第三章 卫星运动基础及GPS卫星星历

§3.3 卫星的受摄运动
3.3.1 各种作用力的特性及其影响
G 1、地球引力 P ϕ 式中，r为质点地心矢径的模，, λ 为质点的球面 S 坐标。式右边第一部分GM /r为地球形状规则和 测 密度均匀所产生的正常引力位，卫星在它的作用 量 下做二体运动，其轨道为正常轨道。第二部分的R 原 为摄动位函数。由于地球形状很不规则，其内部 理 质量的分布也不均匀，摄动位函数R不能用一个简 及 单的封闭公式表示，可用无穷级数（球函数展开 应 用 式）表示。R是卫星位置的函数，它使卫星运动的 轨道参数随时间而变化。略去10-6及更小量级的 地球引力场摄动力的位函数可写为： 3 2
ρ Sγ
P
0 S
P
ρ • 式中，K 为卫星表面反射系数； 为光压强度，在距太阳 为地球轨道半径处太阳光压强度通常取为4.5605×10-6 γ N/m2 ；S为垂直于太阳光线的卫星截面积； 为太阳在坐标 系中的位置单位矢量。
0 S
• 对于GPS卫星五天弧段，太阳辐射压力可使卫星位置的偏差 达到1㎞。当卫星运行至地影区域内，由于地球的遮挡，卫 星不受太阳辐射压力的影响。
符号
i
意义
决定轨道平面 的空间位置 Ω a e ω M，V 决定轨道椭圆的大小 决定轨道椭圆的形状 决定近地点在轨道椭圆 上的位置 卫星以平均角速度n0运行 的角度
升交点赤经 轨道椭圆的长半径 轨道椭圆的偏心率 近地点角距（幅角） 平近点角，真近点角
3.2
3.2.2
G P S 测 量 原 理 及 应 用
(3--9)
3.2.3
G P S 测 量 原 理 及 应 用
二体问题微分方程的解
2、卫星运动的轨道方程
卫星运动的轨道方程为：
r=( h2 ) /(1 + e cos(θ − ω )) （3－10）
μ
由于 θ = ω + V ，所以（3-10）式可以真近 点角V表示：
r = a (1 − e 2 ) /(1 + e cos V ) （3－11）
G P S 测 量 原 理 及 应 用
第三章 卫星运动基础及GPS 卫星星历
王 德 保
山东交通学院土木工程学院
2013.3
第三章 卫星运动基础及GPS卫星星历
• 3.1 概述 • 3.2 卫星的无摄运动 • 3.3 卫星的受摄运动 • 3.4 GPS卫星星历
3.1
概 述
1.作用在卫星上的力 2.与卫星运动有关的几个概念
圆，轨道平面在空间的方向也不是固定不变 的。
§3.3
G P S 测 量 原 理 及 应 用Baidu Nhomakorabea
卫星的受摄运动
• 概述
• 研究卫星的受摄运动与研究二体问题的 方法相类似，首先按卫星受到的各种作 用力的物理特性导出其数学表达式，然 后建立受摄运动的微分方程，最后解算 微分方程而得出卫星运动的方程。
§3.3 卫星的受摄运动
3.1 概述
1.作用在卫星上的力-1 G P S 测 量 原 理 及 应 用 作用在卫星上的力 卫星轨道 轨道理论
人卫正常轨道理论 地球引力（1）：地球正球（质 人卫正常轨道 点）的引力 （中心引力） （二体问题） 地球引力（2）：形状摄 动力（非中心引力）； 日、月引力； 大气阻力； 光压力； 其它作用力。 总和
a=− GM
r
2
×r
0
（3--4）
取地球引力常数µ=GM=1，此时（3-4）式可写 成为：
1 o a = − 2 ⋅r r r
2
（3－5）
3.2.2
G P S 测 量 原 理 及 应 用
二体问题的运动方程
设以O为原点的直角坐标系为O-XYZ，S点的坐标为 （X，Y，Z），则卫星S的地心向径r=（X，Y，Z）， && & && a = ( X , Y&, Z ) 加速度 ，代入（3-4）得二体问 题的运动方程：
§3.3 卫星的受摄运动
3.3.1 各种作用力的特性及其影响
G • 4.地球潮汐作用力 P S • 日月引力作用于地球，使之产生形变（固体潮） 测 或质量移动（海潮），从而引起地球质量分布的 量 原 变化，这一变化将引起地球引力的变化。可以将 理 这一变化视为在不变的地球引力中附加一个小的 及 应 摄动力——潮汐作用力。在五天的弧段中潮汐作 用 用力对GPS卫星位置的影响可达1m。
3.2.3
二体问题微分方程的解
