练3已知大于 1的正数x, y, z 满足x + y + z = 3 3.求证:2 2x y+ +x + 2y + 3z y + 2z + 3x2x + 3y) = 6( x+ y + z) = 18 3,+ + 亠込仝x + 2y+ 3z y+ 2z+ 3x z+ 2x + 3y 18 3 2 当且仅当x= y= z =时，等号成立课时作业1 .已知x + y = 1,求2x2+ 3y2的最小值.由柯西不等式(2 x2+ 3y2) •2 2 2 2 2 222 632226•••2x + 3y >，当且仅当2x= 3y ,即x=? y =时，等号成立.所以2x + 3y 的最小值为-55 5 51| a |2.设a + b = 2, b >0,当+ V 取得最小值时，求2| a | bb | a |2|a| ' b 4|a |，b 4| a | + 4haT + ~b ，由于 b >0,l al>0，所以即 a = — 2.2 2 23.设a 、b 、c 是正实数，且a +b +c =9求a +b +c 的最小值.解 v (a + b + c ) '-+2+ 2 |：归 b c /2.a 的值.解由于a + b = 2，所以丄+宜=杀+|a | a丄+宜>24|a | +b4|a|胃=1，因此当a >0时，話+早的最小值是* 1= I ；当a <0时,右+导的最小值是 1 3 ”4+ 1= 4.故2| ar b1+旦的最小值为3此时4| a |4 a <0,4'b |a |=[(a )2+ ( b )2+ ( c )2] •是 x + y + z =5 •已知△ ABC 勺三边长分别为b 2a, b , c .求证：+ 市口 + a +^》a +b +c .证明因为b +c — ac + a — b +a +b —c 1 [(b + c — a ) + (c + a — b ) + (a + b — c )] >(a + b + c )2,又 a + b + c >0.2a 所以一+b + c— a b 2 ■rr + >a + b + c (当且仅当吐口 =主—b a + b — cc + a — b a + b — c a b时取等6.已知a , b ,c € R,且 2a + 2b + c = 8,求(a — 1)2+ (b + 2)2+ (c — 3)2的最小值.解由柯西不等式得2 2 2 2(4 + 4+1) x [( a — 1) + (b + 2) + (c — 3) ] >[2( a — 1) + 2(b + 2) + c — 3],• 9[( a — 1)2+ (b + 2)2+ (c — 3)2] >(2 a + 2b + c — 1):•••2 a + 2b + c = 8,2 2 2 49 •••(a —1) + ( b + 2) + (c — 3) > —,当且仅当a — 1b + 2亍=〒=c — 3时等号成立,「•(a — 1) + ( b + 2) + ( c — 3)的最小值是497. (2015 •湖南)设 a >0, b >0，且 a + 1 1 b =a +b .证明：(1) a + b >2；⑵a 2 + a v 2与b 2 + b v 2不可能同时成立.1 1 a + b证明由 a + b = 1+ 1=石，a >0, b >0，得 ab =1.(1) 由基本不等式及 ab = 1，有a + b >2 ab = 2,即卩a + b >2. (2) 假设a 2 + a v 2与b 2 + b v 2同时成立，则由 a + a v 2 及 a > 0 得 0v a v 1；同理，0v b v 1,从而ab v 1,这与ab = 1矛盾.2 2 . .故a + a v 2与b + b v 2不可能同时成立.M 为不等式f (x )<2的解集(1)求 M8. (2016 •全国甲卷)已知函数f (x )=(2)证明：当a, b€ M时，|a+ b|<|l + ab|.1 「- 2x, x w —2,r1 1(1) 解f (x) = 1,—2<x<2,1i 2x, x > 2・1 当x w —2时，由f(x)<2 得一2x<2,1解得x>—1,所以，—1<x w - 2 ；t 1 1丄当一2<x<2时，f(x)<2 ；当x > j时，由f(x)<2 得2x<2，解得x<1,1 所以，—2<x<1.所以f(x)<2 的解集M= {x| —1<x<1}.⑵证明由(1)知，当a, b€ M时，一1<a<1,—1<b<1,从而(a+ b) —(1 + ab) = a + b —a b — 1 = (a —1)(1 —b )<0，即(a+ b) <(1 + ab)，因此| a+ b|<|1 + ab|.9. (1)关于x的不等式|x—3| + | x—4|< a的解集不是空集，求a的取值范围；2 2 2x y z⑵设x, y, z€ R,且——= 1，求x+ y + z的取值范围.16 5 4解(1) V| x—3| + |x —4| >|( x—3) —(x—4)1 = 1,且|x—3| + |x —4|< a的解集不是空集，••• a>1，即a的取值范围是(1 ,+s).(2) 由柯西不等式，得[4 2+ (何+ 22] •[(》2+ (聶)2+ (Z)2] >(4 X x + 艮打2X |)2“ 、2=(x+ y + z),即25X 1>( x + y+ z).•• 5》| x + y + z| , • —5w x + y + z w 5.