概率论与数理统计第四版答案习题答案

2 C10 2 6 2 C10
1
C

1 5
3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统 I 和 II。两种报警系统单独使用 时，系统 I 和 II 有效的概率分别 0.92 和 0.93，在系统 I 失灵的条件下，系统 II 仍有效 的概率为 0.85，求 （1） 两种报警系统 I 和 II 都有效的概率； （2） 系统 II 失灵而系统 I 有效的概率； （3） 在系统 II 失灵的条件下，系统 I 仍有效的概率。
解： 一次拿 3 件： （1） P
2 1 1 2 2 1 C98 C2 C2 C98 C 2 C98 ； （ 2 ） 0 . 0588 P 0.0594 ； 3 3 C100 C100
每次拿一件，取后放回，拿 3 次： （1） P
2 98 2 983 ； （ 2 ） 3 0 . 0576 P 1 0.0588 ； 100 3 100 3
解： P
5P93 4 P82 41 4 90 P10
14. 一个宿舍中住有 6 位同学，计算下列事件的概率： （1）6 人中至少有 1 人生日在 10 月份； （2）6 人中恰有 4 人生日在 10 月份； （3）6 人中恰有 4 人生日在同一月份；
解：
4 C6 112 116 ； （ 2 ） 0 . 41 P 0.00061 ； 12 6 12 6 C 1 C 4 112 （3） P 12 66 0.0073 12
之和小于 5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为 3”。试写出样本空间及事 件
解： (正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）

AB, A B, A C, BC , A B C D 中的样本点。 解： (1,1), (1,2),, (1,6), (2,1), (2,2),, (2,6),, (6,1), (6,2),, (6,6)； AB (1,1), (1,3), (2,2), (3,1)； A B (1,1), (1,3), (1,5),, (6,2), (6,4), (6,6), (1,2), (2,1)； A C ； BC (1,1), (2,2) ； A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 以 A, B, C 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用 A, B, C 表示以下
1
习题 1.1 解答
1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 A, B, C 分别表示“第一次出现正面”，“两 次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件 A, B, C 中的样本 点。
A (正，正)，（正，反） ； B （正，正），（反，反） C (正，正)，（正，反），（反，正） 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件 A, B, C, D 分别表示“点数之和为偶数”，“点数
5
习题 1.2 解答
1. 假设一批产品中一、二、三等品各占 60%，30%、10%，从中任取一件，结果 不是三等品，求取到的是一等品的概率。
解： 令 Ai “取到的是 i 等品”， i 1,2,3
P( A1 A3 )
P( A1 A3 ) P( A1 ) 0.6 2 。 P( A3 ) P( A3 ) 0.9 3
5. 设事件 A, B, C 满足 ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：
A B C ， AB C ， B AC .
解：如图：
2
A
C
AB C AB C ABC
ABC
ABC A BC

A BC
B
ABC
A B C AB C AB C ABC ABC A BC A BC A B C; AB C ABC C ; B AC ABC A BC A BC BA ABC BC A BC
解：令 A “系统（Ⅰ）有效” ， B “系统（Ⅱ）有效”
则 P( A) 0.92, P( B) 0.93, P( B | A ) 0.85 （1） P( AB) P( B A B) P( B) P( A B)
P( B) P( A ) P( B | A ) 0.93 (1 0.92) 0.85 0.862
（1） P 1
15. 从一副扑克牌（52 张）任取 3 张（不重复），计算取出的 3 张牌中至少有 2 张花色相同的概率。
解：
1 3 1 2 1 3 1 1 1 C4 C13 C 4 C13C39 C4 C13C13 C13 P 0.602 或 P 1 0.602 3 3 C52 C52
又 P( B | A)
P( AB ) P( A B) , P( B | A ) P( A) P( A )
6
P( AB ) P( A B) P( A) P( A ) 即 [1 P( A)]P( AB) P( A)[ P( B) P( AB)] P( AB) P( A) P( B) ，故 A 与 B 独立。 5. 设事件 A 与 B 相互独立， 两个事件只有 A 发生的概率与只有 B 发生的概率都
解：不一定成立。例如： A 3,4,5 ， B 3， C 4,5 ， 那么， A C B C ，但 A B 。
6. 若事件 A, B, C 满足 A C B C ，试问 A B 是否成立？举例说明。
解：不一定成立。 例如： A 3,4,5 ， B 4,5,6， C 6,7， 那么 A ( B C ) 3，但是 ( A B) C 3,6,7。
10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车 经过三个路口，试求下列事件的概率： A “三个都是红灯”=“全红”； B “全 绿”；
C “全黄”； D “无红”； E “无绿”； F “三次颜色相同”；
G “颜色全不相同”； H “颜色不全相同”。
3
= 1 P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC )
解： P( A B C ) P A B C 1 P( A B C )


