直觉的解题功能

例 设 ＝ ＋｛ ＋÷ ＋ ｌ …＋÷ ，求 与、 的
√ √ ２ ３ √
特 殊 条 件 下 的特 殊 问题 一 要 易解 ，二 要 能 由其 解猜
得 原一 般 性 问题 的解 法 。 要将 一 个普 遍 性 的 数学 问题特 殊 化 ，通 常 情 况下 并不 难 ，只 需 适 当地 加 强 某些 条 件 或 增 加 些 限制 即 可 。 正是 因 为如 此 ，一个 一 般 性 问题 经 不
对 象 甲与 乙的性 质 相 似 ，推 出它们 另外 的一 些 属性 也 相 避 繁就 简 。不仅 如 此 ，它还 可 以通过 形 象 使 学生 从 整体
似 。这种 思 维 的 形式 是 ：联 想—— 类 比— — 猜 想 。就 是 上 把握 问题 的 实质 ，抓 住 关键 ，推 动 思维 活 动 的开 展 。 把 所研 究 的 问题 与 以前 熟知 的有 关 内容 加 以应 用 ，可 设 著 名 数 学 家 华 罗 庚 教 授 在 这 方 面 有 一 段 精 彩 的 论 述 ： 数 问： 以前 见 过它 吗 ？是 否见 过 相 同 的 问题 而 形 式稍 微 不 “ 形 本 是 相 倚 依 ， 焉 能分 作 两 边 飞 ； 数 缺 形 时少 直 同？ 是否 知 道一 个 与 此有 关 的 问题 ？是 否 知 道 可 能用 得 觉 ，形 少 数 时难 入 微 ；数 形 结 合 百般 好 ，割裂 分 家 万事 非 。 ”所 以在解 决 非 常规 性 的数 学 问题 中， 直观 形 象无 上 的 问题 ？然 后 回到研 究 的 问题 中来 。
能 否 找 到一 个 合 适 的特 殊 条 件 。
一
时 ，设法 把 它 具 体化 、特 殊 化 ， 即用 几个 特 别 的 例 子通 便 是特 殊 化 猜 想 的 实 质 。 这 种 方 法 是 否 奏 效 ， 关键 是 过 观察 、分 析 ，归纳 出结 论或 解题 的一般 规律 。
大 小关 系 。
／ 学交流／ 教
１．９９ ｊ ｉｓ ．６ １４ ９．０ ０ ２ ．１ ０３ ６／ ．ｓ ｎ １７— ８Ｘ ２ １．２ １３
直 觉 的解 题 功 能
李 青
在 数 学 教 学 过 程 中 ， 学 生 碰 到 的大 都 是 常 规 性 数 学 问题 。 这 类 问题 是 数 学 问题 中 的基 本 问题 ，它 既 是 课 堂 教 学 的重 点 ， 同时 也 是 考 查 学 生 学 习 情 况 的重 点 。但 是 在 实 际 教 学 过 程 中 ， 由 于应 试 教 育 的 压 力 ，学 生 过 多 的 精 力 被 浪 费 在 如 何 提 高解 决 此 类 问题 的熟 练 程 度 上 ， 导 致 学 生 思 维 方 式 的僵 化 ， 阻 碍 学 生 创 造 性 的 提 高 。 因而 在 数 学 教 学 过 程 中适 当地 增 加 一 些 非 常 规 性 的题 目就 显 得 尤 为 必 要 。所 谓 非 常规 性 数 学 问题 就 是 不 是 简 单 地 套 用 数 学 的 定 义 、 定 理 或 按 照 特 定 的 模 式 而 解 决 的 题 目， 它 需 要 学 生 从 实 际 的数 学 问题 出 发 ，试 图从 不 同 的 角 度 、 用 不 同 的方 法 去 探 索 数 学 问 题 解 决 的 途 径 。非 常 规 性 数 学 问题 无 疑 对 于 培 养 学 生 思 维 的 灵 活 性 、 深 刻 性 和 广 阔 性 有 很 大 的 帮 助 。非 常 规 性 数 学 问 题 的 解 决 有 一 些 基 本 的 策 略 和 方 法 ，其 中依 靠 直 觉 猜 想 问 题 答 案 是 最 重
