二次函数专题测试题及详细答案(超经典)

复习二次函数
一、选择题：
1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ）
A ． 直线3-=x
B. 直线3=x
Ｃ. 直线
D. 直线2
2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点)
,(a
c
b M 在( ） Ａ. 第一象限 ﻩB ． 第二象限 C. 第三象限 ﻩ ﻩﻩD ． 第四象限
3. 已知二次函数c bx ax y ++=2,且0<a ,0>+-c b a ,
则一定有( ）
A. 042>-ac b ﻩ
B. 042=-ac b ﻩ Ｃ. 042<-ac b
D. ac b 42-≤０
4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位，所得图象的解析式是
532+-=x x y ，则有（ )
Ａ. 3=b ,7=c ﻩﻩﻩＢ. 9-=b ,15-=c C ． 3=b ，3=c ﻩﻩﻩD ． 9-=b ,21=c
5. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数
c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的，正确的是( )
D
6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线( ) A. 2-=x ﻩﻩ B. 2=x
ﻩ
ﻩＣ. 1-=x
D. 1=x
7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( ） A ． 2-ﻩﻩﻩ B. ２
C ． 1-ﻩﻩﻩﻩＤ. １
8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若
c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则( ） A. 0>M ,0>N ，0>P B. 0<M ,0>N ，0>P C ． 0>M ，0<N ,0>P D ． 0<M ,0>N ,0<P 二、填空题:
9. 将二次函数322+-=x x y 配方成k h x y +-=2)(的形式,则y ＝＿_＿＿＿＿_______＿
________.
10. 已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点,那么一元二次方程02=++c bx ax 的根
的情况是__＿____＿_＿＿__＿_＿______.
11. 已知抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为1-,则c a +＝______＿＿_. 12. 请你写出函数2)1(+=x y 与12+=x y 具有的一个共同性质:___＿______＿_＿__. 13. 已知二次函数的图象开口向上，且与y 轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次
函数的解析式:_＿＿_＿_＿__________＿___. 14. 如图,抛物线的对称轴是1=x ,与x 轴交于Ａ、B 两点，若B 点坐标是)0,3(，则A 点的
坐标是_＿____＿_______＿_
三、解答题:
1. 已知函数12-+=bx x y 的图象经过点(3,2)．
（1)求这个函数的解析式; (2)当0>x 时,求使y ≥2的ｘ的取值范围．
2、如右图,抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与ｙ轴交于点Ｂ．
(1)求抛物线的解析式；
（2）P 是ｙ轴正半轴上一点,且△P A Ｂ是以A Ｂ为腰的等腰三角形,试求点P 的坐标．
３.如图，抛物线y 1=﹣x 2＋2向右平移1个单位得到抛物线y 2，回答下列问题: (1)抛物线ｙ2的顶点坐标 ； (2)阴影部分的面积S= ;
(3）若再将抛物线y 2绕原点O 旋转180°得到抛物线y 3，求抛物线y 3的解析式.
４.(1999•烟台)如图，已知抛物线ｙ=a ｘ２
+bx ＋交x 轴正半轴于A ，Ｂ两点,交y 轴于点C ，且∠CBO=6０°，∠ＣＡO=45°,求抛物线的解析式和直线B Ｃ的解析式．
5.如图，抛物线y ＝x 2+bx ﹣c 经过直线y=ｘ﹣3与坐标轴的两个交点A,B,此抛物线与ｘ轴的另一个交点为Ｃ，抛物线的顶点为D.
O x
y
1
-1
B A
（1)求此抛物线的解析式;
（2)点P为抛物线上的一个动点，求使S△ＡPC：Ｓ△AＣD=５：4的点Ｐ的坐标.
6．如图,抛物线y=a（x＋1）2的顶点为A,与y轴的负半轴交于点B，且OB＝ＯA．
(1）求抛物线的解析式；
（2）若点C(﹣3，ｂ）在该抛物线上,求S△AＢＣ的值.
7．如图，抛物线y=ｘ2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．
(１）求抛物线顶点Ａ的坐标及c的值;
(２)设抛物线与y轴交于点Ｂ,与x轴交于点Ｃ、D（C点在D点的左侧）,试判断△AＢD的形
状.
8、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过
程,下面的二次函数图象(部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元)与销售时间t（月)之间的关系(即前t个月的利润总和ｓ与t之间的关系).