1 1 1 1 1 3 1 0 0 16 16 4 4 4 8
而由题设 P( B | A) P( B | A )
是 1 ，求 P( A) 和 P( B) .
4
解： P( A B) P( AB )
1 ，又 A 与 B 独立 4 1 4
P( A B) P( A ) P( B) [1 P( A)]P( B)
解：
P( A) P( B) P(C )
1 1 1 1 2 2 2 8 ； P ( D) P ( E ) ； 3 3 3 27 3 3 3 27 1 1 1 1 3! 2 P( F ) ； P(G) ； 27 27 27 9 3 3 3 9 1 8 P( H ) 1 P( F ) 1 . 9 9
（2） P( B A) P( A AB) P( A) P( AB) 0.92 0.862 0.058 （3） P( A | B )
P( AB ) 0.058 0.8286 P( B ) 1 0.93 4. 设 0 P( A) 1 ，证明事件 A 与 B 独立的充要条件是
P( B | A) P( B | A )
证：
Байду номын сангаас
： A 与 B 独立， A 与 B 也独立。 P( B | A) P( B), P( B | A ) P( B) P( B | A) P( B | A ) ： 0 P( A) 1 0 P( A ) 1
每次拿一件，取后不放回，拿 3 次：
2 98 97 3 0.0588 ； 100 99 98 98 97 96 （2） P 1 0.0594 100 99 98
（1） P
12. 从 0,1,2,,9 中任意选出 3 个不同的数字，试求下列事件的概率：
2. 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知所取 2 件产品中有 1 件不 合格品，求另一件也是不合格品的概率。
解： 令 A “两件中至少有一件不合格”， B “两件都不合格”
P( AB ) P( B) P( B | A) P( A) 1 P( A )
2 C4
8. 设 P( A) 1 ， P( B) 1 ，试就以下三种情况分别求 P( BA ) ：
7. 对于事件 A, B, C ，试问 A ( B C ) ( A B) C 是否成立？举例说明。
3
2
（1） AB ，
（2） A B ，
（3） P( AB ) 1 .
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解： （1） P( BA ) P( B AB ) P( B) P( AB ) （2） P( BA ) P( B A) P( B) P( A)
1 ； 2
1 ； 6 1 1 3 （3） P( BA ) P( B AB ) P( B) P( AB ) 。 2 8 8 9. 已知 P( A) P( B) P(C ) 1 ， P( AC ) P( BC ) 1 ， P( AB ) 0 求事件 4 16 A, B, C 全不发生的概率。
A1 三个数字中不含0与5， A2 三个数字中不含0或5 。
4
解：
P( A1 ) P( A2 )
C83 7 ； 3 C10 15
3 3 1 2C9 C8 C8 14 14 或 P ( A ) 1 2 3 3 15 C10 C10 15
13. 从 0,1,2,,9 中任意选出 4 个不同的数字， 计算它们能组成一个 4 位偶数的概 率。
11. 设一批产品共 100 件，其中 98 件正品，2 件次品，从中任意抽取 3 件（分三
种情况：一次拿 3 件；每次拿 1 件，取后放回拿 3 次；每次拿 1 件，取后不放回拿 3 次），试求： （1） 取出的 3 件中恰有 1 件是次品的概率； （2） 取出的 3 件中至少有 1 件是次品的概率。
（2）只订日报和晚报； （4）正好订两种报； （6）不订阅任何报； （8）三种报纸都订阅；
事件： （1）只订阅日报； （3）只订一种报； （5）至少订阅一种报； （7）至多订阅一种报； （9）三种报纸不全订阅。
解：（1） AB C ； （2） ABC ； （3） AB C A BC A B C ； （4） ABC AB C A BC ; （5） A B C ； （6） A B C ； （7） A B C A B C A BC AB C 或 A B A C B C （8） ABC ； （9） A B C
4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件 A1 , A2 , A3 分别表示甲、乙、丙射中。试说 明下列事件所表示的结果： A2 ,
A2 A3 , A1 A2 , A1 A2 , A1 A2 A3 ,
A1 A2 A2 A3 A1 A3 .
解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一 人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人 击中。