•- x + y+ z的取值范围是[—5,5].10. 已知a, b€ (0,+^), a+ b= 1, X1, X2€ (0,+^).(1)求 +匚+—的取小值；a b X1X2(2)求证：(ax i + bx 2)( ax 2 + bx i ) > X 1X 2.^Cl ^(2 2且x i =x 2=1时，a +計航有最小值6.⑵证明方法一由a , b € (0,+^), a + b = 1,X i , X 2€(0,+B )，及柯西不等式可得:(ax 1 + bx 2)( ax 2 + bxj= [( ax 1)2 + (bx 2)2]•[( ax 2)2 + ~bx 1 )2] >^ax 1 •^^0X 2+bx 2 • bx"2 = (a X 1X 2 + b X 1X 2)2= X 1X 2,所以(ax 1 + bx 2)( ax 2 + bx" > X 1X 2. 方法二因为 a , b € (0,+^), a + b = 1, X 1, x ?€ (0,+^),222=X 1X 2( a + b + 2ab ) = X 1X 2(a + b ) = X 1X 2, 当且仅当X 1 = X 2时，取得等号所以(ax 1 + bx 2)( ax 2 + bx" > X 1X 2.(1)解因为a, b € (0 ,X 2€ (0 ,+s ),x i ,=6,X 1X2即X 1= X 2时取得等号.所以(ax1+ bx2)( ax2 + bx" = a2X1X2 + abx2 + abx1+ b2X1X22 2 2 2 2 2=X1X2( a + b) + ab(X2 + X1) >X1X2( a + b ) + ab(2 X1X2)• a +b+c>2. • a+b+c的最小值为4.设x, y, z€ R,且满足：x2+ y2+ z2= 1, x + 2y+ 3z = 14,求x + y + z.解由柯西不等式可得(x2+ y2+ z2)(1 2+ 22+ 32) >(x + 2y+ 3z)2,即(x + 2y+ 3z) 2< 14,因此x + 2y+ 因为x+ 2y+ 3z=Q T4，所以x=-=|，解得x二*^4 * * *, y = "p, z =2 3 14 / 14。

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若 a 0 ， | ax 1| 1 的解集为 0 x
2 2 ，所以 1 ，故 0 a 2 ． a a
综上， a 的取值范围为 (0, 2] ．
2 x 4, x 1, 2.解：（1）当 a 1 时， f ( x) 2, 1 x 2, 2 x 6, x 2.
故不等式 f ( x) 1 的解集为 {x | x } ．
1 2
（2）当 x (0,1) 时 | x 1| | ax 1| x 成立等价于当 x (0,1) 时 | ax 1| 1 成立．若 a 0 ，则当 x (0,1) 时 | ax 1| 1 ；
2.【2018 全国二卷 23】设函数 f ( x) 5 | x a | | x 2 | ．（1）当 a 1 时，求不等式 f ( x) 0 的解集；（2）若 f ( x) 1 ，求 a 的取值范围．
3.【2018 全国三卷 23】设函数 f x 2 x 1 x 1 ．（1）画出 y f x b ，求 a b 的最小值．（2）当 x ∈0 ，
4.【2018 江苏卷 21D】若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求 x2 y 2 z 2 的最小值．
参考答案解答题
2, x 1, 1.解：（1）当 a 1 时， f ( x) | x 1| | x 1| ，即 f ( x ) 2 x, 1 x 1, 2, x 1.
《2018 年高考数学分类汇编》第十四篇：不等式选讲解答题 1.【2018 全国一卷 23】已知 f ( x) | x 1| | ax 1| . （1）当 a 1 时，求不等式 f ( x) 1 的解集；（2）若 x (0,1) 时不等式 f ( x) x 成立，求 a 的取值范围.
可得 f ( x) 0 的解集为 {x | 2 x 3} ．
（2） f ( x) 1 等价于 | x a | | x 2 | 4 ．而 | x a | | x 2 || a 2 | ，且当 x 2 时等号成立．故 f ( x) 1 等价于 | a 2 | 4 ．由 | a 2 | 4 可得 a 6 或 a 2 ，所以 a 的取值范围是 (, 6] [2, ) ．
因为 x 2 y 2 z =6 ，所以 x2 y 2 z 2 4 ，
当且仅当
x y z 2 4 4 时，不等式取等号，此时 x ，y ，z ， 1 2 2 3 3 3
所以 x2 y 2 z 2 的最小值为 4．
1 3 x, x 2 , 1 3.解：（1） f ( x) x 2, x 1, y f ( x) 的图像如图所示． 2 3 x, x 1.
（2）由（1）知， y f ( x) 的图像与 y 轴交点的纵坐标为 2 ，且各部分所在直线斜率的最大值为 3 ，故当且仅当 a 3 且 b 2 时， f ( x) ax b 在 [0, ) 成立，因此 a b 的最小值为 5 ． 4.证明：由柯西不等式，得 ( x2 y 2 z 2 )(12 22 22 ) ( x 2 y 2z)2 ．