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元)与销售
时间t(月)之间的函数关系式；
（２）求截止到几月累积利润可达到30万元;
(3)求第8个月公司所获利润是多少万元？
参考答案 一、选择题:
二、填空题： 1. 2)1(2
+-=x y
2. 有两个不相等的实数根 ﻩ3． １
４. (１）图象都是抛物线;（2)开口向上；(3)都有最低点（或最小值） 5. 358512+-=
x x y 或358512-+-=x x y 或178712+-=x x y 或17
8
712-+-=x x y 6． 122
++-=x x y 等（只须0<a ，0>c ) 7． )0,32(-
8． 3=x ，51<<x ，1，4 三、解答题：
1. 解：（1)∵函数12
-+=bx x y 的图象经过点(3,2），∴2139=-+b . 解得2-=b . ∴函数解析式为122
--=x x y .
（2）当3=x 时,2=y .
根据图象知当x ≥3时，y ≥2．
∴当0>x 时，使y ≥２的x 的取值范围是x ≥3．
2. 解：(1)由题意得051=++-n ． ∴4-=n ． ∴抛物线的解析式为452
-+-=x x y ．
（２）∵点A 的坐标为(1，0)，点Ｂ的坐标为)4,0(-. ∴ＯA =1,OB =4. 在Rt △OAB 中,1722=+=
OB OA AB ,且点P 在y 轴正半轴上.
①当PB ＝P A 时,17=PB . ∴417-=-=OB PB OP ． 此时点P 的坐标为)417,
0(-．
②当P A ＝AB 时,OP ＝OB ＝4 此时点Ｐ的坐标为(0，４）.
3. 解：(１)设s 与t 的函数关系式为c bt at s ++=2
，
由题意得⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=++-=++；5.2525,224,5.1c b a c b a c b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=++.0,224,5.1c c b a c b a 解得⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-==.
0,2,21c b a ∴t t s 2212-=.
(2）把s =30代入t t s 2212-=
,得.22
1
302t t -= 解得101=t ，62-=t （舍去) 答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元. （3）把7=t 代入,得.5.107272
1
2=⨯-⨯=
s 把8=t 代入，得.168282
1
2=⨯-⨯=
s 5.55.1016=-. 答：第８个月获利润5.5万元．
４. 解：（1)由于顶点在y 轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为10
9
2+=ax y . 因为点)0,25(-
A 或)0,25(
B 在抛物线上,所以109)25(·02+-=a ,得125
18
-
=a . 因此所求函数解析式为109125182+-
=x y (2
5-≤ｘ≤25
）.
（２)因为点D 、E 的纵坐标为209，所以10912518209+-=,得24
5
±=x .
所以点D 的坐标为)20
9
,245(-,点E 的坐标为)209,245(. 所以22
5
)245(245=--=
DE . 因此卢浦大桥拱内实际桥长为
385227501.0110022
5
≈=⨯⨯（米). 5． 解:（1)∵AB =3，21x x <，∴312=-x x . 由根与系数的关系有121=+x x ．
∴11-=x ,22=x ． ∴O Ａ=１，OB =2,2·21-==
a
m
x x . ∵1tan tan =∠=∠ABC BAC ,∴1==OB
OC
OA OC . ∴O Ｃ＝2. ∴2-=m ,1=a .
∴此二次函数的解析式为22
--=x x y .
（２)在第一象限,抛物线上存在一点P ，使S △ＰＡC =6.
解法一:过点Ｐ作直线ＭN ∥A Ｃ,交x 轴于点M ,交y 轴于N ,连结ＰＡ、ＰＣ、M Ｃ、NA . ∵ＭＮ∥AC ，∴S △MAC ＝S △NAC = S △P A Ｃ=6. 由(1)有O Ａ＝1,OC ＝2． ∴
612
1
221=⨯⨯=⨯⨯CN AM ． ∴ＡM =6，C Ｎ=１2．
∴M （5,0),N （0,10）.
∴直线MN 的解析式为102+-=x y .
由⎩⎨
⎧--=+-=,
2,
1022
x x y x y 得⎩⎨
⎧==；4311y x ⎩⎨
⎧=-=18,
42
2y x （舍去） ∴在 第一象限,抛物线上存在点)4,3(P ,使S △ＰA Ｃ＝6． 解法二：设ＡP 与y 轴交于点),0(m D (ｍ>０) ∴直线AP 的解析式为m mx y +=.
⎩
⎨
⎧+=--=.,22m mx y x x y
∴02)1(2
=--+-m x m x . ∴1+=+m x x P A ,∴2+=m x P . 又Ｓ△ＰＡC = S △ADC + S △PD Ｃ=P x CD AO CD ·21·21+=)(2
1P x AO CD +. ∴
6)21)(2(2
1
=+++m m ,0652=-+m m ∴6=m (舍去)或1=m ．
∴在 第一象限,抛物线上存在点)4,3(P ，使Ｓ△P A Ｃ=6．
提高题
１. 解:(1)∵抛物线c bx x y ++=2
与x 轴只有一个交点,
∴方程02
=++c bx x 有两个相等的实数根，即042
=-c b . ① 又点A 的坐标为(2，0），∴024=++c b . ② 由①②得4-=b ，4=a .