• 4、开普勒方程-2 M = n(t − τ ) = nt − M 0
M 0 = nτ
(3-18)
M为平近点角，M0为过近地点的平近点角
M = E − e sin E
(3-19)
用M0代替 τ 作为积分参数。以轨道参数表示的六个积分常 数 (i, Ω, a, e, ω ,τ ) 就可以唯一地确定卫星的运动状态。也 就是说，已知卫星的六个轨道参数就可以确定任意时刻卫 星的位置、运动的速度及加速度。
3.2
• 3.2.1 • 3.2.2 • 3.2.3
卫星的无摄运动
卫星运动的轨道参数 二体问题的运动方程 二体问题微分方程的解
3.2
3.2.1
G P S 测 量 原 理 及 应 用
卫星的无摄运动
卫星运动的轨道参数
中文名称
轨道平面倾角
英文名称
Inclination of orbital plane Right ascension of the ascending node Semi-major axis of orbital ellipse Nunerial eccentricity of ellipse Argument of perigee Mean anomaly
F =− GMm
r
2
(3-1)
r r
2
×r
0
0
ae = −
Gm
2
×r
(3-2)
3.2.2
G P S 测 量 原 理 及 应 用
二体问题的运动方程
（3－3）
设 a 为卫星S相对于O的加速度，则：
G(M + m) o a = as − ae = − ⋅r 2 r
2
由于M远大于m，通常不考虑m的影响，则有：
3 3 3 3 s m s s s m m m
§3.3 卫星的受摄运动
• 2. 日、月引力
月亮位置的计算应按这一相对精度要求。
§3.3 卫星的受摄运动
3.3.1 各种作用力的特性及其影响
G P S 测 量 原 理 及 应 用
• 3. 太阳辐射压力 • 卫星在运动中受到的太阳光辐射的压力为：
F
p
= −K
G P S 测 量 原 理 及 应 用
3.3.1 各种作用力的特性及其影响
1、地球引力 地球引力场对卫星的引力包括地球质心引力和地 球引力场摄动力（由于地球形状不规则及其质 量不均匀而引起）两部分。地球引力是一种保 守力，可以建立一个位函数 U (γ , φ , λ ) 来表示地球外部空间一个质点所受的作用力。其 位函数的一般形式为：U (γ , φ , λ ) = GM / γ + R
（3－7）
3.2.3
G P S 测 量 原 理 及 应 用
二体问题微分方程的解
1、卫星运动的轨道平面方程
直接由微分方程（3-6）求积分，可得卫星运动 的轨道平面方程：
AX + BY + CZ = 0 （3－8）
式中，X,Y,Z是卫星在地心天球坐标系中的坐标，
A = h sin Ω sin i B = − h cos Ω sin i C = h cos i h 2 = μa (1 − e 2 )
μ X && X = − r3 μY && Y = − r3 μ Z && Z = − r3
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
（ 3－ 6）
左边(3-6)方程解的一般形式为：
卫星的位置 卫星运动的速度
r = g(a, e, i, Ω,ω,τ , t) ⎫ ⎪ dr ⎬ = g′(a, e, i, Ω,ω,τ )⎪ dt ⎭
卫星的无摄运动
二体问题的运动方程
as = −
GM ×r
0
在图3-1中所示的二体问题中，依据万有引力定律可知， 地球O作用于卫星S上的引力F为： 式中：G——万有引力常数， G=(6672±4.1)×10-14 N·m2/kg-2 ； M,m——地球和卫星的质量； r0——卫星的在轨位置单位矢量。 由牛顿第二定律可知，卫星与地球 的运动方程：
R = − J 2 (3 sin φ − 1) /(2 γ )
§3.3 卫星的受摄运动
G 1、地球引力 P S • 式中， 是地球引力场位函数的二阶带谐系数。考虑到 J2 测 sin φ = sin i sin(ω + V ) 则有： 量 3 2 2 R = − J 2 [(0.5 − 0.75 sin i ) + 0.75 sin i sin 2(ω + V )] / γ 原 理 （3-22）式的 J 2 为已知的引力场常量，它为10-3 量级（天 及 体力学中常称为一阶小量）， 应 用 轨道参数 i, ω 和卫星的矢径r的模及真近点角V。r和V