图形来 研 究 数 量关 系 ，这 里 的图 形可 以是 几 何 图形 、函 所 谓 类 比法 就 是 某种 类 型 的相 似性 。对 象 甲与 乙可 数 图象 ，还 可 以是 图表 ， 甚至 是 示 意 图等 。借助 几 何模
类 比，意 味 着 它们 在 某 方面 相 同或 相似 （ 概 念相 似 ， 或 型 进行 想 象 ， 可 以使 问题 的条 件 与 结论 之 间 的关 系 更加 或 结 构 相似 ，或 性 质 相 似 等 ） 。类 比 的 目的 在 于 根 据 简 单 明 了 ，从 而 导致 逻辑 通 道 的 一 目了然 与 思维 过 程 的
要 的 方 法之 一 。
１ 归 纳 直 觉 的解 题 功 能
归纳猜 想是通过 各种手段 （ 察 、实验 、分析 、 观
遍 、 较 大 范 围 内 的认 识 。 将 待 解 的特 殊 问题 一 般 化 ， 从 而 猜 得 问题 的 解 法 ，这 便 是 一 般 化 猜 想 的实 质 。 波
同的特 殊化 处理 可 以得到 不 同的特 殊 问题 。
分析
Ａ 是一 个 比较 复 杂 的和 式 ， √ 也不 是具
体 的数 ， 接 比较 大 小 比较 困难 ， 好 采 用 归 纳 猜 想 ： 直 只
ｎ ＝２时， Ａ＞ ｎ； ＝３时， Ａ＞ ｎ； ４ ４ 于是 猜想 ４ 直 观 形 象 猜 想 的解 题 功 能 Ａ＞ ｎ（ｚ √ ，∈Ｎ， ｎ≠１。 ） 猜想结论可用数学归纳法证明。 所 谓 直 观形 象 猜 想指 的是 在解 决数 学 问题 中 ，借助 ２类 比直 觉的解题功 能
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归纳 —— 推 广— — 猜 想 —— 证 明 。也 就 是 说 当遇 到 对 象 的 普 遍 规 律 为 基 础 ， 肯 定 个 别 对 象 具 有 个 别 属 个 抽 象 化 的非 常 规 问题 （ 常 与 ｎ 关 ） ，难 以入 手 性 。把 复 杂 的 一 般 性 问题 特 殊 化 ，猜 得 解 题 方 法 ， 这 通 有
比较 等 ）对 许 多 个别 事 物 的 经验 认 识 Байду номын сангаас基 础 上 ，逻辑 推 利 亚 说 ： “ 果 一 批 问题 是 彼 此 相 关 的 ，解 决 起 来 有 如
导 出各现 象 之 间 的 因果 关 系 ， 并逐 步 过度 普 遍 化 的推 理 时还 比单 独 去 解 决 其 中 一 个 容 易 些 —— 因 为 多 个 问 题 方法 。拉 普拉 斯 曾经说 过 ： “ 至 在 数 学 里 ，发 现 真 理 是 彼 此 很 好 地 相 互 联 系 的 ， 而 一 个 问题 本 身 是 独 立 甚 的主 要 工 具也 是 归纳 和 类 比。 ”所 以培养 学生 的 归纳 猜 的 。 ”特 殊 化 与 一 般 化 相 反 ， 它 是 人 们 由 普 遍 到 个 想 能 力 是很 重 要 的 ，这 种 思 维形 式 的主要 步 骤 是 ： 实 践 别 、 一 般 到 特 殊 的 认 识 方 法 ， 其 基 本 特 点 是 以被 研 究