（２）由（1)得抛物线的解析式为442
+-=x x y . 当0=x 时,4=y ． ∴点B 的坐标为(０，4）． 在Ｒt △OAB 中，OA =2，OB =4，得5222=+=
OB OA AB .
∴△OAB 的周长为5265241+=++．
2. 解：（１）76)34()107
10710(1022++-=--⨯++-⨯=x x x x x S .
当3)
1(26
=-⨯-=x 时，16)1(467)1(42=-⨯-⨯-⨯=
最大S . ∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元.
（2)用于投资的资金是13316=-万元.
经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取Ａ、B 、E 各一股,投入资金为13625=++(万
元)，收益为0.５５+0.4+０．9=１．8５（万元）>１.6(万元);
另一种是取B 、Ｄ、E 各一股，投入资金为2＋4+6＝１2(万元）<１3(万元），收益为0.４+0.5+
０．9=1.8（万元)＞1.6（万元).
3. 解：(１）设抛物线的解析式为2
ax y =,桥拱最高点到水面CD 的距离为h 米，则),5(h D -,)3,10(--h B ．
∴⎩⎨⎧--=-=.3100,25h a h a 解得⎪⎩⎪⎨⎧
=-=.
1,
251h a
∴抛物线的解析式为2
25
1x y -=.
(2)水位由ＣＤ处涨到点O 的时间为1÷0.25=4（小时),
货车按原来速度行驶的路程为40×１＋40×4=２00<２80, ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥． 设货车的速度提高到ｘ千米/时， 当2801404=⨯+x 时,60=x .
∴要使货车安全通过此桥,货车的速度应超过6０千米／时． 4. 解:(１）未出租的设备为
10
270
-x 套，所有未出租设备的支出为)5402(-x 元． （2)54065101
)5402()1027040(2++-=----=x x x x x y ． ∴5406510
12
++-
=x x y .(说明：此处不要写出x 的取值范围) （3)当月租金为30０元时，租赁公司的月收益为１1０４0元，此时出租的设备为37套；当月租金
为３50元时,租赁公司的月收益为11040元,此时出租的设备为32套.
因为出租37套和32套设备获得同样的收益,如果考虑减少设备的磨损,应选择出租３2套；如果
考虑市场占有率,应选择出租3７套.
(4）5.11102)325(10
1
5406510122+--=++-
=x x x y . ∴当325=x 时,ｙ有最大值1１1０2.5． 但是，当月租金为３25元时,租出设备套数为３4.
５，而3４.5不是整数,故租出设备应为3４套或３5套. 即当月租金为为３30元(租出3４套)或月租金为320元（租出35套)时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元.
16.如图,抛物线y １＝﹣x ２
＋2向右平移1个单位得到抛物线y 2,回答下列问题： （1）抛物线y 2的顶点坐标 （1,2) ; (2）阴影部分的面积S= ２ ；
（3）若再将抛物线y 2绕原点O 旋转１80°得到抛物线ｙ3,求抛物线ｙ３的解析式．
考点: 二次函数图象与几何变换．
分析:直接应用二次函数的知识解决问题.
解答:解：(1)读图找到最高点的坐标即可．故抛物线ｙ2的顶点坐标为(１,2);（2分) （２)把阴影部分进行平移,可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积＝１×2=
２;(６分）
(３）由题意可得：抛物线y3的顶点与抛物线y2的顶点关于原点O成中心对称.
所以抛物线y3的顶点坐标为（﹣1，﹣2)，于是可设抛物线y３的解析式为:
y=a（x+1)２﹣2．由对称性得a=1,
所以y3＝(x+1）2﹣2.（10分)
20.（1９99•烟台)如图，已知抛物线y=ax2+ｂx+交ｘ轴正半轴于Ａ，Ｂ两点,交ｙ轴于点C,且∠ＣBＯ=6０°，∠CＡO=４5°，求抛物线的解析式和直线BC的解析式.
考点: 待定系数法求二次函数解析式;待定系数法求一次函数解析式．
分析:根据抛物线的解析式，易求得C点的坐标,即可得到OC的长；可分别在Rt△OＢC和R ｔ△OAC中,通过解直角三角形求出OB、OA的长，即可得到A、B的坐标，进而可运用待定系数法求得抛物线和直线的解析式.