另外由二体运动的微分方程可求出常用 的表示卫星运动速度U的活力积分：
U
2
= μ (2 / r − 1 / a ) （ 3－ 12）
3.2.3
二体问题微分方程的解
3、用偏近点角E代替真近点角V
从表示偏近点角E与真近点角V的关系的图3-2，不 G P 难证明: OR = r cosV = a(cos E − e) （3－13） S 测 r = a (1 − e cos E ) 量 另外还可导出V和E的关系： 原 理 cos E − e ⎫ cos V = ⎪ 1 − e cos E 及 ⎪ （3－14） ⎬ V 1+ e E ⎪ 应 tan( ) = tan( ) 2 1− e 2 ⎪ ⎭ 用
摄 动 力
轨道摄动
人卫正常摄动理论
人卫真实轨道 人卫轨道理论
3.1 概述
1.作用在卫星上的力-2
地球引力是主要的。如果将地球引力视为 1，则其他每一种构成摄动力的作用力的贡 献均小于10-5。摄动力与中心引力相比，仅 为10-3量级。
3.1 概述
G P S 测 量 原 理 及 应 用 2. 与卫星运动有关的几个概念 二体问题：研究两个质点在万有引力作用下的运动规 律问题称为二体问题。 卫星轨道：卫星在空间运行的轨迹称为卫星轨道。 卫星轨道参数：描述卫星轨道状态和位置的参数称为 轨道参数。 无摄运动：仅考虑地球质心引力作用的卫星运动称为 无摄运动。 无摄轨道：无摄运动的卫星轨道称为无摄轨道。
3.2.3
G P S 测 量 原 理 及 应 用
二体问题微分方程的解
4、开普勒方程-1
设卫星的运动周期为T，则卫星平均角速度为：
n = 2π / T （ 3－ 15）
由此得到开普勒第三定律的数学表达式：
n2a3 = μ （ 3－ 16）
建立轨道坐标系：坐标原点O在地心，X轴指向椭 圆轨道近地点A，Y轴为轨道椭圆的短轴，Z轴为轨道椭 圆的法线方向。在此坐标系下可以得出著名的开普勒 轨道方程： n(t −τ ) = E − e sin E （3－17）
作 业
G P • S 测 量 原 理 及 应 用
简述卫星的轨道参数含义以及它们 是如何来描述卫星的轨道运动的？
3.3 卫星的受摄运动
• 3.3.1 各种作用力的特性及其影响 • 3.3.2 卫星受摄运动方程
§3.3 卫星的受摄运动
• 概述
G P • S 测 量 原 理 及 应 用
对于卫星精密定位来说，在只考虑地球质心引 力情况下计算卫星的运动状态（即研究二体问 题）是不能满足精度要求的。必须考虑地球引 力场摄动力、日月摄动力、大气阻力、光压摄 动力、潮汐摄动力对卫星运动状态的影响。考 虑了摄动力作用的卫星运动称为卫星的受摄运 动。
• 概述
§3.3
卫星的受摄运动
G • 讨论二体问题时，六个轨道参数均为常数。 P 其中卫星过近地点的时刻τ也可用平近点角M0 S 测 代替。在考虑了摄动力的作用后，卫星的受 量 摄运动的轨道参数不再保持为常数，而是随 原 时间变化的轨道参数。卫星在地球质心引力 理 和各种摄动力总的影响下的轨道参数称为瞬 及 应 时轨道参数。卫星运动的真实轨道称为卫星 用 的摄动轨道或瞬时轨道。瞬时轨道不是椭
可以进一步化为轨道参数a,e,M和时间t的函数。
3.3.1 各种作用力的特性及其影响
3.3.1 各种作用力的特性及其影响
G P • 卫星和地球同时受到日、月的引力。日、月引力造成卫星 相对于地球的摄动力可表示为： S 测 F + F = G M [(γ − γ ) / γ s −γ − γ / γ ] + G M [(γ − γ ) / γ m −γ − γ / γ ] 量 原 • 式中，Ms,Mm 分别表示太阳与月球的质量，rs,rm 与 r 分别 理 表示太阳、月球和卫星的位置矢量。 及 • 日、月引力的量级约为5×10-6 m/s2 ，在五天弧段对卫 应 星位置的影响可达1～3㎞。这意味着需要以10-4 ～10-5 的 用 相对精度确定这些引力，即精确至10-10 m/s2。对于太阳、