解答：解:由题意得C(０,)
在Rt△COB中，
∵∠CＢO=6０°，
∴OB＝OC•coｔ6０°=1
∴B点的坐标是（1,0）;（1分）
在Rt△ＣOA中，∵∠CAO=45°，
∴OA=OＣ=
∴A点坐标（，0）
由抛物线过Ａ、B两点，
得解得
∴抛物线解析式为y=x2﹣(）x+(4分）
设直线ＢC的解析式为ｙ=mx+n，
得ｎ＝,m=﹣
∴直线BC解析式为y=﹣x+．（6分）
23．如图，抛物线y=x２+bｘ﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A,B,此抛物线与ｘ轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D．
（1)求此抛物线的解析式；
(2）点P为抛物线上的一个动点，求使Ｓ△APＣ:Ｓ△AＣD=5：4的点Ｐ的坐标.
考点: 二次函数综合题.
专题：压轴题；动点型．
分析：(1）先根据直线y=x﹣3求出A、B两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值.
（2）根据（1）中抛物线的解析式可求出C,D两点的坐标,由于△APC和△ACD同底,因此面积比等于高的比，即P点纵坐标的绝对值：Ｄ点纵坐标的绝对值=５:4．据此可求出P点的纵坐标,然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出P点的坐标.
解答：解:(1)直线y=ｘ﹣3与坐标轴的交点A(3，0),B(０，﹣3)．
则，
解得，
∴此抛物线的解析式y＝x2﹣2x﹣３．
(2）抛物线的顶点D(１，﹣4）,与x轴的另一个交点Ｃ（﹣1,０）.
设P(a，a２﹣２a﹣3）,则(×４×|a2﹣2a﹣３|）:（×4×4）=５：4.
化简得|a2﹣２ａ﹣３|=５.
当ａ２﹣２a﹣3=5，得a=4或a=﹣2.
∴P(4,5)或P(﹣2,5)，
当a２﹣2a﹣3＜０时,即a2﹣2a+2=０，此方程无解.
综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5)或(﹣2，５).
27.如图，抛物线ｙ=ａ(x＋1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B,且ＯB=ＯA．
（１)求抛物线的解析式;
(2)若点C(﹣3，ｂ）在该抛物线上,求S△ＡBC的值.
考点：待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征.
专题: 计算题．
分析:（1)由抛物线解析式确定出顶点A坐标,根据OA=OB确定出B坐标，将B坐标代入解析式求出a的值,即可确定出解析式；
（2)将C坐标代入抛物线解析式求出b的值，确定出C坐标,过C作CD垂直于x轴,三角形ＡBC面积=梯形OBCD面积﹣三角形ＡCD面积﹣三角形AOＢ面积,求出即可.
解答：解：(1）由投影仪得：A（﹣1,0),B（０,﹣1)，
将ｘ=0,y=﹣1代入抛物线解析式得:a=﹣１,
则抛物线解析式为y=﹣（x+1）2=﹣ｘ2﹣２x﹣１；
(2)过C作ＣＤ⊥x轴,
将C（﹣3，b)代入抛物线解析式得:b＝﹣４，即C（﹣3，﹣4),
则S△AＢC=S梯形OBCD﹣S△AＣＤ﹣S△AOB=×３×(４+1）﹣×4×2﹣×1×1=3.
点评:此题考查了待定系数法求二次函数解析式,熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
２8.如图,抛物线y=x2﹣2x＋c的顶点A在直线l:y=x﹣5上.
（1)求抛物线顶点Ａ的坐标及ｃ的值；
（２)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状．
考点: 二次函数综合题．
分析:（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴,由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l 的解析式中求出点A的坐标，再将点A的坐标代入抛物线的解析式y=ｘ2﹣2x+c中,运用待定系数法即可求出c的值；
(2)先由抛物线的解析式得到点B的坐标,再求出AB、ＡD、BＤ三边的长，然后根据勾
股定理的逆定理即可确定△ＡBD是直角三角形.
解答:解：(1)∵ｙ=ｘ2﹣2x+c,
∴顶点A的横坐标为x=﹣=１,
又∵顶点A在直线ｙ=x﹣5上，
∴当x=1时，y=１﹣5=﹣４,
∴点A的坐标为（1，﹣4）．
将Ａ（1，﹣４）代入ｙ＝x2﹣2ｘ＋c,
得﹣4=1２﹣2×1+ｃ,解得c=﹣3．
故抛物线顶点Ａ的坐标为(１,﹣４）,c的值为﹣3；
(２)△ABD是直角三角形．理由如下:
∵抛物线y=x2﹣2ｘ﹣3与y轴交于点B,
∴B(0，﹣3).
当y=0时,x2﹣２x﹣3=０，
解得x1=﹣1，x2=3,
∴C(﹣1,0），D（3,0)．
∵BD２=ＯB2+OD２=１8，AB2=（4﹣３）2+1２=2,AD２=(3﹣1）2+４2=２0，∴BD2+AＢ２=AD2，
∴∠ＡBD=90°，即△AＢＤ是直角三角形.。